人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊-第2章-直線和圓的方程-章末測試卷（含解析）

第二章直線和圓的方程章末測試卷（原卷版）[時間：120分鐘滿分：150分]一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．已知過點M(－2，a)，N(a，4)的直線的斜率為－eq\f(1,2)，則|MN|＝()A．10 B．180C．6eq\r(3) D．6eq\r(5)2．圓心在y軸上，半徑為1，且過點(1，2)的圓的方程為()A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．(x－2)2＋(y－3)2＝13．過點P(2，3)，且與x軸的正半軸、y軸的正半軸圍成的三角形的面積等于12的直線的方程是()A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y－12＝0C．2x＋3y－13＝0 D．2x－3y＋13＝04．若點P(3，－1)為圓(x－2)2＋y2＝25的弦AB的中點，則直線AB的方程是()A．x＋y－2＝0 B．2x－y－7＝0C．2x＋y－5＝0 D．x－y－4＝05．已知直線l過點(－2，0)，當直線l與圓x2＋y2＝2x有兩個交點時，其斜率k的取值范圍是()A．(－2eq\r(2)，2eq\r(2)) B．(－eq\r(2)，eq\r(2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，\f(1,8)))6．已知圓C1：x2＋y2－kx－y＝0和圓C2：x2＋y2－2ky－1＝0的公共弦所在的直線恒過定點M，且點M在直線mx＋ny＝2上，則eq\r(m2＋n2)的最小值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(4,5)7．已知P，Q分別為圓M：(x－6)2＋(y－3)2＝4與圓N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的動點，A為x軸上的動點，則|AP|＋|AQ|的最小值為()A．5eq\r(5)－3 B.eq\r(101)－3C．7eq\r(5)－3 D．5eq\r(3)－38．我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”，也就是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，即圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時，其周長就越逼近圓周長．先作出圓x2＋y2＝2的一個內(nèi)接正八邊形，使該八邊形的其中4個頂點在坐標軸上，則下列4條直線中不是該八邊形的一條邊所在直線的為()A．x＋(eq\r(2)－1)y－eq\r(2)＝0 B．(1－eq\r(2))x－y＋eq\r(2)＝0C．x－(eq\r(2)＋1)y＋eq\r(2)＝0 D．(eq\r(2)－1)x－y＋eq\r(2)＝0二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)9．若直線過點(1，2)，且在兩坐標軸上截距的絕對值相等，則直線的方程可能為()A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0 D．x－y－1＝010．已知點M(3，1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，過點M的圓C的切線方程可能為()A．x－3＝0 B．x－2＝0C．3x－4y－5＝0 D．3x＋4y－5＝011．已知圓C1：x2＋y2＝r2(r>0)，圓C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B．2ax1＋2by1＝a2＋b2C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b12．(2021·新高考Ⅰ卷)已知點P在圓(x－5)2＋(y－5)2＝16上，點A(4，0)，B(0，2)，則()A．點P到直線AB的距離小于10B．點P到直線AB的距離大于2C．當∠PBA最小時，|PB|＝3eq\r(2)D．當∠PBA最大時，|PB|＝3eq\r(2)三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．若直線(a＋1)x＋2y＋1＝0與直線(a2－1)x－ay－1＝0平行，則a的值為________．14．已知圓C：(x＋5)2＋y2＝r2(r>0)和直線l：3x＋y＋5＝0.若圓C與直線l沒有公共點，則r的取值范圍是__________．15．已知直線l：y＝k(x＋4)與圓(x＋2)2＋y2＝4相交于A，B兩點，M是線段AB的中點，則點M的軌跡方程為________；點M到直線3x＋4y－6＝0的距離的最小值為________．(本題第一空2分，第二空3分)16.2020年是中國傳統(tǒng)的農(nóng)歷“鼠年”，有人用3個圓構(gòu)成“卡通鼠”的形象，如圖，Q(0，－3)是圓Q的圓心，圓Q過坐標原點O，點L，S均在x軸上，圓L與圓S的半徑都等于2，圓S、圓L均與圓Q外切．已知直線l過點O.若直線l截圓L、圓S、圓Q所得弦長均等于d，則d＝________．四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(10分)已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點．(1)若點A(5，0)到直線l的距離為3，求直線l的方程；(2)求點A(5，0)到直線l的距離的最大值．18．(12分)已知①經(jīng)過直線l1：x－2y＝0與直線l2：2x＋y－1＝0的交點；②圓心在直線2x－y＝0上；③被y軸截得弦長|CD|＝2eq\r(2).從上面這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的圓存在，求圓的方程；若問題中圓不存在，請說明理由．問：是否存在滿足條件的圓Q，使得點A(－2，－1)，B(1，－1)均在圓上？19．(12分)求以圓C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圓C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦為直徑的圓的方程．20．(12分)已知圓心為C的圓經(jīng)過點A(0，2)和B(1，1)，且圓心C在直線l：x＋y＋5＝0上．(1)求圓C的標準方程；(2)若P(x，y)是圓C上的動點，求3x－4y的最大值與最小值．21．(12分)為更好地了解鯨的生活習性，某動物保護組織在某頭鯨身上安裝了電子監(jiān)測設(shè)備，從海岸線放歸點O處把它放歸大海，并沿海岸線由西到東不停地對其進行跟蹤觀測．在放歸點O的正東方向有一觀測站C，可以對鯨的生活習性進行詳細觀測．已知OC＝15km，觀測站C的觀測半徑為5km.現(xiàn)以點O為坐標原點，以由西向東的海岸線所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示，測得鯨的行進路線近似滿足曲線y＝keq\r(x)(k>0)．(1)若測得鯨的行進路線上一點A(1，1)，求k的值；(2)在(1)問的條件下，則：①當鯨運動到何處時，開始進入觀測站C的觀測區(qū)域內(nèi)？(計算結(jié)果精確到0.1)②當鯨運動到何處時，離觀測站C最近(觀測最便利)？(計算結(jié)果精確到0.1)(參考數(shù)據(jù)：eq\r(41)≈6.4，eq\r(11.3)≈3.4，eq\r(58)≈7.6)22．(12分)已知圓C：x2＋(y－4)2＝4，直線l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0.(1)求直線l所過定點A的坐標；(2)求直線l被圓C所截得的弦長最短時m的值及最短弦長；(3)如圖，已知點M(－3，4)，在直線MC上(C為圓心)，存在一定點N(異于點M)，滿足對于圓C上任一點P，都有eq\f(|PM|,|PN|)為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點N的坐標及該常數(shù)．1．已知A(－2，1)，B(1，2)，點C為直線x－3y＝0上的動點，則|AC|＋|BC|的最小值為()A．2eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(5) D．2eq\r(7)2．圓心在曲線y＝eq\f(3,x)(x>0)上，且與直線3x＋4y＋3＝0相切的面積最小的圓的方程為()A．(x－eq\r(3))2＋(y－eq\r(3))2＝9 B．(x－3)2＋(y－1)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))eq\s\up12(2)C．(x－1)2＋(y－3)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)))eq\s\up12(2) D．(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝93．已知直線l經(jīng)過兩條直線l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交點，且直線l的一個方向向量ν＝(－3，2)，則直線l的方程為()A．－3x＋2y＋1＝0 B．3x－2y＋1＝0C．2x＋3y－5＝0 D．2x－3y＋1＝04．已知圓C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1與圓C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4外切，a，b為正實數(shù)，則ab的最大值為()A．2eq\r(3) B.eq\f(9,4)C.eq\f(3,2) D.eq\f(\r(6),2)5．若過定點M(－1，0)且斜率為k的直線與圓C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限內(nèi)的部分有交點，則實數(shù)k的取值范圍是()A．(0，eq\r(5)) B．(－eq\r(5)，0)C．(0，eq\r(13))D．(0，5)6．已知在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別是A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，若直線x＝a將△ABC分割成面積相等的兩部分，則實數(shù)a的值是()A.eq\r(3) B．1＋eq\f(\r(2),2)C．1＋eq\f(\r(3),3) D．2－eq\f(\r(2),2)7．【多選題】已知兩圓方程為x2＋y2＝16與(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)，則下列說法正確的是()A．若兩圓外切，則r＝1B．若兩圓公共弦所在的直線方程為8x－6y－37＝0，則r＝2C．若兩圓在交點處的切線互相垂直，則r＝3D．若兩圓有三條公切線，則r＝28．【多選題】已知△ABC的三個頂點坐標分別為A(－2，3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原點為圓心的圓與此三角形有唯一的公共點，則該圓的方程為()A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝37C．x2＋y2＝4 D．x2＋y2＝eq\f(16,5)9．已知過點P(4，1)的直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，當△AOB的面積最小時，直線l的方程為________．10．曲線y＝1＋eq\r(9－x2)與直線y＝k(x－3)＋5有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是________．11．在平面直角坐標系Oxy中，已知點A(－1，0)，B(5，0)．若圓M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的點P，使得直線PA，PB在y軸上的截距之積為5，則實數(shù)m的值為________．12．已知圓C的圓心在直線l：x＋y＋1＝0上且經(jīng)過點A(－1，2)，B(1，0)．(1)求圓C的方程；(2)若過點D(0，3)的直線l1被圓C截得的弦長為2eq\r(3)，求直線l1的方程．13．如圖，在平面直角坐標系Oxy中，過點P(0，1)且互相垂直的兩條直線分別與圓O：x2＋y2＝4交于點A，B，與圓M：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于點C，D.(1)若|AB|＝eq\f(3\r(7),2)，求CD的長；(2)若線段CD的中點為E，求△ABE面積的取值范圍．14．已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0與y軸相切，O為坐標原點，動點P在圓外，過P作圓C的切線，切點為M.(1)求圓C的圓心坐標及半徑；(2)求滿足|PM|＝2|PO|的點P的軌跡方程．15．已知圓M：x2＋(y－4)2＝4，點P是直線l：x－2y＝0上的一動點，過點P作圓M的切線PA，PB，切點分別為A，B.(1)當切線PA的長度為2eq\r(3)時，求點P的坐標；(2)若△PAM的外接圓為圓N，試問：當P在直線l上運動時，圓N是否過定點？若過定點，求出所有定點的坐標；若不過定點，請說明理由．(3)求線段AB長度的最小值．第二章直線和圓的方程章末測試卷（解析版）[時間：120分鐘滿分：150分]一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．已知過點M(－2，a)，N(a，4)的直線的斜率為－eq\f(1,2)，則|MN|＝()A．10 B．180C．6eq\r(3) D．6eq\r(5)答案D解析kMN＝eq\f(a－4,－2－a)＝－eq\f(1,2)，解得a＝10，即M(－2，10)，N(10，4)，所以|MN|＝eq\r(（－2－10）2＋（10－4）2)＝6eq\r(5).故選D.2．圓心在y軸上，半徑為1，且過點(1，2)的圓的方程為()A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．(x－2)2＋(y－3)2＝1答案A解析方法一(直接法)：設(shè)圓心坐標為(0，b)，則由題意知eq\r(（0－1）2＋（b－2）2)＝1，解得b＝2，故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.故選A.方法二(數(shù)形結(jié)合法)：根據(jù)點(1，2)到圓心的距離為1，作圖易知圓心為(0，2)，故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.故選A.方法三(驗證法)：將點(1，2)代入四個選項中，可排除B、D，又圓心在y軸上，所以排除C.故選A.3．過點P(2，3)，且與x軸的正半軸、y軸的正半軸圍成的三角形的面積等于12的直線的方程是()A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y－12＝0C．2x＋3y－13＝0 D．2x－3y＋13＝0答案B解析本題主要考查直線的截距式方程及三角形面積的計算．依題意，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ab＝12，,\f(2,a)＋\f(3,b)＝1，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝6，))于是所求直線的方程為eq\f(x,4)＋eq\f(y,6)＝1，即3x＋2y－12＝0.故選B.4．若點P(3，－1)為圓(x－2)2＋y2＝25的弦AB的中點，則直線AB的方程是()A．x＋y－2＝0 B．2x－y－7＝0C．2x＋y－5＝0 D．x－y－4＝0答案D解析設(shè)圓心為C(2，0)，所以kPC＝eq\f(0＋1,2－3)＝－1，所以kAB＝1，所以lAB：x－y－4＝0.故選D.5．已知直線l過點(－2，0)，當直線l與圓x2＋y2＝2x有兩個交點時，其斜率k的取值范圍是()A．(－2eq\r(2)，2eq\r(2)) B．(－eq\r(2)，eq\r(2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，\f(1,8)))答案C解析易知圓心坐標是(1，0)，半徑是1，直線l的斜率存在．設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，由點到直線的距離公式，得eq\f(|k＋2k|,\r(k2＋1))<1，即k2<eq\f(1,8)，解得－eq\f(\r(2),4)<k<eq\f(\r(2),4).6．已知圓C1：x2＋y2－kx－y＝0和圓C2：x2＋y2－2ky－1＝0的公共弦所在的直線恒過定點M，且點M在直線mx＋ny＝2上，則eq\r(m2＋n2)的最小值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(4,5)答案C解析由圓C1：x2＋y2－kx－y＝0和圓C2：x2＋y2－2ky－1＝0，可得圓C1和C2的公共弦所在的直線方程為k(x－2y)＋(y－1)＝0，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＝0，,y－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1.))即點M(2，1)，又因為點M在直線mx＋ny＝2上，即2m＋n＝2，又由原點到直線2x＋y＝2的距離為d＝eq\f(2,\r(22＋12))＝eq\f(2\r(5),5)，即eq\r(m2＋n2)的最小值為eq\f(2\r(5),5).7．已知P，Q分別為圓M：(x－6)2＋(y－3)2＝4與圓N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的動點，A為x軸上的動點，則|AP|＋|AQ|的最小值為()A．5eq\r(5)－3 B.eq\r(101)－3C．7eq\r(5)－3 D．5eq\r(3)－3答案A解析圓N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1關(guān)于x軸對稱的圓N′：(x＋4)2＋(y＋2)2＝1，則|AP|＋|AQ|的最小值為|MN′|－1－2＝eq\r(102＋52)－3＝5eq\r(5)－3.故選A.8．我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”，也就是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，即圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時，其周長就越逼近圓周長．先作出圓x2＋y2＝2的一個內(nèi)接正八邊形，使該八邊形的其中4個頂點在坐標軸上，則下列4條直線中不是該八邊形的一條邊所在直線的為()A．x＋(eq\r(2)－1)y－eq\r(2)＝0 B．(1－eq\r(2))x－y＋eq\r(2)＝0C．x－(eq\r(2)＋1)y＋eq\r(2)＝0 D．(eq\r(2)－1)x－y＋eq\r(2)＝0答案C解析本題在數(shù)學(xué)文化背景下考查直線方程．如圖所示，可知A(eq\r(2)，0)，B(1，1)，C(0，eq\r(2))，D(－1，1)，E(－eq\r(2)，0)，所以AB，BC，CD，DE所在直線的方程分別為y＝eq\f(1－0,1－\r(2))(x－eq\r(2))，y＝(1－eq\r(2))x＋eq\r(2)，y＝(eq\r(2)－1)x＋eq\r(2)，y＝eq\f(1,\r(2)－1)(x＋eq\r(2))，整理為一般式即x＋(eq\r(2)－1)y－eq\r(2)＝0，(1－eq\r(2))x－y＋eq\r(2)＝0，(eq\r(2)－1)x－y＋eq\r(2)＝0，x－(eq\r(2)－1)y＋eq\r(2)＝0.故選C.二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)9．若直線過點(1，2)，且在兩坐標軸上截距的絕對值相等，則直線的方程可能為()A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0答案ABC解析當直線過原點時，設(shè)直線的方程為y＝kx，把點(1，2)代入，得k＝2，所以此時直線的方程為2x－y＝0；當直線斜率k＝1時，設(shè)直線的方程為y＝x＋b，把點(1，2)代入，得b＝1，所以此時直線的方程為x－y＋1＝0；當直線斜率k＝－1時，設(shè)直線的方程為y＝－x＋b，把點(1，2)代入，得b＝3，所以此時直線的方程為x＋y－3＝0.10．已知點M(3，1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，過點M的圓C的切線方程可能為()A．x－3＝0 B．x－2＝0C．3x－4y－5＝0 D．3x＋4y－5＝0答案AC解析由題意得圓心為C(1，2)，半徑r＝2.∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴點M在圓C外部．當過點M的直線的斜率不存在時，直線方程為x＝3，即x－3＝0.又點C(1，2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r，∴直線x－3＝0是圓C的切線；當過點M的圓C的切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，則圓心C到切線的距離d＝eq\f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋12))＝2，解得k＝eq\f(3,4)，∴切線方程為y－1＝eq\f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.綜上可得，過點M的圓C的切線方程為x－3＝0或3x－4y－5＝0.故選AC.11．已知圓C1：x2＋y2＝r2(r>0)，圓C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B．2ax1＋2by1＝a2＋b2C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b答案ABC解析因為圓C1：x2＋y2＝r2①，圓C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2②，交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，所以①－②得到直線AB的方程為2ax＋2by＝a2＋b2，分別把A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點代入直線AB的方程可得2ax1＋2by1＝a2＋b2③，2ax2＋2by2＝a2＋b2④，故B正確；③－④得到2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，故A正確；由圓的性質(zhì)可知，線段AB與線段C1C2互相平分，所以eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(0＋a,2)，eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(0＋b,2)，即x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，故C正確，D錯誤．故選ABC.12．(2021·新高考Ⅰ卷)已知點P在圓(x－5)2＋(y－5)2＝16上，點A(4，0)，B(0，2)，則()A．點P到直線AB的距離小于10B．點P到直線AB的距離大于2C．當∠PBA最小時，|PB|＝3eq\r(2)D．當∠PBA最大時，|PB|＝3eq\r(2)答案ACD解析設(shè)圓(x－5)2＋(y－5)2＝16的圓心為M(5，5)，由題易知直線AB的方程為eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，則圓心M到直線AB的距離d＝eq\f(|5＋2×5－4|,\r(5))＝eq\f(11,\r(5))>4，所以直線AB與圓M相離，所以點P到直線AB的距離的最大值為4＋d＝4＋eq\f(11,\r(5))，而4＋eq\f(11,\r(5))<5＋eq\r(\f(125,5))＝10，故A正確．易知點P到直線AB的距離的最小值為d－4＝eq\f(11,\r(5))－4，而eq\f(11,\r(5))－4<eq\r(\f(125,5))－4＝1，故B不正確．過點B作圓M的兩條切線，切點分別為N，Q，如圖所示，連接MB，MN，MQ，則當∠PBA最小時，點P與N重合，此時|PB|＝eq\r(|MB|2－|MN|2)＝eq\r(52＋（5－2）2－42)＝3eq\r(2)，當∠PBA最大時，點P與Q重合，此時|PB|＝3eq\r(2)，故C、D都正確．綜上，選ACD.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．若直線(a＋1)x＋2y＋1＝0與直線(a2－1)x－ay－1＝0平行，則a的值為________．答案eq\f(2,3)或－1解析本題主要考查兩直線的平行關(guān)系．當a＝－1時，兩直線方程分別為2y＋1＝0，y－1＝0，顯然兩直線平行；當a≠－1時，由eq\f(a2－1,a＋1)＝eq\f(－a,2)≠eq\f(－1,1)，得a＝eq\f(2,3).故a的值為eq\f(2,3)或－1.14．已知圓C：(x＋5)2＋y2＝r2(r>0)和直線l：3x＋y＋5＝0.若圓C與直線l沒有公共點，則r的取值范圍是__________．答案0<r<eq\r(10)解析因為圓心C(－5，0)到直線l：3x＋y＋5＝0的距離為eq\f(|－15＋5|,\r(32＋12))＝eq\f(10,\r(10))＝eq\r(10)，所以要使圓C與直線l沒有公共點，則r的取值范圍是0<r<eq\r(10).15．已知直線l：y＝k(x＋4)與圓(x＋2)2＋y2＝4相交于A，B兩點，M是線段AB的中點，則點M的軌跡方程為________；點M到直線3x＋4y－6＝0的距離的最小值為________．(本題第一空2分，第二空3分)答案(x＋3)2＋y2＝1(x≠－4)2解析直線l：y＝k(x＋4)過定點(－4，0)，且點(－4，0)在圓(x＋2)2＋y2＝4上，不妨設(shè)A(－4，0)，M(x，y)(x≠－4)，B(x1，y1)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝2x＋4，,y1＝2y，))將(2x＋4，2y)代入(x＋2)2＋y2＝4，得(x＋3)2＋y2＝1(x≠－4)，所以點M的軌跡是以(－3，0)為圓心，以1為半徑的圓(除去點A(－4，0))，則點M到直線3x＋4y－6＝0的距離的最小值為eq\f(|－3×3－6|,5)－1＝2.16.2020年是中國傳統(tǒng)的農(nóng)歷“鼠年”，有人用3個圓構(gòu)成“卡通鼠”的形象，如圖，Q(0，－3)是圓Q的圓心，圓Q過坐標原點O，點L，S均在x軸上，圓L與圓S的半徑都等于2，圓S、圓L均與圓Q外切．已知直線l過點O.若直線l截圓L、圓S、圓Q所得弦長均等于d，則d＝________．答案eq\f(12,5)解析由題意圓L與圓S關(guān)于原點對稱，設(shè)S(a，0)，a>0，則eq\r(a2＋32)＝2＋3，解得a＝4，即S(4，0)，所以L(－4，0)．由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx(k≠0)，則三個圓心到該直線的距離分別為：d1＝eq\f(|－4k|,\r(1＋k2))，d2＝eq\f(|4k|,\r(1＋k2))，d3＝eq\f(|3|,\r(1＋k2))，則d2＝4(4－d12)＝4(4－d22)＝4(9－d32)，即有4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－4k,\r(1＋k2))))eq\s\up12(2)＝4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k,\r(1＋k2))))eq\s\up12(2)＝9－(eq\f(3,\r(1＋k2)))2，解得k2＝eq\f(4,21).則d2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(16×\f(4,21),1＋\f(4,21))))＝eq\f(144,25)，即d＝eq\f(12,5).四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(10分)已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點．(1)若點A(5，0)到直線l的距離為3，求直線l的方程；(2)求點A(5，0)到直線l的距離的最大值．解析(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))所以交點坐標為(2，1)．當直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，則點A到直線l的距離為eq\f(|5k＋1－2k|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq\f(4,3)，所以l的方程為4x－3y－5＝0；當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝2，符合題意．故直線l的方程為4x－3y－5＝0或x＝2.(2)設(shè)直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點為P，由(1)可知P(2，1)，過點P任意作直線l(如圖所示)，設(shè)d為點A到直線l的距離，則d≤|PA|(當l⊥PA時，等號成立)，由兩點間的距離公式可知|PA|＝eq\r(10).即所求的距離的最大值為eq\r(10).18．(12分)已知①經(jīng)過直線l1：x－2y＝0與直線l2：2x＋y－1＝0的交點；②圓心在直線2x－y＝0上；③被y軸截得弦長|CD|＝2eq\r(2).從上面這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的圓存在，求圓的方程；若問題中圓不存在，請說明理由．問：是否存在滿足條件的圓Q，使得點A(－2，－1)，B(1，－1)均在圓上？思路分析由點A(－2，－1)，B(1，－1)均在圓上，可知圓心在線段AB的垂直平分線x＝－eq\f(1,2)上，設(shè)圓心坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，b))，半徑為r，若選①，求出直線l1和l2的交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(1,5)))，再利用兩點之間的距離公式求出半徑，即可求得圓的方程；若選②，由已知圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1))，再利用兩點之間的距離公式求出半徑，即可求得圓的方程；若選③，由弦長|CD|＝2eq\r(2)，可得半徑及圓心，即可求出圓的方程．解析因為點A(－2，－1)，B(1，－1)均在圓上，所以圓心在線段AB的垂直平分線上，又線段AB的垂直平分線所在直線方程為x＝eq\f(－2＋1,2)＝－eq\f(1,2)，則可設(shè)圓心坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，b))，圓的半徑為r，若選①，存在圓Q，使得點A(－2，－1)，B(1，－1)均在圓上．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＝0，,2x＋y－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,5)，,y＝\f(1,5).))即直線l1和l2的交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(1,5)))，則圓Q過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(1,5)))，所以r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(2,5)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,5)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－1))eq\s\up12(2)＋(b＋1)2，解得b＝－1，則r2＝eq\f(9,4).即存在圓Q，且圓Q的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋(y＋1)2＝eq\f(9,4).若選②，存在圓Q，使得點A(－2，－1)，B(1，－1)均在圓上．由圓心在直線2x－y＝0上可得2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－b＝0，則b＝－1，所以r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－1))eq\s\up12(2)＋(－1＋1)2＝eq\f(9,4)，即存在圓Q，且圓Q的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋(y＋1)2＝eq\f(9,4).若選③，存在圓Q，使得點A(－2，－1)，B(1，－1)均在圓上．若圓被y軸截得弦長|CD|＝2eq\r(2)，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|CD|,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,4)，由r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－1))eq\s\up12(2)＋(b＋1)2＝eq\f(9,4)，解得b＝－1.即存在圓Q，且圓Q的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋(y＋1)2＝eq\f(9,4).19．(12分)求以圓C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圓C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦為直徑的圓的方程．解析因為圓C1可化為(x－6)2＋(y－1)2＝50，所以C1的坐標為(6，1)，半徑r1＝5eq\r(2)，同理可得C2的坐標為(－6，－8)，半徑r2＝5eq\r(5).所以C1，C2所在的直線方程為3x－4y－14＝0.又因為公共弦所在直線的方程為4x＋3y－2＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y－14＝0，,4x＋3y－2＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2，))即所求圓的圓心為C(2，－2)，半徑r＝eq\r(（5\r(2)）2－|C1C|2)＝5.所以圓的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝25.20．(12分)已知圓心為C的圓經(jīng)過點A(0，2)和B(1，1)，且圓心C在直線l：x＋y＋5＝0上．(1)求圓C的標準方程；(2)若P(x，y)是圓C上的動點，求3x－4y的最大值與最小值．解析(1)線段AB的中點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，又kAB＝－1，所以線段AB的垂直平分線方程為y－eq\f(3,2)＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即x－y＋1＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,x＋y＋5＝0))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－2，))所以圓心C(－3，－2)．圓C的半徑r＝|AC|＝eq\r(（0＋3）2＋（2＋2）2)＝5，故圓C的標準方程為(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.(2)令z＝3x－4y，即3x－4y－z＝0.當直線3x－4y－z＝0與圓C相切于點P時，z取得最值，圓心C(－3，－2)到直線3x－4y－z＝0的距離d＝eq\f(|－9＋8－z|,\r(32＋（－4）2))＝5，解得z＝－26或z＝24.故3x－4y的最大值為24，最小值為－26.21．(12分)為更好地了解鯨的生活習性，某動物保護組織在某頭鯨身上安裝了電子監(jiān)測設(shè)備，從海岸線放歸點O處把它放歸大海，并沿海岸線由西到東不停地對其進行跟蹤觀測．在放歸點O的正東方向有一觀測站C，可以對鯨的生活習性進行詳細觀測．已知OC＝15km，觀測站C的觀測半徑為5km.現(xiàn)以點O為坐標原點，以由西向東的海岸線所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示，測得鯨的行進路線近似滿足曲線y＝keq\r(x)(k>0)．(1)若測得鯨的行進路線上一點A(1，1)，求k的值；(2)在(1)問的條件下，則：①當鯨運動到何處時，開始進入觀測站C的觀測區(qū)域內(nèi)？(計算結(jié)果精確到0.1)②當鯨運動到何處時，離觀測站C最近(觀測最便利)？(計算結(jié)果精確到0.1)(參考數(shù)據(jù)：eq\r(41)≈6.4，eq\r(11.3)≈3.4，eq\r(58)≈7.6)解析(1)將A(1，1)代入y＝keq\r(x)，可得k＝1.(2)①以C為圓心，5為半徑的圓的方程為(x－15)2＋y2＝25，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)，,（x－15）2＋y2＝25，))得x2－29x＋200＝0，∴x＝eq\f(29±\r(41),2)，∴x1≈11.3，x2≈17.7，∴當鯨運動到點(11.3，eq\r(11.3))即(11.3，3.4)處時，開始進入觀測站C的觀測區(qū)域內(nèi)．②鯨與點C的距離為：d＝eq\r(（x－15）2＋y2)＝eq\r(（x－15）2＋x)＝eq\r(x2－29x＋225)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(29,2)))\s\up12(2)＋225－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,2)))\s\up12(2))，∴當x＝eq\f(29,2)時d最?。十旜L運動到點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,2)，\f(\r(58),2)))即(14.5，3.8)處時，鯨離觀測站C最近．22．(12分)已知圓C：x2＋(y－4)2＝4，直線l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0.(1)求直線l所過定點A的坐標；(2)求直線l被圓C所截得的弦長最短時m的值及最短弦長；(3)如圖，已知點M(－3，4)，在直線MC上(C為圓心)，存在一定點N(異于點M)，滿足對于圓C上任一點P，都有eq\f(|PM|,|PN|)為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點N的坐標及該常數(shù)．解析(1)依題意，得m(3x－y)＋(x＋y－4)＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＝0，,x＋y－4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))∴直線l過定點A(1，3)．(2)當AC⊥l時，所截得的弦長最短．由題知C(0，4)，圓C的半徑r＝2，∴kAC＝eq\f(4－3,0－1)＝－1，∴kl＝1，∴eq\f(3m＋1,m－1)＝1，∴m＝－1.∵圓心C到直線l的距離為d＝|AC|＝eq\r(2)，∴最短弦長為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2).(3)由題意知直線MC的方程為y＝4.設(shè)定點N(t，4)(t≠－3)，P(x，y)，eq\f(|PM|,|PN|)＝λ(λ>0)，則|PM|2＝λ2|PN|2，∴(x＋3)2＋(y－4)2＝λ2(x－t)2＋λ2(y－4)2，∴(x＋3)2＋4－x2＝λ2(x－t)2＋λ2(4－x2)，整理得(6＋2tλ2)x－(λ2t2＋4λ2－13)＝0，此式對任意的x∈[－2，2]恒成立，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6＋2tλ2＝0，,λ2t2＋4λ2－13＝0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝－\f(4,3)，,λ＝\f(3,2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝－\f(4,3)，,λ＝－\f(3,2)))(舍去)或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝－3，,λ＝±1))(舍去)．綜上，滿足條件的點N的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，4))，且eq\f(|PM|,|PN|)為常數(shù)eq\f(3,2).1．已知A(－2，1)，B(1，2)，點C為直線x－3y＝0上的動點，則|AC|＋|BC|的最小值為()A．2eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(5) D．2eq\r(7)答案C解析設(shè)點A(－2，1)關(guān)于直線x－3y＝0的對稱點為D(a，b)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b－1,a＋2)＝－3，,\f(a－2,2)－3×\f(b＋1,2)＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，))所以D(－1，－2)，所以|AC|＋|BC|＝|DC|＋|BC|，當B，D，C共線時，|AC|＋|BC|取最小值，最小值為|DB|＝eq\r(（1＋1）2＋（2＋2）2)＝2eq\r(5).2．圓心在曲線y＝eq\f(3,x)(x>0)上，且與直線3x＋4y＋3＝0相切的面積最小的圓的方程為()A．(x－eq\r(3))2＋(y－eq\r(3))2＝9 B．(x－3)2＋(y－1)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))eq\s\up12(2)C．(x－1)2＋(y－3)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)))eq\s\up12(2) D．(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝9答案D解析設(shè)圓心為(a，b)，半徑為r，則滿足條件的圓面積最小即r最小，r＝eq\f(|3a＋4b＋3|,\r(32＋42))＝eq\f(|3a＋4b＋3|,5)≥eq\f(2\r(3a×4b)＋3,5)，因為圓心(a，b)在y＝eq\f(3,x)(x>0)上，所以b＝eq\f(3,a)，即ab＝3，所以rmin＝eq\f(2\r(12×3)＋3,5)＝3，當且僅當3a＝4b，即a＝2，b＝eq\f(3,2)時取等號，所以此時圓的方程為(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝9.3．已知直線l經(jīng)過兩條直線l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交點，且直線l的一個方向向量ν＝(－3，2)，則直線l的方程為()A．－3x＋2y＋1＝0 B．3x－2y＋1＝0C．2x＋3y－5＝0 D．2x－3y＋1＝0答案C解析方法一：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－y＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))由題意，知直線l的斜率k＝－eq\f(2,3)，所以直線l的方程為y－1＝－eq\f(2,3)(x－1)，即2x＋3y－5＝0.故選C.方法二：由題意設(shè)直線l：x＋y－2＋λ(2x－y－1)＝0(λ∈R)，即(1＋2λ)x＋(1－λ)y－2－λ＝0，又直線l的一個方向向量ν＝(－3，2)，所以3(1＋2λ)＝2(1－λ)，解得λ＝－eq\f(1,8)，所以直線l的方程為2x＋3y－5＝0.故選C.4．已知圓C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1與圓C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4外切，a，b為正實數(shù)，則ab的最大值為()A．2eq\r(3) B.eq\f(9,4)C.eq\f(3,2) D.eq\f(\r(6),2)答案B解析因為圓C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1的圓心為C1(－a，2)，半徑r1＝1，圓C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4的圓心為C2(b，2)，半徑r2＝2，所以|C1C2|＝eq\r(（－a－b）2＋（2－2）2)＝|a＋b|＝1＋2，所以a2＋b2＋2ab＝9，所以(a－b)2＋4ab＝9，所以ab＝eq\f(9,4)－eq\f(（a－b）2,4)≤eq\f(9,4)，即當a＝b時，ab取得最大值，最大值為eq\f(9,4).5．若過定點M(－1，0)且斜率為k的直線與圓C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限內(nèi)的部分有交點，則實數(shù)k的取值范圍是()A．(0，eq\r(5)) B．(－eq\r(5)，0)C．(0，eq\r(13))D．(0，5)答案A解析圓C的方程x2＋4x＋y2－5＝0可化為(x＋2)2＋y2＝9，則圓C與x軸正半軸交于點A(1，0)，與y軸正半軸交于點B(0，eq\r(5))，如圖所示，因為過定點M(－1，0)且斜率為k的直線與圓C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限內(nèi)的部分有交點，所以kMA<k<kMB，所以0<k<eq\r(5).6．已知在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別是A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，若直線x＝a將△ABC分割成面積相等的兩部分，則實數(shù)a的值是()A.eq\r(3) B．1＋eq\f(\r(2),2)C．1＋eq\f(\r(3),3) D．2－eq\f(\r(2),2)答案A解析如圖所示，易知直線AB的方程是y＝3，直線AC的方程是eq\f(x,2)＋eq\f(y,3)＝1，即3x＋2y－6＝0，且直線x＝a只與邊AB，AC相交．設(shè)直線x＝a與AB交于點D，與AC交于點E，則點D，E的坐標分別為(a，3)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(6－3a,2)))，從而|DE|＝3－eq\f(6－3a,2)＝eq\f(3,2)a，S△ADE＝eq\f(1,2)|AD||DE|＝eq\f(1,2)a×eq\f(3,2)a＝eq\f(3,4)a2①.又S△ABC＝eq\f(1,2)×3×3＝eq\f(9,2)，所以S△ADE＝eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(9,4)②，由①②得eq\f(3,4)a2＝eq\f(9,4)，解得a＝eq\r(3)或a＝－eq\r(3)(舍去)．故選A.7．【多選題】已知兩圓方程為x2＋y2＝16與(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)，則下列說法正確的是()A．若兩圓外切，則r＝1B．若兩圓公共弦所在的直線方程為8x－6y－37＝0，則r＝2C．若兩圓在交點處的切線互相垂直，則r＝3D．若兩圓有三條公切線，則r＝2答案ABC解析由圓的方程可知，兩圓圓心分別為(0，0)，(4，－3)，半徑分別為4，r，所以圓心距為5，若兩圓外切，則4＋r＝5，即r＝1，故A正確；此時兩圓有三條公切線，故D錯誤；當兩圓相交時，兩圓公共弦所在的直線方程可由兩圓方程相減得到，所以公共弦所在的直線方程為8x－6y－41＋r2＝0，所以－41＋r2＝－37，解得r＝2，故B正確；因為兩圓在交點處的切線互相垂直，則一個圓的切線必過另一個圓的圓心，所以兩圓圓心距與兩圓半徑必構(gòu)成一個直角三角形，故52＝42＋r2，解得r＝3，故C正確．8．【多選題】已知△ABC的三個頂點坐標分別為A(－2，3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原點為圓心的圓與此三角形有唯一的公共點，則該圓的方程為()A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝37C．x2＋y2＝4 D．x2＋y2＝eq\f(16,5)答案AB解析過點A，C的直線方程為eq\f(y＋1,3＋1)＝eq\f(x－6,－2－6)，化為一般式為x＋2y－4＝0，過點A，B的直線方程為x＝－2，過點B，C的直線方程為y＝－1，所以原點O到直線x＋2y－4＝0的距離dAC＝eq\f(4\r(5),5)，原點O到直線x＝－2的距離dAB＝2，原點O到直線y＝－1的距離dBC＝1，所以dAB>dAC>dBC，又|OA|＝eq\r(（－2）2＋32)＝eq\r(13)，|OB|＝eq\r(（－2）2＋（－1）2)＝eq\r(5)，且|OC|＝eq\r(62＋（－1）2)＝eq\r(37).結(jié)合圖形可知，若以原點為圓心的圓與△ABC有唯一公共點，則公共點為(0，－1)或(6，－1)，所以圓的半徑為1或eq\r(37).故選AB.9．已知過點P(4，1)的直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，當△AOB的面積最小時，直線l的方程為________．答案x＋4y－8＝0解析設(shè)直線l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，因為直線l過點P(4，1)，所以eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1≥2eq\r(\f(4,a)×\f(1,b))＝eq\f(4,\r(ab))，所以ab≥16，當且僅當a＝8，b＝2時等號成立．所以當a＝8，b＝2時，△AOB的面積S＝eq\f(1,2)ab取得最小值，此時直線l的方程為eq\f(x,8)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋4y－8＝0.10．曲線y＝1＋eq\r(9－x2)與直線y＝k(x－3)＋5有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,24)，\f(2,3)))解析由題可知，y＝1＋eq\r(9－x2)，即x2＋(y－1)2＝9(y≥1)，其圖象如圖所示：又直線y＝k(x－3)＋5即kx－y－3k＋5＝0過定點A(3，5)．當直線與半圓相切時，則eq\f(|－1－3k＋5|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq\f(7,24).當直線過點B(－3，1)時，k＝eq\f(5－1,3－（－3）)＝eq\f(2,3).所以k∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,24)，\f(2,3))).11．在平面直角坐標系Oxy中，已知點A(－1，0)，B(5，0)．若圓M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的點P，使得直線PA，PB在y軸上的截距之積為5，則實數(shù)m的值為________．答案±eq\r(21)解析根據(jù)題意，設(shè)點P的坐標為(a，b)，則直線PA的方程為y＝eq\f(b,a＋1)(x＋1)，其在y軸上的截距為eq\f(b,a＋1)，直線PB的方程為y＝eq\f(b,a－5)(x－5)，其在y軸上的截距為－eq\f(5b,a－5).若點P滿足使直線PA，PB在y軸上的截距之積為5，則有eq\f(b,a＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5b,a－5)))＝5，變形可得b2＋(a－2)2＝9，則點P在圓(x－2)2＋y2＝9上．若圓M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的點P滿足題意，則圓M與圓(x－2)2＋y2＝9有且只有一個公共點，即兩圓內(nèi)切或外切．又兩圓的圓心距為eq\r(（4－2）2＋m2)≥2，所以兩圓外切，所以4＋m2＝25，解得m＝±eq\r(21).12．已知圓C的圓心在直線l：x＋y＋1＝0上且經(jīng)過點A(－1，2)，B(1，0)．(1)求圓C的方程；(2)若過點D(0，3)的直線l1被圓C截得的弦長為2eq\r(3)，求直線l1的方程．解析(1)由題意得，圓心C一定在線段AB的垂直平分線上，kAB＝eq\f(0－2,1－（－1）)＝－1，線段AB中點為(0，1)，所以直線AB的垂直平分線為x－y＋1＝0.所以直線l：x＋y＋1＝0與x－y＋1＝0的交點即為圓心C，即C的坐標為(－1，0)，半徑r＝|CA|＝2.所以圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝4.(2)當直線l1斜率不存在時，方程為x＝0，此時圓心到l1距離為1，截得的弦長為2eq\r(3)，滿足題意；當直線l1斜率存在時，設(shè)為k，則l1：kx－y＋3＝0，圓心(－1，0)到l1的距離d＝eq\f(|－k＋3|,\r(k2＋1))＝eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))\s\up12(2))＝1，所以k＝eq\f(4,3)，則直線l1的方程為4x－3y＋9＝0.綜上，直線l1的方程為x＝0或4x－3y＋9＝0.13．如圖，在平面直角坐標系Oxy中，過點P(0，1)且互相垂直的兩條直線分別與圓O：x2＋y2＝4交于點A，B，與圓M：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于點C，D.(1)若|AB|＝eq\f(3\r(7),2)，求CD的長；(2)若線段CD的中點為E，求△ABE面積的取值范圍．解析(1)直線AB的斜率顯然存在，設(shè)為k，則直線AB的方程為y＝kx＋1.因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(k2＋1))))eq\s\up12(2)＝4，所以|AB|＝2eq\r(\f(4k2＋3,k2＋1))，由2eq\r(\f(4k2＋3,k2＋1))＝eq\f(3\r(7),2)，得k2＝15，因為直線CD的方程為y＝－eq\f(1,k)x＋1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|CD|,2)))eq\s\up12(2)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－\f(2,k)＋1－1,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))\s\up12(2)))))eq\s\up12(2)，所以|CD|＝2eq\r(1－\f(4,k2＋1))＝2eq\r(1－\f(4,15＋1))＝eq\r(3).(