構(gòu)造三角形中位線的六種常見輔助線（解析版） 八年級數(shù)學(xué)下冊專題訓(xùn)練

專題10構(gòu)造三角形中位線的六種常見輔助線（解析版）專題典例剖析及針對訓(xùn)練類型一連接第三邊構(gòu)造中位線【典例1】如圖，△ABC和△DBE是等邊三角形，A，B，D三點(diǎn)在一條直線上，M，N，O分別為CE，AD，AC的中點(diǎn)．（1）求證：OM＝ON；（2）求∠MON的度數(shù)．【思路引領(lǐng)】（1）連接AE，CD，利用SAS證明△ABE與△CBD全等，利用全等三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理解答即可；（2）根據(jù)三角形中位線定理和全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：（1）連接AE，CD，∵△ABC和△DBE是等邊三角形，∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°，∴∠ABC+∠CBE＝∠EBD+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，在△ABE與△CBD中，AB=CB∠ABE=∠CBD∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD，∵M(jìn)，N，O分別為CE，AD，AC的中點(diǎn)．∴OM是△CAE的中位線，ON是△ACD的中位線，∴OM=12AE，ON=∴OM＝ON；解：（2）∵OM是△CAE的中位線，ON是△ACD的中位線，∴OM∥AE，ON∥CD，∴∠COM＝∠CAE，∠AON＝∠ACD，∵△ABE≌△CBD，∴∠DCB＝∠EAB，∴∠COM+∠MON+∠AON＝∠CAE+∠MON+∠ACD＝∠CAB﹣∠EAB+∠MON+∠ACB+∠BCD＝60°﹣∠EAB+∠MON+60°+∠EAB＝180°，∴∠MON＝60°．【總結(jié)提升】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明△ABE與△CBD全等解答．【變式訓(xùn)練】1．（2022春?舞鋼市期末）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，點(diǎn)M、N分別為線段BC、AB上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E、F分別為DM、MN的中點(diǎn)，則EF長度的可能為（）A．2 B．5 C．7 D．9【思路引領(lǐng)】根據(jù)三角形的中位線定理得出EF=12DN，從而可知DN最大時，EF最大，因為N與B重合時DN最大，N與A重合時，DN最小，從而求得【解答】解：連接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF=12∴DN最大時，EF最大，DN最小時，EF最小，∵N與B重合時DN最大，此時DN＝DB=A∴EF的最大值為6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF長度的可能為5；故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了三角形中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023?鄖陽區(qū)模擬）如圖，已知長方形ABCD，R，P分別是DC，BC上的點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AP，RP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在BC上從點(diǎn)B向點(diǎn)C移動，而點(diǎn)R不動時，那么下列結(jié)論成立的是（）A．線段EF的長逐漸增大 B．線段EF的長逐漸減少 C．線段EF的長不變 D．線段EF的長先增大后變小【思路引領(lǐng)】因為R不動，所以AR不變．根據(jù)三角形中位線定理可得EF=12AR，因此線段【解答】解：連接AR．∵E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，∴EF為△APR的中位線，∴EF=12∴線段EF的長不改變．故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了三角形的中位線定理，只要三角形的邊AR不變，則對應(yīng)的中位線的長度就不變．3．（2023春?江夏區(qū)校級月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)G，H分別是AB，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F在對角線AC上，且AE＝CF．（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；（2）連接BD交AC于點(diǎn)O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的長．【思路引領(lǐng)】（1）證△AGE≌△CHF（SAS），得GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，則∠GEF＝∠HFE，得GE∥HF，即可得出結(jié)論；（2）先由平行四邊形的性質(zhì)得出OB＝OD＝7，再證出AE＝OE，可得EG是△ABO的中位線，然后利用中位線定理可得EG的長度．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠GAE＝∠HCF，∵點(diǎn)G，H分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AG＝CH，在△AGE和△CHF中，AG=CH∠GAE=∠HCF∴△AGE≌△CHF（SAS），∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，∴∠GEF＝∠HFE，∴GE∥HF，又∵GE＝HF，∴四邊形EGFH是平行四邊形；（2）解：連接BD交AC于點(diǎn)O，如圖：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BD＝14，∴OB＝OD＝7，∵AE＝CF，OA＝OC，∴OE＝OF，∵AE+CF＝EF，AE＝CF，∴2AE＝EF＝2OE，∴AE＝OE，又∵點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，∴EG是△ABO的中位線，∴EG=12OB【總結(jié)提升】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線定理等知識點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形判定與的性質(zhì)及三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．4．如圖，△ABC的中線BD、CE相交于點(diǎn)O，F(xiàn)、G分別是BO、CO的中點(diǎn)．請你探索DG與EF的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【思路引領(lǐng)】連接AO．先由CE是△ABC的中線，F(xiàn)是B0的中點(diǎn)，得出EF是△ABO的中位線，根據(jù)三角形中位線定理得出EF∥AO，EF=12AO，同理得到DG∥AO，DG=12AO，再由平行公理推論得出DG∥EF，由等量代換得到【解答】解：DG∥EF，且DG＝EF．理由如下：連接AO．∵CE是△ABC的中線，F(xiàn)是B0的中點(diǎn)，∴EF是△ABO的中位線，∴EF∥AO，EF=12同理：DG∥AO，DG=12∴DG∥EF，且DG＝EF．【總結(jié)提升】本題考查了三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，同時考查了三角形的中線、中點(diǎn)的定義，主要檢查學(xué)生能否熟練的運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理，題目比較典型，難度適中，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．類型二連接兩中點(diǎn)構(gòu)造中位線【典例2】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，P是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)，∠BAC＝80°，∠ACD＝20°．（1）求∠PMN的度數(shù)；（2）求PMMN【思路引領(lǐng)】（1）連接PN，由三角形中位線定理得PM∥CD，PM=12CD，PN∥AB，PN=12BC，再證∠MPN＝120°，然后證（2）連接PN，過點(diǎn)P作PE⊥MN于點(diǎn)E，設(shè)PE＝x，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得PM＝2PE＝2x，EN＝EM=3x，則MN＝2EM＝23x【解答】解：（1）如圖1，連接PN，∵點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，∴PM是△ADC的中位線，PN是△ABC的中位線，∴PM∥CD，PM=12CD，PN∥AB，PN=∴∠MPA＝∠ACD＝20°，∠NPC＝∠BAC＝80°，∴∠APN＝180°﹣∠NPC＝180°﹣80°＝100°，∴∠MPN＝∠MPA+∠APN＝20°+100°＝120°，又∵AB＝CD，∴PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM=12（180°﹣∠MPN）（2）如圖2，連接PN，過點(diǎn)P作PE⊥MN于點(diǎn)E，則∠PEM＝90°，設(shè)PE＝x，由（1）可知，PM＝PN，∠PMN＝30°，∴PM＝2PE＝2x，EN＝EM=PM∴MN＝2EM＝23x，∴PMMN【總結(jié)提升】本題考查了三角形中位線定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，D，E為BC上的兩點(diǎn)，連接DN，EM，線段DN，EM相交于點(diǎn)G．若AB＝5，BC＝8，DE＝4，則△DGE的面積為（）A．1 B．32 C．2 D．【思路引領(lǐng)】連接MN、NE、MD，過A作AF⊥BC于F，交MN于H，由三角形中位線定理得MN=12BC＝4，MN∥BC，再證四邊形MNED是平行四邊形，然后由三角形中位線定理得FH＝AH=12AF=32，求出平行四邊形【解答】解：連接MN、NE、MD，過A作AF⊥BC于F，交MN于H，如圖所示：∵M(jìn)，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴MN是△ABC的中位線，∴MN=12BC＝4，MN∥∵DE＝4，∴MN＝DE，∴四邊形MNED是平行四邊形，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF=12∴AF=A∵M(jìn)N∥BC，M是AB的中點(diǎn)，∴MH是△ABF的中位線，∴FH＝AH=12AF∴平行四邊形MNED的面積＝DE×FH＝4×3∴△DGE的面積=14平行四邊形MNED的面積故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握三角形中位線定理，證明四邊形MNED為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．類型三取中點(diǎn)構(gòu)造中位線（1）直接取一邊中點(diǎn)【典例3】（2023春?上城區(qū)期中）如圖，在?ABCD中，∠ABC和∠DAB的角平分線BE與AE交于點(diǎn)E，且點(diǎn)E恰好在邊CD上．（1）求證：E為CD的中點(diǎn)；（2）若AD＝3，BE＝4，求AE的長；（3）點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，連接CF，交BE于點(diǎn)G，求證：BG＝3EG．【思路引領(lǐng)】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AD＝BC，AB∥CD，再∠DEA＝∠BAE，再證∠DAE＝∠DEA，得ED＝AD，同理BC＝EC，則ED＝EC，即可得出結(jié)論；（2）證∠AEB＝90°，再由勾股定理即可得出結(jié)論；（3）取BE的中點(diǎn)H，連接FH，由三角形中位線定理得FH∥AB，且AB＝2FH，再證△CEG≌△FHG（AAS），得EG＝HG，即可解決問題．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AB∥CD，∴∠DEA＝∠BAE，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠DAE＝∠DEA，∴ED＝AD，同理：BC＝EC，∴ED＝EC，∴E為CD的中點(diǎn)；（2）解：由（1）可知，ED＝EC＝AD＝3，∴CD＝2ED＝6，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝6，AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵BE平分∠ABC，AE平分∠DAB，∴∠CBE＝∠ABE=12∠ABC，∠DAE＝∠BAE=1∴∠BAE+∠ABE=12∠DAB+12∠ABC=12（∠∴∠AEB＝180°﹣（∠BAE+∠ABE）＝180°﹣90°＝90°，∴AE=AB2即AE的長為25；（3）證明：如圖，取BE的中點(diǎn)H，連接FH，則BH＝EH，∵點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，∴FH是△ABE的中位線，∴FH∥AB，且AB＝2FH，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠CEG＝∠FHG，由（1）可知，CD＝2CE，∴FH＝CE，又∵∠CGE＝∠FGH，∴△CEG≌△FHG（AAS），∴EG＝HG，∴EH＝2EG，∵BH＝EH，∴BH＝2EG＝2HG，∴BG＝3EG．【總結(jié)提升】本題是四邊形綜合題目，考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及三角形中位線定理等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．【變式訓(xùn)練】1．（2021?南陽模擬）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是對角線AC，BD的中點(diǎn)，則EF的長為（）A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5【思路引領(lǐng)】延長FE交CD于點(diǎn)G，由點(diǎn)E，F(xiàn)分別是對角線AC，BD的中點(diǎn)，從而得FG是△BCD的中位線，則有FG＝2.5，再由AD∥BC，則有FG∥AD，EG是△ACD的中位線，則有EG＝1，從而可求EF的長．【解答】解：∵取DC中點(diǎn)G，連結(jié)FG、EG，如圖所示：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是對角線AC，BD的中點(diǎn)，∴FG∥BC，EG∥AD，∵AD∥BC，∴EG∥BC，F(xiàn)G∥EG，∴E、F、G三點(diǎn)共線，∴FG是△BCD的中位線，∴FG=12∵AD∥BC，∴EG∥AD，∴EG是△ACD的中位線，∴EG=12∴EF＝FG﹣EG＝1.5．故選：B．【總結(jié)提升】本題主要考查三角形的中位線定理，平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是對三角形的中位線定理的掌握與靈活運(yùn)用．2．如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，AD＝2，BC＝4，則EF的取值范圍是1≤EF＜3．【思路引領(lǐng)】根據(jù)三角形中位線定理得出FG和EG長度，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出EF的取值即可．【解答】解：設(shè)AB的中點(diǎn)為G，分別連接EG，F(xiàn)G，∵F是BD的中點(diǎn)，∴FG∥AD，且FG=12∵E是BC的中點(diǎn)，∴EG∥BC，且EG=12△EFG中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，EG﹣GF＜EF＜EG+GF，當(dāng)E，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線時，EF＝EG﹣GF＝1，即：1≤EF＜3．【總結(jié)提升】此題考查的是三角形中位線的定理，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．3．（2023?景縣校級模擬）如圖，在△ABC中，BC＝3，將△ABC平移5個單位長度得到△A1B1C1，點(diǎn)P，Q分別是AB，A1C1的中點(diǎn)，PQ的值不可以是（）A．4 B．5 C．6 D．7【思路引領(lǐng)】取A1B1的中點(diǎn)P′，連接QP′、PP′，如圖，根據(jù)平移的性質(zhì)得到PP′＝5，B1C1＝BC＝3，再利用P′Q為△A1B1C1的中位線得到P′Q＝1.5，利用三角形三邊的關(guān)系得到∴PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（當(dāng)且僅當(dāng)P、P′、Q三點(diǎn)共線時取等號），從而得到答案．【解答】解：取A1B1的中點(diǎn)P′，連接QP′、PP′，如圖，∵△ABC平移5個單位長度得到△A1B1C1，∴PP′＝5，B1C1＝BC＝3，∵Q是A1C1的中點(diǎn)，P′為A1B1的中點(diǎn)，∴P′Q為△A1B1C1的中位線，∴P′Q=12B1C∴PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（當(dāng)且僅當(dāng)P、P′、Q三點(diǎn)共線時取等號），即5﹣1.5≤PQ≤5+1.5，∴PQ值范圍為3.5≤PQ≤6.5．故選：D．【總結(jié)提升】本題考查了平移的性質(zhì)：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動后得到的，這兩個點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)．連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段平行（或共線）且相等．連接對角線，再取對角線中點(diǎn)【典例4】（2022春?青山區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，CD的中點(diǎn)，且AD＝6，BC＝10，則線段EF的長可能為（）A．7 B．8.5 C．9 D．10【思路引領(lǐng)】連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HF、HE，根據(jù)三角形中位線定理得到EH=12AD＝3，F(xiàn)H=【解答】解：連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HF、HE，∵點(diǎn)E，H分別是邊AB，BD的中點(diǎn)，∴EH是△ABD的中位線，∴EH=12同理可得：FH=12∴FH﹣EH≤EF≤FH+EH，即2≤EF≤8，故選：A．【總結(jié)提升】本題考查的是三角形中位線定理、三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．類型四延長一邊構(gòu)造中位線【典例5】（2022春?新洲區(qū)期中）如圖，△ABC中，AD是中線，AE是角平分線，CF⊥AE于F，AB＝12，AC＝6，求DF的長．【思路引領(lǐng)】延長CF交AB于G，證明△GAF≌△CAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG＝AC＝6，CF＝FG，求出BG，根據(jù)三角形中位線定理計算即可．【解答】解：延長CF交AB于G，∵AE是角平分線，∴∠GAF＝∠CAF，在△GAF和△CAF中，∠GAF=∠CAFAF=AF∴△GAF≌△CAF（ASA），∴AG＝AC＝6，CF＝FG，∴BG＝AB﹣AG＝6，∵CF＝FG，CD＝DB，∴DF=12【總結(jié)提升】本題考查的是三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．【變式訓(xùn)練】1．如圖，AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，D、B、C在一條直線上，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)．（1）求證：BF∥CE；（2）若AB＝2，DE＝5，求BF的長．【思路引領(lǐng)】（1）延長AB交CE于G，求出△ACG是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AB＝BG，然后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半證明；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CE、CG，再求出GE，然后求解即可．【解答】（1）證明：如圖，延長AB交CE于G，∵AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，∴△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴△ACG也是等腰直角三角形，∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AG，∴AB＝BG，∵點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，∴BF是△AGE的中位線，∴BF∥CE；（2）解：∵AB＝2，DE＝5，∴CG＝AC=2AB＝22CE=2DE＝52∴GE＝CE﹣CG＝52?22=3∵BF是△AGE的中位線，∴BF=12GE【總結(jié)提升】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)與定理并作輔助線構(gòu)造出以BF為中位線的三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022春?東光縣期中）如圖，在△ABC中，D是BC中點(diǎn)，AE平分∠BAC，AE⊥BE．（1）DE與AC的位置關(guān)系是DE∥AC；（2）若AB＝3，AC＝5，則DE＝1．【思路引領(lǐng)】（1）延長BE交AC于F，證明△AEB≌△AEF，根據(jù)三角形中位線定理解答；（2）根據(jù)全等三角形的中線得到AF＝AB＝3，BE＝EF，進(jìn)而求出FC，根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【解答】（1）解：DE∥AC，理由如下：延長BE交AC于F，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE，∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠AEF＝90°，在△AEB和△AEF中，∠BAE=∠FAEAE=AE∴△AEB≌△AEF（ASA），∴BE＝EF，∵D是BC中點(diǎn)，∴DE是△BFC的中位線，∴DE∥FC，即DE∥AC；故答案為：DE∥AC；（2）解：由（1）可知∴△AEB≌△AEF（ASA），∴AF＝AB＝3，BE＝EF，∴FC＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，∵BD＝DC，BE＝EF，∴DE=12故答案為：1．【總結(jié)提升】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．類型五延長兩邊構(gòu)造中位線【典例6】（2022秋?招遠(yuǎn)市期末）如圖，在△ABC中，CE是中線，CD是角平分線，AF⊥CD交CD延長線于點(diǎn)F，AC＝9，BC＝4，則EF的長為2.5．【思路引領(lǐng)】延長AF、BC交于點(diǎn)G，證明△ACF≌△GCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CG＝AC．進(jìn)而求出BG，根據(jù)三角形的中位線求出EF的長．【解答】解：延長AF、BC交于點(diǎn)G，∵CD是△ABC的角平分線，∴∠ACF＝∠BCF，在△ACF和△GCF中，∠ACF=∠GCFCF=CF∴△ACF≌△GCF（ASA），∴CG＝AC＝9，F(xiàn)為AG的中點(diǎn)，∴EF為△ABG的中位線，BG＝CG﹣CB＝5，∴EF=12故答案為：2.5．【總結(jié)提升】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖1，在△AFG中，F(xiàn)D、GE分別是△AFG的外角平分線，AD⊥FD于點(diǎn)D，AE⊥GE于點(diǎn)E．（1）探究證明：①DE與FG的位置關(guān)系是DE∥FG；②判斷DE與AF、AG、FG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）問題解決：如圖2，在△ABC中，AD⊥BD于點(diǎn)D，∠BAD＝∠CAD，AB＝6cm，AC＝10cm，點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，直接寫出DH的長．【思路引領(lǐng)】（1）①延長AD交HL于點(diǎn)B，延長AE交HL于點(diǎn)C．根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)可得AD＝BD，AF＝BF．AE＝CE，AG＝CG．再由三角形中位性質(zhì)可得結(jié)論；②根據(jù)線段的和差關(guān)系及三角形中位線定理可得結(jié)論；（2）延長BD交AC于F，根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)及三角形中位性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】解：（1）①DE∥FG．延長AD交HL于點(diǎn)B，延長AE交HL于點(diǎn)C．∵DF平分∠AFH，DF⊥AD，∴∠AFD＝∠BFD，∠ADF＝∠BDF＝90°．∵DF＝DF，∴△ADF≌△BDF（ASA），∴AD＝BD，AF＝BF．同理AE＝CE，AG＝CG．∵AD＝DB，AE＝CE，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥FG．故答案為：DE∥FG；②DE=12（AF+AG+∵AF＝BF，AG＝CG，∴AF+AG+FG＝BF+CG+FG＝BC．∵DE是△ABC的中位線，∴DE=12BC=12（AF+（2）延長BD交AC于F，如圖：則∠BDA＝∠ADF＝90°．∵DA＝DA，∠BAD＝∠DAF，∴△ABD≌△AFD（ASA），∴AB＝AF＝6cm，BD＝DF．∵BD＝DF，H是BC的中點(diǎn)，∴DH是△BCF的中位線，∴DH=12∵AC＝10cm，AF＝6cm，∴FC＝4cm，∴DH＝2cm．【總結(jié)提升】此題考查的是三角形綜合題意，涉及到了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．類型六作平行線或倍長中線先構(gòu)造8字全等再構(gòu)造中位線【典例7】（2023春?遵義期末）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞7，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且BD＝CE＝7，連接DE，點(diǎn)M，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，則線段MN的長為722【思路引領(lǐng)】作CH∥AB，連接DN，延長DN交CH于H，連接EH，首先證明CH＝BD，∠ECH＝90°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位線定理即可．【解答】解：作CH∥AB，連接DN并延長交CH于H，連接EH，∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∠ECH＝∠A＝90°，在△DNB和△HNC中，∠B=∠NCHBN=CN∴△DNB≌△HNC（ASA），∴CH＝BD＝7，DN＝NH，∵CE＝7，∴EH=CH2∵DM＝ME，DN＝NH，∴MN=12EH故答案為：72【總結(jié)提升】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，正確添加輔助線、掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，AD是△ABC的角平分線，AD＝AC，BE⊥AD于E，AC，BE的延長線交于點(diǎn)F．（1）求證：BE＝EF．（2）求證：AB﹣AC＝2DE．【思路引領(lǐng)】（1）想辦法證明AB＝AF，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)即可解決問題．（2）作FH∥DE交BD的延長線于H．利用三角形的中位線定理證明FH＝2DE，再證明CF＝FH即可解決問題．【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAB＝∠EAF，∵AE⊥BF，∴∠AEB＝∠AEF＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝90°，∠EAF+∠AFE＝90°，∴∠ABE＝∠AFE，∴AB＝AF，∵AE⊥BF，∴BE＝EF．（2）證明：作FH∥DE交BD的延長線于H．∵BE＝EF，DE∥FH，∴BD＝DH，∴FH＝2DE，∵AD＝DC，∴∠ADC＝∠ACD，∵AD∥FH，∴∠ADC＝∠H，∵∠ACD＝∠FCH，∴∠H＝∠FCH，∴CF＝FH＝2DE，∵AB＝AF，∴AB﹣AC＝AF＝AC＝CF＝FH＝2DE．【總結(jié)提升】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．專題典例剖析及針對訓(xùn)練1．（2021?安徽二模）如圖．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是邊AB的中點(diǎn)，E是邊BC上一點(diǎn)．若DE平分△ABC的周長，則DE的長為（）A．1 B．32 C．52 【思路引領(lǐng)】延長BC至M，使CM＝CA，連接AM，作CN⊥AM于N，根據(jù)題意得到ME＝EB，根據(jù)三角形中位線定理得到DE=12AM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ACN，根據(jù)正弦的概念求出【解答】解：延長BC至M，使CM＝CA，連接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周長，∴ME＝EB，又AD＝DB，∴DE=12AM，DE∥∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝120°，∵CM＝CA，∴∠ACN＝60°，AN＝MN，∴AN＝AC?sin∠ACN=3∴AM=3∵BD＝DA，BE＝EM，∴DE=3故選：B．【總結(jié)提升】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形的知識，掌握三角形中位線定理、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．如圖，點(diǎn)B為AC上一點(diǎn)，分別以AB，BC為邊在AC同側(cè)作等邊△ABD和等邊△BCE，點(diǎn)P，M，N分別為AC，AD，CE的中點(diǎn)．（1）求證：PM＝PN；（2）求∠MPN的度數(shù)．【思路引領(lǐng)】（1）連接DC和AE，AE交CD于點(diǎn)M，證明△ABE≌△DBC，得到AE＝DC，利用中位線的性質(zhì)證明PM＝PN；（2）根據(jù)中位線的性質(zhì)把∠MPA+∠NPC轉(zhuǎn)化成∠MCA+∠MAC，根據(jù)∠DMA＝∠MCA+∠MAC可知求出∠DMA度數(shù)即可．【解答】解：（1）連接DC和AE，AE交CD于點(diǎn)M，在△ABE和△DBC中，AB=BD∠ABE=∠DBC∴△ABE≌△DBC（SAS）．∴AE＝DC．∵P為AC中點(diǎn)，N為EC中點(diǎn)，∴PN=12同理可得PM=12所以PM＝PN．（2）∵P為AC中點(diǎn)，N為EC中點(diǎn)，∴PN∥AE．∴∠NPC＝∠EAC．同理可得∠MPA＝∠DCA∴∠MPA+∠NPC＝∠EAC+∠DCA．又∠DQA＝∠EAC+∠DCA，∴∠MPA+∠NPC＝∠DQA．∵△ABE≌△DBC，∴∠QDB＝∠BAQ．∴∠DQA＝∠DBA＝60°．∴∠MPA+∠NPC＝60°．∴∠MPN＝180°﹣60°＝120°．【總結(jié)提升】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、中位線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到“手拉手”全等模型．3．已知點(diǎn)M為△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AB＝12，AC＝18，BD⊥AD于D，連DM．（1）如圖1，若AD為∠BAC的平分線，求MD的長；（2）如圖，若AD為∠BAC的外角平分線，求MD的長．【思路引領(lǐng)】（1）延長BD交AC于E，利用全等三角形的性質(zhì)證明BD＝DE，AB＝AE，再求出CE，然后判斷出DM是△BCE的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半解答；（2）延長BD交CA的延長線于E，同法可證BD＝DE，AB＝AE，再求出CE，然后判斷出D