2024年新課標(biāo)Ⅱ卷高考數(shù)學(xué)試題及答案

2024年新課標(biāo)II卷高考數(shù)學(xué)試題及答案

本試卷共10頁，19小題，滿分150分.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)

考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫

在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.已知z=—l—i,則忖=()

A.0B.1C.72D.2

2.已知命題0：VxeR,|.r+l|>l；命題g：>0,Xs=%，貝。（）

A.p和q都是真命題B.r7和1都是真命題

C.p和都是真命題D.F和E都是真命題

3.已知向量滿足M=1,卜+2?=2,且則忖=（）

A.1B.在C.BD.1

222

4.某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量

（單位：kg）并部分整理下表

畝產(chǎn)

[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

量

頻數(shù)612182410

據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

5.已知曲線C：X2+/=16(y>0),從C上任意一點(diǎn)?向x軸作垂線段尸P,P為垂足,

則線段PP的中點(diǎn)〃的軌跡方程為()

A.—+^=1(y>0)B.工+工=1(y>0)

164168

C.工+三=1(y>0)D.-^+―=1(y>0)

164168

6.設(shè)函數(shù)/(x)=a(x+l)2-1,g(x)=cosx+2(xc,當(dāng)xe(-U)時(shí)，曲線y=fO)與y=g(x)

恰有一個(gè)交點(diǎn)，則。=()

A.-1B.1C.1D.2

7.已知正三棱臺(tái)ABC-$用￡的體積為52方，AB=6,Ag=2,則4人與平面/a1所成角

的正切值為()

A.JB.1C.2D.3

8.設(shè)函數(shù)〃尤)=(x+a)ln(x+b),若/'(?NO,則/+力2的最小值為()

A.—B.—C.-D.1

842

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

7T

9.對(duì)于函數(shù)/(x)=sin2x和g(x)=sin(2x-：),下列正確的有()

A.『⑴與g(x)有相同零點(diǎn)B.Ax)與g(x)有相同最大值

C./(尤)與g(x)有相同的最小正周期D./(尤)與g(尤)的圖像有相同的對(duì)稱軸

10.拋物線C：/=4x的準(zhǔn)線為戶為C上的動(dòng)點(diǎn)，過戶作。A:x2+(y-4)2=l的一條切

線，。為切點(diǎn)，過戶作/的垂線，垂足為氏則()

A./與。A相切

B.當(dāng)只A,方三點(diǎn)共線時(shí)，|尸。|=厲

C.當(dāng)|尸2|=2時(shí)，PALAB

D.滿足IPA目尸切的點(diǎn)尸有且僅有2個(gè)

11.設(shè)函數(shù)f(x)=2丁-Bar?+1,則(

A.當(dāng)“>1時(shí)，Ax)有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)。<0時(shí)，x=0是/(尤)的極大值點(diǎn)

C.存在a,b,使得x=b為曲線y=/(x)的對(duì)稱軸

D.存在a,使得點(diǎn)⑴)為曲線y=f(x)的對(duì)稱中心

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.記S”為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若。3+4=7,3%+%=5,貝go=.

13.已知1為第一象限角，。為第三象限角，tana+tan分=4,tanatan尸=拒+1,則

sin(a+/3)=.

14.在如圖的4X4方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有.

種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.記AABC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinA+GcosA=2.

⑴求4

(2)若a=2,后sinC=csin23，求AABC的周長(zhǎng).

16.已知函數(shù)/(無)=e*—ax—/.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J(D)處的切線方程；

(2)若/(X)有極小值，且極小值小于0,求a的取值范圍.

17.如圖，平面四邊形/閱9中，AB=8,CD=3,AD=5上,ZADC=90°,NBAD=30°,

___2__.__?i__.

點(diǎn)￡,F^^AE=-AD,AF=^AB,將△入￡尸沿功對(duì)折至！PE尸，使得尸C=4A/L

p

Bc

⑴證明：EF±PD；

(2)求面尸切與面慚所成的二面角的正弦值.

18.某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段

由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成員為0分；若至少

投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段，由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投中得5分，未投中

得0分.該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和.某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每

次投中的概率為D乙每次投中的概率為G各次投中與否相互獨(dú)立.

(1)若p=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概

率.

⑵假設(shè)°<P<4，

(i)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

(ii)為使得甲、乙，所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

19.已知雙曲線C:x2-y2=M〃z>0),點(diǎn)片電4)在C上，上為常數(shù)，0<左<1.按照如下

方式依次構(gòu)造點(diǎn)Pn=2,3,-.),過Pnl作斜率為k的直線與C的左支交于點(diǎn)Qi，令匕為2T

關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，記匕的坐標(biāo)為(乙,%).

(1)若次=—,求%，%；

(2)證明：數(shù)歹!]｛七-％｝是公比為生的等比數(shù)列；

⑶設(shè)S“為的面積，證明：對(duì)任意的正整數(shù)“，S?=Sn+l.

1.c

【分析】由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式直接計(jì)算即可.

【詳解】若Z=-L-i,則目?])2+(_1)2="

故選：C.

2.B

【分析】對(duì)于兩個(gè)命題而言，可分別取戶-1、x=l,再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即

可得解.

【詳解】對(duì)于。而言，取x=-1,則有卜+1|=0<1,故P是假命題，可是真命題，

對(duì)于4而言，取x=l,則有x3=F=l=x,故4是真命題，是假命題，

綜上，「。和4都是真命題.

故選：B.

3.B

【分析】由]一2句點(diǎn)得片=2鼠九結(jié)合同=1,卜+2+2,得1+4遍+方=1+6片=4,

由此即可得解.

【詳解】因?yàn)?-2q二，所以0-2a”=O,即7=271，

又因?yàn)閼Q=1,卜+2q=2,

所以1+4[.石+4B=1+6石=4，

從而w=q.

故選：B.

4.C

【分析】計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù)，再計(jì)算比例即可判斷B；

根據(jù)極差計(jì)算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知，6+12+18=36<50,

所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,畝產(chǎn)量不低于1100kg的頻數(shù)為24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比為=66%,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,稻田畝產(chǎn)量的極差最大為1200-900=300,最小為1150-950=200,故C正確;

對(duì)于D,由頻數(shù)分布表可得，畝產(chǎn)量在口050,1100)的頻數(shù)為100-(6+12+18+24+10)=30,

所以平均值為,><(6x925+12x975+18x1025+30x1075+24x1125+10x1175)=1067,故D

100

錯(cuò)誤.

故選；C.

5.A

【分析】設(shè)點(diǎn)M(x,y),由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得尸*,2y),代入圓的方程即可求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)”(羽，),則P(X,%),P(X,O),

因?yàn)镸為尸P的中點(diǎn)，所以%=2y,即尸(x,2y),

又P在圓V+y2=16(y>0)上，

所以x2+4y2=16(y>0),BP—+=l(y>0),

164

即點(diǎn)M的軌跡方程為1+]=l(y>0).

164

故選：A

6.D

【分析】解法一：^F(x)=ax2+a-l,G(x)=cosx,分析可知曲線y="尤)與y=G(元)恰有

一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知該交點(diǎn)只能在y軸上，即可得。=2,并代入檢驗(yàn)即可;

解法二：令法x)=f(x)-g(x),xe(-l,l),可知Mx)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可

知〃(x)的零點(diǎn)只能為0,即可得a=2,并代入檢驗(yàn)即可.

【詳解】解法一：令/(無)=g(x),即a(x+l)2T=cosx+2ax,可得依?+a_1=cosx,

F(xj=axr+a—l,G(x)=cosx,

原題意等價(jià)于當(dāng)xe時(shí)，曲線y=尸(此與y=G(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)，

注意到P(x),G(x)均為偶函數(shù)，可知該交點(diǎn)只能在y軸上，

可得尸(0)=G(0),即a-1=1,解得a=2,

若a=2,令尸(x)=G(x),可得2/+1—cosx=0

因?yàn)?-L1),貝2/>0,l_cosx20,當(dāng)且僅當(dāng)％=0時(shí)，等號(hào)成立，

可得2f+l-cosxNO,當(dāng)且僅當(dāng)元=0時(shí)，等號(hào)成立,

則方程2/+1-cosx=0有且僅有一個(gè)實(shí)根0,即曲線y=尸(x)與y=G(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)，

所以。=2符合題意；

綜上所述：a=2.

解法二：令k(x)=/(x)-g(x)=ax2+a-1-cosx,x&(-1,1),

原題意等價(jià)于h(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)椤?-x)=+a-I-cos(-x)=ax2+<z-1-cosx=h(x),

則/7(X)為偶函數(shù)，

根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知〃(x)的零點(diǎn)只能為0,

即/"0)=°_2=0,解得。=2,

若a=2,貝I]/z(x)=2/+1—cos尤,xe(-1,1),

又因?yàn)?d20,l-cosx20當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

可得/?(尤)20,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

即“尤)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0,所以。=2符合題意；

故選：D.

7.B

【分析】解法一：根據(jù)臺(tái)體的體積公式可得三棱臺(tái)的高/7=迪，做輔助線，結(jié)合正三棱臺(tái)

3

的結(jié)構(gòu)特征求得40=生8,進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺(tái)

3

ABC-AgG補(bǔ)成正三棱錐P-A3C,AA與平面46C所成角即為PA與平面46c所成角，

根據(jù)比例關(guān)系可得/=18,進(jìn)而可求正三棱錐P-ABC的高，即可得結(jié)果.

【詳解】解法一：分別取2C,4cl的中點(diǎn)2。，則AD=3百,42=囪，

可知S.ABC=；X6X6X5=94，S"B,G=)X2X^=若，

設(shè)正三棱臺(tái)ABC-A4G的為〃，

則％C.AB,G=；(96+6+加瓦耳卜=”，解得〃=?,

如圖，分別過A，2作底面垂線，垂足為“，N,設(shè)AM=x,

貝！I伍=JAM2+AA/2=J尤2+g,DN=AD-AM-MN=25X,

2

可得DDX=^DN+D,N-=J（2退一元”,,

結(jié)合等腰梯形BCCK可得BB；=1好J+DD；,

即d+：=（2退一尤丁+1+4,解得了=手，

所以AA與平面/玄所成角的正切值為tan?AAO翌=1；

AM

解法二：將正三棱臺(tái)ABC-A4G補(bǔ)成正三棱錐P-ABC,

則AA與平面/及7所成角即為PA與平面力及?所成角,

因?yàn)閐=她=!，則—B,q=J_

PAAB3VP_ABC27

2652

可知匕BC-AMG=而"^P-ABC=丁，則Vp-ABC=18，

設(shè)正三棱錐P-ABC的高為d,貝|力=J_dx、6x6x正=18,解得d=2g,

p-ABC322

取底面49c的中心為0,則尸。上底面/用且AO=2有，

P0

所以PA與平面/比所成角的正切值tanZPAO=—=1.

AO

故選：B.

8.C

【分析】解法一：由題意可知：/（X）的定義域?yàn)椋?萬,+8）,分類討論-。與-6,1-匕的大小關(guān)

系，結(jié)合符號(hào)分析判斷，即可得匕=。+1,代入可得最值；解法二：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分

析ln(x+6)的符號(hào)，進(jìn)而可得x+a的符號(hào)，即可得6=。+1,代入可得最值.

【詳解】解法一：由題意可知：Ax)的定義域?yàn)?-七+8),

令％+々=0解得九=一々；令ln(%+6)=0解得％=

若-aS—b,當(dāng)無￡(一6』一b)時(shí)，可知％+〃>0,ln(x+b)<0,

此時(shí)不合題意；

若一b<-"]-b,當(dāng)了￡(一。』一人)時(shí)，可知x+a>O,ln(%+〃)<0,

此時(shí)/。)<0,不合題意；

若一Q=l—b,當(dāng)無￡(—"1一〃)時(shí)，可知X+a<0,ln(%+Z?)<0,止匕時(shí)/(x)>0；

當(dāng)兀c[l—"+oo)時(shí)，可知x+Q〉0/n(x+Z?)N0,此時(shí)/(%)N0；

可知若-。=1-。，符合題意；

若一4>1一人，當(dāng)％w(l—仇一a)時(shí)，可知％+a<0,ln(x+b)>0,

此時(shí)八%)<0,不合題意；

綜上所述：-a=l-b,即Z;=a+1,

則/+62=/+(°+1)2=2(.+工丫+!》工，當(dāng)且僅當(dāng)。=一1,6=1時(shí)，等號(hào)成立，

V[2)2222

所以的最小值為3；

解法二：由題意可知：了⑺的定義域?yàn)?-6,+8),

令％+a=0角牟得九二一a；令ln(%+6)=0角軍得了=1—。；

貝|當(dāng)無￡(一瓦1一〃)時(shí)，ln(x+Z?)vO,故工+Q40,所以1一匕+〃<0；

光￡(1一瓦+8)時(shí)，ln(%+b)>0,故X+Q>0,所以1—b+aNO；

故1—b+Q=O,則+。2=Q?+(4+1)2=+

當(dāng)且僅當(dāng)。=-;,6=g時(shí)，等號(hào)成立，

所以/+〃的最小值為

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分別求x+a=O、In(尤+勿=0的根，以根和函數(shù)定義域?yàn)榕R界，比較

大小分類討論，結(jié)合符號(hào)性分析判斷.

9.BC

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點(diǎn)，最值，周期公式，對(duì)稱軸方程逐一分析每個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】A選項(xiàng)，令"x)=sin2x=0,解得x=日狀eZ,即為零點(diǎn)，

令g(x)=sin(2無一；)=0,解得尤="+1水eZ,即為g(x)零點(diǎn)，

顯然/(%),g(%)零點(diǎn)不同，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，顯然/(4)皿=g0)皿=1,B選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)，根據(jù)周期公式，/(x),g(x)的周期均為弓=兀，C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)fM的對(duì)稱軸滿足2x=E+gox="+；,%eZ,

224

g(x)的對(duì)稱軸滿足2尤-乙=E+'ox=@+型,ZeZ,

4228

顯然/(*),g(x)圖像的對(duì)稱軸不同，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC

10.ABD

【分析】A選項(xiàng)，拋物線準(zhǔn)線為x=-l,根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來判斷；B選項(xiàng)，P,A,B三

點(diǎn)共線時(shí)，先求出P的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長(zhǎng)；C選項(xiàng)，根據(jù)|PB|=2先算出p的坐標(biāo)，然后

驗(yàn)證心勤=-1是否成立；D選項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義，|依|=|尸耳，于是問題轉(zhuǎn)化成

1pAi=|尸司的P點(diǎn)的存在性問題，此時(shí)考察AF的中垂線和拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，亦可直

接設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解.

【詳解】A選項(xiàng)，拋物線丁=以的準(zhǔn)線為尸-1,

。A的圓心(。,4)到直線戶-1的距離顯然是1,等于圓的半徑，

故準(zhǔn)線/和。A相切，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，尸,A3三點(diǎn)共線時(shí)，即PA_L/,則F的縱坐標(biāo)力=4,

由巾=4%，得到％=4,故尸(4,4),

此時(shí)切線長(zhǎng)|PQ|=一/=萩-12=屈,B選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)，當(dāng)|。用=2時(shí)，xP=1,此時(shí)yj=4%p=4,故。(1,2)或。(1,-2),

4-24-2

當(dāng)尸(1,2)時(shí)，40,4),3(—1,2),k=--=-2k^----=2

PA0—1fABU—f

不滿足如4%=T；

當(dāng)P(L-2)時(shí)，40,4),3(-1,2),kPA=^-^-=-6,左.=^^=6,

不滿足%1KB=T；

于是PA_LA3不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化

根據(jù)拋物線的定義，|「耳=|尸耳,這里尸(1,0),

于是|上4卜|尸同時(shí)尸點(diǎn)的存在性問題轉(zhuǎn)化成|朗|=|尸目時(shí)尸點(diǎn)的存在性問題，

A(0,4),廠(1,0),AF中點(diǎn)，,2),AF中垂線的斜率為一，一=:,

于是A尸的中垂線方程為：>=與拋物線V=4x聯(lián)立可得;/_i6y+30=0,

A=162-4X30=136>0,即AF的中垂線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，

即存在兩個(gè)P點(diǎn)，使得|尸川=歸司，D選項(xiàng)正確.

方法二：(設(shè)點(diǎn)直接求解)

設(shè)尸［jj,由可得B(-M),又4。，4),X|PA|=|PB|,

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，、匚+(-4)2=匚+1,整理得產(chǎn)一6+30=0,

V164

△=16?-4x30=136>0,則關(guān)于，的方程有兩個(gè)解,

即存在兩個(gè)這樣的P點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.

故選：ABD

11.AD

【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為x=O,x=a,根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號(hào)判斷

出了⑺在(T,0),(0,a),32a)上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系進(jìn)行分

析；C選項(xiàng),假設(shè)存在這樣的6,使得x=b為/⑺的對(duì)稱軸，則”x)=/(26-x)為恒等式,

據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的使得(1,3-3a)為/(x)的對(duì)稱中心，貝I]

f(x)+f(2-x)=6-6a,據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.

【詳解】A選項(xiàng)，f(x)=6x2-6ax=6x(x—a),由于。>1,

故xe(-8,0)u(a,+(?)時(shí)f\x)>0,故/(x)在(-co,0),(a,+8)上單調(diào)遞增，

xe(0,a)時(shí)，/'(元)<0,7(x)單調(diào)遞減，

則/(x)在尤=0處取到極大值，在x=。處取到極小值，

由/(0)=1>0,/(a)=l-a3<0,則J(0)/3)<0,

根據(jù)零點(diǎn)存在定理/(無)在(0，。)上有一個(gè)零點(diǎn)，

X/(-l)=-l-3a<0,/(2a)=4?3+l>0,則/(一1)/(0)<0,7(a)/(2a)<0,

則“X)在(-1,0),(。,2a)上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是“>1時(shí)，/a)有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，f'(x)=6x(x-a),0<0時(shí)，xe(a,0),/,(x)<0,/(a)單調(diào)遞減，

xe(0,+x)時(shí)/''(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

此時(shí)/*)在x=0處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的a,6,使得x=b為Ax)的對(duì)稱軸，

即存在這樣的。,b使得以x)=f(2b-x),

即2丁一3ax2+1=2(26-x)3-3a(2Z?-x)2+1,

根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊(23-4展開式含有/的項(xiàng)為2C；(26)°(T)3=-2/,

于是等式左右兩邊丁的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在這樣的。力，使得X=b為的對(duì)稱軸，c選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，

方法一：利用對(duì)稱中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)

/(1)=3-3?,若存在這樣的使得(L3-3a)為了⑺的對(duì)稱中心,

則/。)+/(2-彳)=6-6",事實(shí)上，

f{x}+f(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-彳丁-3a(2-x)2+1=(12-6a)d+(12。-24)x+18-12。，

于是6-6。=(12-6。)*2+(12。-24比+18-12。

12-6a=0

即12a-24=0,解得。=2,即存在。=2使得(L/⑴)是/⑺的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.

18—12a=6—6a

方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論

任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，

f(x)=2x3—Sax2+1,/'(%)=6x2—6ax,fn(x)=12x—6a,

由廣(x)=0ox=],于是該三次函數(shù)的對(duì)稱中心為[■!/,

由題意(1"(D)也是對(duì)稱中心，故■|=loa=2,

即存在a=2使得(1"⑴)是/(x)的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.

故選：AD

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：(1)/*)的對(duì)稱軸為A匕0/⑴=/儂-彳)；(2)/(X)關(guān)于(o,b)對(duì)

稱o/'(x)+/(2a-x)=?；(3)任何三次函數(shù)/(*)=依3+桁2+5+，都有對(duì)稱中心，對(duì)稱

中心是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是尸5)=0的解，即，是三次函

數(shù)的對(duì)稱中心

12.95

【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解出q,d,再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即

可得到答案.

\CL2d+〃[+3d=7[CL=-4

【詳解】因?yàn)閿?shù)列4,為等差數(shù)列，則由題意得“小心<,解得'。，

[3（q+d）+4+4d=5[a=3

inxQ

貝！J，o=10q+^―d=10x（—4）+45x3=95.

故答案為：95.

2A/2

3

【分析】法一：根據(jù)兩角和與差的正切公式得tan（a+￡）=-20,再縮小a+6的范圍，最

后結(jié)合同角的平方和關(guān)系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.

tana+tanJ34

【詳解】法一：由題意得^1（C+分）==-2A/2

l-tanatan/1-(&+1)

因?yàn)閍2E,2fai+]G(2mn+TC,2mn+3兀

2

則a+/￡（（2根+2左）兀+兀,（2根+2左）兀+2兀）,k,meZ,

又因?yàn)閠an(a+￡)=-2后<0,

則a+/(2"1+2左)兀+],(2M+2左)兀+2兀

,k,meZ,貝Usin(a+/)<0,

則:需：/k-2后,聯(lián)立sin2(a+^)+cos2(?+^)=l,解得sin(a+￡)=—乎

法二：因?yàn)閍為第一象限角，/?為第三象限角，貝!Jcosa>0,cos分<0,

cosa1cos/7-1

=—COSPD=I=/=

Vsin2+cos2aV1+tan2aJsin2尸+cos2f3Jl+tan2[3

貝Usin(cr+月)=sinacos0+cosasinj3=cosacos夕(tana+tan(3)

-4_______________________-4______________-42夜

=4cosacos/3=

A/1+tan2+tan2/7^/(tana+tan/3)2+(tanatan/3—I)2,4、+2丁

故答案為：-逑.

3

14.24112

【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選；利用列舉法寫出

所有的可能結(jié)果，即可求解.

【詳解】由題意知，選4個(gè)方格，每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，

則第一列有4個(gè)方格可選，第二列有3個(gè)方格可選，

第三列有2個(gè)方格可選，第四列有1個(gè)方格可選，

所以共有4x3x2x1=24種選法；

每種選法可標(biāo)記為(a,6,c,d),a,4c,d分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，

則所有的可能結(jié)果為：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以選中的方格中，(15,21,33,43)的4個(gè)數(shù)之和最大，為15+21+33+43=112.

故答案為：24;112

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方

格可選，利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果.

15.(l)A=y

6

⑵2+&+3應(yīng)

【分析】(1)根據(jù)輔助角公式對(duì)條件sinA+6cosA=2進(jìn)行化簡(jiǎn)處理即可求解，常規(guī)方法

還可利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決;

(2)先根據(jù)正弦定理邊角互化算出B,然后根據(jù)正弦定理算出b,c即可得出周長(zhǎng).

【詳解】(1)方法一：常規(guī)方法(輔助角公式)

由sinA+百cosA=2可得』sinA+cosA=1,即sin（A+*）=1,

223

..小、/71/兀4jCI?.71兀口.兀

由于A￡（0,兀）=>A+不￡（不二），A+—=—,解得A

33332o

方法二：常規(guī)方法(同角三角函數(shù)的基本關(guān)系)

由sinA+J5cosA=2,又sin?A+cos2A=1,消去sinA得到:

4cos2A—4^3cosA+3=0<=^>（2cosA—^/3）2=0,解得cosA=

2

又A￡（0,7T）,故A=m

6

方法三：利用極值點(diǎn)求解

設(shè)/（%）=sinx+若cos%（0<%〈兀），貝U/（x）-2sin^x+^-j（0<x<兀），

顯然x時(shí)，/（x）max=2,注意到/（A）=sinA+\/5cosA=2=2sin（A+q）,

63

/（初四=/（人），在開區(qū)間（。，兀）上取到最大值，于是％=A必定是極值點(diǎn)，

即/'（A）=0=cosA-百sinA,BPtanA=,

又Ae（0,兀），故

6

方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）

^a=（l,y/3）,b=（sinA,cosA）,由題意，o-B=sinA+百cosA=2,

根據(jù)向量的數(shù)量積公式，力石=同即。5,石)=2cos標(biāo)，以

貝(12cos扇7=2ocos扇7=1,止匕時(shí)方石=0,即同向共線，

根據(jù)向量共線條件，1-cosA=A/3-sinA<^>tanA=，

3

TT

又Ae(0,7i),故4=自

方法五：利用萬能公式求解

設(shè)/=1211金，根據(jù)萬能公式，sinA+百cosA=2=3y+回二。

整理可得，產(chǎn)_2(2_?+(2_局=0=?_(2_我)2,

解得tang=f=2-亞根據(jù)二倍角公式，tanA=3=走，

21"3

又4￡(0,兀)，故A=f

(2)由題設(shè)條件和正弦定理

V2Z?sinC=csin23oy/2sinBsinC=2sinCsin5cosB，

又民Ce(0,7i),貝IsinBsinCA0,進(jìn)而cosB=變，得到8=工，

24

7兀

于是C=TC—A—5二—,

12

sinC=sin(7i—A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=-----------

4

2_b_c

由正弦定理可得，三=芻=三，即—===『？，

sinAsinBsinCsin—sin—sin——

6412

解得b=2c=A/6+A/2，

故AABC的周長(zhǎng)為2+指+3忘

16.(1)(e-l)x-y-l=O

⑵(1,+s)

【分析】(1)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；

(2)解法一：求導(dǎo)，分析“W0和。>0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得

"+lna-l>0,構(gòu)建函數(shù)解不等式即可;解法二:求導(dǎo)，可知((x)=e，-a有零點(diǎn)，可得。>0,

進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和極值，分析可得"+lna-l>0,構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.

【詳解】(1)當(dāng)a=l時(shí)，貝ijf(x)=e*-x-1,f'(x)-ex-I,

可得/(l)=e-2,r(l)=e-l,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(Le-2),切線斜率％=e-l,

所以切線方程為廣(e-2)=(e-l)(x-l),即(e-l)x—y—1=0.

(2)解法一：因?yàn)锳x)的定義域?yàn)镽,且尸(x)=e，-“，

若aW0,則/O0對(duì)任意xeR恒成立，

可知〃幻在R上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；

若a>0,令/'(x)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得x<ln”；

可知/(x)在(一》,Ina)內(nèi)單調(diào)遞減，在(ina,+oo)內(nèi)單調(diào)遞增，

則了(無)有極小值〃lna)=a-alna-q3,無極大值，

由題意可得：/(lna)=a-aln<7-a3<0,gpa2+lna-l>0,

構(gòu)建g(q)=/+lna-1,a>0,貝!]g(a)=2a+』>0,

a

可知g(a)在(0,+e)內(nèi)單調(diào)遞增,且g⑴=0,

不等式"+lna-l>0等價(jià)于g(a)>g⑴，解得“>1,

所以a的取值范圍為(L”)；

解法二：因?yàn)?*)的定義域?yàn)镽,且尸(無)=e=a,

若了⑺有極小值，則f\x)=e-a有零點(diǎn),

令f'(x)=e1-a=0,可得e*=a,

可知y=e，與有交點(diǎn)，則a>0,

若a>0,令/'(x)>0,解得尤>lna；令/(尤)<0,解得x<lna；

可知人>)在(-℃,In。)內(nèi)單調(diào)遞減，在(Ina,+co)內(nèi)單調(diào)遞增，

貝ij/(x)有極小值/(lna)=q-alna-/,無極大值，符合題意，

由題意可得：/(ln<7)=a-￡?lna-a3<0,即aZ+ma-i>。，

構(gòu)建g(a)="2+lna-1,a>0,

因?yàn)閯t>=42廣=111。-1在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

可知g(a)在(0,+功內(nèi)單調(diào)遞增,且g⑴=0,

不等式儲(chǔ)+in〃-1>0等價(jià)于g(a)>g(1),解得“>1,

所以a的取值范圍為(1,y).

17.(1)證明見解析

⑵8A/65

65

【分析】(1)由題意，根據(jù)余弦定理求得EF=2,利用勾股定理的逆定理可證得EFIAD,

貝結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；

(2)由(1),根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明PELED,建立如圖空間直角坐標(biāo)

系E-孫z,利用空間向量法求解面面角即可.

【詳解】(1)由AB=8,AD=5g,荏=|通，通=(通，

得AE=2百,AF=4,又/BAD=30",在中，

由余弦定理得EF=4AE2+AF2-2AE-AFcosABAD=J16+12-2-4-2⑥9=2,

所以4￡2+族2=4尸2,則AE_L￡F,即

所以EF，PE,EF，DE,又PEC\DE=E,PE、DEu平面刊圮，

所以砂工平面PDE,又尸Du平面PDE,

故EFJ.PD；

(2)連接CE,由ZADC=90°,ED=36,CD=3,則CE?=ED?+C?2=36,

在APEC中，PC=45PE=2?EC=6,EC2+PE2=PC2,

所以尸E_LEC,由(1)知PE_LEF,又ECC1EF=E,EC、EFu平面ABC。，

所以PE_L平面ABC。，又EOu平面A3CD,

所以PE_L￡D,則尸E,EF,ED兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系e一孫Z,

則E(0,0,0),P(0,0,2g),ZXO,3&,0),C(3,3^,0),F(2,0,0),A(0,—26,0),

由尸是AB的中點(diǎn)，得8(4,26,0),

所以定=(3,3上,-2回,PD=(0,3上,-2后,PB=(4,26,-2/),而=(2,0,-2廂，

設(shè)平面PC。和平面PBF的一個(gè)法向量分別為“=(%,y,Z]),機(jī)=(孫％,22),

貝工=占+豆%—任］=

J93320m-PB=4x2+2島2-2Gz2=0

、［n-PD=3y/3y-2y/3z=0

l1m-PF=2X2-2A/3Z2=0

JC

令yt=2,2=上,得％=0,Zj=3,y2=-1,z2=1,

所以3=(0,2,3),浣=(有,一LI),

1_765

所以k°s涌司=韶

V5.A/13~~65~

設(shè)平面PCD和平面PBF所成角為0,貝i|sin。=Jl-cos?。=如叵,

65

即平面PC。和平面P2P所成角的正弦值為雙匝.

(2)(i)由甲參加第一階段比賽；(i)由甲參加第一階段比賽;

【分析】(1)根據(jù)對(duì)立事件的求法和獨(dú)立事件的乘法公式即可得到答案;

(2)(i)首先各自計(jì)算出舄=口-(1-OP]/,與=[1-(1-4)31°3,再作差因式分解即

可判斷；(ii)首先得到x和y的所有可能取值，再按步驟列出分布列，計(jì)算出各自期望，

再次作差比較大小即可.

【詳解】(1)甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二

階段也至少投中1次，

二比賽成績(jī)不少于5分的概率尸=0_0.63)(1_0.53)=0.686.

(2)(i)若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為

^=[l-(l-p)3]^3,

若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為

p<q,

:.%一%=q3-(q-pqf-p3+(p-pqf

=(4-°)(/++/)+(°-q)?[(0-pqf+(q-pqf+(p-pq)(q-pq)\

=(P-q)(3p2q2_3P2q_3Pq2)

=3Pq(p_q)(pq_p_q)=3pq〈p-q)[(l-。)(1-4)-1]>。，

，辱〉吃,應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.

(ii)若甲先參加第一階段比賽，數(shù)學(xué)成績(jī)X的所有可能取值為0,5,10,15,

尸(X=O)=”p)3+[l_(l_p)3].(l—q)3,

P(X=5)=[1-(1-°產(chǎn)]c；q.(1-4,

P(X=10)=[1-(1-p)3](的(1-0,

產(chǎn)(X=15)=[l-(1-op}/,

E(X)=15[l—(l—p)3]q=15(p3—3p2+3p).q

記乙先參加第一階段比賽，數(shù)學(xué)成績(jī)￥的所有可能取值為0,5,10,15,

同理口F)=15(/-3q2+3g)-p

E(X)-E(Y)=15[pq(p+q)(p-q)-3Pq(p-q)]

=15(p-q)pq(p+q-3),

因?yàn)椤?lt;p<g,則p+q—3<1+1—3<O,

貝1Kp—4)。4(。+4—3)＞。，

?.?應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是計(jì)算出相關(guān)概率和期望，采用作差法并因式分解

從而比較出大小關(guān)系，最后得到結(jié)論.

19.⑴々=3,%=。

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)直接根據(jù)題目中的構(gòu)造方式計(jì)算出心的坐標(biāo)即可；

(2)根據(jù)等比數(shù)列的定義即可驗(yàn)證結(jié)論；

(3)思路一：使用平面向量數(shù)量積和等比數(shù)列工具，證明S”的取值為與"無關(guān)的定值即可.

思路二：使用等差數(shù)列工具，證明S”的取值為與“無關(guān)的定值即可.

由已知有〃z=52—42=9,故C的方程為尤2一V=%

當(dāng)A時(shí)，過片(5,4)且斜率為1的直線為〉=與，與d-y2=9聯(lián)立得到

2z2

解得尤=-3或x=5,所以該直線與C的不同于勺的交點(diǎn)為2(-3,0),該點(diǎn)顯然在C的左支

上.

故￡(3,0),從而.=3,y2=0.

(2)由于過匕(%,券)且斜率為上的直線為〉=左(*-無“)+%,與Y-y2=9聯(lián)立，得到方程

x2-(^(x-x?)+y?)2=9.

展開即得（1一用/_2耳％_丘“）尤一心y_9=0,由于匕（匕,%）已經(jīng)是直線

y=k（x-%）+%和f-y2=9的公共點(diǎn)，故方程必有一根無=%.

2%(%-您)

從而根據(jù)韋達(dá)定理，另一根x=,相應(yīng)的

\-k21-k2

y.+Ey—kX"

X-k1

2仇一x“一〃尤“y?+Ey相-2kx“、

所以該直線與C的不同于匕的交點(diǎn)為Q?,而注意到Q的

22

1-k1-k7

一（%一