小學(xué)六年級數(shù)學(xué)小升初復(fù)習(xí)：立體圖形 知識點

第十二節(jié)：圖形的認(rèn)識與測量（二）立體圖形

知識全景圖

特征、展產(chǎn)圖

意義境長總和

e|長方體、正方體|

常用單位,體積與容積1一表更積

測量^法〔體積

切割增加特征

表面積的變化9~立體圖形

組合減少圍住表向積

組合與切割一-圓柱、國推

體積的計算一推導(dǎo)過程轉(zhuǎn)化思想

Q體積L

排水法國鏈、國柱體:積間關(guān)系

不規(guī)則物體的體積

轉(zhuǎn)化法一圖形觀察觀察的角度、方向不同，常常結(jié)果不司

樓心考向集

立體圖形的特征

[例1]

“母親節(jié)”到了，李老師在商場給媽媽買了一個禮物，請售貨員用一個精美的長方體禮盒包裝。已知禮盒長

4分米，寬2.5分米，高3分米，售貨員很貼心的用彩帶把禮盒扎起來（如下圖），打結(jié)處彩帶長2分米，請

你算一算售貨員一共用了多長的彩帶扎禮盒？

思路引導(dǎo)一

根據(jù)題意和示意圖可知，禮盒是長方體的，長4分米，寬2.5分米，高3分米，根據(jù)長方體的特征：12條棱

分為互相平行的3組，每組4條棱的長度相等，則所需彩帶的長度=4條高的長度+2條長的長度和+2條

寬的長度和+打結(jié)處彩帶長。

正確解答：

4X3+2X4+2X2.5+2

=12+8+5+2

=20+5+2

=27（分米）

答：售貨員一共用了27分米的彩帶扎禮盒。

而圖?技法提煉

解決此類捆扎長方體盒子需要繩子長度的問題，就是把求繩子的長度轉(zhuǎn)化為求幾條長、幾條寬、幾條高和打

結(jié)部分的長度。如果捆扎的是圓柱體，就轉(zhuǎn)化為求幾條直徑、幾條高和打結(jié)部分一共的長度。

【變式1】

（2021六下?江蘇揚(yáng)州）

1.奶奶過生日，媽媽買了一個大蛋糕。蛋糕盒是圓柱形的，媽媽準(zhǔn)備配上十字形的絲帶再打上蝴蝶結(jié)，需

要買多長的絲帶？（蝴蝶結(jié)需要25cm）

【例2】

用一塊長25.12cm、寬18.84cm的長方形鐵皮，配上下面（）的圓形鐵片正好可以做成圓柱形容器。（單

位：cm）

A.r—2B.r=3C.r—6D.r=8

思路引導(dǎo)一

長方形鐵皮做圓柱的側(cè)面，圍成圓柱時，有兩種圍法:

第一種圍法：用25.12cm做底面的周長,可以求出底面圓形的半徑是25.12+3.14+2=4（cm）；

第二種圍法：用18.84cm做底面的周長,可以求出底面圓形的半徑是18.84+3.14+2=3（cm）。

正確解答：B

?技法提煉

把一個長方形圍成圓柱有種圍法，分別是用長或?qū)捵鰣A柱的底面周長；把一個正方形圍成圓柱，只有一種圍

法。

【變式2】

（2022六下?山西運(yùn)城）

2.數(shù)學(xué)來源于生活，又用于生活，請你制作一個無蓋圓柱形水桶，有以下幾種型號的鐵皮供搭配選擇。

12.56dm

9.42din3din

4din一

①④

你選擇的材料是（

立體圖形的展開圖

【例3】

用☆”分別標(biāo)出下列立體圖形的展開圖中相對的面。

思路引導(dǎo)一

圖1屬于正方體展開圖的“1-4-1”型，折疊成正方體后，相對符號的面相對；同理，圖2是長方體展開

圖，也屬于"1-4-型，折疊成長方體后也是相同符號的面相對。

正確解答：

用“☆”分別標(biāo)出下列立體圖形的展開圖中相對的面如下：

解決展開圖相關(guān)的問題可以想象將展開圖復(fù)原成正方體或長方體，根據(jù)各個面在展開圖中分布的位置找到

相對的面。

【變式3】

3.下列圖形中，（）不是圓柱體展開圖.

1.5m*-3,14m—4

|

L

5

7

c

0.5cmCrm①0.5cm

B.|

1.57cm

6dm

?

8dm

1

通觀察物體

【例4】

一個立體圖形，從左面看到的形狀是,從上面看到的形狀是11u，這個立體圖形可能是下面的

()圖。

A珀C留D.珞

思路引導(dǎo)一

根據(jù)從上面看到的圖形，可以確定下層是4個正方體，后排3個，前排靠右1個；根據(jù)從左面看到的圖形,

確定總共上下兩層，上層的1個正方體在后排上，對照給出的4個圖形，這個圖形應(yīng)該是。

從以上分析得出：一個立體圖形，從左面看到的形狀是日二從上面看到的形狀是匚匚日，這個立體圖

形可能是困。

正確解答：D

,技法提煉

解決此類問題時，要善于發(fā)現(xiàn)拼成的立體圖形的特點，主要看從某一角度觀察，每行有幾個，每層擺了幾行,

有幾層，找出突破口。

【變式4】

（2022六下?廣東揭陽）

4.一個立體圖形，從正面看到的形狀是,從左面看到的形狀是,搭這樣的

立體圖形，最少需要（）個小正方體。

A.4B.5C.6D.7

_考__向__0_4/|立體圖形的表面積和體積

【例5】

一個長方體鐵皮油箱長80厘米、寬50厘米，高40厘米。

（1）做這個油箱至少要用鐵皮多少平方分米?

（2）這個油箱的容積是多少升？（鐵皮的厚度忽略不計）

思路引導(dǎo)一

此題主要考查的是長方體的表面積和容積的計算。

（D要求做這個油箱至少要用鐵皮多少平方分米，就是求這個長方體鐵皮油箱的表面積，可直接利用長方

體表面積的公式計算，計算時注意單位換算。

（2）鐵皮的厚度忽略不計，所以求這個油箱的容積就相當(dāng)于求這個油箱的體積。

正確解答:

(1)(80X50+80X40+50X40)X2

=9200X2

=18400（平方厘米）

=184（平方分米）

答：做這個油箱至少要用鐵皮184平方分米。

（2）80X50X40=160000（立方厘米）

160000立方厘米=160立方分米=160升

答：這個油箱的容積是160升。

小圖?技法提燥

求表面積和求容積（體積）是不同的，要注意區(qū)分。

【變式5】

5.一張長方形紙板長30厘米、寬18厘米，從它的四個角上各剪去一個邊長是2厘米的小正方形，然后用

剩下的部分折成一個無蓋的長方體紙盒（接頭處忽略不計），這個紙盒的容積是多少毫升？（紙板的厚度忽

略不計）

【例6】

如圖所示，在容器中放入1個圓柱形鐵塊和2個與它等底等高的圓錐形零件，溢出了部分水，則每個圓錐形

零件的體積是（）立方厘米。

600ml

思路引導(dǎo)一

根據(jù)題意和示意圖知，溢出水的體積是容器內(nèi)1個圓柱和2個圓錐的體積和。由于容器內(nèi)圓柱和圓錐等底

等高，那么圓柱體積=3X圓錐體積，那么相當(dāng)于容器內(nèi)有5個相同的圓錐。用600毫升除以5,求出每個

圓錐的體積。

正確解答：

6004-（3+2）

=6004-5

=120（毫升）

120毫升=120立方厘米

所以：每個圓錐形零件的體積是120立方厘米。

國技法提燎

解決此類題的關(guān)鍵點在于理解圓柱和圓錐的體積關(guān)系：等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍。

【變式6】

6.一塊圓柱形橡皮泥，底面積是24平方厘米，高是5厘米，如果捏成與圓柱等底的圓錐形，高是（）

厘米；如果捏成與圓柱等高的圓錐形，底面積是（）平方厘米。

|口述如不規(guī)則物體的體積

【例7】

一個圓柱形水槽，底面半徑是10厘米，里面盛有15厘米高的水，現(xiàn)將一個底面直徑是12厘米的圓錐形鐵

塊，完全浸入水中，水面高度比原來上升了1.5厘米，圓錐形鐵塊的高是多少厘米？

思路引導(dǎo)一

放人鐵塊后，水面上升了，鐵塊的體積就等于上升的那部分水的體積，即水槽的底面積乘水上升了的高度。

而求鐵塊的高，可根據(jù)公式“圓錐的高=體積義3+底面積”列式計算。

正確解答：

314X102X1.5=471（立方厘米）

3.14X（12+2）2=113.04（平方厘米）

4714--4-113.04=12.5（厘米）

3

答：圓錐形鐵塊的高是12.5厘米。

近因?技法提燥

解答排水法求物體的體積的問題，關(guān)鍵是把浸沒在水中的物體體積轉(zhuǎn)化為求上升（或下降）部分的水的體

積。而已知圓錐的體積，要求它的底面積（或高），注意用體積乘3（即除以工），再除以高（或底面積）。

3

【變式7】

（2022六下?貴州黔西）

7.一瓶果汁，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），瓶子的容積為32立方厘米，當(dāng)瓶子正放時，瓶內(nèi)果汁液

面高度為8厘米，當(dāng)瓶子倒放時，空余部分為2厘米，請你算一算，瓶內(nèi)果汁的體積是多少立方厘米？

IEIEI'.立體圖形的切割與拼組

【例8】

一根長6米的長方體木料，把它從中間截成兩段，表面積增加了12平方分米，那么原來長方體木料的體積

是多少立方米？

思路引導(dǎo)一

求原來長方體木料的體積可以用“橫截面面積X長”?？梢援嫵鍪疽鈭D幫助我們分析：

Dr。

把木料從中間截成兩段，表面積增加了兩個橫截面的面積，用12+2=6（平方分米）求出橫截面的面積，

再根據(jù)公式就能求出原來長方體木料的體積了。

正確解答：

124-2=6（平方分米）

6平方分米=0.06平方米

0.06X6=0.36（立方米）

答：原來長方體木料的體積是0.36立方米。

加國技法提燥

長方體（或正方體）的體積公式是長方體（或正方體）的體積=底面積X高，也可以變形為長方體（或正方

體）的體積=橫截面的面積義長。解決問題時，我們要靈活選用合適的公式進(jìn)行計算。

變式8】

（2022六下?北京昌平）

8.把一根長4米的長方體木料，截成3段，表面積增加了0.24平方米（如圖所示）這根木料原來的體積是

（）立方米。

例9】

如圖：這只工具箱的下半部是棱長為20厘米的正方體，上半部是圓柱體的一半。算出它的表面積和體積。

思路引導(dǎo)一

根據(jù)圓柱和正方體的表面積的計算方法，它的表面積是上面圓柱的表面積的一半加上下面正方體的5個面

的面積；再根據(jù)圓柱和正方體的體積公式，計算上面圓柱體積的一半加上下面正方體的體積即可。

正確解答：

表面積:

3.14X20X204-2+3.14X102+20X20X5

=1256+2+3.14X100+400X5

=628+314+2000

2942（平方厘米）

體積:

3.14X102X204-2+20X20X20

=3.14X100X204-2+8000

=3140+8000

=11140（立方厘米）

答：它的表面積是2942平方厘米，體積是11140立方厘米。

的因技法提煉

解答求組合圖形的表面積和體積，關(guān)鍵是分析圖形是由哪幾部分組成，然后根據(jù)它們的表面積公式和體積

公式進(jìn)行解答。

【變式9】

（2022六上?江蘇徐州）

9.一個棱長4厘米的正方體，在正中從上到下挖出一個長方體孔洞，孔洞的底面為邊長2厘米的正方形,

這個空心圖形的表面積是多少平方厘米？體積是多少立方厘米?

⑥鏈接小升初建議用時：45min

一、填空。

（2022六下?山西運(yùn)城）

10.一個長方體的高截去2厘米，表面積減少了24平方厘米，剩下的部分正好是正方體，正方體的表面積

是（）平方厘米，原來長方體的表面積是（）平方厘米。

（2022六下?陜西榆林）

11.以下圖中這個三角形4cm的邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個（）（填“圓柱”或“圓

錐”），這個圖形的體積是（）cm3。

（2022六下?寧夏）

12.工人叔叔在地面上用64個同樣大小的小正方體拼成了一個大正方體，并把它的五個面涂上了顏色（貼

地的那個面不涂色），其中3個面涂色的小正方體木塊有（）個，2個面涂色的有（)

（2022六下?陜西榆林）

13.看一看，畫一畫。

2022年5月10日在人民大會堂舉行了“慶祝中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年大會”，中共中央、國家主

席、中央軍委主席在會上發(fā)表重要講話強(qiáng)調(diào)，青春孕育無限希望，青年創(chuàng)造美好明天。下圖是一個正方體的

展開圖，將它折疊成正方體后，與“望”字相對面上的字是什么字？在正確答案下面畫“。

育希

(

（2022六下?河南鄭州）

14.下圖是正方體，各個面展開后如圖所示，對應(yīng)的六個面分別用字母A、B、C、D、E、F表示，則正方體

前、后兩個面，分別是展開后圖中的（)o

A.A和DB.B和DC.B和ED.C和D

（2022六下?陜西榆林）

15.一個立體圖形，從左面看到的形狀是,從正面看到的形狀是,這個立體圖

形可能是（)o

A.

C.

（2020六下?江蘇）

16.將一個大長方體切分成兩個完全一樣的小長方體，按下圖所示的三種切法，表面積分別增加50平方厘

90平方厘米。原來大長方體的表面積是（）平方厘米。

A.360B.90C.180D.390

（2020六下?浙江紹興）

17.如圖，把一張長方形的紙分別卷成兩個不同的圓柱形紙筒。如果再給它們分別都做上底面，則圓柱A

的表面積（）圓柱B的表面積。

18.圓柱的體積公式推導(dǎo)過程，將圓柱切拼成一個近似的長方體后，（）。

A.表面積不變，體積不變B.表面積變大，體積不變

C.表面積變大，體積變大D,表面積變小，體積變小

（2022六下?遼寧沈陽）

19.如圖是甲乙兩名同學(xué)對同一個圓柱的不同切法。甲切開后表面積增加了（），乙切開后表面積增加

（2021六下?浙江金華）

（2022六下?遼寧沈陽）

21.將一個底面直徑是2dm,高是3dm的圓柱形容器注滿水，垂直輕輕插入一根底面積是0.6dn?,高

是4dm的方鋼，溢出的水的體積是（）L。

A.2.4B.1.8C.2400D.180

三、判斷。

（2022六下-湖北襄陽）

22.把一個圓柱削成一個最大的圓錐，圓錐的體積是削去部分的兩倍。（）

（2022六下?安徽蕪湖）

23.正方體的棱長擴(kuò)大為原來的5倍，它的表面積就擴(kuò)大為原來的30倍。（）

（2022六上?河北石家莊）

24.一個正方體的棱長總和是72厘米，它的體積和表面積相等。（）

（2022六下?陜西榆林）

25.一個圓柱形橡皮泥的高是7厘米,把它捏成底面半徑相同的圓錐，這個圓錐的高是21厘米。（）

四、計算。

（2022六下?貴州黔西）

26.下圖是從圓柱中挖去一個圓錐，請計算挖去這個圓錐所剩下的體積。（單位：厘米）

五、解決問題。

（2022六下?湖北武漢）

27.為了防止魚缸破碎，李明自己動手給魚缸的每條棱上裝上防撞條，共計用掉480厘米防撞條，已知魚

缸的長、寬、高的比是3：2：1,那么魚缸的容積是多少升（防撞條與玻璃的厚度忽略不計）？

（2022六下?北京昌平）

28.學(xué)?？萍夹〗M制做了一個長方體水漏，這個水漏長2.5分米，寬1.5分米，高2分米。經(jīng)過試驗，這個

水漏裝滿水全部漏完要6小時。這個水漏平均每小時漏多少升水?

（2022六上?江蘇揚(yáng)州）

29.用一張長60厘米、寬40厘米的長方形鐵皮制作一個無蓋的長方體容器。（鐵皮厚度忽略）

（1）（2）

（1）通常如圖（1）所示，在四角剪去四個一樣的正方形，再通過翻折、焊接，做成一個無蓋的長方體容

器。如果剪去的正方形的邊長是8厘米，那么做成的長方體容器的長是（）厘米，寬是（）厘

米，高是（）厘米，容積是（）立方分米。

（2）圖（1）制作容器的方法會浪費掉一些鐵皮，為了不浪費，我們還可以如圖（2）,在長方形鐵皮左邊

兩個角剪去邊長為10厘米的正方形再將兩個正方形移到右邊中間，并焊接起來，再通過翻折、焊接，做

成一個無蓋的長方體容器。做成的長方體容器的長是（）厘米