教師資格認(rèn)定考試高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)真題2021年上半年

教師資格認(rèn)定考試高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)真題2021年上半年一、單項(xiàng)選擇題1.

使得函數(shù)f(x)=1/(1-x)一致連續(xù)的x取值范圍是______。A.[0，1/3]∪[3/2，3]B.(-∞，1)C.(1.+（江南博哥）∞)D.(-∞，+∞)正確答案：A[考點(diǎn)]本題考查的是連續(xù)的一致性的相關(guān)知識(shí)。

[解析]根據(jù)一致連續(xù)性定理，如果函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，那么它在該區(qū)間上一致連續(xù)。因?yàn)閒(x)=1/(1-x)的定義域?yàn)?-∞，1)∪(1.+∞)，故f(x)在(-∞，1)∪(1，+∞)內(nèi)連續(xù)，但不一致連續(xù)，而[0，1/3]∪[3/2，3]∈(-∞，1)∪(1.+∞)，故函數(shù)f(x)在[0，1/3]∪[3/2，3]一致連續(xù)，A項(xiàng)正確。

故正確答案為A。

2.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中明確提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不包括______。A.數(shù)據(jù)分析B.直觀想象C.數(shù)學(xué)抽象D.合情推理正確答案：D[考點(diǎn)]本題主要考查課標(biāo)的相關(guān)知識(shí)。

[解析]數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，D項(xiàng)正確。

本題為選非題，故正確答案為D。

3.

下列函數(shù):f(x)=xx，g(x)=ex-lnx2，h(x)=xΠ+tanx，其中初等函數(shù)的個(gè)數(shù)是______。A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)正確答案：C

4.

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的自變量的改變量為，相應(yīng)的函數(shù)改變量為，表示的高階無(wú)窮小。若函數(shù)y=f(x)在x0可微，則下列表述不正確的是______。

A．

B．

C．

D．正確答案：C

5.

拋擲兩粒正方體骰子(每個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，…，6)，假定每個(gè)面朝上的可能性相同，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)之和等于5的概率為_(kāi)_____。A.15/36B.1/9C.1/12D.1/18正確答案：B[考點(diǎn)]本題考查的是等可能事件求概率的相關(guān)知識(shí)。

[解析]拋擲兩粒正方體骰子出現(xiàn)的總情況數(shù)為6×6=36種，向上的點(diǎn)數(shù)和為5的情況有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)共4種情況，故點(diǎn)數(shù)和為5的概率為4/36=1/9，B項(xiàng)正確。

故正確答案為B。

6.

方程x4-3x3+6x-4=0的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是______。A.0B.1C.2D.3正確答案：C

7.

對(duì)于m×n矩陣A，存在n×s矩陣B(B≠0)，使得AB=0成立的充要條件是矩陣A的秩rank(A)滿足______。A.rank(A)≤nB.rank(A)＜nC.rank(A)≥nD.rank(A)＞n正確答案：B[考點(diǎn)]本題考查的是線性方程組的相關(guān)知識(shí)。

[解析]必要性，由條件可設(shè)B=(β1，β2……βs)，則AB=A(β1，β2……βs)=(Aβ1，Aβ2……Aβs)，由題可知，B(B≠0)，即B為非零向量，故β1，β2……βs中至少有一個(gè)非零向量。因此，AX=0有非零解，故r(A)＜n；充分性：若r(A)＜n，則AX=0有非零解，設(shè)非零解為β1，β2……βs，即Aβi=0(i=1，2，3，……s)，令B=(β1，β2……βs)(B≠0)，B項(xiàng)正確。

故正確答案為B。

8.

在空間直角坐標(biāo)系下，直線(x-2)/3=(y-11)/4=(z+1)/1與平面3x-2y+5=0的位置關(guān)系是______。A.相交且垂直B.相交不垂直C.平行D.直線在平面上正確答案：C[考點(diǎn)]本題考查的是空間解析幾何空間平面與直線關(guān)系的相關(guān)知識(shí)。

[解析]由題意可知直線的方向向量為s=(3，4，1)，過(guò)定點(diǎn)(2，11，-1)，平面的法向量n=(3，-2，-1)，因?yàn)閟n=0，定點(diǎn)(2，11，-1)不在平面上，故直線與平面的位置關(guān)系是平行，C項(xiàng)正確。

故正確答案為C。

二、簡(jiǎn)答題(每小題7分，共35分)1.

已知三維空間中的兩點(diǎn)A，B，其距離為2C，求到A，B兩點(diǎn)距離之和等于2a(0＜C＜a)的點(diǎn)圍成的立體圖形的體積。正確答案：由題意可知，該立體圖形為一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球面，可由，

繞著X軸旋轉(zhuǎn)一周得到，方程為，

所以由橢球面的體積公式得:所求立體圖形的體積為。

2.

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中，為了鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考、深入理解問(wèn)題，教師常常在呈現(xiàn)任務(wù)后，不是立刻講解，而是留給學(xué)生足夠的思考時(shí)間，這種教學(xué)方式可稱之為“課堂留白”，請(qǐng)談?wù)務(wù)n堂留白的必要性及其意義。正確答案：(1)必要性：《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的基本理念之一是倡導(dǎo)積極主動(dòng)。課堂中應(yīng)該勇于探索的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)限于接收、記憶、模仿和練習(xí)。數(shù)學(xué)課堂還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)方式。這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過(guò)程。

(2)意義：①課堂留白符合新課程改革的要求新課程理念積極倡導(dǎo)自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式，強(qiáng)調(diào)把學(xué)生看作學(xué)習(xí)和發(fā)展的主體，課堂“留白”策略要恰如其分地契合新課程理念，在課堂上樹(shù)立學(xué)生的主體地位，讓教師充當(dāng)課堂教學(xué)的配角，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)新知進(jìn)行解讀、分析、消化、拓展，變學(xué)生被動(dòng)接受為主動(dòng)探索。

②課堂“留白”策略適應(yīng)學(xué)生的心理發(fā)展心理學(xué)研究表明，課堂上長(zhǎng)時(shí)間的“滿堂灌"不利于學(xué)生接受和理解所學(xué)知識(shí)，適時(shí)留出有限的空白時(shí)間，反而能舒緩學(xué)生的緊張心理，集中學(xué)生的注意力，提高思維的質(zhì)量。

③課堂“留白”策略有利于增強(qiáng)課堂效果，在課堂教學(xué)中注重“留白”能極大地發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性，激發(fā)學(xué)生積極探索，自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，將以“教”為主變?yōu)橐浴皩W(xué)”為主。應(yīng)該說(shuō)在課堂中巧設(shè)“留白”，能讓師生之間適時(shí)地溝通、互動(dòng)，實(shí)現(xiàn)了將課堂中的“教”與“學(xué)”融為一體，毫無(wú)疑問(wèn)地將提高課堂效果。因此在教學(xué)，上要講究課堂“留白”，教師必須要給學(xué)生留出獨(dú)立思考的空間，以便激發(fā)學(xué)生的求知欲，啟迪學(xué)生的思維。

3.

給出指數(shù)函數(shù)模型的兩個(gè)實(shí)際背景，分別寫(xiě)出其對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并簡(jiǎn)述指數(shù)函數(shù)模型的特點(diǎn)。正確答案：實(shí)際背景1：根據(jù)國(guó)務(wù)院發(fā)展研究中心2000年發(fā)表的《未來(lái)20年發(fā)展前景分析》判斷，未來(lái)20年，我國(guó)GDP(國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值)年平均增長(zhǎng)率可望達(dá)到7.3%。那么，在2001-2020年，各年的GDP可望為2000年的多少倍?如果把我國(guó)2000年GDP看成是1個(gè)單位，2001年為第1年，那么：

1年后(即2001年)，我國(guó)GDP可望為2000年的(1+7.3%)倍；

2年后(即2002年)，我國(guó)GDP可望為2000年的(1+7.3%)2倍；

3年后(即2003年)，我國(guó)GDP可望為2000年的______倍；

4年后(即2004年)，我國(guó)GDP可望為2000年的______倍；

設(shè)x年后我國(guó)的GDP為2000年的y倍，那么y與x間又怎樣的關(guān)系?

實(shí)際背景2：當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14會(huì)按確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”，根據(jù)此規(guī)律，人們獲得了生物體內(nèi)碳14含量P與死亡年數(shù)t之間的關(guān)系：。那么生物死亡了，5730年、5730×2年、10000年后，它體內(nèi)碳14含量分別為多少?

指數(shù)函數(shù)模型特點(diǎn):

①?gòu)臅r(shí)間上講，標(biāo)函數(shù)模型對(duì)時(shí)間間隔長(zhǎng)短、否相等沒(méi)有要求，因此建模相對(duì)比較靈活。

②從建模計(jì)算而言，指數(shù)函數(shù)模型是非線性模型，需要參數(shù)的初始值。

③從實(shí)際應(yīng)用上講指數(shù)函數(shù)適用于原始數(shù)據(jù)非負(fù)且符合指數(shù)函數(shù)變化規(guī)律特點(diǎn)的情形。

設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間X(min)的概率密度為，用變量Y表示顧客對(duì)銀行服務(wù)質(zhì)量的評(píng)價(jià)值，若顧客等待時(shí)間不超過(guò)5(min)，則評(píng)價(jià)值為Y=1；否則，評(píng)價(jià)值為Y=-1，即4.

求X的分布函數(shù)；正確答案：當(dāng)x≤0時(shí)，fx(x)=0，則X的分布函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，，則X的分布函數(shù)，綜上，X的分布函數(shù)。

5.

求Y的分布律。正確答案：，則，所以Y的分布律為。

已知方程組有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)行列式不等于零。請(qǐng)回答下列問(wèn)題：6.

行列式②的幾何意義是什么?正確答案：行列式②的幾何意義就是行列式中的行或列向量所構(gòu)成的超平行多面體的有向面積或有向體積。

7.

上述結(jié)論的幾何意義是什么?正確答案：上述結(jié)論的幾何意義是方程組中三個(gè)方程所表示的平面交于一點(diǎn)。

三、解答題(本大題共10分)已知非齊次線性方程組1.

a為何值時(shí)，其對(duì)應(yīng)齊次線性方程組解空間的維數(shù)為2?正確答案：題意知，齊次線性方程組解空間維數(shù)為2，即其系數(shù)矩陣秩為2，則，

，則a+5=-2，解得，a=-7。

2.

對(duì)于上小題中確定的a值，求該非齊次線性方程組的通解。正確答案：由上小題知，a=-7則對(duì)增廣矩陣B=(A，b)作初等行變?yōu)樾须A梯型矩有:B=(A，b)=

則，令，解得，，即得基礎(chǔ)解系

四、論述題(本大題共15分)1.

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)需要培養(yǎng)的基本能力，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力具體表現(xiàn)為哪些方面?請(qǐng)以整式運(yùn)算為例予以說(shuō)明。正確答案：運(yùn)算能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要活動(dòng)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中貫穿始終，在運(yùn)算律指導(dǎo)下，對(duì)具體式子進(jìn)行演繹推理。

學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力具體表現(xiàn)為以下幾個(gè)方面:

(1)合理運(yùn)算；

(2)準(zhǔn)確運(yùn)算；

(3)有效運(yùn)算；

(4)靈活運(yùn)算；

(5)簡(jiǎn)約運(yùn)算。

平面向量運(yùn)算為例說(shuō)明:

中學(xué)階段平面向量運(yùn)算的具體學(xué)習(xí)內(nèi)容:

(1)借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義。

(2)通過(guò)實(shí)例分析，掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義。理解兩個(gè)平面向共線的含義。

五、案例分析題(本大題共20分)在學(xué)習(xí)了“基本不等式”后，教師要求學(xué)生解決如下問(wèn)題：設(shè)x、y均為正數(shù)，且滿足x+2y=1，求的最小值。

一位學(xué)生給出的解法如下：

因?yàn)閤，y均為正數(shù)所以

由x+2y=1，得:

由②得，

結(jié)合①③得，，

從而的最小值為。

問(wèn)題：1.

指出上述解答的錯(cuò)誤之處，分析錯(cuò)誤原因，并給出正確解法；正確答案：材料中的解答錯(cuò)誤之處在于在整個(gè)解題過(guò)程中，運(yùn)用了兩次均值不等式，對(duì)于①式等號(hào)成立的條件是，可得x=y時(shí)等號(hào)成立，對(duì)于②式等號(hào)成立的條件是，兩次x和y的取值不同。

正確的解法為:因?yàn)閤、y為正實(shí)數(shù)，且x+2y=1，所以

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為。

2.

簡(jiǎn)述求二元函數(shù)最值的一般解法有哪些。正確答案：二元函數(shù)求最值的一般方法:

①基本不等式法:解決非負(fù)數(shù)有關(guān)最值問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常采用該方法求最值。即符合“一正二定三相等”的條件下求最值的一種方法。

②數(shù)形結(jié)合法:解決線性規(guī)劃問(wèn)題:截距型z=ax+by、斜率型或距離型，常采用該方法。

③消元法:該方法主要是變二元為一元，再根據(jù)一元函數(shù)求最值的方法，在已知條件取值范圍內(nèi)，進(jìn)行求最值。

六、教學(xué)設(shè)計(jì)題(本大題共30分)“等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式”是普通高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，請(qǐng)完成下列任務(wù)。1.

設(shè)計(jì)一組問(wèn)題，說(shuō)明學(xué)習(xí)“等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式”的重要性；正確答案：導(dǎo)入設(shè)計(jì)：

教師活動(dòng)：國(guó)際象棋起源于古代印度，相傳國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者。國(guó)王問(wèn)發(fā)明者想要什么，發(fā)明者回答，請(qǐng)?jiān)谄灞P(pán)的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒，第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，第3個(gè)格子里放上4顆麥粒，依此類推，每個(gè)格子里放的麥粒都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子，請(qǐng)給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求。

假定千粒麥子的質(zhì)量為40g，按目前世界小麥年度產(chǎn)量約60億噸計(jì)，你認(rèn)為國(guó)王能不能滿足他的要求?請(qǐng)學(xué)生思考計(jì)算方法并在練習(xí)本上嘗試計(jì)算。請(qǐng)一位學(xué)生在板演列式并解釋每一項(xiàng)的意義。

學(xué)生活動(dòng)：每個(gè)格子里放的麥粒都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，所以是首項(xiàng)為1公比為2的等比數(shù)列，共64項(xiàng)，麥?？倲?shù)為1+2+22+……+263。

教師活動(dòng)：這位同學(xué)能夠利用已經(jīng)掌握的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，非常值得大家學(xué)習(xí)。那么如何計(jì)算這個(gè)式子結(jié)果呢?記S=1+2+22+……+263，式中有64項(xiàng)，后項(xiàng)與前項(xiàng)的比為公比2，若給每一項(xiàng)都乘2，那么得到的新式子與原式相比較，中間有62項(xiàng)是對(duì)應(yīng)相等的，作差是否會(huì)得到什么啟發(fā)呢?請(qǐng)同學(xué)們前后四人為一個(gè)數(shù)學(xué)小組，利用3分鐘的時(shí)間交流討論，根據(jù)思路進(jìn)行計(jì)算，并思考國(guó)王能否實(shí)現(xiàn)諾言。我請(qǐng)小組代表來(lái)展示你們的計(jì)算過(guò)程和答案。

學(xué)生活動(dòng)：S=1+2+22+……+263①

2S=2++22+23……+263+264②

②-①得2S-S=264-1

教師活動(dòng)：計(jì)算過(guò)程完整，結(jié)果準(zhǔn)確，請(qǐng)坐。264-1這個(gè)數(shù)很大，超過(guò)了1.84×1019，假定千粒麥子的質(zhì)量為40g，那么麥粒的總質(zhì)量超過(guò)了7000億噸，而目前世界年度小麥產(chǎn)量約60億噸，因此，國(guó)王不能實(shí)現(xiàn)他的諾言。國(guó)王的故事表明他的數(shù)學(xué)知識(shí)有所欠缺，今天我們就對(duì)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的知識(shí)進(jìn)行探索。

同桌交流等比數(shù)列的定義，公式與性質(zhì)，并回憶等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程。通過(guò)多媒體設(shè)備呈現(xiàn)棋盤(pán)放麥粒的故事，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行列式，并通過(guò)初步滲透“錯(cuò)位相減”的思想方法，達(dá)到解決最終問(wèn)題的目的。

2.

寫(xiě)出等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，并給出兩種不同的推導(dǎo)方法；正確答案：推導(dǎo)過(guò)程：

方法一:錯(cuò)位相減法。

Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1qn-1①

qSn=a1q+a1q2+...+a1qn-1+a1qn②

①-②有(1-q)Sn=a1-a1qn

如果q≠1，則有

所以或

訪法二:累加法

Sn=a1+a2+a3+...+an-1+an

又因?yàn)閍2=a1q

a3=a2q

a4=a3q

......

an=an-1q

所以

a2+a3+...+an-1+an=q(a1+a2+a3+...+an-1)

Sn-a1=q(Sn-an)。

得(1-q)Sn=a1-a1qn

如果q≠1，則有

所以或

3.

針對(duì)上小題中的一種推導(dǎo)方法寫(xiě)出教學(xué)過(guò)程。正確答案：教學(xué)過(guò)程:

教師活動(dòng):我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等比數(shù)列以及前n項(xiàng)和的概念與公式，請(qǐng)同學(xué)們看黑板，對(duì)于等比數(shù)列它的前n項(xiàng)和是Sn=a1+a2+a3+...+an，若將每一項(xiàng)都用首項(xiàng)與公比相乘的形式表示出來(lái)，則Sn可以寫(xiě)成這樣的形式Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1qn-1①

接下來(lái)請(qǐng)小組合作完成第二個(gè)等式并利用錯(cuò)位相減法得出結(jié)果。

學(xué)生活動(dòng):通過(guò)教師的引導(dǎo)提示，學(xué)生得出:

qSn=a1q+a1q2+...+a1qn-1+a1qn②

兩式相減，有(1-q)Sn=a1-a1qn

如果q≠1，則有，

教師活動(dòng):這組代表的答案完全正確。請(qǐng)大家思考當(dāng)q=1時(shí)，它的前n項(xiàng)和時(shí)什么結(jié)果。

學(xué)生活動(dòng):如果q=1，則Sn=na1，等比數(shù)列的各項(xiàng)相等，相當(dāng)于常數(shù)列，它的前n項(xiàng)的和等于它的任一項(xiàng)的n倍。

教師活動(dòng):考慮問(wèn)題非常細(xì)