2024學(xué)年吉林省吉林市高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題及答案

★保密·啟用前★試題吉林地區(qū)普通高中2023—2024學(xué)年度高三年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題說(shuō)明：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求．1．已知全集U{12345}，A{1,3,4}，B，則A(CUB)A．{1,3}B．{24}C．{1,35}D．{245}z12iz，則的虛部是2．若復(fù)數(shù)ii5555D．A．B．C．3“mn”是“l(fā)nmlnn”的A．充分不必要條件C．充要條件B．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件4．已知a0.310.1,b0.310.2,c0.320.1，則A．a(chǎn)bcB．bacC．cbaD．cab11145．在等比數(shù)列{an}中，aaaaa，a，則123453411111a1a2a3a4a56411A．44B．試題1試題1611C．D．11f(x),g(x)的定義域均為R，f(x)fx)4，2且6．已知函數(shù)9f(i)g(i)g(x)g(x2)2，則i1A．24B．26C．28D．307．在直角三角形ABC中，A90，ABC的重心、外心、垂心、內(nèi)心分別為G,G,G,GAGABAC（其中i1,2,3,4取最大值時(shí)，i1234iiiiiA．1B．2C．3D．4f(x)2sin(x)在區(qū)間(0,)4上有且僅有個(gè)極大值點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的48．已知函數(shù)取值范圍為(,][,)(,][,)4444444D．4A．B．C．4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)f(x)logax(a0，且a的反函數(shù)為g(x)，則g(x)a(a0，且a且定義域是(0)xA．B．若f(9)2，則g(3)27C．函數(shù)f(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱D．函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為01232210．口袋中裝有大小質(zhì)地完全相同的白球和黑球各個(gè)，從中不放回的依次取出個(gè)球，事件A“取出的兩球同色”，事件B“第一次取出的是白球”，事件C“第二次取出的是白球”，事件D“取出的兩球不同色”，則試題2試題P(B)2BCB．與互斥A．ABADD．與互為對(duì)立C．與相互獨(dú)立11．等差數(shù)列a}b}STnn2n5(nN)，則nnn與n的前項(xiàng)和分別是與，且349A．C．B．D．n的最大值是n最小值是71712．中華人民共和國(guó)國(guó)旗是五星紅旗．國(guó)旗上每個(gè)五角星之所以看上去比較美觀，是因其圖形中隱藏著黃金分割數(shù)．連接正五邊形的所有對(duì)角線能夠形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正五角星，正五角星中每個(gè)等腰三角形都是黃金三角形．黃金三角形分兩種：一種是頂角為的等腰三角36108的等腰三角形，其一2形，其底邊與一腰的長(zhǎng)度之比為黃金比；一種是頂角為2ABCDE中，AG2，記腰與底邊的長(zhǎng)度之比為黃金比．如圖，正五角星AG,AFA，則BGFEA．AGFIHJB．AGAF51IAFCDAG在AF2C．D．上的投影向量為2三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．其中第15題的第一個(gè)空填對(duì)得2分，第二個(gè)空填對(duì)得3分．413．已知x1，則x的最小值為.x114．已知tan2，則sincos15．吉林市一中學(xué)有男生900人，女生600人．在“書(shū)香校園”活動(dòng)中，為了解全校學(xué)生的讀.試題3試題書(shū)時(shí)間，按性別比例分層隨機(jī)抽樣的方法抽取100名學(xué)生，其中男生、女生每天讀書(shū)時(shí)間的平均值分別為60分鐘和8010和15.結(jié)合上述數(shù)據(jù)估計(jì)該校學(xué)生每天讀書(shū)時(shí)間的平均值為分鐘，方差為．xe,x且x1,16．已知函數(shù)f(x)x1若函數(shù)g(x)f(x)mf(x)e4有4個(gè)2f(x),x且x1,零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．1710分）已知向量a(3sinx,cosx),b(cosx,cosx)．（Ⅰ）若a//b且x(0,)x，求；1（Ⅱ）若函數(shù)f(x)ab，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．21812分）已知函數(shù)f(x)2xlnx．（Ⅰ）求曲線yf(x)在(1,f處的切線方程；（Ⅱ）若對(duì)x(0)，f(x)ax2x恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2a1912分）{a}nSa2Snan1.的前項(xiàng)和為，，1已知數(shù)列nn（Ⅰ）請(qǐng)?jiān)冖佗谥羞x擇一個(gè)作答，并把序號(hào)填在答題卡對(duì)應(yīng)位置的橫線上，試題4試題{a}S的通項(xiàng)公式；②求；①求數(shù)列nnSn（Ⅱ）令b，求數(shù)列的前n項(xiàng)和T，并證明T1．n(an11)(an2nnn2012分）近幾年以華為為代表的中國(guó)高科技企業(yè)正在不斷突破科技封鎖，多項(xiàng)技術(shù)已經(jīng)“遙遙領(lǐng)Q產(chǎn)商用某國(guó)產(chǎn)光刻機(jī)生產(chǎn)的型芯片經(jīng)過(guò)十項(xiàng)指標(biāo)全面檢測(cè)后，分為Ⅰ級(jí)和Ⅱ級(jí)，兩種芯片的某項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布如圖所示：Ⅰ級(jí)品Ⅱ級(jí)品若只利用該指標(biāo)制定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的產(chǎn)品應(yīng)用于A型手機(jī)，小于或等于c的產(chǎn)品應(yīng)用于B型手機(jī)．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．Q70（Ⅰ）求型芯片Ⅰ級(jí)品該項(xiàng)指標(biāo)的第百分位數(shù)；（Ⅱ）當(dāng)臨界值c65QA時(shí)，求型芯片Ⅱ級(jí)品應(yīng)用于型手機(jī)的概率；c[50,60]，現(xiàn)有足夠多的Q型芯片Ⅰ級(jí)品、Ⅱ級(jí)品，分別應(yīng)用于A型手機(jī)、B型手機(jī)各1萬(wàn)部的生產(chǎn)：Q型芯片Ⅰ級(jí)品應(yīng)用于A型手機(jī)，其中該指標(biāo)小于等于臨界值c的芯片會(huì)導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失700Q型芯片Ⅱ級(jí)品應(yīng)用于B型手機(jī)，其中該指標(biāo)大于臨界值c的芯片，會(huì)導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失300元；Q型芯片Ⅰ級(jí)品，Ⅱ級(jí)品，會(huì)避免方案一的損失費(fèi)用，但檢測(cè)費(fèi)5試題試題用共需要101萬(wàn)元；請(qǐng)從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，選擇合理的方案．2112分）已知ΔABC的三個(gè)角,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，c(cosA3sinA)b2a，c2．（Ⅰ）求角C；ABBCΔABC的邊AC和BC上分別取點(diǎn)D,EΔCDE沿線段DE折疊到平面ABEC恰好落在邊ABPCExCE取最小值時(shí)，求ΔPBE的面積．CEDAPB2212分）f(x)emsinx．x已知函數(shù)f(x)在(0,)m上單調(diào)遞增，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅰ）若函數(shù)m1時(shí)，f(x)在()上存在唯一極小值點(diǎn)，且x0（Ⅱ）求證：當(dāng)試題6試題1f(x0)0．試題7吉林地區(qū)普通高中2023—2024學(xué)年度高三年級(jí)第一次模擬考試如圖2，當(dāng)函數(shù)yaxylogax(x,y)在直線上，且在該公共點(diǎn)處的yx與有一個(gè)公共點(diǎn)00xax0①0切線為yxax0得x0lnalnax0ax0eax0lna1②數(shù)學(xué)試題參考答案1aee一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．②中得即yax與ylogax的公共點(diǎn)為(，e)xe012345678ACBDACBC結(jié)合圖象得到以下結(jié)論：4205201（1）當(dāng)aee時(shí)，函數(shù)yax與ylogax的圖象無(wú)公共點(diǎn)（如圖）yax與ylogax的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)（如圖2）1（2）當(dāng)aee時(shí)，函數(shù)91ACD（3）當(dāng)1aee時(shí)，函數(shù)yax與ylogax的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)（如圖）（二）當(dāng)0a1時(shí)函數(shù)圖象呈現(xiàn)以下三種情況三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．其中第15題的第一個(gè)空填對(duì)得2分，第二個(gè)空填對(duì)得3分．255．．14．；16．e4,e4（注：或?qū)懗?e4me41）圖4圖5圖6yax與yx有一個(gè)公共點(diǎn)(x,y)在直線yx上，且在該點(diǎn)處有公切?7．教學(xué)建議：請(qǐng)教師們注意結(jié)合向量運(yùn)算掌握三角形的“四心”問(wèn)題．如圖5，當(dāng)函數(shù)a009．教學(xué)提示：建議教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生甄別a范圍不同時(shí)，指、對(duì)函數(shù)的位置關(guān)系．（一）當(dāng)a1時(shí)函數(shù)圖象呈現(xiàn)以下三種情況線（斜率為1），x0ax0①1ax0得x0lnalnax0ax0，代入②中得所以有，①代入②消ax0lna1②eeae11即yax與yx的公共點(diǎn)為(，)a1，x0eee結(jié)合圖象得到以下結(jié)論：（4）當(dāng)0e時(shí)，函數(shù)yax與ylogax的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)（如圖4）ae圖1圖2圖3高三年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題參考答案第1頁(yè)（共8頁(yè)）22(e)0(e)0（5）當(dāng)aee時(shí)，函數(shù)yax與ylogax的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)（如圖5）(t)t2e4，則(00或令（6）當(dāng)eea1時(shí)，函數(shù)ya與yx的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)（如圖6）x(e)02(e)02a故0me41或1em04．教學(xué)建議：（）關(guān)注《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中分層隨機(jī)抽樣的教學(xué)要求．（2）學(xué)生掌握推導(dǎo)過(guò)程．m的取值范圍是e4,e4綜上，實(shí)數(shù)方法二：．摘自《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》：e4e4②分層隨機(jī)抽樣式化為mt()，令(t)t(t0)，tt通過(guò)實(shí)例，了解分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)和適用范圍，了解分層隨機(jī)抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法．結(jié)合具體實(shí)例，掌握分層隨機(jī)抽樣的樣本均值和樣本方差．y(t)在(0)，(0)易知上單調(diào)遞增，(x2)ex1e4(e，41，(e2)(e)02且x且x1時(shí)，f(x)f(2)0．教學(xué)提示：當(dāng)，(x2其圖象大致如圖：．x且x21時(shí)，f(x)0x2時(shí)，f(x)0當(dāng)0me1或1e4m0時(shí)，滿足4當(dāng)0；當(dāng)e2e2tf(x)在，上單調(diào)遞減，在(2,)t11故當(dāng)當(dāng)由令上單調(diào)遞增，1或e21t2e2t2x時(shí)，f(x)取得極小值f(2)e2，2m的取值范圍是e4,e．4綜上，實(shí)數(shù)f(x)f(x)xf(x)時(shí)，．x1時(shí)，1時(shí)，；當(dāng)x；當(dāng)f(x)f(x)f(x)為奇函數(shù)．畫(huà)出圖象大致如下：解析式可知，四、解答題．【解析】g(x)022(x)(x)ee)40tf(x)，設(shè)，得f3xx2x01分a//bt得關(guān)于的方程t4(3xx)0即x)m24e40t,t式有兩個(gè)不等實(shí)根，12恒成立，設(shè)3x0te12,t2e2時(shí)，即m0，滿足題意，或x3分當(dāng)3e2t1t2e2t111x(0,)當(dāng)或,滿足題意，e2e2t2方法一：一次模擬考試數(shù)學(xué)試題參考答案第2頁(yè)（共8頁(yè)）xxf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[k,k](kZ)·················································10分或5分2636（注：少一個(gè)解扣1分，沒(méi)有角的范圍表述扣1分.）xx2x1分（注：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間沒(méi)有寫(xiě)成區(qū)間形式扣1分，沒(méi)有注明k的范圍扣1分．）30a//b．【解析】312xsin2x0122(x0)1分（Ⅰ）解：f(x)2x1sin(2x)3分f12)3分62所求切線斜率為，切點(diǎn)為y(2)(xyx1xy10分故所求切線方程為，即x(0,)2x(,)666（注：將切線方程表示成（Ⅱ）方法一：分離變量也給分）2x2x或6666lnxf(x)22x得a在(0,)恒成立6分由xx或5分x262（注：少一個(gè)解扣1分，沒(méi)有角的范圍表述扣1分.）lnx令g(x)(x0)，則ag(x)x211fxab3xx()2x6分12lnx（Ⅱ），g(e)0分22g(x)x331g(x)0時(shí)，sin2x2x0xeg(x)0xe當(dāng)故時(shí)，；當(dāng)22g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,)上單調(diào)遞減sin(2x)7分61g(x)故當(dāng)xe時(shí)，取最大值分2e2k2x2k(kZ)令26211故aa的取值范圍是[,)，即分2e2ekxk9分361注：表示成a不扣分）2e高三年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題參考答案第3頁(yè)（共8頁(yè)）方法二：分類討論1g(x)2ax,h(x)x22(0,)由f(x)2x得lnx0在恒成立····················································6分a，當(dāng)x時(shí)，0,lnxg(x)(x)，不合題意；7分02若若1212令g(x)2lnx(x，則g(x)20)xxa，g(x)(x)0a0時(shí)，g(x)0恒成立，g(x)在(0,)上單調(diào)遞減，當(dāng)曲線yg(x)與曲線y(x)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且在該公共點(diǎn)處的切線相同.又ga0，故當(dāng)x1時(shí)，()0，不合題意；gxg(2)4aln20設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)（或直接由，不合題意002當(dāng)x時(shí)，120,lnxgx0,y0ax0lnx0x0e或()0，不合題意）8分1解得則12ax0a1x02ea0時(shí)，令g(x)得x當(dāng)，2a1故當(dāng)a時(shí)，g(x)(x)112e令g(x)得x令g(x)得0x，,2a2a1a的取值范圍是[,)即12分112eg(x)在(0,)g(x)在()上單調(diào)遞增故上單調(diào)遞減，2a2a（教學(xué)建議：1.教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)第二問(wèn)的法三比較適合選填題；1111xg(x)g()ln0f(x)(kx)(k0)在教學(xué)中，教師應(yīng)注意強(qiáng)調(diào)的導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容；故當(dāng)故a時(shí)，取最小值分2a2a22a變式：若x[10],x2x)(ax恒成立，求的取值范圍.a11a的取值范圍是[,)，即2e2e．【解析】（Ⅰ）選擇①由已知可得：1a的取值范圍是[,)分綜上所述，2e方法三：數(shù)形結(jié)合22x得2lnx在(0,)n1Sa2時(shí)，1分12由f(x)恒成立分當(dāng)當(dāng)x0g(x)(x)aSSan1ann2且nN時(shí)，n令g(x),(x)lnx，則當(dāng)2時(shí)，恒成立nn1高三年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題參考答案第4頁(yè)（共8頁(yè)）an1an1n1an12a20T112分即分5分nNn1n2a的情況，扣2分；1（注：若（Ⅰ）選擇①，且未討論但若（Ⅱ）運(yùn)算正確，（Ⅱ）問(wèn)正常賦分．）關(guān)于劣構(gòu)問(wèn)題：a21又1不符合上式2,n1,劣構(gòu)問(wèn)題的常見(jiàn)形式：ann1,n且nN21）目標(biāo)界定不明確的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題；2）具有多種解法、途徑的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題；3）多個(gè)類似條件的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題；選擇②Snan14）問(wèn)題條件或數(shù)據(jù)冗余的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題；SnSn1S5）不同求解目標(biāo)的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題．條件的選擇原則：分nSn1Sn12S2即3分1）應(yīng)先分析所有條件，優(yōu)先選擇自己會(huì)做的、有把握的；nSn2）在有把握的前提下，優(yōu)先選擇難度最小的；Sa2又113）在選擇條件時(shí)，要通盤(pán)考慮條件對(duì)整個(gè)問(wèn)題的影響．教學(xué)建議：{S}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．nSn22n12n1）引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)的習(xí)得記憶轉(zhuǎn)向問(wèn)題的解決、策略的選擇，使數(shù)學(xué)應(yīng)用在思維層面真正發(fā)生；2）注重滲透不良結(jié)構(gòu)問(wèn)題，采用開(kāi)放式、互動(dòng)式的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)問(wèn)題情境的變化；3）注重變式訓(xùn)練，提高學(xué)生的辨析能力和應(yīng)變能力．(nN)5分Snan12na2nn21（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，Sn2n11n9分(an11)(an2(2n1)(2n1212nn11．【解析】Tbbbb（Ⅰ）設(shè)Q型芯片I級(jí)品該項(xiàng)指標(biāo)的第a百分位數(shù)為，n123n則該指標(biāo)在以下的概率為0.55，該指標(biāo)在以下的概率為0.8，因此該項(xiàng)指標(biāo)的第百分位數(shù)為a一定在[80,90)內(nèi)1111111)()()()3377212nn11110.0020.005100.0230.0250.025（a800.7分2n11（也可以用0.02100.02590a10.7）a86得高三年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題參考答案第5頁(yè)（共8頁(yè)）所以Q分型芯片I級(jí)品該項(xiàng)指標(biāo)的第百分位數(shù)為2sin(C)2sin(C)13分即66c時(shí)，（Ⅱ）當(dāng)臨界值C(0,)C(,66Q)C型芯片Ⅱ級(jí)品應(yīng)用于A型手機(jī)的概率為0.017065）0.056分662QA型、ByC5分3y700[0.002100.005（c50]300[0.01100.0360c]5.5cc[50,60](注：沒(méi)有角的范圍表述扣1分.)分（Ⅱ），C為等邊三角形3c時(shí)，y，所以當(dāng)2x,2x,m,mc56y，y當(dāng)時(shí)，當(dāng)c時(shí)，分在中，由余弦定理得2222B7分綜上：為降低芯片生產(chǎn)商的成本，當(dāng)臨界值c[50,56)時(shí)，選擇方案二；c時(shí)，選擇方案一和方案二均可；1當(dāng)臨界值當(dāng)臨界值x2m2x)22mx)即2c(56,60]時(shí)，選擇方案一．12分m22m44m（注：以上三種情況，少一種扣1分，沒(méi)有文字表述扣2分）x,m整理可得8分4m4m．【解析】x4m62(4m)6436（Ⅰ）由正弦定理得sinC(A3A)B2A1分當(dāng)且僅當(dāng)m423時(shí)取等號(hào)sinC(A3A)sin(AC)2A423時(shí)，取最小值436即sinC(A3A)CAsinC2A84310分此時(shí)即3AsinCC2A12123S23)43)為等邊三角形324.12分32A(0,)0，C3高三年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題參考答案第6頁(yè)（共8頁(yè)）2xf(x)0f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0時(shí)，恒成立，即x,2x,x2m0,)設(shè)x3ex當(dāng)時(shí)，m恒成立2x在中，由正弦定理得ex2exsin(x)e(xx)x7分設(shè)g(x)，4g(x)sinsinx2xx2x2x令g(x)0，則，令g(x)0，則xx即4243g(x)在(，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增3244x,)整理可得338分sin3323g(x)g()2e，m42e44當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值436x3m，0m02又2e43(0,2e4]當(dāng)取最小值436時(shí)，84