江蘇省揚州市2023-2024學(xué)年高一年級上冊1月期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末檢測

高一數(shù)學(xué)

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個選項中，只有

一項符合要求）

1命題“VxeR,sinx〈卜、的否定為（）

A.3.vGR,sin.v>1B.3.vGR,sinx<1

C.V.vGR,sin.v>1D.V.vGR,sinx<1

2,下列四個函數(shù)中，與y=2x有相同單調(diào)性和奇偶性的是（）

A.y-2XB.y=xyC.j=evD.y=sinx

3.若全集。=R,/l={x[g<x<1},8={X|<0},則（q；/i）c8=（）

A.（GJ）BJ*）CD.[0/

4.“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出人懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文

人雅士的寵物，所以乂有“懷袖雅物”的別號.如圖是折扇的示意圖,其中Ql=20cm,408=120°,

歷為。力的中點，則扇面（圖中扇環(huán)）部分的面積是（）

0

A.50^,cm2B.1??兀（;ni2C.150兀cm?D.200^cm2

5.若實數(shù)〃7,"滿足2"'=3"=6,則下列關(guān)系中正確的是（）

11,12c21c121

A.1—=1B.---!—=2C.—l—=2D.—l—=一

mnmninntnn2

1兀

6,若P：cosa<—,<7：a<—,則，是，的（）

23

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7,某金店用一桿天平稱黃金，某顧客需要購買20克黃金，他要求先將10克的硅碼放在左盤，將黃金放在

右盤使之平衡：然后乂將10克的硅碼放入右盤，將另一黃金放在左盤使之平衡，顧客獲得這兩塊黃金，則

該顧客實際所得黃金()

A.小于20克B,不大于20克C.大于20克D.不小于20克

8.若a,/710A1_rX

且滿足sinacosa+sin￡cos￡>2cosacos￡,設(shè)/=1211212112，y'^Y)=——，

\L)

則下列判斷正確的是()

A./(sina)</(sin^)B./(cosa)</(cos/?)

C/(sina)</(cos/?)D./(cosa)</(sin/?)

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得S分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)

9,下列說法正確的有()

A.是第二象限角B.tan225°=1

C.小于90°的角一定是銳角D.sin2>0

10.下列命題為真命題的有()

v,八八…a+〃？a

A.若a,ft€R.則/+b2>2abB.若a〉?！?,〉0,則----->—

b+mb

2

C若則D.若〃>i)c,則

.ab

2

11.已知函數(shù)/'(x)=sinA?一1------,則下列結(jié)論正確的有()

sin2x

A./(1)為奇函數(shù)B./(x)是以兀為周期的函數(shù)

D.xe(°，：時，/(x)的最大值為孝―2

C./(x)的圖象關(guān)于直線x對稱

12.如圖，過函數(shù)/(x)=logcX(c>l)圖象上的兩點8作X軸的垂線，垂足分別為M(a,o),N(E0)

(A>?>1),線段6N與函數(shù)gUblog^x的圖象交于點C,且4c與x軸平行.下列結(jié)

論正確的有()

A,點。的坐標(biāo)為（Alog。a）

B.當(dāng)a=2,〃=4,c=3時，”?的值為9

C.當(dāng)/）=a2時，in=2c2

D.當(dāng)a=2,6=4時，若X］,4為區(qū)間（“力）內(nèi)任意兩個變量，且了心與，則/?）</■）

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知角a的終邊經(jīng)過點（1,-2），則tancz-cosa的值為.

14.若x〉l,y>l,盯=10,則Igxlgy的最大值為.

x2-x+l,0<x<1

15.已知定義域為R的奇函數(shù)/'（x）,當(dāng)x>0時，/'（x）=11，若當(dāng)xw,,0）時，/,（x）

-----,x〉1

（2x-\

3

的最大值為-一，則”?的最小值為

4-----

16.定義域為。的函數(shù)/（X）,如果對于區(qū)間/內(nèi)（/）的任意三個數(shù)為，x2,X3,當(dāng)天<七<天時,

有,（三）―/（xj</03）-./（士），那么稱此函數(shù)為區(qū)間/上的,，遞進(jìn)函數(shù),,,若函數(shù)"x）=x3+q是區(qū)

X1占-X?'X

間［1,2］為“遞進(jìn)函數(shù)”，則實數(shù)”的取值范圍是.

四、解答題（本大題共6小題，計70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

17.化簡求值:

］

⑴3喝2+（5）+國5—哈；

（2）若f+工弓=石，求/+.丫-2的值.

18.已知tana=3.求值：

2sin（a+兀）+cos（2兀-a）

（2）2sin2a+sin?cosor?

19.已知函數(shù)/（x）=log；（4-%）+j「［的定義域為集合A.函數(shù)g（x）="7。2」+5xe-d1］的

值域為3.

(1)當(dāng)〃？=1時，求4D8：

(2)若xe4是xe8的必要不充分條件，求實數(shù)〃1的取值范圍.

20.已知/(x)=sin"+[

69>0.

(1)若/(N)=l，/(&)=T，且%一xLn='，求函數(shù)/(X)的單調(diào)增區(qū)間：

(2)若/(X)的圖象向左平移g個單位長度后得到的圖象關(guān)于，.軸對稱，當(dāng)切取最小值時，方程/(x)=〃?

在區(qū)間py上有解，求實數(shù)，”的取值范圍.

]_5T

21已知函數(shù)/=——g(x)=acos.v+Vl+sinx+Jl-sinx,其中o<0.

.')1+5'

(1)判斷并證明/(x)的單調(diào)性；

(2)①設(shè)/=J|+sinx+Jl-sinx,xe>y>求/的取值范圍，并把g(x)表示為？的函數(shù)力⑴：

②若對任意的X1-1,0]，總存在-多1使得/(?)=g(X2)成立，求實數(shù)”的取值范圍.

22.已知函數(shù)/(x)=log2(2、

(1)若/(x)為定義在R上的偶函數(shù)，求實數(shù)〃?的值；

(2)若Vxe[0,2],/(x)+"?Q恒成立，求實數(shù)，〃的取值范圍.

2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末檢測

高一數(shù)學(xué)

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個選項中，只有

一項符合要求）

1.命題“VxeR,sinx<l”的否定為（）

A.3.VeR,sin.v>1B.2.veR.sinx<1

CV.veR,sin.v>1D.V.vGR,sinX<1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題可得.

【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，

則命題“VxeR,sinx<]n的否定為“玉eR,sinx>l”

故選：A

2,下列四個函數(shù)中，與），=2x有相同單調(diào)性和奇偶性的是（）

A.y=2XB.y=x3C.y=cxD,v=sin.r

【答案】B

【解析】

[分析】直接根據(jù)基本初等函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性判斷.

【詳解】明顯函數(shù)y=2x為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增：

對于AC：函數(shù)y=2*與J，=e*均為指數(shù)函數(shù)，且為非奇非偶函數(shù)：

對于B：），=/為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增：：

對于D：y=sinx為奇函數(shù)，但其在R上不是單調(diào)函數(shù).

故選：B.

3.若全集C/=R,J={x[—<x<1},5={x|—~~^<0},則（q./）c8=（）

2x,

A.（0,1）B.（ojC.fo1D.[0,1]

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的解法，求得集合8=k|0<牙<1},結(jié)合集合的運算，即可求解.

【詳解】由不等式^—<0,解得0<x<l,所以集合8={x[0<x<l},

X

又由力=v工<1},可得電力=，工區(qū)g或r>1,

所以￡/）「8=3|0<工《；}=。，3.

故選：C

4.“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出人懷袖，咫血書畫，扇骨雕琢，是文

人雅上的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號.如圖是折扇的示意圖，其中。l=20cni,408=120°,

M為04的中點，則扇面（圖中同環(huán)）部分的面積是（）

A.50^cnrB.lOO^cnrC.150^cm2D.200^rcnr

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)扇形面積公式計算可得；

【詳解】解：扇環(huán)的面積為S=-ar2--a[^=-ar2=-x—x400=100^.

22⑶883

故選：B

5.若實數(shù)”？，〃滿足2"'=3"=6,則下列關(guān)系中正確的是（）

11,12、21c121

A.—I—=1B.—F-=2C.-I—=2*.—I--=—

mnmnmnmn2

【答案】A

【解析】

【分析】把指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，利用對數(shù)的運算法則進(jìn)行計算.

【詳解】因為2"'=3"=6，所以〃?=log,6,n=log36,

由換底公式得：一二log62，-=log3.

mn6

所以,+1=10862+10863=1.

tnn

故選：A

6,若p：cos?<-,q：tzgN,則。是<7的（）

23

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

（分析】根據(jù)條件取特殊值驗證充分性和必要性即可.

【詳解】因為cosa$L,取。=兀，因為cos7i=—l,

2

7T

此時a>一,故充分性不成立，

711

當(dāng)aS—時，取a=0,則cosa=cos0=1>—,

32

故必要性不成立，故"是Q的既不充分也不必要條件，

故選:D.

7,某金店用一桿天平稱黃金，某顧客需要購買20克黃金，他要求先將10克的硅碼放在左盤，將黃金放在

右盤使之平衡；然后又將10克的砧碼放入右盤，將另一黃金放在左盤使之平衡，顧客獲得這兩塊黃金，則

該顧客實際所得黃金（）

A.小于20克B,不大于20克C.大于20克D.不小于20克

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基木不等式，即可求解.

【詳解】設(shè)天平的左臂長為“，右臂長為/，（不妨設(shè)aNb）,

第一次稱出的黃金重為xg,第二次稱出的黃金重為,

由杠桿平衡的原理，可得10a=xAya=10。，則*=坦,）=州2,

ha

可得x+y=32+獨220、%x2=20,當(dāng)且僅當(dāng)“=〃時，等號成立，

ba\ha

所以顧客所得的黃金不小于20克.

故選：D.

1_f2"

8.若。,/?七［0,51且滿足5什10(：0$0+5畝/?(：0$月>2(：050(：05/7,設(shè)/=tanatanP，/(工)二一--,

則下列判斷正確的是()

A./(sina)</(sin")B./(cosa)</(cos夕)

C./(sina)</(cosA)D../(costz)<./(sin

【答案】C

【解析】

［分析】通過條件得到空與+查幺>2,通過假設(shè)a+夕W凡找到矛盾，從而得到a+尸>2，進(jìn)而確

cospcosa22

定函數(shù)/(X)的單調(diào)性，通過單調(diào)性比較大小即可.

sinasinB

【詳解】因為sinacosa+sin/?cos〃>2cosacos夕，兩邊同時除以cosacos。得-----+—>2,

cos/?cosa

因為a/w°，1j，

若a+則0<a$5一夕<5，sina<sin^-/?^=cos/??

,sina〃sinB…sinasin/?sin6zsin/7_，?

則一-<1,同理一匕K1,則一-+—匕V2與一；+―匕>2矛盾，

cospcosacos夕cosacospcosa

7T

所以a+P>］,

則N>a>--P>0,sincr>sinfy-/?)=cos/?,

,sina,一sinB

則一->U同理-->1,

cospcosa

sina

所以/=tanatan/?=朝2>1

cos/?cosa

因為函數(shù)y=」〉1單調(diào)遞減，j，=〃/〉l單調(diào)遞增,

所以/(X)=-=1yI—/',/>1單調(diào)遞減,

對于AB：由于sina與sin/?,cosa與cos夕大小關(guān)系不確定，故AB錯誤；

對于CD：由于sina〉cos￡,sin/?>cosa,所以/(sina)</(cos/J),/(cosa)〉/(sinp),故C

正確，D錯誤.

故選：C.

【點暗】關(guān)鍵點睛：根據(jù)選項為比較大小可知本題的關(guān)鍵是確定函數(shù)J。)的單調(diào)性，即r是大于1還是小

于1,帶著這個目的去挖掘條件即可找到解題思路.

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分,在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)

9,下列說法正確的有()

A.-也是第二象限角B.tan2250=1

4

C小于90°的角一定是銳角D.sin2>0

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)角的定義，以及誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值,逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，根據(jù)角的定義，可得一更是第三象限角，所以A不正確；

4

對于B中，F(xiàn)l)tan225°=tan(l80°+45°)=tan45°=I,所以B正確：

對于C中，根據(jù)角的定義，小于90。的角不一定是銳角，可以是負(fù)角，所以C錯誤：

對于D中，由2rad的終邊位于第二象限，所以sin2〉0,所以D正確.

故選：BD.

10.下列命題為真命題的有()

A.若“，〃€R,則/+〃22abB.若a>/?〉0,，n>0,則"+>—

b+nib

C.若“<〃<0,則，>1D.若ad>b/，則

ab

【答案】ACD

【解析】

【分析】作差即可判斷ABC；根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷D.

【詳解】對于A,因為/+〃—2ab=(a—/)丫20,

fi/rlsJ.a2+b2>lab,故A正確:

a+maab+bm-ab-am(b-a)m

對于&

b(b+m)b(b+m)'

因為a>b>0,m>Q,所以<0,"。+陽)>0,

。+機a八「一。+〃7a」入八…口

所以-----一一<0,所以-----〈一，故B錯俁：

b+mbb+mb

11b-a11

對于C,若QV/)V0,則-----=----->0>所以一>—,故C正確:

ababab

對于D‘若ac"〉be：，則，〉0，所以">〃，故D正確.

故選：ACD.

2

11.已知函數(shù)，(x)=sinx------,則下列結(jié)論正確的有()

sin2x

A./(x)為奇函數(shù)B./(x)是以兀為周期的函數(shù)

/.(x)的最大值為YZ-2

C.〃x)的圖象關(guān)于直線.、?='對稱D..V€I0,—時,

2

【答案】AD

【解析】

【分析】對于A,由正弦函數(shù)的奇偶性即可判斷；對于B,判斷/(x+兀)=/(x)是否成立即可；對于C,

71

判斷/三十x是否成立即可：對于D,可得XG0,彳時，/(x)單調(diào)遞增，由此即可得解.

12

2Zrir

【詳解】對于A,/(x)=sinx------的定義域為xHk，('wZ)(關(guān)于原點對稱)，且

sin2x2

22

/(-x)=sin(-x)-=/(x)，

sin(-2x)sin2x

2"nx一總H/冷)，故B錯誤;

對于B./(x+兀)=sin(x+兀)一

sin[2(x+7t)j

兀22

一+Xsin[]+xcosX+—；---

對于C,27Tsin2x,

sin2—FX

2

2

sin=cosx-------

sin2x,

sin2

但+-x),即/(x)的圖象不關(guān)于直線x=3對稱，故C錯誤:

對于D,xe|0,—時，y=sinx,y=sin2x均單調(diào)遞增，所以此時丁=-------也單調(diào)遞增,

【4」sin2x

所以xe(0,：時，/(x)單調(diào)遞增，其最大值為/(：]=乎一2.

故選：AD.

12.如圖，過函數(shù)/(x)=log,x(c>1)圖象上的兩點48作.'軸的垂線，垂足分別為M(dO),N(〃,O)

線段8/V與函數(shù)g(x)=log,“x(/n>ol)的圖象交于點C,且ZC與x軸平行.下列結(jié)

論正確的有()

A.點。的坐標(biāo)為(hlog’a)

B,當(dāng)“=2,/>=4,c=3時，〃7的值為9

C.當(dāng)/)=/時,>11=2c2

D.當(dāng)a=2,〃=4時，若X],巧為區(qū)間(。,。)內(nèi)任意兩個變量，且$<x?,則/㈤<//國)

【答案】ABD

【解析】

【分析】代入驗證可判斷A；將”=2,/>=4,c=3,代入，然后分別得出點小C的坐標(biāo)，使點4與點C

的縱坐標(biāo)相等求解，”的值可判斷B；用含外6的式子表示出點/、B、C的坐標(biāo)，再利用/C與x軸平行得

到m與c的關(guān)系式可判斷C：設(shè)a<Xi<x2<h,利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及對數(shù)的運算法則，即可證明

【詳解】對A：由圖可知，若設(shè)4(aj),則C(/V),

又/在/(x)=logcX上，則/=log<.4,所以C(〃,log"),故A對;

對B：由題意得力(2,log?2),5(4,log34),C(4,log,”4)且/C與x軸平行,

所以Iog,“4=log32,得m=9故B對：

對C由題意得J(a,logca),且/C與x軸平行,

2

所以log,,,b=log,.a,因為〃=a，所以〃i=c"，故C錯：

對D：因為。<內(nèi)<々<〃，且c〉1,所以log,。<logrX,<logt.x,<log/,

又因為〃>。〉1，所以a'°s^<。咽J/盧隊"</產(chǎn)&”，

又因為logt/?-logca=log,。-log,./),

所以=log//,所以/M=/」?&“,所以〈/卅i,

即a"a</#",故D對：

故選：ABD

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知角a的終邊經(jīng)過點。,一2),則tan?cos?的值為.

【答案】_逗

5

【解析】

【分析】直接由三角函數(shù)的定義求解.

【詳解】由三角函數(shù)的定義可得

.-2o145

tana———2,cosa=―,二—,

171+45

所以tanacosa=一8叵.

5

故答案為：—茹.

5

14.若x〉1,y>1,xy=10,則IgxIgy的最大值為.

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】根據(jù)基本不等式求藏大值即可.

【詳解】因為x〉l,y>\,xy=10,

所以lgx>O」gy>0,

叱叱(吟!明明工，

當(dāng)且僅當(dāng)lgx=lg)，，即x=y=Ji。時，等號成立，

故Igxlgy的最大值為為,，

4

故答案為：

4

x2-x+l,0<x<1

15.已知定義域為R的奇函數(shù)/'(x),當(dāng)x>0時，/(x)=<1,若當(dāng)xe}“⑼時，/(X)

——>1

12x-l

3

的最大值為-一，則，〃的最小值為

4------

【答案】-二

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可知XG(0,T〃］時，最小值為一，考查X>0時的最值情況，可得到T〃的范圍,

即可求解.

【詳解】因為/(X)是定義域為R的奇函數(shù)，

當(dāng)時，/(X)的最大值為—(，

則工￡(0,一〃?］時，最小值為

又當(dāng)0<x$l時，/、(x)=x?一1+1=X-，］+—.

I2)4

當(dāng)x=，時，/(x)=—?

2、7nun4

當(dāng)x>l時，r(x)=」一，單調(diào)遞減，

-''2x-\

又當(dāng)/(x)二-----二一時，工二一，

-v72x-\46

3

故則XG(0,一〃“時，最小值為1，

，、，士1,7

必有一V一口1<—,

26

71

則nl---WW---，

62

7

故，〃的最小值為-二，

故答案為：-二.

6

16.定義域為。的函數(shù)/(x),如果對于區(qū)間/內(nèi)(/1。)的任意三個數(shù)不，為，毛，當(dāng)$<$<占時,

有'CJv/M)-/M),那么稱此函數(shù)為區(qū)間/上的“遞進(jìn)函數(shù)”，若函數(shù)，(x)=/+0是區(qū)

x2~X］x3-x2X

間［1,2］為“遞進(jìn)函數(shù)”，則實數(shù)”的取值范圍是.

【答案】<z>-3

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)/'(x)=/+，是區(qū)間［l,2j為“遞進(jìn)函數(shù)”，由，(x)=3--=的遞增區(qū)間為［L2J求解.

X『

【詳解】解：因為函數(shù)/(x)=/+@是區(qū)間［1,2］為“遞進(jìn)函數(shù)”，

X

所以r(x)=3x?-5的遞增區(qū)間為［1,2］,

令g(x)=3/-■y,則g'(x)=6K+=20在［L2］上恒成立，

廠X

即“2-3/在［L2］上恒成立，

所以a2—3,

故答案為：a2-3

四、解答題(本大題共6小題，計70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

17.化簡求值:

⑴3…倍J+5吟

(2)若/主丫4一尺，求V+.—的值.

?I十-I—yjD

【答案】(1)—

3

(2)7

【解析】

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)幫運算及對數(shù)運算法則進(jìn)行計算即可：

(2)把條件平方后可得x+x"=3,再次平方即可求解.

【小問1詳解】

2.2u11

原式=2+—?+?lg5+lg2=—：

【小問2詳解】

/i_2V

由題意得x7+工一號=x+工々+2=5,

\/

得x+P=3，

同理（x+X*1y=.r2+X”+2=9，

故,+『2=一

18.已知tana=3.求值：

（吟.（3兀）

cosa+--sin—+a

（1）I2）12J

2sin（a+兀）+cos（2兀-a）

(2)2sin2a+sinacosa.

2

【答案】(1)I

,21

⑵——

10

【解析】

【分析】(1)誘導(dǎo)公式化簡后，分子分母同時除以cosa,進(jìn)一步計算即可:

(2)分母變?yōu)閟in?a+COS?a，分子分母同時除以cos?a，進(jìn)一步計算即可.

【小問1詳解】

cosa+巴5包+a

I2JI2

2sin（cr4-n）+cos（2JT-6Z）

一sina+cosa_-tana+1

-2sina+cosa-2tana+1

因為tana=3，

—3+12

所以原式二

-6+廠二

【小問2詳解】

2sin%+sinacosa

2sin2a+sinacosa=

sin2a+cos2a

2tan2?+tancz

tan2(7-f-1

因為tana=3,

所以原式=*2*

19.已知函數(shù)/")=%(4-*)+7^=^的定義域為集合人，函數(shù)8(*)=〃2份7工？XG一的

值域為8.

(1)當(dāng)川=1時，求4u8；

(2)若xe/是xe8的必要不充分條件，求實數(shù)，〃的取值范圍.

【答案】(1)(1,4]

1?

(2)—</?<1

2

【解析】

【分析】(I)分別求出集合A、B,再求兩個第合的并集：

(2)根據(jù)題意，確定兩個集合的包含關(guān)系，然后求W得取值范圍.

【小問1詳解】

4-x>0,

由題意得<

x—1>0,

所以l<x<4,所以/=(1,4)；

當(dāng)，〃=1時,g(x)=&Td在-py上單調(diào)增，則8=[2,4],

/.力u8=(1,4]；

【小問2詳解】

若xe/是xe8的必要不充分條件，則z?是A的真子集.

當(dāng)/”>0時，g(x)=〃W2x+5在一;'2上單調(diào)增，

則8=[2〃1,4〃“，所以4M<4,解得:

當(dāng)〃i=0時，6={0},不符合題意：

當(dāng)"7<0時，g(x)=/"j2x+5在上單調(diào)減，則8=[4"[,2〃?],不符合題意:

綜上，—</?<1.

2

20.已知/(x)=sin(<yx+t],<y>0.

(1)若/(7)=1，/(%)=一1，且、一司皿“=/，求函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間：

(2)若/(x)的圖象向左平移三個單位長度后得到的圖象關(guān)于F軸對稱，當(dāng)。取最小值時，方程/(x)=〃?

Tl71

在區(qū)間上有解，求實數(shù)，〃的取值范圍.

l_62J

【答案】(1)(一名+七1,弓+左兀)AwZ(閉區(qū)間也正確)

⑵悍；

【解析】

【分析】(1)根據(jù)/(xj=l,/(看)=-1,且歸—.qL=/，結(jié)合周期公式求出函數(shù)/(X)的解析式，

再求單調(diào)增區(qū)間即可；

(2)根據(jù)平移變換法則以及函數(shù)的對稱性求出函數(shù)解析式，再求。的最小值,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求實

數(shù)，〃的取值范圍.

【小問1詳解】

T12717tr,_\~兀、

———x—=—,則<y=2,所以/(x)=sin|2x+二：

22216j

由一三+2A兀<2x+^<四+2碗，kwZ，解得一三+左w<x<二+也，k€Z

26236

(7UJT]

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)增區(qū)間為一§+標(biāo)%+布卜A-SZ(閉區(qū)間也正確)

【小問2詳解】

將/(x)的圖象向左平移1個單位長度后得到y(tǒng)=sin[t"(x+g+：=sin(o)7r兀)

COXH----1--,

36)

若所得圖象關(guān)于尸軸對稱，則絲+三=3+垢，得。=1+3k,A-eZ,

362

因為。>0,所以Mmin=1:

7T7127r\當(dāng)

得》+工€7'V，

0JJ

所以用的取值范圍為三」.

13

21.已知函數(shù)/(x)=g(x)="cosx+Jl+sinx+Jl-sinx,其中a<0.

1+5*

(1)判斷并證明/(x)的單調(diào)性;

(2)①設(shè)/=?+sinx+Ji-sinx，xe-y.y,求「的取值范圍，并把g(x)表示為/的函數(shù)〃(/)：

717T

②若對任意的$目一1,0］,總存在qe使得/(xj=g(xj成立，求實數(shù)”的取值范圍.

【答案】(I)單調(diào)減函數(shù)，證明見解析

(2)①茁,2］：〃(/)=；"+/—“，回拉,2)②(-2,-2］

【解析】

【分析】(I)利用定義法對/(x)的單調(diào)性進(jìn)行證明.

(2)由已知可得/=2+2|cosx|,即cosx=；/一1,代入即可求得〃(/)：

2

(3)設(shè)./(X)在xe［TO］時值域為A,得/=0,j,設(shè)/?(1)在/€［后,2］時的值域為8,由題意得

I一也<4=0—2、。立進(jìn)行討論即可.

AczB1然后分—4。<0、V2—2<a<——

一2222

【小問1詳解】

/(X)是R上的單調(diào)減函數(shù).

證明如下：在R上任取方，々且再<占，所以5%<5%

i-5v：1一5"2(5'-5H

則/〈X,KxM------------<0,

八八2/人"[+5為[+5%(l+5v,)(l+5X3)

故/(x)是R上單調(diào)減函數(shù);

【小問2詳解】

①/=x/l+sinx+-71-sinx，

則t1=(Jl+sinx+Jl-sin.t)=2+2Jl-sin'x=2+2posx|，

又因為xw,所以cosxNO,從而/w[2,4].

又因為/〉0,所以

因為cosx=；尸-[,所以力(f)=gq/2+f-a,re[&,2]

②設(shè)/(x)在xw[T0]時值域為A,

/(X)=1-5'=-5H二2=_i+_2_在xe[-l,0]單調(diào)遞減，

.''1+5，1+5V1+5"

所以.(一l)“(x)“(O),而f(0)=—1+5=0,

/(-1)=-1+F-T=-.

-2一

則A=0,y:

設(shè)"/)在時的值域為8,由題意得

(i)當(dāng)一;W4<0時，即-，上2,力("在[&,2]上單調(diào)增，8=[0,。+2],

因為J5>0，顯然不滿足力

(ii)當(dāng)忘一2<a<—1時，即3+2<一J_<2，

22a

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