江蘇省南京市2025屆高三學業(yè)水平調(diào)研考試數(shù)學試卷（解析版）

絕密★啟用前試卷類型：A南京市2025屆高三學業(yè)水平調(diào)研考試數(shù)學本試卷共4頁，19小題，滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，請務必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題卡上．用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上．將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保證答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．1.已知集合，則的真子集個數(shù)為（）A.5個 B.6個 C.7個 D.8個【答案】C【解析】【分析】作出幾何圖形，確定的元素個數(shù)即可得解.【詳解】集合是坐標平面內(nèi)，以原點為圓心，2為半徑的圓上的點的集合，集合是坐標平面內(nèi)，函數(shù)圖象上的點的集合，在同一坐標系內(nèi)作出圓及函數(shù)的部分圖象，如圖，觀察圖象知，圓及函數(shù)的圖象有3個公共點，所以有3個元素，共有個真子集.故選：C2.在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點Z在第二象限，則復數(shù)對應的點所在象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】設出復數(shù)的代數(shù)形式，利用復數(shù)的除法運算求出即可判斷得解.【詳解】由在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點Z在第二象限，設，則，顯然，所以點第一象限，A正確.故選：A3.某考生參加某高校的綜合評價招生并成功通過了初試，在面試階段中，8位老師根據(jù)考生表現(xiàn)給出得分，分數(shù)由低到高依次為：76，a，b，80，80，81，84，85，若這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為77，則該名考生的面試平均得分為（）A.79 B.80 C.81 D.82【答案】B【解析】【分析】計算位置指數(shù)，代入數(shù)據(jù)可得位置，根據(jù)已知可求得.【詳解】由題意知，下四分位數(shù)為第二個數(shù)與第三個數(shù)的平均數(shù)，即，解之得，所以該名考生面試的平均得分為.故選：B.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】化簡得,再根據(jù)充分、必要條件的知識判斷即可.【詳解】因為,所以，解得.所以“”是“”的充要條件.故選：C.5.若單位向量滿足，向量滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】在平面直角坐標系中求出的坐標，由得到C在以為直徑的圓上，求出該圓的方程，再設出的坐標，利用數(shù)量積的坐標表示，結(jié)合三角函數(shù)求出最小值.詳解】令，依題意，，，以點為原點，直線為軸建立平面直角坐標系，則，令，由，得C在以為直徑的圓上，該圓的方程為，設，即，則，所以的最小值為.故選：D6.設數(shù)列an的前項和為，，，若，則正整數(shù)的值為（）A.2024 B.2023 C.2022 D.2021【答案】C【解析】【分析】根據(jù)遞推關系，構造等比數(shù)列求出通項公式，再由分組求和及放縮法得出的范圍即可.【詳解】由，兩邊取倒數(shù)可得：，即，又，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以，故，令由且，則，由，則，則，所以，故，則正整數(shù)的值為2022．故選：C7.已知雙曲線，在雙曲線C上任意一點處作雙曲線C的切線（），交C在第一、四象限的漸近線分別于A、B兩點．當時，該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導數(shù)求出雙曲線C在點P處的切線方程，與兩漸近線聯(lián)立求出兩點坐標，由此證明點P是線段AB的中點，可得，計算求得，得解.【詳解】如圖，設雙曲線C在點P處的切線為l，切線l與x軸交于點D，根據(jù)題意點P在雙曲線第一象限，由，得，所以，則在點的切線斜率為，所以在點的切線方程為，令，得，所以點，設點Ax1,y1，B解得，所以點，同理可得，又，，所以點P是線段AB的中點，所以，即得，即，解得.又，所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：A.，【點睛】關鍵點睛：本題關鍵在求出兩點坐標，此證明點P是線段AB的中點，可得，計算求得.8.在中，且均為整數(shù)，D為AC中點，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定角的大小，再利用和角的正切及整數(shù)條件求出，然后利用同角公式、正弦定理及向量數(shù)量積的運算律求解即得.【詳解】在中，由，得，即，則，由為整數(shù)，得，，，整理得，而，且均為整數(shù)，則，由，解得，由，解得，由正弦定理得，則，由D為AC中點，得，則，所以.故選：D【點睛】關鍵點點睛：解決本問題的關鍵是求出的值，再轉(zhuǎn)化為解三角形問題.三、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.如圖，棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是的中點，點P為底面ABCD內(nèi)（包括邊界）的動點，則下列說法正確的是（）A.過B，E，F(xiàn)三點的平面截正方體所得截面圖形是梯形B.存在點P，使得平面C.若點P到直線BB1與到直線AD的距離相等，則點P的軌跡為拋物線的一部分D.若直線D1P與平面BEF無公共點，則點P的軌跡長度為【答案】AC【解析】【分析】作出過，，三點的平面判斷A；建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出平面的法向量，結(jié)合直線與平面的平行和垂直關系判斷BD；找出點的軌跡，即可判C．【詳解】對于A，連接，，分別是棱，的中點，則，且，又，則，且，因此過，，三點的平面截正方體所得截面為梯形，A正確；以點為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，設點，其中，，，設平面的法向量為，則，取，得，對于B,，若存在點，使得平面，則，于是，即，無解，因此不存在點，使得平面，B錯誤；對于C，平面平面，則，若點到直線與到直線的距離相等，則，平方整理得，則點的軌跡為拋物線的一部分，C正確；對D，依題意，平面，因此點的軌跡是過點與平面平行的平面交正方形所得線段，而，則，令，得；令，得，線段的中點，于是P點軌跡為線段，所以點的軌跡長度為，D錯誤.故選：AC10.芯片時常制造在半導體晶元表面上．某企業(yè)使用新技術對某款芯片制造工藝進行改進．部分芯片由智能檢測系統(tǒng)進行篩選，其中部分次品芯片會被淘汰，篩選后的芯片及未經(jīng)篩選的芯片進入流水線由工人進行抽樣檢驗．記A表示事件“某芯片通過智能檢測系統(tǒng)篩選”，B表示事件“某芯片經(jīng)人工抽檢后合格”．改進生產(chǎn)工藝后，這款芯片的某項質(zhì)量指標服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機抽取M個，這M個芯片中恰有m個的質(zhì)量指標位于區(qū)間，則下列說法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B.C. D.取得最大值時，M的估計值為54【答案】ABC【解析】【分析】直接利用題意判斷A；利用條件概率、全概率公式等進行轉(zhuǎn)化判斷B；利用正態(tài)分布的性質(zhì)判斷C；設，由函數(shù)的單調(diào)性判斷D.【詳解】對于A，由題意可知：，故A正確；對于B，由，則，又，于是，即，因此，即，則，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，設，，解得，，由，解得，即，所以取得最大值時，的估計值為53，故D錯誤.故選：ABC.11.麥克斯韋妖(Maxwell’sdemon)，是在物理學中假想的妖，能探測并控制單個分子的運動，是第二類永動機的一個范例．而直到信息熵的發(fā)現(xiàn)后才推翻了麥克斯韋妖理論．設隨機變量x所有取值為1，2，…，n，且，，定義X信息熵，則下列說法正確的是（）A.當時，B.當時，若，則與正相關C.若，則D.若，隨機變量y的所有可能取值為1，2，…，m，且，則【答案】ABD【解析】【分析】利用給字母賦值來研究ABC選項，化繁為簡，它們就是一個簡單的問題，對于單調(diào)性的研究可用特殊值法來檢驗和推斷，對于D選項，則需要理解題意中的求和公式，對于X的信息熵是有2m項求和，而對于Y的信息熵是只有m項求和，最后它能化歸到2m項的和式，再逐一比較即可得到判斷.【詳解】對于A,若,則,因此正確；對于,當時,令,則即函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以與正相關，B正確;對于,則,則,而,于是令則,兩式相減得，因此，C錯誤；對于由于Pi>0(i=則log2因此Pi所以,所以成立,D正確.故選：ABD.【點睛】思路點睛：一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列前n項和，可采用錯位相減法求和，一般是和式；兩邊同時乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.在正四棱臺中，，，，則該棱臺的體積為__________．【答案】##【解析】【分析】由正四棱臺的對角面為是等腰梯形，求得棱臺的高，結(jié)合棱臺的體積公式，即可求解.【詳解】正四棱臺的對角面為是等腰梯形，其高為該正四棱臺的高，在等腰梯形中，，因為，則該梯形的高，所以該棱臺的體積為.故答案為：.13.已知拋物線與拋物線在第一象限的交點為點A，拋物線與直線(e為自然常數(shù))在第四象限的交點為點B，點O為坐標原點，則的面積為________．【答案】【解析】【分析】解方程組求出點的坐標，再求出點到直線的距離即可求出三角形面積.【詳解】由，解得或，即點，由，當時，解得，即，點到直線的距離，而，所以的面積.故答案為：14.已知函數(shù)滿足，且，則______．【答案】或2021.【解析】【分析】，通過賦值法，求出t的值，進而得到，再求解即可.【詳解】令，則，令，則，解得或.而，故.因此.則，即，因此或當時，，時，此時；當時，.故答案為：或2021.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處有極值，求的值；（2）若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，求b的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）對函數(shù)進行求導，結(jié)合在處的極值為列方程組，解方程組即可求得的值.（2）將原問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，結(jié)合參變分離思想即可求得b的取值范圍.【小問1詳解】函數(shù)，求導得，依題意，，即，解得或，當時，恒成立，在R上單調(diào)遞減，無極值；當時，，當時，，當時，，函數(shù)在處取極大值，滿足題意，所以.【小問2詳解】依題意，在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，因此在上恒成立，而當時，，則，所以b的取值范圍是.16.4月19日是中國傳統(tǒng)二十四節(jié)氣之一的“谷雨”，聯(lián)合國將這天定為“聯(lián)合國中文日”，以紀念“中華文字始祖”倉頡[jié]造字的貢獻，旨在慶祝多種語言以及文化多樣性，促進聯(lián)合國六種官方語言平等使用．某大學面向在校留學生舉辦中文知識競賽，每位留學生隨機抽取問題并依次作答，其中每個問題的回答相互獨立．若答對一題記2分，答錯一題記1分，已知甲留學生答對每個問題的概率為，答錯的概率為．（1）甲留學生隨機抽取題，記總得分為，求的分布列與數(shù)學期望；（2）（?。┤艏琢魧W生隨機抽取道題，記總得分恰為分的概率為，求數(shù)列的前項和；（ⅱ）記甲留學生已答過的題累計得分恰為分的概率為，求數(shù)列的通項公式．【答案】（1）分布列見解析，（2）（?。?；（ⅱ）【解析】【分析】（1）依題意的可能取值為、、、，求出所對應的概率，即可得到分布列與數(shù)學期望；（2）（?。┮李}意可得，利用等比數(shù)列求和公式計算可得；（ⅱ）首先求出，，當時，利用構造法求出通項公式.【小問1詳解】依題意可得的可能取值為、、、，則，，，，所以的分布列為所以.【小問2詳解】（?。┤艏琢魧W生隨機抽取道題，總得分恰為分，即道題均答對了，所以，設數(shù)列的前項和為，則.（ⅱ）依題意可得，，，當時，所以，所以為常數(shù)數(shù)列，又，所以，則，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，經(jīng)檢驗當、上式也成立，所以.17.如圖，已知四邊形是矩形，平面，且，M?N是線段?上的點，滿足.（1）若，求證：直線平面；（2）是否存在實數(shù)，使直線同時垂直于直線，直線？如果有請求出的值，否則請說明理由；（3）若，求直線與直線所成最大角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）不存在，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合平行四邊形的判定定理和性質(zhì)、線面平行的判定定理進行證明即可；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線線的位置關系進行判斷即可；（3）根據(jù)異面直線所成角的定義，結(jié)合余弦定理、換元法、配方法進行求解即可.【小問1詳解】取的中點，連接，因為，所以M是線段上的中點，因此有，因為是矩形，N是線段上的中點，所以，因此有，所以四邊形是平行四邊形，所以有，而平面，平面，所以直線平面；【小問2詳解】假設存在實數(shù)，使直線同時垂直于直線，直線，因為四邊形是矩形，所以，即，而平面，所以平面，因為是矩形，所以，因為平面，平面，所以，而平面，所以平面，因此，顯然不可能，所以假設不成立，因此不存在實數(shù)，使直線同時垂直于直線，直線；【小問3詳解】當時，由（2）可知：，所以是直線與直線所成角，設，由（2）可知，所以，在中，由余弦定理可知：，令，所以，于是有，當時，有最小值，最小值為，此時有最大值.則直線與直線所成最大角的余弦值為.18.已知雙曲線與曲線有4個交點（按逆時針排列）（1）當時，判斷四邊形的形狀；（2）設為坐標原點，證明：為定值；（3）求四邊形面積的最大值．附：若方程有4個實根，，，，則，．【答案】（1）正方形（2）證明見解析（3）8【解析】【分析】(1)聯(lián)立兩曲線方程，求出交點坐標，得到且⊥，得四邊形的形狀；(2)聯(lián)立兩曲線方程，得到四次方程，設，得到，，表達出；(3)記，，，，分在內(nèi)部和外部兩種情況，結(jié)合（2）中結(jié)論，由三角形面積公式和基本不等式求出最值，得到答案.【小問1詳解】當時，四邊形為正方形，理由如下：此時，又，，由，故四個交點坐標分別為，且⊥，為正方形；【小問2詳解】，將代入，，化簡得，設，由“公式”知，，故．【小問3詳解】記，，，．當在內(nèi)部時，設，．當且僅當四邊形為正方形取等．當在外部時，設，.綜上，四邊形面積最大值為8．【點睛】圓錐曲線中最值或范圍問題常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，結(jié)合基本不等式，導函數(shù)等