2025高考一輪復習（人教A版）第3講 等式與不等式性質（附答案）

2025高考一輪復習（人教A版）第3講等式與不等式性質一、選擇題1．下列命題為真命題的是（）A．若a>b>0，則ac2>bc2C．若a<b<0，則a2<ab D．若a<b<02．設{aA．若a1+B．若a1+C．若0<a1D．若a1<03．已知x,A．1x?1C．（1e）4．已知正數(shù)a，b，c滿足alnb=beA．a(chǎn)>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．b>c>a5．有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同．已知三個房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且x>y>z，三種顏色涂料的粉刷費用(單位：元/m2)分別為a，b，A．Ax+by+cz B．a(chǎn)z+by+cx C．a(chǎn)y+bz+cx D．a(chǎn)y+bx+cz6．已知a>0，b>0，則下面結論正確的是()A．若ab=4，則a+b≤4 B．若a>b，則aC．若a+2b=2，則2a+4b有最小值4 7．定義max{a,b}=a,a≥bA．32 B．2 C．3 D．8．已知a=sin0.5，b=30.5，c=log0.30.5，則A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．c<a<b D．c<b<a二、填空題9．已知有三個條件：?①ac2>bc2；?②10．已知函數(shù)f(x)=|2x+122+2?x11．下列論斷中：①1a>1|b|；②1a2>1以其中一個論斷作為條件，另一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題：（作答時，請按“序號?序號”的格式書寫）．12．已知π<α+β<4π3，?π<α?β<?π3，求13．已知?1≤a+b≤1，?1≤a?b≤1，求2a+3b的取值范圍14．以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù)．設0<a<b<c<1，已知b≥2a或a+b≤1，則max{b?a，c?b，三、解答題15．（1）已知﹣1＜x＜4，2＜y＜3，求x﹣y的取值范圍；（2）比較（x﹣1）（x2+x+1）與（x+1）（x2﹣x+1）的大小，其中x∈R．16．設函數(shù)f(x)=3|x+1|+|2x?1|的最小值為m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b∈(0,+∞)，證明：(117．已知a（1）證明：(a（2）已知x，y∈R，x2?4y2=118．設a，b，（1）用h表示ab，bc，ca的最小值，證明：h≤1；（2）證明：a219．已知函數(shù)f(x)=lnx?x?1（1）f(x)>0;（2）sin（3）?n∈N?20．數(shù)列{an}滿足a（1）證明：任意一個正項等比數(shù)列均為下凸數(shù)列；（2）設cn=dn+en，其中{dn}，（3）若正項下凸數(shù)列的前n項和為Sn，且Sn≤1

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】對于A：若a>b>0，取c=0，則ac2=bc2=0，故A錯誤；

對于B：若a>b>0，則a2>b2，故B正確；

對于CD：若a<b<0，例如a=?2,b=?1，則a22．【答案】C【解析】【解答】解：對于A：令a1=1，a2=0，a3=?1，此時a1+a2>0，但a2+a3<0，A錯誤；

對于B：令a1=2，a2=?1，a3=?4，此時a1+a3<0，但a1+a23．【答案】C【解析】【解答】解：對于ABD：例如x=0,y=π2，可知1x,lnx,tany均無意義，故ABD錯誤；

對于C：因為x>y，且y=1ex在4．【答案】A【解析】【解答】解：由alnb=ca，可得c=lnb，即令h(x)當h'(x)>0時，x∈所以h(x)>h(0)由bec=ca得ec·因為ec>0,c>0,ec故答案為：A.【分析】化c=lnb為b=ec，利用作差法，構造函數(shù)h(x)5．【答案】A【解析】【解答】解：因為x>y>z，且a<b<c，

又因為ax+by+cz?az+by+cx=ax?z+cz?x=x?za?c>0，

所以，ax+by+cz<az+by+cx，

又因為ay+bz+cx?ay+bx+cz=cx?z+bz?x=x?zc?b<0，6．【答案】C【解析】【解答】解：因為a>0，b>0，對于選項A：若ab=4，則a+b≥2ab=4，當且僅當對于選項B：當c=0時，式子不成立，B錯誤；對于選項C：若a+2b=2，則2a當且僅當a=2b=1時取等號，C正確；對于選項D：因為a>b>m>0，且ba?b+m故答案為：C．【分析】對于A.利用基本不等式求解判斷；對于B.取c=0判斷；對于C.利用基本不等式結合指數(shù)運算求解判斷；對于D.利用作差法比較.7．【答案】A【解析】【解答】解：設max{2x,3y,14x2+19y2}=M，根據(jù)max{a，b}的定義，

得M≥2x,M≥3y且M≥14x2+19y2，因為x>0,y>0，14x2+19y2>0，

所以將以上三個不等式相乘，得

M3≥6xy18．【答案】B【解析】【解答】解：設函數(shù)fx=x?sinx，x∈，π2，則f'x=1?cosx≥0，對x∈0,π2恒成立，

所以函數(shù)fx在0，π2上單調遞增，則fx>f0=0，即x>sinx，所以0.5>sin0.5即a=sin9．【答案】①【解析】【解答】解：①由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故“ac2>bc2”是“a>b”的充分條件；

②當c<0時，a<b；

③當a<0，b<0時，滿足a2>b2，有a<b；

故②、③不是a>b的充分條件，

所以能成為“a>b”的充分條件的只有①，故答案為：①.【分析】本題考查不等式的性質以及充分條件的判斷，屬于基礎題.a>b的充分條件是指能夠推出a>b的條件，根據(jù)對①②③條件的分析再結合充分條件的判定一一分析即可.10．【答案】9【解析】【解答】解：設函數(shù)g(x)=2x+12x+當0≤a≤1時，?1?a≤?1,0≤1?a≤1，則0≤f(x)當a>1時，?1?a<1?a<0，a?1<f(x)<a+1，要使得正整數(shù)n的最大值為8，則7(a?1)<a+18故答案為：97【分析】設函數(shù)g(x)=2x+1211．【答案】①?②【解析】【解答】解：①因為1a>1|b|>0，所以a>0②等價于b2>a2，a≠0，即|b|>|a|,a≠0；①可以推出②，因為當|b|>a>0時，|b|>|a|=a③可以推出⑤，因為當b>|a|?1時，b>|a|?1≥a?1，故b>a?1；④可以推出③，因為當④成立時，根據(jù)基本不等式，b>a2+1≥2|a|>|a|?1④可以推出⑤，因為“④?③”與“③?⑤”都成立.故答案為：①?②（答案不唯一）.【分析】先找到每個論斷的等價命題，再逐項檢驗即可.12．【答案】(?π【解析】【解答】解：設2α?β=xα+β+yα?β=x+yα+x?yβ,x,y∈R,則x+y=2x?y=?1,解得x=12y=32,

所以2α?β=12α+β+32α?β，13．【答案】[【解析】【解答】解：令2a+3b=xa+b+ya?b，得x+y=2x?y=3，求得x=52y=?故答案為：[?3

【分析】令2a+3b=xa+b+ya?b，求出x，y14．【答案】1【解析】【解答】設A=max{b?a，c?b，1?c}，

則A≥b?a>0，A≥c?b>0，A≥1?c>0，

可得2A≥c?b+1?c≥1?b，則b≥1?2A；

3A≥b?a+c?b+1?c≥1?a，則a≥1?3A，

若b≥2a，則1?3A≤a≤b?a≤A，解得A≥14；

若a+b≤1，則1?3A+1?2A≤b?a≤1，解得A≥15；

當且僅當a=25，b=35，c=45時，A=1515．【答案】（1）解：由2<y<3，可得?3<?y<?2，因為?1<x<4，所以?4<x?y<2，即x?y的取值范圍為(?4,（2）解：(x?1)(x作差可得x3?1?(故(x?1【解析】【分析】（1）根據(jù)不等式的基本性質求解即可；

（2）利用作差法比較大小即可.16．【答案】解：（Ⅰ）當x<?1時，f(x)=?3x?3?2x+1=?5x?2>3；當?1≤x≤12時，當x>12時，綜上，當x=?1時，f(x)∴m=3．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，求證(1∵a，b∈(0,+∞)，∴1a+1+b∴(1當且僅當1a=1=b【解析】【分析】(1)對絕對值不等式化簡，求出最值.(2)由題意利用不等式性質進行求解.17．【答案】（1）證明：因為(=(=?=?(所以(a2?（2）解：由（1）可得[x所以(3x+2y)當且僅當2y?3由x=?23yx2?4綜上，|3x+2y|的最小值為2，此時x，y的值為x=?【解析】【分析】（1）利用作差法證明不等式；

（2）由（1）得|3x+2y|?2，當且僅當2y?3=18．【答案】（1）解：因為a，假設h>1，則ab>1，bc>1，ca>1，所以ab?bc?ac=(abc)2>1a3+b3+所以假設錯誤，所以h≤1成立；（2）證明：a，b，c>0，不妨設a2?ca3a3+bc又b3+c所以3=a【解析】【分析】（1）利用反證法結合基本不等式證明h≤1；

（2）由不等式的性質證明a219．【答案】（1）解：由題意可得f'所以函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調遞增，所以f(x)>f(1)=0，即f(x)>0，故不等式得證．（2）解：令h(x)=x?sinx，則所以h(x)在(0,+∞)上單調遞增，所以h(x)>h(0)=0，故當x>0時，x>sinx，所以由(1)中不等式lnx>用xx?1替換x得1所以當x>1時，sin1所以sin1（3）解：令x=n+i，其中n∈N?，i=1，2，3，?，則sin1所以sin1sin1sin1?，sin1以上n個式子相加得sin<[=ln即?n∈N?【解析】【分析】（1）利用導數(shù)判斷單調性得到函數(shù)的最小值即可得證；（2）根據(jù)第一問的結論構造函數(shù)，利用導數(shù)證明x>sin（3）根據(jù)第二問的結論，再結合對數(shù)的運算性質即可得證.20．【答案】（1）解：設正項等比數(shù)列{bn}則bn+1?b所以任意一個正項等比數(shù)列{b（2）解：顯然cnc=(=(=?[d所以正項數(shù)列{c下面證明：正項數(shù)列{c若{cn}所以dn+1因為數(shù)列{dn}所以dn+12=所以2d所以2d因為dnen所以(q2?q1所以數(shù)列{c（3）解：假設存在一個常數(shù)k∈N?，使得a1因為an+1≤a將an+2≥2an+1?an進一步得，ak+1又ak<a同理可得，ak+2所以ak所