專題2.1 直線的傾斜角與斜率-解析版

專題2.1直線的傾斜角與斜率【知識點1直線的傾斜角與斜率】1．直線的傾斜角(1)傾斜角的定義①當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．②當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°.(2)直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.2．直線的斜率(1)直線的斜率把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα.(2)斜率與傾斜角的對應關(guān)系圖示傾斜角(范圍)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范圍)k＝0k>0不存在k<0(3)過兩點的直線的斜率公式過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).【注】(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者相互聯(lián)系．(2)涉及直線與線段有交點問題，常根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，利用斜率公式求解．【知識點2兩條直線平行的判定】1．兩條直線(不重合)平行的判定類型斜率存在斜率不存在前提條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對應關(guān)系l1∥l2?k1＝k2l1∥l2?兩直線的斜率都不存在圖示【知識點3兩條直線垂直的判定】1．兩條直線垂直的判定圖示對應關(guān)系l1⊥l2(兩直線的斜率都存在)?k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l2【注】判斷兩條直線是否垂直時：在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于－1即可，但應注意有一條直線與x軸垂直，另一條直線與x軸平行或重合時，這兩條直線也垂直．【題型1求直線的傾斜角】【例1】（2023-2024·高二上·山東濰坊·期中）已知直線經(jīng)過點和，則的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求解出的斜率，然后根據(jù)求解出傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，因為，所以且，所以，故選：C.【變式1-1】（2023-2024·高二上·山東名校聯(lián)盟·期中）直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，求得直線的斜率，得出，結(jié)合傾斜角的定義，即可求解.【詳解】由直線，可得直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，可得，因為，所以.故選：A.【變式1-2】（2023-2024·高二上·山東菏澤·期中）若直線l的一個方向向量是，則直線l的傾斜角是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線的方向向量可得直線的斜率，然后可求直線的傾斜角.【詳解】因為直線l的方向向量為，所以直線的斜率為，即直線的傾斜角的大小是.故答案為：.【題型2求直線的斜率】【例2】（2022-2023·高二上·山東煙臺·期中）已知過坐標原點的直線經(jīng)過點，直線的傾斜角是直線的2倍，則直線的斜率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得直線的傾斜角，從而求得直線的傾斜角，進而求得直線的斜率.【詳解】直線過原點和，所以斜率為，傾斜角為，所以直線的傾斜角為，斜率為.故選：A【變式2-1】（2023-2024·高二上·山東臨沂·期中）已知過點，的直線的傾斜角為60°，則實數(shù)______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線斜率的定義和兩點求斜率公式建立方程，解之即可.【詳解】由題意知，該直線的斜率為，解得.故答案為：.【變式2-2】（2023-2024·高二上·山東淄博·期中）經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線上任意兩點可求出斜率，從而求出傾斜角.【詳解】由題意得，所以直線的傾斜角為；故選：A【變式2-3】（2023-2024·高二下·山東泰安·期末）已知直線l與x軸的夾角為30°，則直線lA．33 B．3 C．33或?33 【答案】C【分析】分直線l與x軸正方向和負方向的夾角為30°兩種情況討論，從而確定直線l【詳解】①當直線l與x軸正方向的夾角為30°時，此時傾斜角為30°，斜率為②當直線l與x軸負方向的夾角為30°時，此時傾斜角為150°，斜率為綜上，直線l的斜率為33或?故選：C.【題型3已知直線的傾斜角或斜率求參數(shù)】【例3】（2023-2024·高二上·山東淄博·期中）若經(jīng)過點和的直線的斜率為2，則（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)斜率公式求解．【詳解】由題意，解得，故選：C．【變式3-1】（2023-2024·高二上·山東普大聯(lián)考·期中）過、兩點的直線的傾斜角為，那么實數(shù)__________.【答案】【解析】【分析】由傾斜角得斜率，由斜率公式可得參數(shù)值．【詳解】過兩點的直線的傾斜角為，則，又.故答案為：1.【變式3-2】（2023-2024·高二上·山東泰安·階段練習）已知直線過點和，直線過點和，若兩條直線的斜率相等，則的值為【答案】【分析】由斜率公式建立方程求解即可.【詳解】由直線過點，，得直線的斜率，又直線過點和，得直線的斜率，因為兩條直線的斜率相等，所以，解得.故答案為：.【變式3-3】（2022-2023·高二上·山東聊城·階段練習）（多選）已知點A(2，－1)，若在坐標軸上存在一點P，使直線PA的傾斜角為45°，則點P的坐標可能為（

）A．(3，0) B．(－3，0)C．(0，－3) D．(0，3)【答案】AC【分析】設(shè)x軸上點P(m，0)或y軸上點P(0，n)，解方程＝＝1，即得解.【詳解】解：設(shè)x軸上點P(m，0)或y軸上點P(0，n).由kPA＝1，得＝＝1，得m＝3，n＝－3.故點P的坐標為(3，0)或(0，－3).故選：AC【變式3-4】（2023-2024·高二上·山東煙臺·期中）設(shè)直線：，則的傾斜角的范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線表示出斜率，求出其范圍，再根據(jù)正切函數(shù)圖像求出傾斜角的范圍.【詳解】直線的斜率，設(shè)其傾斜角為，則，由正切函數(shù)圖像可知.故選：B.【題型4直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍】【例4】（2023-2024·高二上·山東泰安·階段練習）已知點，經(jīng)過點的直線與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A．或 B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線的傾斜角與斜率的變化關(guān)系求解.【詳解】

根據(jù)題意，，，根據(jù)圖象可得直線的斜率的取值范圍是或.故選：A【變式4-1】（2021-2022·高二上·山東濟寧·期中）設(shè)點，，直線過點且與線段相交，則的斜率的取值范圍是（

）A．k≥1或 B．k≥1或 C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜率公式，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.【詳解】如圖所示：因為，所以當直線過點且與線段相交時，的斜率的取值范圍是或，故選：B【變式4-2】（2023-2024·高二上·山東泰安·階段練習）已知兩點，，直線過點且與線段有交點，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出圖形，求出的斜率，數(shù)形結(jié)合可求得直線的斜率的取值范圍，再由斜率與傾斜角的關(guān)系可求出傾斜角的取值范圍.【詳解】如圖所示，直線的斜率，直線的斜率．由圖可知，當直線與線段有交點時，直線的斜率，因此直線的傾斜角的取值范圍是．故選：C【變式4-3】（2023-2024·高二上·山東威?！て谀┮阎c，，若直線與線段有公共點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】作出圖像，求斜率范圍即可.【詳解】若與線段有公共點，分析必過，且，，則.故選：B【題型5兩條直線平行的判定】【例5】（2022-2023·高二上·山東菏澤·階段練習）“直線l1與l2平行”是“直線l1與lA．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【解題思路】根據(jù)直線平行與斜率之間的關(guān)系，逐個選項進行判斷即可.【解答過程】充分性：直線l1與l2平行，但是l1和l2都沒有斜率，即當l1和l2都垂直于x軸時，l1必要性：直線l1與l2的斜率相等，則直線l1綜上，“直線l1與l2平行”是“直線l1故選：D.【變式5-1】（2023-2024·高二上·山東濰坊·期中）已知直線：，直線：，則直線與的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交 C．重合 D．相交或重合【答案】D【分析】分和兩種情況討論直線的位置關(guān)系.【詳解】直線可化為，所以當時，兩直線重合；當時，兩直線相交.故選：D【變式5-2】（2023-2024·高二上·山東招遠·階段測試）（多選）已知直線，則（

）A．直線的斜率為 B．直線的傾斜角為150°C．直線不經(jīng)過第三象限 D．直線與直線平行【答案】BCD【分析】由直線方程確定斜率、傾斜角判斷A、B；根據(jù)直線方程直接判定所過象限判斷C；由直線平行的判定判斷D.【詳解】由題設(shè)，若傾斜角，則，A錯，B對；顯然直線過第一、二、四象限，不過第三象限，C對；由，故與平行，D對.故選：BCD【題型6由兩直線平行求參數(shù)】【例6】（2023-2024·高二上·山東·期中）已知直線，，若，則的值為（）A. B.6 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】由兩直線平行的條件求解．【詳解】因為，所以，故選：C.【變式6-1】（2023-2024·高二上·山東菏澤·12月月考）已知直線與直線平行，則實數(shù)（

）A． B．1 C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)直線平行的條件求解即可.【詳解】由兩直線平行，得，解得.當時，直線與直線平行，故.故選：B.【變式6-2】（2023-2024·高二上·山東青島·期中）設(shè)，則“直線與直線平行”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)一般式中兩直線平行滿足的條件，即可求解.【詳解】若直線與直線平行，則，解得或，故“直線與直線平行”是“”的必要不充分條件，故選：B【題型7兩條直線垂直的判定】【例7】（2022-2023·高二上·山東濟濰坊·期中）直線，的斜率是方程的兩個根，則（）A. B.C.與相交但不垂直 D.與的位置關(guān)系不確定【答案】B【解析】【分析】結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系、兩直線的位置關(guān)系求得正確答案.【詳解】設(shè)直線的斜率分別是，依題意，所以.故選：B【變式7-1】（2022-2023·高二上·山東菏澤·階段測試）以點，，為頂點的三角形是（

）．A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】B【分析】求出三邊所在直線的斜率，由斜率判斷．【詳解】由題意，同理，，，，三角形是直角三角形．故選：B．【變式7-2】（2022-2023·高二上·山東濟南·階段測試）若與為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別是，斜率分別為，則下列命題正確的是（

）A．若斜率，則 B．若，則C．若傾斜角，則 D．若，則【答案】ABC【分析】根據(jù)兩直線傾斜角和斜率與直線平行和垂直的關(guān)系分別判斷選項，舉反例可判斷D.【詳解】對于A,若兩直線斜率，則它們的傾斜角，則，正確；對于B，由兩直線垂直的條件可知，若，則，正確；對于C,由兩直線平行的條件可知，若傾斜角，則，正確；對于D,若，不妨取，則，不滿足，不垂直，D錯誤，故選：【題型8由兩直線垂直求參數(shù)】【例8】（2023-2024·高二上·山東泰安·階段測試）若直線l的方程為，若直線l與直線m：垂直，則．【答案】1【分析】分別求出兩直線的斜率，根據(jù)垂直關(guān)系斜率相乘等于得出結(jié)果.【詳解】直線l的方程為的斜率為，直線m：的斜率為，由已知兩直線垂直得出，解得.故答案為：1.【變式8-1】（2023-2024·高二上·山東煙臺·階段測試）已知直線，互相垂直，則實數(shù)的值為（

）A． B．或 C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)兩一般式直線相互垂直求的值，注意驗證求得的值是否滿足直線方程.【詳解】因為直線，互相垂直，所以，所以或，當