2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-2.9-函數(shù)與方程【課件】

第九節(jié)函數(shù)與方程必

備

知

識(shí)1.函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使______的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．

零點(diǎn)不是點(diǎn)，是一個(gè)實(shí)數(shù)2．零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有_________，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在x0∈(a，b)，使得________，這個(gè)x0也就是方程f(x)＝0的根．3．二分法對(duì)于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且__________的函數(shù)，通過(guò)不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間________，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近________，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．f(x)＝0f(a)·f(b)<0f(x0)＝0f(a)·f(b)<0一分為二零點(diǎn)【常用結(jié)論】1．若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．2．圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)．夯

實(shí)

基

礎(chǔ)1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)．(

)(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)．(

)(3)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)f(b)＜0.(

)(4)若f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且f(a)·f(b)＞0，則f(x)在(a，b)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)．(

)×√××2．已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對(duì)應(yīng)值表．在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)必有零點(diǎn)的區(qū)間為(

)A．(1，2) B．(2，3)C．(3，4) D．(4，5)x12345f(x)－4－2147答案：B解析：由所給的函數(shù)值的表格可以看出，x＝2與x＝3這兩個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)不同，即f(2)·f(3)＜0，所以函數(shù)在(2，3)內(nèi)有零點(diǎn)．故選B.3．函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0，2)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________．1解析：因?yàn)閥＝2x，y＝x3是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0，2)內(nèi)單調(diào)遞增．又f(0)＝－1<0，f(2)＝10>0，所以f(0)f(2)<0，故函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0，2)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)．4．(易錯(cuò))(多選)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，3)上有兩個(gè)零點(diǎn)，且都可以用二分法求得，其圖象是連續(xù)不斷的，若f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，則下列命題正確的是(

)A．函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)可以分別在區(qū)間(0，1)和(1，2)內(nèi)B．函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)可以分別在區(qū)間(1，2)和(2，3)內(nèi)C．函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)可以分別在區(qū)間(0，1)和(2，3)內(nèi)D．函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)不可能同時(shí)在區(qū)間(1，2)內(nèi)答案：ABD解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(0，3)上有兩個(gè)零點(diǎn)，且都可以用二分法求得，其圖象是連續(xù)不斷的，所以零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，又f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，所以f(3)>0，f(1)f(2)<0，若f(1)>0，f(2)<0，可得f(2)f(3)<0，f(1)f(2)<0，即此時(shí)函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(1，2)和(2，3)內(nèi)，故B正確．若f(1)<0，f(2)>0，則f(0)f(1)<0，f(1)f(2)<0，即此時(shí)函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(0，1)和(1，2)內(nèi)，故A正確．綜上兩種情況，可知選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確．故選ABD.5．(易錯(cuò))函數(shù)f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．

問(wèn)題思考·夯實(shí)技能【問(wèn)題1】函數(shù)零點(diǎn)與方程根有何聯(lián)系？提示：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．【問(wèn)題2】如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，y＝f(x)在(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，那么一定有f(a)f(b)<0嗎？提示：不一定．例如函數(shù)f(x)＝x2－1在區(qū)間[－2，2]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且在(－2，2)內(nèi)有零點(diǎn)，但f(－2)f(2)>0.事實(shí)上，如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么“f(a)f(b)<0”是“y＝f(x)在(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)”的充分不必要條件．關(guān)鍵能力·題型剖析題型一

函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定例1函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(

)A．(1，2) B．(2，3)C．(3，4) D．(4，5)答案：B解析：由題意得，f(x)＝lnx＋2x－6在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋6－6＝ln3>0，則f(2)f(3)<0，∴零點(diǎn)在區(qū)間(2，3)上．【變式練習(xí)】

用二分法求函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6在區(qū)間(2，3)內(nèi)的零點(diǎn)近似值，至少經(jīng)過(guò)______次二分后精確度達(dá)到0.1.4

答案：C

(2)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋3x－7的零點(diǎn)位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)內(nèi)，則n＝________．2解析：由題意可知函數(shù)f(x)＝lnx＋3x－7在定義域(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，易知f(2)＝ln2＋3×2－7＝ln2－1<0，而f(3)＝ln3＋3×3－7＝ln3＋2>0，所以f(2)·f(3)<0，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，3)內(nèi)存在零點(diǎn)，所以可得n＝2.

答案：B

4044

答案：C

－2，e解析：由題意可知函數(shù)f(x)＝lnx＋3x－7在定義域(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，易知f(2)＝ln2＋3×2－7＝ln2－1<0，而f(3)＝ln3＋3×3－7＝ln3＋2>0，所以f(2)·f(3)<0，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，3)內(nèi)存在零點(diǎn)，所以可得n＝2.

(－2，0)解析：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x|x－2|，則－x≤0，f(－x)＝－ax，此時(shí)f(x)－f(－x)＝0?x|x－2|＝－ax，則x＝0或－a＝|x－2|，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝ax，則－x>0，f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|，此時(shí)f(x)－f(－x)＝0?－x|x＋2|＝ax，則－a＝|x＋2|，故問(wèn)題轉(zhuǎn)為－a＝|x－2|(x≥0)，－a＝|x＋2|，(x<0)共有四個(gè)零點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)圖象如圖可知，0<－a<2?－2<a<0.角度二根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)例4函數(shù)f(x)＝log2x＋x2＋m在區(qū)間(1，2)存在零點(diǎn)．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A．(－∞，－5) B．(－5，－1)C．(1，5) D．(5，＋∞)答案：B

答案：D

(2)若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________．(0，2)解析：函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn)，y＝|2x－2|和y＝b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出y＝|2x－2|和y＝b的圖象，如圖，要有兩個(gè)交點(diǎn)，那么b∈(0，2)．

答案：C

答案：C解析：當(dāng)x≤0時(shí)，令f(x)＝x2＋2x－3＝0，則(x－1)(x＋3)＝0，解得x＝1(舍去)或x＝－3，當(dāng)x>0時(shí)，令ex－2＝0，解得x＝ln2，所以f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

答案：C

(－2，2)

[答案]

A

[答案]

BC[解析]當(dāng)x＜