8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性2

8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第三冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)學(xué)習(xí)單元3

列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)最基本的思想是用樣本推斷總體,而估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)是兩種基本而重要的推斷方法.前面學(xué)習(xí)了統(tǒng)計(jì)估計(jì)的推斷方法.例如:用樣本數(shù)據(jù)的均值和方差分別估計(jì)總體的均值和方差;用樣本相關(guān)系數(shù)估計(jì)兩個(gè)數(shù)值變量的相關(guān)系數(shù),從而推斷這兩個(gè)變量線性關(guān)系的密切程度;利用最小二乘法估計(jì)一元線性回歸模型中的參數(shù);等等.對(duì)于兩個(gè)分類變量,可以通過2×2列聯(lián)表反映兩個(gè)變量之間的有關(guān)統(tǒng)計(jì)信息,據(jù)此可以從直觀上推斷兩個(gè)變量是否有關(guān)聯(lián).獨(dú)立性檢驗(yàn)對(duì)變量之間的關(guān)聯(lián)性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷,基于小概率原理,為了使推斷零假設(shè)不成立犯錯(cuò)誤的概率更小,就要取更小的概率值α.本學(xué)習(xí)單元的主要內(nèi)容有:從實(shí)際問題中抽象出成對(duì)分類變量(X,Y),通過2×2列聯(lián)表整理成對(duì)分類變量的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù),應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題.這也是本學(xué)習(xí)單元的知識(shí)明線.具體內(nèi)容結(jié)構(gòu)如下圖所示:本學(xué)習(xí)單元的最終目標(biāo)是基于2×2列聯(lián)表,通過具體實(shí)例,解釋分析兩個(gè)分類變量獨(dú)立性的方法,能說明用于推斷兩個(gè)分類變量獨(dú)立性的統(tǒng)計(jì)量χ2構(gòu)造的合理性,能說出基于小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則的基本思想,從中發(fā)展數(shù)據(jù)分析和邏輯推理等核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能利用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn),提升利用圖表進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的能力.(數(shù)據(jù)分析)2.參考反證法,理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和步驟,并能夠利用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決一些實(shí)際問題.(邏輯推理)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1

分類變量與列聯(lián)表1.分類變量:為了表述方便,我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量,以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì),這類隨機(jī)變量稱為分類變量.2.列聯(lián)表:在實(shí)踐中,由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高,人們經(jīng)常按研究問題的需要,將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計(jì),并做成表格加以保存.這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表稱為2×2列聯(lián)表.2×2列聯(lián)表給出了成對(duì)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).名師點(diǎn)睛制作2×2列聯(lián)表的基本步驟第一步,合理選取兩個(gè)變量,且每一個(gè)變量按照分類標(biāo)準(zhǔn)分成兩類;第二步,抽取樣本,整理數(shù)據(jù);第三步,畫出2×2列聯(lián)表.微思考2×2列聯(lián)表的主要作用是什么?提示

2×2列聯(lián)表用于研究?jī)蓚€(gè)分類變量之間是否相互獨(dú)立,它適用于分析兩類變量之間的關(guān)系,是對(duì)兩類變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的基礎(chǔ).知識(shí)點(diǎn)2

獨(dú)立性檢驗(yàn)1.2×2列聯(lián)表XY合計(jì)Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d上表是關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表:最后一行的前兩個(gè)數(shù)分別是事件{Y=0}和{Y=1}的頻數(shù);最后一列的前兩個(gè)數(shù)分別是事件{X=0}和{X=1}的頻數(shù);中間的四個(gè)數(shù)a,b,c,d是事件{X=x,Y=y}(x,y=0,1)的頻數(shù);右下角格中的數(shù)n是樣本容量.2.χ2統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式

3.獨(dú)立性的判斷方法

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則是:

α越小,臨界值xα越大當(dāng)χ2≥xα?xí)r,我們就推斷H0不成立,即認(rèn)為

,該推斷

;

當(dāng)χ2<xα?xí)r,我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,可以認(rèn)為

.

X和Y不獨(dú)立

犯錯(cuò)誤的概率不超過α

X和Y獨(dú)立

4.獨(dú)立性檢驗(yàn)利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”,簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).微思考獨(dú)立性檢驗(yàn)在實(shí)際中的重要作用是什么?提示

獨(dú)立性檢驗(yàn)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一種方法,是數(shù)學(xué)中的一種基本理論,是數(shù)學(xué)體系中對(duì)數(shù)據(jù)關(guān)系進(jìn)行探索的一種基本思想.當(dāng)然,對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析得出的結(jié)論只能是在一定程度上對(duì)某種關(guān)系進(jìn)行判斷,而不是一種確定性的關(guān)系,這也是統(tǒng)計(jì)思想與確定性思維的差異所在.獨(dú)立性檢驗(yàn)在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用,是對(duì)實(shí)際生活中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的一種方法,通過這種分析得出的結(jié)論對(duì)實(shí)際生活或者生產(chǎn)都有一定的指導(dǎo)作用.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1在現(xiàn)實(shí)生活中,不僅要統(tǒng)計(jì)推斷兩個(gè)數(shù)值變量之間的相關(guān)性,還經(jīng)常需要回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)(兩個(gè)分類變量)之間,是否存在關(guān)聯(lián)性或相互影響的問題.如何利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)判斷一對(duì)分類變量之間是否具有關(guān)聯(lián)性呢?問題2利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn).基于χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),你能總結(jié)小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則嗎?探究點(diǎn)一獨(dú)立性檢驗(yàn)問題3獨(dú)立性檢驗(yàn)的本質(zhì)是通過比較觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值之間的差異,來判斷事件發(fā)生的概率的大小.基于χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),你能總結(jié)應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題時(shí)大致包括的幾個(gè)主要環(huán)節(jié)嗎?【例1】

打鼾不僅影響別人休息,而且可能與患心臟病有關(guān).下表是一次調(diào)查所得的數(shù)據(jù):打鼾心臟病合計(jì)患病未患病每一晚都打鼾30224254不打鼾2413551379合計(jì)5415791633根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為每一晚都打鼾與患心臟病有關(guān)聯(lián)?解

零假設(shè)為H0:每一晚都打鼾與患心臟病無關(guān)聯(lián).由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),得

≈68.033>10.828=x0.001.根據(jù)小概率值α=0.001的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為每一晚都打鼾與患心臟病有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.規(guī)律方法

獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體做法(1)提出零假設(shè)H0:X和Y相互獨(dú)立,并給出在問題中的解釋.(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計(jì)算χ2的值,并與臨界值xα比較.(3)根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論.(4)在X和Y不獨(dú)立的情況下,根據(jù)需要,通過比較相應(yīng)的頻率,分析X和Y間的影響規(guī)律.探究點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用問題4如何根據(jù)具體情境完成2×2列聯(lián)表,進(jìn)而利用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷兩個(gè)分類變量是否獨(dú)立?【例2】

海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比,收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱,測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立,記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”,估計(jì)事件A的概率;(2)填寫下面列聯(lián)表,并依據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法是否有關(guān)聯(lián);單位:箱類型箱產(chǎn)量合計(jì)低于50kg不低于50kg舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

合計(jì)

(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01).解

(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50

kg”,C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50

kg”.由題意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50

kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,故P(B)的估計(jì)值為0.62.新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50

kg的頻率為(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66,故P(C)的估計(jì)值為0.66.因此,事件A的概率估計(jì)值為0.62×0.66=0.409

2.(2)零假設(shè)為H0:箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法無關(guān)聯(lián).根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得如下列聯(lián)表:單位:箱類型箱產(chǎn)量合計(jì)低于50

kg不低于50

kg舊養(yǎng)殖法6238100新養(yǎng)殖法3466100合計(jì)96104200根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計(jì)算得到依據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01.(3)因?yàn)樵谛吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中,箱產(chǎn)量低于50

kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,箱產(chǎn)量低于55

kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5,故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為規(guī)律方法

兩個(gè)分類變量相關(guān)關(guān)系的判斷通過2×2列聯(lián)表,先計(jì)算χ2的值,再借助χ2的取值判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)聯(lián).本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)分類變量;(2)2×2列聯(lián)表和等高堆積條形圖;(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)、χ2公式.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):(1)易對(duì)2×2列聯(lián)表計(jì)算錯(cuò)誤;(2)對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理不理解,導(dǎo)致不會(huì)用χ2分析問題.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123456789101112A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表:XY合計(jì)Y=0Y=1X=0a2173X=182533合計(jì)b46

則表中a,b處的值分別為(

)A.94,96 B.52,50 C.52,60

D.54,52C解析

∵a+21=73,∴a=52,b=a+8=52+8=60.1234567891011122.為了解喜愛足球是否與性別有關(guān)聯(lián),隨機(jī)抽取了若干人進(jìn)行調(diào)查,抽取女性人數(shù)是男性的2倍,男性喜愛足球的人數(shù)占男性人數(shù)的,女性喜愛足球的人數(shù)占女性人數(shù)的

.若本次調(diào)查得出“依據(jù)α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),認(rèn)為喜愛足球與性別有關(guān)聯(lián)”的結(jié)論,則被調(diào)查的男性人數(shù)至少為(

)α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8415.6357.87910.828A.11 B.12 C.13 D.14B1234567891011123.疫苗是為預(yù)防、控制傳染病的發(fā)生、流行,用于人體預(yù)防接種的生物制品,其前期研發(fā)過程中,一般都會(huì)進(jìn)行動(dòng)物保護(hù)測(cè)試,為了考察某種疫苗預(yù)防效果,在進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)時(shí),得到如下2×2列聯(lián)表:單位:只注射疫苗情況發(fā)病情況合計(jì)未發(fā)病發(fā)病未注射20

已注射30

合計(jì)5050100零假設(shè)為H0:該種疫苗對(duì)傳染病無效.現(xiàn)從試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只,取到已注射疫苗的動(dòng)物概率為,則下列判斷錯(cuò)誤的是(

)A.已注射疫苗發(fā)病的動(dòng)物數(shù)為10B.從該試驗(yàn)未注射疫苗的動(dòng)物中任取一只,發(fā)病的概率為C.能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下,認(rèn)為該疫苗有效D.該疫苗的有效率為75%123456789101112D1234567891011124.為考察某種藥物對(duì)某種疾病的治療效果,在四個(gè)不同的實(shí)驗(yàn)室取相同的個(gè)體進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn),根據(jù)四個(gè)實(shí)驗(yàn)室得到的列聯(lián)表畫出如下四個(gè)等高堆積條形圖,最能體現(xiàn)該藥物對(duì)治療該種疾病有效果的等高堆積條形圖是(

)C1234567891011125.(多選題)某市為了研究該市空氣中的PM2.5濃度和SO2濃度之間的關(guān)系,環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)該市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研,隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5濃度和SO2濃度(單位:μg/m3),得到如下所示的表格:單位:μg/m3PM2.5濃度SO2濃度[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010零假設(shè)為H0:該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度無關(guān).經(jīng)計(jì)算123456789101112A.該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75μg/m3,且SO2濃度不超過150μg/m3的概率估計(jì)值是0.64B.若2×2列聯(lián)表中的天數(shù)都擴(kuò)大到原來的10倍,χ2的值不會(huì)發(fā)生變化C.根據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度無關(guān)D.能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的條件下,認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)答案

AD

123456789101112解析

補(bǔ)充完整列聯(lián)表如下:單位:μg/m3PM2.5濃度SO2濃度合計(jì)[0,150](150,475][0,75]641680(75,115]101020合計(jì)7426100對(duì)于A,該市一天中,空氣中PM2.5濃度不超過75

μg/m3,且SO2濃度不超過150

μg/m3的概率估計(jì)值為

=0.64,故A正確;對(duì)于B,

74.844≠7.484

4,故B不正確;因?yàn)?.484

4>6.635=x0.01,由表可知,根據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01,故D正確,C不正確.故選AD.1234567891011121234567891011126.(多選題)有兩個(gè)分類變量X,Y,其2×2列聯(lián)表如下表所示:XY合計(jì)Y1Y2X1a20-a20X215-a30+a45合計(jì)155065其中a,15-a均為大于5的整數(shù),若依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),認(rèn)為X,Y有關(guān)聯(lián),則a的值可以為(

)A.6 B.7 C.8 D.9CD1234567891011127.在對(duì)某小學(xué)的學(xué)生進(jìn)行吃零食的調(diào)查中,得到數(shù)據(jù)如下表:單位:人性別是否吃零食合計(jì)吃不吃男273461女122941合計(jì)3963102根據(jù)上述數(shù)據(jù)分析,可得χ2約為

.

2.3341234567891011128.某學(xué)校為了制定治理學(xué)校門口上學(xué)、放學(xué)期間家長(zhǎng)接送孩子亂停車現(xiàn)象的措施,對(duì)全校學(xué)生家長(zhǎng)進(jìn)行了問卷調(diào)查.根據(jù)從中隨機(jī)抽取的50份調(diào)查問卷,得到了如下的列聯(lián)表:單位:人性別限定區(qū)域停車合計(jì)同意不同意男20525女101525合計(jì)302050則依據(jù)α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為同意限定區(qū)域停車與家長(zhǎng)的性別

.(填“有關(guān)聯(lián)”或“無關(guān)聯(lián)”)

有關(guān)聯(lián)

123456789101112B級(jí)關(guān)鍵能力提升練9.(多選題)針對(duì)時(shí)下流行的某社交平臺(tái),某高校對(duì)學(xué)生性別和喜歡該平臺(tái)是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查,其中被調(diào)查的男生、女生人數(shù)相同,男生喜歡該平臺(tái)的人數(shù)占男生人數(shù)的,女生喜歡該平臺(tái)的人數(shù)占女生人數(shù)的

.零假設(shè)為H0:喜歡該平臺(tái)和性別無關(guān)聯(lián).若依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡該平臺(tái)和性別有關(guān)聯(lián),則調(diào)查人數(shù)中男生的人數(shù)可能為(

)A.25 B.45 C.60 D.75BCD12345678910111210.對(duì)196個(gè)接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個(gè)接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行了3年的跟蹤研究,調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病,調(diào)查結(jié)果如下表所示:單位:人手術(shù)心臟病合計(jì)又發(fā)作過未發(fā)作過心臟搭橋39157196血管清障29167196合計(jì)68324392試根據(jù)上述數(shù)據(jù)計(jì)算χ2≈

,根據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn),這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響

差別.(填“有”或“沒有”)

1.779

沒有

12345678910111211.有人發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象,中國(guó)人的郵箱名稱里含有數(shù)字比較多,而外國(guó)人郵箱名稱里含有數(shù)字比較少.為了研究國(guó)籍和郵箱名稱里含有數(shù)字的關(guān)系,小明收集了124個(gè)郵箱名稱,其中中國(guó)人的64個(gè),外國(guó)人的60個(gè),中國(guó)人的郵箱中有43個(gè)含數(shù)字,外國(guó)人的郵箱中有27個(gè)含數(shù)字.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立2×2列聯(lián)表;(2)他發(fā)現(xiàn)在這組數(shù)據(jù)中,外國(guó)人郵箱里含數(shù)字的也不少,他不能斷定國(guó)籍和郵箱名稱里含有數(shù)字是否有關(guān)聯(lián),你能依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)幫他判斷一下嗎?123456789101112解

(1)2×2列聯(lián)表如下:單位:個(gè)類型國(guó)籍合計(jì)中國(guó)外國(guó)有數(shù)字432770無數(shù)字213354合計(jì)6460124(2)零假設(shè)為H0:國(guó)籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字無關(guān)聯(lián).由表中數(shù)據(jù)得依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為國(guó)籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.1234567891