2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考II卷專用）

2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考H卷專用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.已知集合4={-1,0,1,2},8=[-41},則AB=（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2）

2.（2-i）（l+3i）=（）

A.5+5iB.5-5i

C.-l+5iD.-l-5i

3.斜拉橋是將梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的橋，它由梁、斜拉索和塔柱三部分組成.如圖1,這是一座斜

拉索大橋，共有10對(duì)永久拉索，在索塔兩側(cè)對(duì)稱排列.如圖2,已知拉索上端相鄰兩個(gè)錨的間距

山耳=1,2,3,…,9）約為4m,拉索下端相鄰兩個(gè)錨的間距|A6/（i=L2,3,…,9）均為18m.最短拉索的錨片，

A滿足用=84m,|Q4,|=78m,以島/所在直線為x軸，所在直線為y軸，則最長(zhǎng)拉索所在直線的

圖2

4.己知平面向量帆=（4,3）,“=（2,0）,t=m+kn>若，）=?,貝（U=（）

25

A.—B.5C.2D.一

52

5.2023年杭州亞運(yùn)會(huì)期間,甲、乙、丙3名運(yùn)動(dòng)員與5名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰、丙不

排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（）

A.1120B.7200C.8640D.14400

6.已知角兀)，且sin(a—/7)+cos(c+/7)=0,sinasin/7=3cosccos￡,則tan(a-/?)=()

A.—2B.—C."D.2

22

7.已知正三棱錐P-ASC的外接球的表面積為3萬，若以，平面P8C,則三棱錐P-A5c的體積為()

A.-B.-C.—D.—

634824

8.函數(shù)“尤)和g(無)的定義域均為R,已知y=/(l+3x)為偶函數(shù)，y=g(x+l)+l為奇函數(shù)，對(duì)于WxeR,

均有/(x)+g(x)=f+3,則〃4)g(4)=()

A.66B.70C.124D.144

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.對(duì)于函數(shù)/(x)=-2sinpx+：］+；(xeR),有以下四種說法正確的是：()

A.函數(shù)的最小值是

B.圖象的對(duì)稱軸是直線尤若-展次”)

7T

C.圖象的振幅為2,初相為了

4

7717T

D.函數(shù)在區(qū)間一五，一耳上單調(diào)遞增

10.(多選題)“塹堵”“陽馬”和“鱉膈”是我國(guó)古代對(duì)一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術(shù)?商功》：“斜解立方,

得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉席”.一個(gè)長(zhǎng)方體沿對(duì)角面斜解(圖1),得到一模一樣的兩個(gè)

塹堵(圖2),再沿一個(gè)塹堵的一個(gè)頂點(diǎn)和相對(duì)的棱斜解(圖2),得一個(gè)四棱錐稱為陽馬(圖3),一個(gè)三棱

錐稱為鱉腌(圖4).若長(zhǎng)方體的體積為V,由該長(zhǎng)方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉席的體積分別為匕，曠2,

%，則下列選項(xiàng)正確的是()

圖1圖2

A.K+K+%=VB.V,=2V2C.

11.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(-2,-1)在拋物線C:尤2=_2pyS>0)上，過點(diǎn)2(0,1)的直線交拋物線C于P,Q

兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A,拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=lB.直線A3與拋物線C相切

C.0尸。0為定值3D.忸葉忸Q|>忸A(yù)「

12.若實(shí)數(shù)x,y滿足4/+6沖+9/=3,貝lj（）

A.4x+3yW20B.4x+3y>-l

C.4%2-6xy+9y2<8D.4%2-6xy+9y1>1

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（4,〃），且尸偌>6）=02,貝i]P（2<J<4）=.

14.已知函數(shù)/（尤）=lnx+無，過原點(diǎn)作曲線y=的切線/,則切線/的斜率為.

15.已知圓C：x2+y2+2x-4y+3=0,直線+l）y+4—4〃?=0,若在/上總存在點(diǎn)跖使得

過M點(diǎn)作的圓C的兩條切線互相垂直，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

22

16.已知橢圓C：，+4=1（。>1）的左，右焦點(diǎn)分別為耳，6,過點(diǎn)耳且垂直于無軸的直線與橢圓交于

A、8兩點(diǎn)，AB、班;分別交y軸于尸、。兩點(diǎn)，尸。居的周長(zhǎng)為4.過尸2作/鳥A4外角平分線的垂線與

直線54交于點(diǎn)N,則|ON|=.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

17.（（10分））已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，｛么｝是公比為2的等比數(shù)列，且%-4=%-

（1）證明：％=仇；

（2）若集合M=｛無|4=+4,14m450｝,求集合〃中的元素個(gè)數(shù).

18.（12分）在①sinB=6sinA;②6cosC+ccos3=2cos3這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并

解答.

問題：設(shè)，ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且51114+5111（3-4）=5111。，b=y/3,.

⑴求B;

（2）求一ABC的周長(zhǎng).

注：若選擇條件①、條件②分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

19.（12分）據(jù)調(diào)查，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，減少水資源的浪費(fèi)，計(jì)劃在本市試行居民生活用水

定額管理，即確定一個(gè)合理的居民用水量標(biāo)準(zhǔn)X（單位：噸），月用水量不超過X的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出X

的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解全市居民用水量分布情況，通過抽樣，獲得了〃戶居民某年的月均用水量（單

位：噸），其中月均用水量在（9,12］內(nèi)的居民人數(shù)為39人，并將數(shù)據(jù)制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（2）若該市政府希望使80%的居民月用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)尤噸，試估計(jì)x的值；

⑶在（2）的條件下，若實(shí)施階梯水價(jià)，月用水量不超過x噸時(shí)，按3元/噸計(jì)算，超出尤噸的部分，按5

元/噸計(jì)算.現(xiàn)市政府考核指標(biāo)要求所有居民的月用水費(fèi)均不超過70元，則該市居民月用水量最多為多少

噸？

20.（12分）如圖，在四棱錐P—A3CD中，底面ABC。是正方形，底面ABC。，E,尸分別是PC,

AD中點(diǎn).

⑴求證：DE//平面PFB；

（2）若AD=1,PB與平面ABC。所成角為45。，求平面與平面EFO夾角的余弦值.

22

21.（12分）已知雙曲線C：夕-}=1（。＞0力＞0）經(jīng)過點(diǎn)網(wǎng)4,6）,且浙近線方程為、=土氐.

（1）求C的方程；

⑵過點(diǎn)尸作y軸的垂線，交直線/：兀=1于點(diǎn)河，交y軸于點(diǎn)N.不過點(diǎn)夕的直線交雙曲線。于A、5兩點(diǎn),

s

直線P4,PB的斜率分別為尤，k2,若《+匕=2,求—.

3NAB

22.(12分)已知函數(shù)〃x)=ln(x+l)-合］

⑴當(dāng)a=I時(shí),求〃％)的極值;

(2)若〃上0,求。的值；

、、1.11/*

(3)求證：sin-------bsin-------F+sin——<ln2(nGN

n+1n+22n'

2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考II卷專用）

參考答案

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

9101112

ADACDABDAD

第口卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

31

13.0.3/—14.-+115.-2<m<1016.717

10e

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

17.（10分）

%+d—2Z?]=%+2d—4bl

【詳解】（1）證明：設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,則

q+d—2仄=8Z?]—(〃]+3d)

\d=2b

即4}，

[“I+2d-5b1=0

解得所以原命題得證.

(2)由(1)知所以％=%“+/o%x2J=%+0-1)4+4,

因?yàn)椤惝a(chǎn)0,所以m=2"?€[1,50],解得2WKVlog250+2=3+log225,

由24=15,25=32,故4<log225<5,gp7<3+log225<8,

所以滿足等式的解4=2,3,4,5,6,7.

故集合M中的元素個(gè)數(shù)為6.

18.（12分）

【詳解】（1）在-ABC中，C=n-A-B,

.,.sinC=sin（A+B）,

sinA+sin（B-A）=sinC,

/.sinA+sin（B-A）=sin（A+B）,

貝!JsinA+sinBcosA—cosBsinA=sinBcosA+cosBsinA,

化簡(jiǎn)得sinA=2sinAcosB.

在.ABC中，sinAwO,

,cosB=—.

2

又0<B<71,

3

22

（2）由余弦定理，得Z?2=片+。2—2〃ccos5,a+c-ac=3-

若選①，

sinB=百sinA,艮0=Ca,^a2+c2—ac=3

..a=l,c=2,

此時(shí)一ABC的周長(zhǎng)為3+

若選②，

bcosC+ccosB=2cosB,

1a2+b2-c2a2+C1-b2。1.

/.bx----------------hex--------------=2cos5D，BHPnfl=2ocosnD=2ox—=1,

lablac2

a?+c~-etc—3，

c=2,

此時(shí)—ABC的周長(zhǎng)為3+VL

19.（12分）

【詳解】（1）（0.015+0.025+0.050+0.065+0.085+0.050+0.020+0.015+0.005+a）x3=1,

1

/.Q---------.

300

39

用水量在（9,12］的頻率為0.065x3=0.195,；.〃=而函=200（戶）

(2)(0.015+0.025+0.050+0.065+0.085)x3=0.72<0.8,

(0.015+0.025+0.050+0.065+0.085+0.050)x3=0.87>0.8,

0.80—0.72

/.15+3x=16.6(噸)

0.87-0.72

(3)設(shè)該市居民月用水量最多為加噸，因?yàn)?6.6x3=49.8<70,所以

則w=16.6x3+(m-16.6)x5<70,解得mW20.64,

答：該市居民月用水量最多為20.64噸.

20.(12分)

【詳解】(1)設(shè)G為尸3中點(diǎn)，連接GEIG,

又瓦尸分別是PC、AD中點(diǎn)，

所以尸O=GEIIBC,

22

又底面A8CD是正方形，

所以FD=GE,GE//FD,故四邊形FDEG為平行四邊形，則DE〃FG,

由DEZ平面PFB,FGu平面尸/方，則?！?/平面尸F(xiàn)B.

(2)因?yàn)镻B與平面ABCQ所成角為45。，所以NPBZ)=45,以。為原點(diǎn)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,

由于AD=1,則尸

所以8(1,1,0),0(0,0,0),E0；與/已,。,。］,尸(0,0,0),

0；與，。尸=g,0,0；PB=(l,l,-=

所以。E=

m?DE=—yH———z=0

令機(jī)=（%,y,z）為平面E尸。的一個(gè)法向量，貝!22,

m-DF=—x=0

I2

令戶夜，即加=（0,忘,-1）,

n?PB=a+b-0c=0

令〃=（a,b,c）為平面尸的一個(gè)法向量，則<1,，

n?FB=—a+b=O

I2

.（五、

令a=2,即〃=2,-1,--,

12）

述

所以H叫卜硯「居點(diǎn)=55，

即平面PFB與平面瓦切夾角的余弦值上醫(yī)

55

21.（12分）

【詳解】（1）由m-《=°=〉=土3,即

—=A/3=>〃=3/,

abaa

將P（4,6）代入雙曲線方程得與-==4萬=12=>￡—亡=1；

ab412

^\。過7\也p

—

當(dāng)直線A8的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線AB：y二丘+加，人(%,%)](%2，%)，

聯(lián)立雙曲線方程]]2_9_12=0=（3/1r2—Ikmx—ni1-12=0,

其中/w3,A=4k2nli-4（3-^2）（-m2-12）＞On>+12—4左2>o,

2km-m2-12

X1+x2=3_k2,Xlx2=3_H,

易知勺+右=』■一f+叢］=2=2kxlx2+（加一6—4左）（苔+x2）-8（m-6）

%—4x2-4玉/-4（x,+X2）+16

（2左一2）菁％2+（%+2—4左）（玉+x2）-8m+16=0,

化簡(jiǎn)得"+2Am—8左之-12（^+m）+36=（m-2^-6）（m+4^-6）=0

所以機(jī)=2左+6或根=-Ak+6,

當(dāng)加=7k+6時(shí)，直線AB過尸，不符題意舍去，

故根=2左+6,貝!J止匕時(shí)直線AB:y=k（x+2）+6,過定點(diǎn)。（一2,6）.

如圖所示，易知M（L6）,N（0,6）,

則”=士上業(yè)，幽工

'SNABL\yB_yA\.\DN\IM2,

當(dāng)直線A3的斜率不存在時(shí)，可設(shè)AB:x=r,

22_________

與雙曲線方程聯(lián)立，則C-E=lny=±j3/-12,

412

可令A(yù)，,J3』-12"”,-也廣_12）,

小加，,431-12-6--3產(chǎn)-12-6\\

此時(shí)左+匕=----------+—---------=2=>/=-2,

1-f-4Z-4

此時(shí)A,3重合，不符題意舍去.

綜上可知

JNAB2

22.（12分）

【詳解】（1）當(dāng)。=1時(shí)，/（%）=In（X+1）--------,x>—lf

則13=之一湍廠屋產(chǎn)

當(dāng)xe（—1,0）時(shí),r（x）<0,〃x）單調(diào)遞減，

當(dāng)xe（O,網(wǎng)時(shí),f\x）>0,〃x）單調(diào)遞增,

所以/（x）在x=0處取得極小值0,無極大值；

（2）由題意得尸（x）=<j-/7二，"；）,

X+1（x+1）（x+1）

①當(dāng)a40時(shí)，/^)>0,所以f(x)在(一1,??)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x?T,O)時(shí)，/(x)</(O)=O,與矛盾；

②當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)xe(―l,a—1)時(shí)，/'(x)<。，/(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(a-L")時(shí)，/^)>O,/(x)單調(diào)遞增，

所以〃x)min='(aT)Tna-(aT)，

因?yàn)椤▁)zo恒成立，所以Ina-(a-l)NO,

iBg(a)=lna-(a-l),g,(67)=--l=^—

當(dāng)ae(O,l)時(shí)，g<a)>0,g(a)單調(diào)遞增，

當(dāng)。e(l,+co)時(shí)，g,(a)<0,g(a)單調(diào)遞減，

所以且⑷皿=86=°，所以Ina-(a-1)40,

又lna-(a-l)N0,

所以lna_(a_f)=O,

所以a=l；

(3)證明：先證sin尤<x(x>。)，

設(shè)/z(無)=sinx—x(x>0),貝U/zr(j;)=cosx—1<0,

所以/l(x)在區(qū)間(o,+8)上單調(diào)遞減，

所以Mx)</i(o)=o,即sin%<%,

叱…??

所以sm---1---Fsin---1--+-+sin,—1<----1---F----1---F-?+——1,

n+1〃+22nn+1n+22n

,、〒1]n+1

再證——-<ln-----,

n+1n

由(2)可知ln(x+l)N——,當(dāng)％=0時(shí)等號(hào)成立，

1

則Inl+lR十，

J1+1

n

即一--<In"I=In(n+1)-Inn,

n+1n

所以一^<ln（n+2）-ln（n+l）,,--—<ln（2n）-ln（2n-l）,

累加可得----1---------HH-----<In（2H）—InH=In2,

n+1n+22n

所以sin」一+sin--——b+sin—<In2.

n+1n+22n

2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考II卷專用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.已知集合人={-1,0,1,2},匹卜-利，則AB=（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2）

【答案】B

【詳解】B={X|X2<1}={X|-1<X<1）,

又人={-1,0,1,2},則A5={-1,0,1）.

故選：B.

2.（2-i）（l+3i）=（）

A.5+5iB.5-5i

C.-l+5iD.-l-5i

【答案】A

【詳解】（2-i）（l+3i）=2+6i-i+3=5+5i.

故選：A

3.斜拉橋是將梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的橋，它由梁、斜拉索和塔柱三部分組成.如圖1,這是一座斜

拉索大橋，共有10對(duì)永久拉索，在索塔兩側(cè)對(duì)稱排列.如圖2,已知拉索上端相鄰兩個(gè)錨的間距

|學(xué)工|。=1,2,3,…,9）約為4m,拉索下端相鄰兩個(gè)錨的間距=…,9）均為18m.最短拉索的錨A,

A滿足制=84m,|OA|=78m,以穌所在直線為x軸，所在直線為>軸，則最長(zhǎng)拉索所在直線的

斜率為（）

Pio索塔

B\O橋面4

圖1圖2

62

AB.D.±----

-4129

【答案】B

【詳解】由題意知｛。片｝,｛。6｝（，=1,2,3,「10）分別是公差為4和18的等差數(shù)列,

所以=31+9x4=84+9x4=120,儂（）|=|。叫+9*18=78+9*18=240,

所以%島=/=；,鼠閻=*=-1即最長(zhǎng)拉索所在直線的斜率為土;.

故選：B.

4.已知平面向量根二（4,3）,n=（2,0）,t=m+kn,若（私則k=（）

25

A.—B.5C.2D.一

52

【答案】D

【詳解】/=加+左〃=（4,3）+（2左,0）=（4+2左,3）,

m-t4(4+24)+9_25+8-

cos(m,t)=?||,=

H-H415H

/\ri't2(4+2左)4+2左

cos(=iiii

liM41

因?yàn)椋ㄒ玻?,所以cos（九，=cos",

25+844+2左解得左=|.

所以書=方,

故選：D

5.2023年杭州亞運(yùn)會(huì)期間，甲、乙、丙3名運(yùn)動(dòng)員與5名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰、丙不

排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（）

A.1120B.7200C.8640D.14400

【答案】B

【詳解】甲與乙相鄰有A；種不同的排法，將甲與乙看作是一個(gè)整體，與除丙外的5人排好，有A：種不同的

排法，

再將丙排入隔開的不在兩端的5個(gè)空中，有C；種不同的排法，

所以共有A；A：C；=7200種不同的排法.

故選：B.

6.已知角?兀)，且sin(a—/7)+cos(e+/?)=。，sinosin/?=3cosacos/,則tan(a-/7)=()

A.—2B.—C.—D.2

22

【答案】c

【詳解】因?yàn)閟in((z-￡)+cos(a+/7)=0,

所以sinacos/?-cosasm)3+cosacos/7一sinasin/?=0,

所以sinacos-cosasinp_1

cosacos/3-sinasin§

tancr-tan/71

貝I--------------二-1,

1-tancrtanf3

又sinasin(3=3cos6rcos/?,貝|tanatari#=3,

貝Utana-tan/3=2,

~/c、tana-tanB21

所以tan(a-B)=----------------=------=-

1+tancrtan/71+32,

故選：C.

7.已知正三棱錐尸-ABC的外接球的表面積為3?,若24,平面尸5C,則三棱錐P-ABC的體積為()

11-11

A.-B.-C.—D.—

634824

【答案】A

【詳解】設(shè)外接球半徑為R,則4萬我=3萬，所以R=t

2

設(shè)P3=PC=R4=a,因?yàn)镻AJL平面P2C,所以外,9，PALPC

所以A2=AC=0a，又因?yàn)锳ABC為正三角形，BC=J5a，:.PBLPC

即E4,PB,PC兩兩垂直.

將三棱錐補(bǔ)成以B4,PB,PC為鄰邊的正方體，則尺=立=且〃，得。=1,

22

所以三棱錐的體積為y=1x]xixi=J.

326

故選：A.

8.函數(shù)〃尤)和g(尤)的定義域均為R,已知y=/(l+3x)為偶函數(shù)，y=g(x+l)+l為奇函數(shù)，對(duì)于WxeR,

均有〃x)+g(x)=f+3,則〃4)g(4)=()

A.66B.70C.124D.144

【答案】B

【詳解】y=〃l+3x)為偶函數(shù)，即/(l+3x)=〃l-3x),

\/(x)的圖像關(guān)于x=l對(duì)稱，

-y=g(x+l)+l為奇函數(shù)，即g(x+l)+l=-g(-x+l)-l,

，g(尤)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對(duì)稱，

「對(duì)于VxeR,均有/(x)+g(x)=x2+3,

.?./(-2)+g(-2)=4+3=7,

/(x)的圖像關(guān)于x=l對(duì)稱，2)=〃4),

g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對(duì)稱，，g(-2)=-g(4)—2

.-./(4)-g(4)=9

又〃4)+g(4)=42+3=19

解得〃4)=14,g(4)=5,

“(4)g(4)=70.

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.對(duì)于函數(shù)〃x)=-2sin[3x+5]+g(xeR),有以下四種說法正確的是：()

3

A.函數(shù)的最小值是

B.圖象的對(duì)稱軸是直線尤等-專（左eZ）

7T

C.圖象的振幅為2,初相為了

4

77r7T

D.函數(shù)在區(qū)間-五，一§上單調(diào)遞增

【答案】AD

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃x）=-2sin，x+￡|+g（xeR）,則有：

JTTT7T2

對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)3x+—=—+2E,左EZ,BPx=一+—E,左EZ時(shí)，

42123

ia

函數(shù)”X）取得最小值為-2X1+；=-；,故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：令3x+^=^+E,AeZ,解得尤='+之,左eZ,

42123

函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是直線龍=^+g,keZ,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?（尤）=-2sin[3x+t）+g=-2sin[3X-，+2E）+TT+；=2sin13x-1+eZ,

所以圖象的振幅為2,

TT37c1

令一二---+2k7i,keZ,角星得k=—住Z,

442

jr

所以:不為初相，故c錯(cuò)誤；

4

對(duì)于選項(xiàng)D：4--+2far<3x+-<—+2fat^eZ,^—+—<x<—+—,k&Z,

242123123

即函數(shù)〃x）的遞增區(qū)間為白空凈等，丘Z,

77Tjr

當(dāng)人=T時(shí)，〃x）的遞增區(qū)間為-丘，-4，故D正確.

故選：AD.

10.（多選題）“塹堵”“陽馬”和“鱉膈”是我國(guó)古代對(duì)一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術(shù)?商功》：“斜解立方,

得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉腌”.一個(gè)長(zhǎng)方體沿對(duì)角面斜解（圖1）,得到一模一樣的兩個(gè)

塹堵（圖2）,再沿一個(gè)塹堵的一個(gè)頂點(diǎn)和相對(duì)的棱斜解（圖2）,得一個(gè)四棱錐稱為陽馬（圖3）,一個(gè)三棱

錐稱為鱉牌（圖4）.若長(zhǎng)方體的體積為V,由該長(zhǎng)方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉席的體積分別為匕，匕，

匕，則下列選項(xiàng)正確的是（）

【答案】ACD

【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為。涉,c,V=abc,

貝乂=—=—abc,K=—xabc=—abc,K=—x-xabc=-abc,

1222333326

故%+%+匕="c=V，K==3K，匕=2%,1則B錯(cuò)誤，ACD正確;

26

故選：ACD.

11.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（-2,-L）在拋物線C:x2=_2pyCp>0）上，過點(diǎn)2（0,1）的直線交拋物線C于P,Q

兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=lB.直線A3與拋物線C相切

C.OPOQ為定值3D.忸尸卜忸Q|>忸A(yù)「

【答案】ABD

【分析】選項(xiàng)A,由點(diǎn)4-2,-1）在拋物線上，代入方程待定系數(shù)，求出拋物線C方程，則得到準(zhǔn)線方程；

選項(xiàng)B,利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，與直線AB斜率相同即可說明相切；選項(xiàng)C,設(shè)出直線A3方程，聯(lián)立拋

物線方程，將。尸坐標(biāo)化韋達(dá)定理代入可證；選項(xiàng)D,利用弦長(zhǎng)公式用（1+左2）卜當(dāng)|表示，再代入韋達(dá)定

理，結(jié)合判別式A>0得出的Y的范圍，即可判斷得出答案.

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線C：丁=_2/（0>0）上，

則4=2p,解得p=2,

所以拋物線C：Y=-4y,

其準(zhǔn)線為>=1,故A正確；

對(duì)于B：令y（x）=-；,

貝Ur（x）=-；x，可得「（一2）=1，心=白昌=1,

即拋物線在A點(diǎn)處切線斜率與直線斜率相同,

所以直線AB與拋物線C相切，故B正確；

對(duì)于C：由題意可知，直線P。斜率存在，

設(shè)直線尸。的方程為>=h+1,2（石,％）,。（々,1），

,、［

y=kx+l2

聯(lián)乂方程｛2A，消去y得：X+4Ax+4=0,

［龍=-4y

可得A=16S—16>0,得左2>1,

且!石+尤2=-4k

［王馬=4

uunuum(V入2\

因?yàn)镺POQ=%%2+=叱2+卜;)一1I

=%々+讓=4+1=5,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：由題意可知忸=(_2_0y+(_]_l)2=8,

2

因?yàn)殁疃封頠|=J1+山|占-0卜y/1+k昆-0|=(1+陰跖21=4(1+左2),

則怛斗忸。=4(1+8>8,

所以忸斗忸°|>忸呢，故D正確.

2=3,則（)

A.4x+3y<2\/3B.4x+3y>-l

C.4x2-6xy+9y2<SD.4x2-6xy+9y2>1

【答案】AD

【分析】對(duì)于AB,4x2+6xy+9y2=^-(4x+3y)297i

+—y2=3,則7（4尤+3?43,從而可求出4x+3y的范圍

進(jìn)行判斷，對(duì)于c,利用2(2x+3y)2zo,化簡(jiǎn)變形結(jié)合已知條件可判斷，對(duì)于D,禾！]用2(2x-3420,化

簡(jiǎn)變形結(jié)合已知條件可判斷.

1271

【詳解】對(duì)于AB,因?yàn)?f+6盯+9y2=w(4x+3y)2+]y2=3,所以1(4尤+3y)243,當(dāng)且僅當(dāng)y=0時(shí)取

等號(hào)，

所以(4x+3y)2V12,所以-2若V4x+3yW2g,所以A正確，B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,因?yàn)?(2x+3y)、0,所以2(4尤2+12節(jié)+9冷20,當(dāng)且僅當(dāng)2x=-3y時(shí)取等號(hào)，

所以8尤2+24孫+18y2zo,tZ12x2+18^+27j2>4x2-6xy+9y2,

所以3(4尤2+6AV+9y2)>4x2-6xy+9y2,

所以4d一6孫+9y2<9,當(dāng)且僅當(dāng)2x=-3y時(shí)取等號(hào)，所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,因?yàn)?(2x-3y)2N0,所以2(4--12孫+9/)20,當(dāng)且僅當(dāng)2元=3y時(shí)取等號(hào)，

所以8尤2-24孫+18y220,所以12尤之一18孫+27〉？之4無？+6沖+9;/,

所以416盯+9小4八6；+”=],當(dāng)且僅當(dāng)2尤=3y時(shí)取等號(hào)，所以D正確，

故選：AD

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布N(4,〃)，且尸偌>6)=02,貝iJP(2<J<4)=.

3

【答案】0.3/—

10

【詳解】隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布N(4,〃)，且尸偌>6)=0.2,

所以尸(4<q<6)=0.5—尸(q>6)=0.3,

所以P(2<J<4)=尸(4<J<6)=0.3,

故答案為：0.3

14.己知函數(shù)〃x)=lnx+x,過原點(diǎn)作曲線y=的切線/,則切線/的斜率為.

【答案】-+1

e

【詳解】由題意得，/，(x)=1+l,設(shè)切點(diǎn)為*%,111%+不)，

則切線方程為y=(x-x0)+Inx0+尤0,

因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，

所以0=]H1](一毛)+Ln尤0+X。=Inx0—1,

解得x0=e,所以尸(無。)=尸(e)=Ll.

e

故答案為：-+1

e

15.已知圓C：x2+y2+2x-4y+3=0,直線/：(m+2)x+(加-l)y+4—4〃z=0,若在/上總存在點(diǎn)使得

過M點(diǎn)作的圓C的兩條切線互相垂直，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

【答案】-2<m<10

【詳解】根據(jù)題意，圓C：Y+y2+2x-4y+3=。即(x+l『+(y-2)2=2,

其圓心為(-1,2),半徑，=后,

如圖，設(shè)切點(diǎn)分別為4區(qū)連接AC,BC,MC,

由zi4Affi=ZM4C=ZMBC=90。，又由AC=BC=r=應(yīng),

則四邊形MACB為正方形且\MC\=yf2r=2,

若直線/上總存在點(diǎn)M使得過點(diǎn)M的兩條切線互相垂直,

卜（"？+2）+2（機(jī)-1）+4-4/M|

只需圓心(-1,2)到直線/的距離1=<2,

+2）2+（〃LIp

BP/7z2-8m-20<0,

解可得：-2<m<10,

即m的取值范圍為-2W?iW10；

故答案為：-2<m<10

22

16.已知橢圓C：=的左，右焦點(diǎn)分別為耳,過點(diǎn)片且垂直于X軸的直線與橢圓交于

aa—1

A、B兩點(diǎn)，A居、8居分別交y軸于P、Q兩點(diǎn)，尸。心的周長(zhǎng)為4.過尼作/&A月外角平分線的垂線與

直線54交于點(diǎn)N,則|0N|=.

【答案】V17

【詳解】因?yàn)槭?。〃A3,所以烏=曰三=作^=’，

AB\\AF2\\BF2\2

因?yàn)槭！甑闹荛L(zhǎng)為4,所以△ABg的周長(zhǎng)|明|+|隹|+忸用+|愿|=4a=8,

22

所以。=2,所以橢圓方程為\+1_=1,,2=4-3=1,所以￡（-1,0）,

直線垂直尤軸，設(shè)A（-l,%）,%>0,代入；+?=1,求得

所以|%2=|A小叱「=%4=字，

因?yàn)?瑞Af；外角平分線AT的垂線與直線BA交于點(diǎn)N,

553

所以|A列=|4V|=],WH|=-+-=4,

則ION『=I『+忸of=42+1=]7,所以QN卜.

故答案為：后.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

17.己知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，也｝是公比為2的等比數(shù)列，且

⑴證明：4=伉；

⑵若集合"=｛左14=冊(cè)+%,"加450｝,求集合V中的元素個(gè)數(shù).

【答案】（1）證明見解析

⑵6

2b2d_4b,

【詳解】⑴證明：設(shè)數(shù)列｛.端的公差為d,則14++d八_24、=超6+-（「3」

即尸，

解得4=4='，所以原命題得證.

（2）由（1）知4=%=￡,所以4=（/“,+/O%x2"i=q+0九一1）4+%,

因?yàn)?/0,所以m=2"?€0,50],解得24kWlog250+2=3+log225.

由24=15，2$=32,故4<log?25<5,gp7<3+log225<8,

所以滿足等式的解A=2,3,4,5,6,7.

故集合M中的元素個(gè)數(shù)為6.

18.在①sin8=6sinA;②6cosC+ccos3=2cos3這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并解答.

問題：設(shè)_ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且51114+$近（3-4）=5111。，b=拒,.

⑴求B；

（2）求ABC的周長(zhǎng).

注：若選擇條件①、條件②分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】⑴B=W

(2)3+6

【詳解】(1)在ABC中，C=7i-A—B,

.,.sinC=sin(A+B),

sinA+sin(B-A)=sinC,

/.sinA+sin(B-A)=sin(A+B),

則sinA+sinBcosA-cosBsinA=sinBcosA+cosBsinA,

化簡(jiǎn)得sinA=2sinAcosB.

在&ABC中，sinAw0,

cosB=—.

2

又?0<B<7T,

：.B=-.

3

(2)由余弦定理，得Z?2=a2+o2_2〃CCOS5,a2+c2—ac=3.

若選①，

sinB=\/3sinA,BPZ?=Ma，^a2+c2-ac=3

..a=l,c=2,

此時(shí)..ABC的周長(zhǎng)為3+VL

若選②，

Z?cosC+ccosB=2cosB,

,a2+b2-c2a2+c2-b2_1

:.bx--------------+cx---------------=2cosBD,艮0|JnQ=2ocosBD=2ox—=11,

lablac2

又—cic—