《通信原理》課件3第3章

第3章隨機信號分析3.1引言3.2隨機變量3.3隨機過程3.4隨機過程通過線性系統(tǒng)3.5通信系統(tǒng)中的噪聲本章小結3.1引言在第2章中我們對確知信號進行了分析。在實際通信系統(tǒng)中，攜帶消息的信號一般都帶有隨機性。同時，攜帶消息的信號在傳輸過程中，不可避免地要受到噪聲的干擾，噪聲一般也是隨機的。因此，廣泛地說，無論信號還是噪聲，兩者都是隨機的。它們不能表示成一個確定的時間函數(shù)，要分析此類信號和噪聲的內在規(guī)律性，只有找出它們的統(tǒng)計特性，根據(jù)隨機理論來描述。本章將對隨機信號和噪聲的數(shù)學模型——隨機過程作理論上的討論，并用隨機過程的理論來解決實際問題。3.2隨機變量3.2.1什么是隨機變量生活中有許多隨機變量的例子。例如：擲一枚硬幣出現(xiàn)正面與反面的隨機實驗。我們規(guī)定數(shù)值1表示出現(xiàn)反面，數(shù)值0表示出現(xiàn)正面，這樣做就相當于引入一個變量X，它將隨機地取兩個數(shù)值，而對應每一個可能取的數(shù)值，有一個概率，這一變量X就稱之為隨機變量。當隨機變量X的取值個數(shù)有限或無窮可數(shù)時，稱它為離散隨機變量，否則就稱之為連續(xù)隨機變量，即可能的取值充滿某一有限或無限區(qū)間。3.2.2概率及概率密度函數(shù)

1.概率及頻率密度函數(shù)的定義及性質

離散隨機變量取某個值可能性的大小用概率來表示。如在上述投擲硬幣的試驗中，由于硬幣出現(xiàn)正面和反面的可能性均為0.5，故隨機變量X取數(shù)值1和0的概率均為0.5，記作P(X=1)=0.5和P(X=0)=0.5。連續(xù)隨機變量X取值x的可能性大小用概率密度函數(shù)f(x)來表示，對概率密度函數(shù)積分等于概率。例如，隨機變量X取值小于等于x1的概率為概率密度有如下性質：

(1)f(x)≥0

(2)

(3)

2.幾種常見的概率密度函數(shù)

1)均勻分布隨機變量X在(a,b)區(qū)間內均勻分布的概率密度函數(shù)如圖3.2.1所示，其表達式為例如，正弦振蕩源所產(chǎn)生的振蕩信號的初相θ就是一個在(0,2π)上均勻分布的隨機變量，其概率密度函數(shù)為(3-2-1)圖3.2.1均勻分布概率密度函數(shù)

2)高斯(Gauss)分布高斯分布(也稱為正態(tài)分布)隨機變量的概率密度函數(shù)為

其中,a和σ為常數(shù)。可以證明，a為均值，σ2為方差。此概率密度函數(shù)的曲線如圖3.2.2所示。圖3.2.2高斯分布隨機變量的概率密度函數(shù)由概率密度函數(shù)表達式及曲線不難看出，f(x)有如下特點：①f(x)對稱于直線x=a，在x→±∞時，f(x)→0。②當σ一定時，對于不同的a，表現(xiàn)為f(x)的圖形左右平移；當a一定時，對于不同的σ，表現(xiàn)為f(x)的圖形將隨σ的減小而變高和變窄（曲線下的面積恒為1）。當我們研究高斯噪聲對數(shù)字通信的影響時，通常對圖3.2.3（a）、（b）中陰影部分所對應的概率感興趣。①當b<a時，如圖3.2.3（a）所示，陰影部分的概率為

其中，稱為互補誤差函數(shù)。當變量x的值給定時，可通過數(shù)學手冊查得eRFc(x)的值。為方便使用，附錄中給出了部分eRFc(x)的值。②當b>a時，如圖3.2.3（b）所示，陰影部分的概率為圖3.2.3兩個有用的概率

3)瑞利分布通信原理中遇到的窄帶高斯噪聲的包絡是服從瑞利分布的，瑞利分布隨機變量的概率密度函數(shù)為

式中σ2是窄帶高斯噪聲的方差，其曲線如圖3.2.4所示。(3-2-3)圖3.2.4瑞利分布隨機變量的概率密度函數(shù)

4)萊斯分布正弦(或余弦)信號加上窄帶高斯噪聲包絡的瞬時值服從萊斯分布。萊斯分布隨機變量的概率密度函數(shù)為

式中,I0(x)為零階貝塞爾函數(shù)，A為正弦波的振幅。當A=0時，萊斯分布退化為瑞利分布；當A相對于噪聲較大時，萊斯分布趨近于正態(tài)分布。(3-2-4)圖3.2.5萊斯分布隨機變量的概率密度函數(shù)3.2.3隨機變量的數(shù)字特征

1.隨機變量的數(shù)學期望數(shù)學期望是隨機變量的統(tǒng)計平均值。對于離散隨機變量X，如果它可能的取值有x1，x2，x3，…，xn，其相應的概率分別為P(x1)，P(x2)，P(x3)，…，P(xn)，則其數(shù)學期望的定義為

(3-2-5)對于連續(xù)隨機變量X，如果其概率密度函數(shù)為f(x)，則其數(shù)學期望的定義為

(3-2-6)

例3.2.3(1)測量某隨機電壓X，測得3.0V的概率為2/5；測得3.2V的概率為2/5；測得3.1V的概率為1/5，求該隨機電壓的數(shù)學期望。

(2)某連續(xù)隨機變量X的概率密度函數(shù)

,其中a、σ2均為常數(shù)，求該隨機變量的數(shù)學期望。

解

(1)由式(3-2-5)得

(2)由式(3-2-6)得

數(shù)學期望有如下特性：

(1)E(C)=C，C為常數(shù)；

(2)E(X+Y)=E(X)+E(Y);

(3)E(XY)=E(X)E(Y)，X、Y統(tǒng)計獨立;

(4)E(X+C)=E(X)+C;

(5)E(CX)=CE(X)。

其中，X、Y為隨機變量。

2.方差隨機變量的方差反映了隨機變量取值的集中程度。方差越小，說明隨機變量取值越集中；方差越大，說明隨機變量取值越分散。對于離散隨機變量X，設其均值為ax，則其方差定義為

(3-2-7)即隨機變量X與它的數(shù)學期望aX之差的平方的數(shù)學期望。方差有如下特性：

(1)D(C)=0，C為常數(shù)；

(2)D(X+Y)=D(X)+D(Y)，此式成立的條件是X、Y統(tǒng)計獨立；

(3)D(X+C)=D(X);

(4)D(CX)=C2D(X);

(5)D(X)=E(X2)-E2(X)。如果X代表某隨機信號，則隨機信號的功率為

其中,為信號的直流功率；為信號的交流功率。

3.協(xié)方差、相關矩兩個隨機變量之間的協(xié)方差定義為

其中，E(XY)稱為兩個隨機變量X、Y之間的相關矩，它是兩個隨機變量乘積的均值。這里有三個重要概念：

(1)當協(xié)方差C(XY)=0時，相關系數(shù)ρ=0，稱兩個隨機變量是不相關的。

(2)當相關矩E(XY)=0時，稱兩個隨機變量是正交的。

(3)當兩個隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)等于兩個隨機變量各自概率密度函數(shù)的乘積時，即f(x,y)=f(x)f(y)時，稱兩個隨機變量是獨立的。3.3隨機過程3.3.1隨機過程的定義隨機變量在時間t上的變化過程就是隨機過程。隨機過程可定義為隨機變量λ和時間t的函數(shù)，記為X(t,λ)。當隨機變量λ取某個值，如λi時，隨機過程X(t,λi)=xi(t)為時間的確定函數(shù)。此時間函數(shù)稱為隨機過程X(t,λ)的一個樣本函數(shù)或隨機過程X(t,λ)的一次實現(xiàn)，隨機變量λ取不同值時得到不同的樣本函數(shù)。另一方面，對于一個特定的時間值，如t0，則X(t0,λ)是一個隨機變量，此隨機變量的取值與λ有關。所以，隨機過程任意時刻的取值是一個隨機變量。當λ=λi，t=t0時，隨機過程X(t,λ)=X(t0,λi)為一個確定的值。通常我們使用X(t)來表示隨機過程。如隨機過程

X(t)=2cos(2πt+Y)其中，設Y是一個離散隨機變量，取0和π/2的概率相同，即P(Y=0)=1/2，P(Y=π/2)=1/2。當隨機變量Y取值為0時，隨機過程X(t)為x1(t)=2cos(2πt)，是時間的一個確定函數(shù)，也是隨機過程X(t)=2cos(2πt+Y)的一個樣本函數(shù)。當隨機變量Y取值為π/2時，隨機過程X(t)為x2(t)=2cos(2πt+π/2)=-2sin(2πt)，它也是時間的一個確定函數(shù)，是隨機過程X(t)=2cos(2πt+Y)的另一個樣本函數(shù)。由此可見，此隨機過程共有兩個樣本函數(shù)，如圖3.3.1所示。圖3.3.1隨機過程X(t)的樣本函數(shù)當給定某個時間值，如t=0.5時，X(0.5)=2cos(2π×0.5+Y)=2cos(π+Y)，是一個隨機變量，取值及概率與Y有關。當Y=0時，X(0.5)=2cos(π)=-2；當Y=π/2時，X(0.5)=2cos(π+π/2)=0。由于Y=0及Y=π/2的概率都為1/2，所以，隨機變量X(0.5)取值為-2和0的概率都是1/2。3.3.2隨機過程的統(tǒng)計特性設X(t)是一個隨機過程，則其任意時刻t1的取值X(t1)是一個隨機變量，該隨機變量的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)就定義為隨機過程X(t)的一維分布函數(shù)和一維概率密度函數(shù)，一維概率密度函數(shù)記為F1(x1;t1)。同樣，隨機過程X(t)的任意兩個不同時刻t1、t2的取值X(t1)、X(t2)是兩個不同的隨機變量，這兩個隨機變量之間的聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度函數(shù)相應地定義為隨機過程X(t)的二維分布函數(shù)和二維概率密度函數(shù)，二維概率密度函數(shù)記為F2(x1,x2;t1,t2)。隨機過程的n維分布函數(shù)和n維概率密度函數(shù)的定義與此類似。與隨機變量一樣，我們也常用統(tǒng)計平均(數(shù)字特征)來描述隨機過程。最常用的三個統(tǒng)計平均是數(shù)學期望、方差和相關函數(shù)。

1.隨機過程的數(shù)學期望隨機過程X(t)在t1時刻的取值X(t1)是一個隨機變量，此隨機變量可能是離散隨機變量也可能是連續(xù)隨機變量。設其為連續(xù)隨機變量，根據(jù)3.2節(jié)中數(shù)學期望的定義，此隨機變量的數(shù)學期望為

同樣，隨機過程在t2時刻的取值X(t2)也是一個隨機變量，此隨機變量的數(shù)學期望為

由此可以看出，不同時刻對隨機過程取值會得到不同的隨機變量，它們具有不同的數(shù)學期望，即隨機過程的數(shù)學期望隨時間而變化。所以，隨機過程X(t)的數(shù)學期望的一般表達式為

(3-3-1)它是隨機過程在任意時刻t的取值X(t)所對應的數(shù)學期望。如果隨機過程任意時刻的取值X(t)是一個離散隨機變量，則按離散隨機變量的方法求數(shù)學期望。一般情況下，隨機過程的數(shù)學期望與時間有關。

例3.3.1

有隨機過程定義為X(t)=2cos(2πt+Y)其中Y是離散隨機變量，等概地取兩個值Y=0和Y=π/2。求

(1)隨機過程在時刻t=0.5及t=1.0的數(shù)學期望a(0.5)和a(1.0)。

(2)隨機過程的數(shù)學期望a(t)。

解

(1)隨機過程X(t)=2cos(2πt+Y)在t=0.5時的值X(0.5)是一個隨機變量，即X(0.5)=2cos(π+Y)，此隨機變量有兩個值，分別為2cos(π)和2cos(π+π/2)，概率都為1/2。根據(jù)離散隨機變量求數(shù)學期望的方法求得

同理，t=1.0時的取值X(1.0)=2cos(2π+Y)也是一個隨機變量，取值為2cos(2π)和2cos(2π+π/2)時的概率都是1/2，所以

由此可知，隨機過程在t=0.5和t=1.0時有不同的數(shù)學期望。

(2)隨機過程任意時刻的取值X(t)=2cos(2πt+Y)也是一個離散隨機變量，取值為2cos(2πt)和2cos(2πt+π/2)，概率都為1/2。所以任意時刻的數(shù)學期望為

這是隨機過程X(t)=2cos(2πt+Y)在任意時刻的數(shù)學期望。由此可以驗證當t=0.5和t=1.0時數(shù)學期望分別為-1和1。

2.隨機過程的方差及自相關函數(shù)隨機過程的方差及自相關函數(shù)都是用數(shù)學期望來定義的。隨機過程任意時刻的方差為

(3-3-2)它代表時刻t時的隨機變量偏離均值的情況。一般情況下，隨機過程的方差也是隨時間變化的。隨機過程自相關函數(shù)定義為任意兩個不同時刻所對應的隨機變量的相關矩，即

(3-3-3)如果令t2=t1+τ，則上式表示為通常情況下，隨機過程的自相關函數(shù)與時間起點t1及時間間隔τ有關。3.3.3平穩(wěn)隨機過程如果隨機過程的統(tǒng)計特性與時間的起點無關，即隨機過程X(t)與X(t+ε)有相同的統(tǒng)計特性，ε是任意的時移，這樣的隨機過程稱為狹義平穩(wěn)隨機過程。狹義平穩(wěn)隨機過程有如下實用結論：

(1)

(3-3-4)即平穩(wěn)隨機過程的數(shù)學期望不隨時間變化，是一個常數(shù)。

(2)(3-3-5)即平穩(wěn)隨機過程的方差與時間無關，也是一個常數(shù)。即平穩(wěn)隨機過程任意兩個時刻所對應的隨機變量之間的相關函數(shù)，只與時間間隔有關，與時間起點無關。只要時間間隔相同，它們之間的相關程度也是相等的。例如：當t1-t2=t3-t4時，E［X(t1)X(t2)］=E［X(t3)X(t4)］。在實際應用中，經(jīng)常將滿足式(3-3-4)、(3-3-5)及(3-3-6)的隨機過程稱為廣義平穩(wěn)隨機過程。需要注意的是，狹義平穩(wěn)隨機過程一定是廣義平穩(wěn)隨機過程，而廣義平穩(wěn)隨機過程不一定是狹義平穩(wěn)隨機過程。以后如不特別說明，平穩(wěn)隨機過程都是指廣義平穩(wěn)隨機過程。(3-3-6)(3)

例3.3.2

考察隨機過程X(t)=Acos(2πfct+θ)的平穩(wěn)性。其中，A、fc是常數(shù)，相位θ是在區(qū)間(-π,π)上均勻分布的隨機變量。

解根據(jù)隨機過程數(shù)學期望的定義求出X(t)=Acos(2πFct+θ)的數(shù)學期望a(t)為

根據(jù)隨機過程自相關函數(shù)的定義求出X(t)=Acos(2πFct+θ)的自相關函數(shù)R(t1,t2)為可見，隨機過程X(t)=Acos(2πfct+θ)的數(shù)學期望與時間無關，自相關函數(shù)只與時間間隔τ有關。所以此隨機過程是廣義平穩(wěn)隨機過程。滿足式(3-3-4)和式(3-3-6)的隨機過程一定滿足式(3-3-5)，這是因為方差與數(shù)學期望及自相關函數(shù)之間有如下關系：(3-3-7)顯然方差與時間無關，是個常數(shù)。例3.3.2中，方差為σ2(t)=R(0)-a2=A2/2。所以驗證一個隨機過程是不是平穩(wěn)時，只要驗證數(shù)學期望和自相關函數(shù)是否滿足要求就可以了。3.3.4平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度由于隨機過程不是周期函數(shù)，因此無法用傅氏級數(shù)來表示它。同時，隨機過程的持續(xù)時間無限長，其能量為無窮大，所以也無法用頻譜或能量譜來描述它。但它的平均功率是個有限值，因此我們可以求出它的功率譜。由數(shù)學推導可知，平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度P(f)完全由自相關函數(shù)R(τ)決定，它們之間是一對傅氏變換，關系如下：

(3-3-8)

(3-3-9)

式(3-3-9)、(3-3-10)稱為維納-辛欽定理，它有著很重要的理論與實際應用價值。它表示：隨機過程的功率譜密度等于自相關函數(shù)的傅氏變換，自相關函數(shù)等于功率譜的傅氏反變換。由此可知，隨機過程的功率譜或自相關函數(shù)中只要知道其中的一個，利用維納-辛欽定理即可求得另一個。自相關函數(shù)是平穩(wěn)隨機過程的一個重要概念，它不僅在時域描述隨機過程，而且通過對它的傅氏變換，還能反映平穩(wěn)隨機過程的頻域特性。下面再對平穩(wěn)隨機過程作較深入的認識。

(1)由式(3-3-9)可知

可見，R(0)等于平穩(wěn)隨機過程的平均功率。由式(3-3-7)、(3-3-8)可知

其中，σ2是平穩(wěn)隨機過程的交流功率，a2是平穩(wěn)隨機過程的直流功率。上式說明平均功率等于交流功率和直流功率之和。

(2)平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)R(τ)是個偶函數(shù)。由R(τ)的定義很容易得到

令t′=t+τ代入上式，得

(3)R(±∞)=a2。根據(jù)R(τ)的定義有X(t)與X(t±∞)是相距無窮遠的兩個隨機變量，它們之間的取值毫無相關性，可以將它們看做相互獨立的隨機變量，因此有由上分析可見，根據(jù)平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)R(τ)，可求出平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度函數(shù)、平均功率、直流功率及交流功率。

例3.3.3

題目同例3.3.2。求此隨機過程的功率譜密度和平均功率。

解由例3.3.2得自相關函數(shù)，由式(3-3-8)得功率譜密度函數(shù)為對功率譜密度函數(shù)積分即可得平均功率，即平均功率也可從很方便地求出，即可見，兩種方法得到的結果完全相同。

例3.3.4

有隨機過程Xc(t)=AX(t)cos(2πFct+θ)，其中X(t)是一個零均值的平穩(wěn)隨機過程，自相關函數(shù)為RX(τ)，功率譜密度函數(shù)為PX(F)。A、Fc是常數(shù)，相位θ是在區(qū)間(-π,π)上均勻分布的隨機變量。X(t)與θ相互統(tǒng)計獨立。

(1)證明Xc(t)是廣義平穩(wěn)隨機過程。

(2)求Xc(t)的功率譜密度函數(shù)。

解

(1)

X(t)與θ相互統(tǒng)計獨立，且E［X(t)］=0。

(2)因為E［cos(4πFct+2πFcτ+2θ)］=0，隨機過程Xc(t)=AX(t)cos(2πFct+θ)的均值和自相關函數(shù)都不依賴于時間t，所以Xc(t)是廣義平穩(wěn)的。對自相關函數(shù)做傅氏變換即可得到Xc(t)的功率譜密度函數(shù)

。3.4隨機過程通過線性系統(tǒng)我們知道，隨機過程是以某一概率出現(xiàn)的樣本函數(shù)的全體。因此，隨機過程輸入到線性系統(tǒng)可以理解為隨機過程的某一樣本函數(shù)輸入到線性系統(tǒng)。由于隨機過程的樣本函數(shù)是時間的確定函數(shù)，因此我們完全可以用確知信號通過線性系統(tǒng)的分析方法來求得隨機過程通過線性系統(tǒng)時的輸出。設加到線性系統(tǒng)輸入端的是隨機過程X(t)的某一樣本函數(shù)x(t)，系統(tǒng)相應的輸出為y(t)，則有(3-4-1)其中，h(t)為線性系統(tǒng)的沖激響應，與系統(tǒng)傳輸特性H(f)之間的關系如下：由于輸入隨機過程有很多可能的樣本函數(shù)x(t)，不同的輸入樣本函數(shù)x(t)對應不同的輸出樣本函數(shù)y(t)，因此，當線性系統(tǒng)的輸入是隨機過程時，它的輸出也是由很多樣本函數(shù)組成的一個隨機過程，我們將此輸出隨機過程記為Y(t)。Y(t)與輸入隨機過程X(t)的一般表達式為(3-4-3)有了輸出隨機過程Y(t)的表達式后，在已知輸入隨機過程X(t)的條件下求出Y(t)的均值、自相關函數(shù)及功率譜等數(shù)字特征，就可以討論輸出隨機過程的平穩(wěn)性。本節(jié)主要討論當輸入X(t)為平穩(wěn)隨機過程時，輸出隨機過程Y(t)的一些特性。由此得到的結論主要用于通信系統(tǒng)抗噪聲性能的分析。討論時，設E［X(t)］=aX,E［X(t)X(t+τ)］=RX(τ)。3.4.1輸出隨機過程Y(t)的數(shù)學期望輸出隨機過程Y(t)的數(shù)學期望為

由于E［X(t-u)］=aX，由式(3-4-2)得因此(3-4-4)由此可見，當輸入隨機過程的數(shù)學期望為常數(shù)時，線性系統(tǒng)輸出隨機過程的數(shù)學期望也是常數(shù)。3.4.2輸出隨機過程Y(t)的自相關函數(shù)為了求得Y(t)的自相關函數(shù)，讓我們首先求出X(t)與Y(t)的互相關函數(shù)RXY(τ)。互相關函數(shù)RXY(τ)只與時間間隔τ有關，它等于RX(τ)與h(τ)的卷積。(3-4-5)現(xiàn)在來求自相關函數(shù)RY(τ)。(3-4-6)結合式(3-4-5)及式(3-4-6)得到(3-4-7)由此可得，當輸入隨機過程X(t)平穩(wěn)時，輸出隨機過程的自相關函數(shù)只與時間間隔有關。式(3-4-4)與式(3-4-7)表明，當線性系統(tǒng)的輸入為平穩(wěn)隨機過程時，輸出隨機過程的數(shù)學期望是常數(shù)，自相關函數(shù)與時間起點無關，只依賴于時間間隔τ。顯然，輸出隨機過程也是平穩(wěn)的。3.4.3輸出隨機過程Y(t)的功率譜密度由式(3-4-7)可得

應用時域卷積定理得

(3-4-8)其中，

。根據(jù)式(3-4-8)，在已知輸入隨機過程功率譜密度PX(F)及系統(tǒng)傳輸特性H(F)時，可求出輸出隨機過程的功率譜密度PY(F)。

例3.4.1

平穩(wěn)隨機過程X(t)輸入到一個RC低通網(wǎng)絡，X(t)的均值為0，自相關函數(shù)RX(τ)=exp(-α|τ|)。求輸出隨機過程的均值、方差、功率譜密度及自相關函數(shù)。

解

RC低通網(wǎng)絡的傳輸特性如下

其中，β=1/(RC)。根據(jù)式(3-4-4)可求得輸出隨機過程均值(數(shù)學期望)為

查表2-3-1可求得輸入隨機過程的功率譜密度函數(shù)PX(F)為根據(jù)式(3-4-8)求得輸出隨機過程的功率譜密度PY(F)為

例3.4.2

設線性系統(tǒng)的輸入為X(t),輸出為Y(t)=X(t+a)-X(t-a),已知X(t)是平穩(wěn)隨機過程，自相關函數(shù)為RX(τ)。試證明：

(1)

(2)

解

(1)根據(jù)自相關函數(shù)的定義，得(2)對RY(τ)求傅氏變換得Y(t)的功率譜密度為將式(3-4-3)所表示的輸出隨機過程Y(t)改寫成求和形式(3-4-9)3.4.4輸出隨機過程的概率分布對一般隨機過程來說，通過線性系統(tǒng)后，其概率分布特性會發(fā)生變化，而且沒有規(guī)律可尋。如輸入的隨機過程為均勻分布時，我們很難確定輸出隨機過程的分布特性。只有一種情況例外，那就是當輸入是平穩(wěn)高斯隨機過程時，輸出過程仍然是高斯分布的。由于通信中的隨機過程大多被看做平穩(wěn)高斯過程，因此這一結論很重要。下面對此結論作簡單說明。當輸入X(t)為平穩(wěn)高斯隨機過程時，X(t-un)是t-un時刻對隨機過程X(t)的取值，是一個高斯分布的隨機變量，X(t-un)乘以常數(shù)h(un)Δun后仍然為高斯隨機變量，只是均值和方差有所改變。因此，式(3-4-9)中X(t-un)h(un)Δun的每一項都是高斯隨機變量。所以，輸出隨機過程Y(t)在任一時刻上的取值將是無窮多個高斯隨機變量之和。通過數(shù)學方法可以證明，兩個高斯隨機變量之和仍然為高斯隨機變量。即當X1與X2為高斯隨機變量時，Y=X1+X2也為高斯隨機變量，其均值為a1+a2，方差為

。其中,a1、a2和

、

分別是X1和X2的均值與方差，ρ12為X1和X2的相關系數(shù)。進而得到這樣的結論：無窮多個高斯隨機變量之和仍然為高斯隨機變量。所以，平穩(wěn)高斯隨機過程通過線性系統(tǒng)后仍然為平穩(wěn)高斯隨機過程。3.5通信系統(tǒng)中的噪聲3.5.1噪聲的分類

1.人為噪聲和自然噪聲按噪聲的不同來源可將噪聲分為人為噪聲和自然噪聲兩種。人為噪聲是指各種電氣設備、汽車的火花塞所產(chǎn)生的火花放電，高壓輸電線路的電暈放電，以及鄰近電臺信號的干擾等。自然噪聲包括大氣產(chǎn)生的噪聲，天體輻射的電磁波所形成的宇宙噪聲，以及通信設備內部電路產(chǎn)生的熱噪聲和散彈噪聲等。

2.高斯分布噪聲和非高斯分布噪聲按噪聲幅度瞬時值的概率分布可將噪聲分成高斯噪聲和非高斯噪聲兩種。幅度瞬時值服從高斯分布的噪聲稱為高斯噪聲，否則稱為非高斯噪聲。

3.白噪聲和有色噪聲按噪聲功率譜可將噪聲分成白噪聲和有色噪聲兩種。如果噪聲的功率譜在很大頻率范圍內是個常數(shù)，則稱此噪聲為白噪聲，否則稱為有色噪聲。

4.加性噪聲和乘性噪聲按噪聲對信號作用的方式可將噪聲分成加性噪聲和乘性噪聲兩種。如果噪聲與信號是相加關系，則稱此噪聲為加性噪聲，如s(t)是信號，n(t)是噪聲，則接收波形是s(t)+n(t)。如果噪聲對信號的影響是以相乘形式出現(xiàn)的，則稱此噪聲為乘性噪聲，如接收波形為s(t)n(t)。通過對通信系統(tǒng)的精心設計，許多噪聲是可以消除或部分消除的，但仍有一些噪聲無法避免。電路內部電子運動產(chǎn)生的熱噪聲和散彈噪聲，以及宇宙噪聲就是對通信系統(tǒng)有較大的持續(xù)影響的噪聲，有時統(tǒng)稱這些噪聲為起伏噪聲。起伏噪聲是加性噪聲，通過采用適當?shù)恼{制技術可以將它的影響降低到最小程度。3.5.2白噪聲起伏噪聲是影響通信系統(tǒng)性能的主要噪聲。熱噪聲、散彈噪聲和宇宙噪聲盡管形成的機理不同，但卻有一些共同的特點，那就是它們的幅度瞬時值都服從高斯分布，均值都為0，且在相當寬的頻率范圍(如1012Hz)內都具有平坦的功率譜密度，如圖3.5.1(a)所示，其功率譜表達式為(3-5-1)用n0/2表示雙邊功率譜密度，相應地，n0就表示單邊功率譜密度，如圖3.5.1(b)所示。具有平坦功率譜密度的噪聲稱為白噪聲。所以通信系統(tǒng)中的起伏噪聲是零均值高斯白噪聲。在后面通信系統(tǒng)抗噪聲性能的分析中，都假設信道中的噪聲是均值為0的加性高斯白噪聲(AdditiveWhiteGassianNoise，縮寫為AWGN)。顯然，這種假設是合理的。白噪聲的自相關函數(shù)Rn(τ)是功率譜密度的傅氏反變換，為

(3-5-2)如圖3.5.1(c)所示。顯而易見，當τ≠0時，

。這一結果的物理意義是：白噪聲任意兩個不同時刻的瞬時值之間是不相關的。如果白噪聲服從高斯分布，我們稱其為高斯白噪聲，此時任意兩個不同時刻的瞬時值之間也是獨立的。圖3.5.1白噪聲的功率譜密度及自相關函數(shù)3.5.3低通型白噪聲白噪聲通過理想低通濾波器后得到的噪聲稱為低通型白噪聲。設理想低通濾波器的傳輸特性為

根據(jù)隨機過程通過線性系統(tǒng)后的功率譜公式，白噪聲輸入到低通濾波器后，低通濾波器輸出端噪聲的功率譜為

(3-5-3)如圖3.5.2所示。圖3.5.2白噪聲通過低通濾波器對式(3-5-3)所示的功率譜密度求積分，可得到低通濾波器輸出端的噪聲功率。當白噪聲的均值為零時，噪聲功率與方差是相同的，此時低通型白噪聲的方差為對式(3-5-3)所示的功率譜密度求傅氏反變換，可得低通型白噪聲的自相關函數(shù)RY(τ)為(3-5-4)自相關函數(shù)RY(τ)的波形如圖3.5.3所示。它是Sa(x)函數(shù)，有等間隔的零點。當τ=±k/2B(k=1,2,3,…)時，RY(τ)=0。這個結論的物理意義是：低通白噪聲上間隔為τ=±k/2B(k=1,2,3,…)的兩個瞬時值之間是不相關的，如果白噪聲是高斯分布的，則這兩個瞬時值也是相互獨立的。圖3.5.3低通型白噪聲的自相關函數(shù)3.5.4帶通型白噪聲及窄帶高斯噪聲

1.帶通型白噪聲白噪聲通過理想帶通濾波器后的輸出噪聲稱為帶通型白噪聲。設理想帶通濾波器的中心頻率為Fc，帶寬為B，傳輸特性為

則帶通型白噪聲的功率譜密度PY(F)為

如圖3.5.4所示。圖3.5.4白噪聲通過帶通濾波器噪聲方差

為如圖3.5.4(d)所示。帶通型白噪聲的自相關函數(shù)是以n0BSa(πBτ)為包絡，再填進頻率為fc的載波組成。由圖可見，使RY(τ)=0的τ值很多，以這樣的τ為間隔對帶通型白噪聲取值，所得到的兩個值是不相關的，當白噪聲為高斯分布時，這兩個值之間也是獨立的。帶通型白噪聲的自相關函數(shù)RY(τ)為

2.窄帶高斯噪聲當帶通濾波器為窄帶濾波器，即B<<fc，且輸入是零均值平穩(wěn)高斯噪聲時，輸出的噪聲稱為窄帶高斯噪聲。根據(jù)平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)這一節(jié)得到的結論，我們知道窄帶高斯噪聲也是平穩(wěn)的，且均值為0，功率譜密度如圖3.5.5(a)所示。此功率譜所對應的時間波形，是一個包絡和相位都緩慢變化的，頻率為Fc的余弦信號(可用示波器觀測)，波形如圖3.5.5(b)所示。因此，窄帶高斯噪聲的一般表示式為

(3-5-5)圖3.5.5窄帶高斯噪聲的功率譜和時間波形其中，R(t)≥0為隨機包絡過程，φ(t)為隨機相位過程，它們都是低通型功率信號。對式(3-5-5)進行三角公式展開，得：

(3-5-6)式中

(3-5-7)

(3-5-8)式(3-5-6)為窄帶平穩(wěn)高斯噪聲的正交表示，同相和正交分量的大小分別用nI(t)和nQ(t)來表示。由式

(3-5-7)和式(3-5-8)可知，nI(t)和nQ(t)也是緩慢變化的隨機過程。在通信系統(tǒng)抗噪聲性能的分析中經(jīng)常要用到噪聲的正交表達式，并且還需要知道nI(t)和nQ(t)這兩個隨機過程的有關統(tǒng)計特性。當ni(t)是平穩(wěn)窄帶高斯噪聲且均值為0、方差為

時，經(jīng)數(shù)學推導可得如下結論：

(1)nI(t)和nQ(t)都是平穩(wěn)高斯過程，所以nI(t)和nQ(t)任意時刻的取值都是高斯隨機變量。

(2)E［nI(t)］=E［nQ(t)］=E［ni(t)］=0，即均值相等，都為0。

(3)D［nI(t)］=D［nQ(t)］=D［ni(t)］=

，即方差相等，都為

。

(4)nI(t)、nQ(t)在同一時刻的取值是線性不相關的隨機變量，又因為它們都是高斯的，所以也是統(tǒng)計獨立的。

(5)從式(3-5-6)中看出，由于Fc頻率分量單獨提出來，因此nI(t)、nQ(t)為低通型噪聲。在采用包絡解調通信系統(tǒng)抗噪聲性能的分析中，還會用到窄帶高斯噪聲ni(t)及窄帶高斯噪聲加正弦波ni(t)+Acos2πFct的包絡的有關統(tǒng)計特性。

3.窄帶高斯噪聲的包絡和相位式(3-5-5)是用包絡和相位表示的窄帶高斯噪聲的時域表達式，利用式(3-5-7)和式(3-5-8)可得包絡和相位表達式為經(jīng)數(shù)學推導得到，包絡R(t)的瞬時值服從瑞利分布，相位φ(t)的瞬時值服從均勻分布，它們的概率密度函數(shù)分別為

同時可以證明，R(t)和φ(t)的瞬時值是統(tǒng)計獨立的。

4.窄帶高斯噪聲加正弦波的包絡很多通信系統(tǒng)中的信息信號被模型化為正弦波Acos2πfct，其中，A、fc是常數(shù)。當信息信號到達接收機時，通常伴隨著加性窄帶高斯噪聲，也就是說，接收信號是信息信號和窄帶高斯噪聲的混合物，即接收信號Z(t)=Acos2πFct+ni(t)。為分析噪聲對信息信號幅度的影響，我們需要確定接收信號包絡的概率密度函數(shù)。將窄帶高斯噪聲ni(t)表示成正交形式，Z(t)為

Z(t)的包絡