2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算 3.2.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算（教師用書）教案 新人教A版選修2-2

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入3.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算（教師用書）教案新人教A版選修2-2主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算。具體包括以下幾個(gè)方面：

1.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則，包括復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的乘法、復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的乘法。

2.復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則，包括復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的除法。

3.復(fù)數(shù)乘除法的應(yīng)用，解決實(shí)際問題。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系：

學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法以及復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算。本節(jié)課的內(nèi)容是在此基礎(chǔ)上對(duì)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算進(jìn)行學(xué)習(xí)和掌握，因此需要學(xué)生能夠?qū)⒁延械闹R(shí)進(jìn)行運(yùn)用和拓展。同時(shí)，本節(jié)課的內(nèi)容也為后續(xù)學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的幾何表示法以及復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)和物理中的應(yīng)用打下基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)主要包括以下幾個(gè)方面：

1.邏輯推理：使學(xué)生能夠通過復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，培養(yǎng)和提高其邏輯推理能力，從而更好地理解和掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則。

2.數(shù)學(xué)建模：通過解決實(shí)際問題，使學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)的復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算知識(shí)，提高其建立數(shù)學(xué)模型的能力。

3.直觀想象：通過復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生培養(yǎng)其直觀想象能力，更好地理解和掌握復(fù)數(shù)的幾何表示。

4.數(shù)學(xué)抽象：使學(xué)生在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的過程中，提高其數(shù)學(xué)抽象能力，能夠從具體問題中抽象出復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則。

5.數(shù)學(xué)運(yùn)算：通過復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠提高其數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，熟練掌握復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算方法。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算規(guī)則，包括復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的乘除運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算。

難點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算中的符號(hào)判斷和運(yùn)算規(guī)律。2.復(fù)數(shù)乘除法在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

解決辦法：1.通過具體的例子，讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)，掌握復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的規(guī)則。2.利用圖形和實(shí)際問題，幫助學(xué)生理解和記憶復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的規(guī)律。3.引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已學(xué)的復(fù)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題，鞏固和加深對(duì)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的理解和掌握。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有《2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入3.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算》的教材或?qū)W習(xí)資料，以便學(xué)生能夠跟隨教學(xué)進(jìn)度進(jìn)行學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的圖片、圖表、視頻等多媒體資源，以便在教學(xué)過程中進(jìn)行直觀展示和解釋，幫助學(xué)生更好地理解和掌握復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的規(guī)則。

3.實(shí)驗(yàn)器材：如果涉及實(shí)驗(yàn)，確保實(shí)驗(yàn)器材的完整性和安全性。例如，可以準(zhǔn)備一些復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的模擬實(shí)驗(yàn)器材，如幾何模型、計(jì)算器等，讓學(xué)生通過實(shí)際操作來加深對(duì)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的理解。

4.教室布置：根據(jù)教學(xué)需要，布置教室環(huán)境，如分組討論區(qū)、實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)等?？梢詫⒔淌也贾贸尚〗M合作的形式，讓學(xué)生能夠在小組討論和合作中進(jìn)行學(xué)習(xí)和交流，促進(jìn)學(xué)生的主動(dòng)參與和合作能力的培養(yǎng)。

5.教學(xué)工具：準(zhǔn)備教學(xué)PPT、黑板、粉筆等教學(xué)工具，以便進(jìn)行教學(xué)講解和演示，使學(xué)生能夠更加清晰地理解和掌握復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的知識(shí)。

6.練習(xí)題庫：準(zhǔn)備一定數(shù)量的練習(xí)題，包括填空題、選擇題、解答題等不同類型的題目，以便進(jìn)行課堂練習(xí)和鞏固所學(xué)知識(shí)。

7.學(xué)習(xí)指導(dǎo)資料：準(zhǔn)備學(xué)習(xí)指導(dǎo)資料，包括學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)、學(xué)習(xí)方法等，幫助學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)。教學(xué)流程一、導(dǎo)入新課（用時(shí)5分鐘）

同學(xué)們，今天我們將要學(xué)習(xí)的是《復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算》這一章節(jié)。在開始之前，我想先問大家一個(gè)問題：“你們?cè)谌粘Ｉ钪惺欠裼龅竭^需要計(jì)算復(fù)數(shù)乘除的情況？”（舉例說明）這個(gè)問題與我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容密切相關(guān)。通過這個(gè)問題，我希望能夠引起大家的興趣和好奇心，讓我們一同探索復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的奧秘。

二、新課講授（用時(shí)10分鐘）

1.理論介紹：首先，我們要了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的基本概念。復(fù)數(shù)代數(shù)形式是……（詳細(xì)解釋概念）。它是……（解釋其重要性或應(yīng)用）。

2.案例分析：接下來，我們來看一個(gè)具體的案例。這個(gè)案例展示了復(fù)數(shù)代數(shù)形式在實(shí)際中的應(yīng)用，以及它如何幫助我們解決問題。

3.重點(diǎn)難點(diǎn)解析：在講授過程中，我會(huì)特別強(qiáng)調(diào)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算和……這兩個(gè)重點(diǎn)。對(duì)于難點(diǎn)部分，我會(huì)通過舉例和比較來幫助大家理解。

三、實(shí)踐活動(dòng)（用時(shí)10分鐘）

1.分組討論：學(xué)生們將分成若干小組，每組討論一個(gè)與復(fù)數(shù)代數(shù)形式相關(guān)的實(shí)際問題。

2.實(shí)驗(yàn)操作：為了加深理解，我們將進(jìn)行一個(gè)簡單的實(shí)驗(yàn)操作。這個(gè)操作將演示復(fù)數(shù)代數(shù)形式的基本原理。

3.成果展示：每個(gè)小組將向全班展示他們的討論成果和實(shí)驗(yàn)操作的結(jié)果。

四、學(xué)生小組討論（用時(shí)10分鐘）

1.討論主題：學(xué)生將圍繞“復(fù)數(shù)代數(shù)形式在實(shí)際生活中的應(yīng)用”這一主題展開討論。他們將被鼓勵(lì)提出自己的觀點(diǎn)和想法，并與其他小組成員進(jìn)行交流。

2.引導(dǎo)與啟發(fā)：在討論過程中，我將作為一個(gè)引導(dǎo)者，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題。我會(huì)提出一些開放性的問題來啟發(fā)他們的思考。

3.成果分享：每個(gè)小組將選擇一名代表來分享他們的討論成果。這些成果將被記錄在黑板上或投影儀上，以便全班都能看到。

五、總結(jié)回顧（用時(shí)5分鐘）

今天的學(xué)習(xí)，我們了解了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的基本概念、重要性和應(yīng)用。同時(shí)，我們也通過實(shí)踐活動(dòng)和小組討論加深了對(duì)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的理解。我希望大家能夠掌握這些知識(shí)點(diǎn)，并在日常生活中靈活運(yùn)用。最后，如果有任何疑問或不明白的地方，請(qǐng)隨時(shí)向我提問。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

（1）數(shù)學(xué)雜志和期刊：推薦學(xué)生閱讀一些與復(fù)數(shù)代數(shù)形式相關(guān)的數(shù)學(xué)雜志和期刊，如《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》、《數(shù)學(xué)年刊》等，以便了解該領(lǐng)域的最新研究成果和學(xué)術(shù)動(dòng)態(tài)。

（2）在線課程和講座：鼓勵(lì)學(xué)生參加一些在線課程和講座，如Coursera、edX等平臺(tái)上的復(fù)數(shù)代數(shù)形式相關(guān)課程，以及一些知名大學(xué)和研究機(jī)構(gòu)的公開課，以便從不同角度和深度了解該知識(shí)點(diǎn)。

（3）數(shù)學(xué)競賽和活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生參加一些與復(fù)數(shù)代數(shù)形式相關(guān)的數(shù)學(xué)競賽和活動(dòng)，如全國高中生數(shù)學(xué)競賽、美國數(shù)學(xué)競賽等，以提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力。

（4）數(shù)學(xué)軟件和工具：教會(huì)學(xué)生使用一些數(shù)學(xué)軟件和工具，如MATLAB、Mathematica等，以便在實(shí)際問題中更好地應(yīng)用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的知識(shí)。

2.拓展建議：

（1）讓學(xué)生閱讀一些與復(fù)數(shù)代數(shù)形式相關(guān)的數(shù)學(xué)史實(shí)的資料，了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的發(fā)展歷程，提高他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和認(rèn)識(shí)。

（2）鼓勵(lì)學(xué)生查找復(fù)數(shù)代數(shù)形式在工程、物理、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用實(shí)例，拓寬他們的視野，了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的重要性。

（3）引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一些與復(fù)數(shù)代數(shù)形式相關(guān)的課題研究，如復(fù)數(shù)游戲、復(fù)數(shù)與幾何的關(guān)系等，培養(yǎng)他們的研究能力和創(chuàng)新精神。

（4）組織學(xué)生參加一些數(shù)學(xué)社團(tuán)和俱樂部，讓他們有機(jī)會(huì)與其他對(duì)復(fù)數(shù)代數(shù)形式感興趣的同學(xué)進(jìn)行交流和合作，共同提高。

（5）建議學(xué)生在課外時(shí)間參加一些數(shù)學(xué)講座和研討會(huì)，邀請(qǐng)一些專家學(xué)者進(jìn)行講解，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)與專業(yè)人士進(jìn)行交流和學(xué)習(xí)。重點(diǎn)題型整理1.題型一：復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算

題目：計(jì)算以下復(fù)數(shù)的乘積：

（1）(3+4i)×(2-3i)

解答：

首先，我們將復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相乘，然后將結(jié)果相加。具體步驟如下：

(3+4i)×(2-3i)=(3×2+3×(-3i)+4i×2+4i×(-3i))

=(6-9i+8i-12i^2)

由于i^2=-1，我們可以將上式簡化為：

=(6-i-12)

=(6-13-i)

因此，(3+4i)×(2-3i)=-7-i。

題目：計(jì)算以下復(fù)數(shù)的乘積：

（2）(-1+2i)×(1-2i)

解答：

同樣地，我們將復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相乘，然后將結(jié)果相加。具體步驟如下：

(-1+2i)×(1-2i)=(-1×1+1×2i+2i×1-2i×2i)

=(-1+2i+2i-4i^2)

由于i^2=-1，我們可以將上式簡化為：

=(-1+4i+4)

=(3+4i)

因此，(-1+2i)×(1-2i)=3+4i。

題目：計(jì)算以下復(fù)數(shù)的乘積：

（3）(2+3i)×(4+5i)

解答：

同樣地，我們將復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相乘，然后將結(jié)果相加。具體步驟如下：

(2+3i)×(4+5i)=(2×4+2×5i+3i×4+3i×5i)

=(8+10i+12i-15i^2)

由于i^2=-1，我們可以將上式簡化為：

=(8+22i-15)

=(-7+22i)

因此，(2+3i)×(4+5i)=-7+22i。

2.題型二：復(fù)數(shù)除法運(yùn)算

題目：計(jì)算以下復(fù)數(shù)的商：

（1）(6-7i)÷(3+4i)

解答：

首先，我們需要將分母實(shí)部虛部同時(shí)乘以其共軛復(fù)數(shù)，具體步驟如下：

(6-7i)÷(3+4i)=(6-7i)×(3-4i)÷(3+4i)×(3-4i)

=(18-21i-21i+28i^2)÷(9-12i+12i-16i^2)

由于i^2=-1，我們可以將上式簡化為：

=(18-42i-28)÷(9+16)

=(-10-42i)÷25

=(-10÷25)-(42i÷25)

=-2/5-(42i÷25)

=-2/5-(126i÷100)

=-2/5-(63i÷50)

因此，(6-7i)÷(3+4i)=-2/5-63i/50。

題目：計(jì)算以下復(fù)數(shù)的商：

（2）(1+2i)÷(2-i)

解答：

同樣地，我們需要將分母實(shí)部虛部同時(shí)乘以其共軛復(fù)數(shù)，具體步驟如下：

(1+2i)÷(2-i)=(1+2i)×(2+i)÷(2-i)×(2+i)

=(2+4i+2i+2i^2)÷(4-i^2)

由于i^2=-1，我們可以將上式簡化為：

=(2+6i-2)÷(4+1)

=(6i)÷5

=6i÷5

因此，(1+2i)÷(2-i)=6i/5。

題目：計(jì)算以下復(fù)數(shù)的商：

（3）(3-4i)÷(1+i)

解答：

同樣地，我們需要將分母實(shí)部虛部同時(shí)乘以其共軛復(fù)數(shù)，具體步驟如下：

(3-4i)÷(1+i)=(3-4i)×(1-i)÷(1+i)×(1-i)

=(3-4i-3i+4i^2)÷(1-i^2)

由于i^2=-1，我們可以將上式簡化為：

=(3-7i-4)÷(1+1)

=(-1-7i)÷2

=-1/2-(7i÷2)

=-1/2-(3.5i)

因此，(3-4i)÷(1+i)=-1/2-3.5i。

3.題型三：復(fù)數(shù)乘除法的應(yīng)用

題目：計(jì)算以下復(fù)數(shù)表達(dá)式的值：

（1）(2+3i)×(4-5i)-(2-3i)×(4+5i)

解答：

首先，我們分別計(jì)算兩個(gè)乘法表達(dá)式的值，然后將結(jié)果相減。具體步驟如下：

(2+3i)×(4-5i)=(2×4+2×(-5i)+3i×4+3i×(-5i))

=(8-10i+12i-15i^2)

由于i^2=-1，我們可以將上式簡化為：

=(8+2i-15)

=(-7+2i)

(2-3i)×(4+5i)=(2×4+2×5i-3i×4-3i×5i)

=(8+10i-12i-15i^2)

由于i^2=-1，我們可以將上式簡化為：

=(8-2i-15)

=(-7-2i)

將兩個(gè)結(jié)果相減，得到：

(-7+2i)-(-7-2i)=-7+2i+7+2i

=-7+7+2i+2i

=0+4i

=4i

題目：計(jì)算以下復(fù)數(shù)表達(dá)式的值：

（2）(1+i)×(1-i)+(1-i)×(1+i)

解答：

同樣地，我們分別計(jì)算兩個(gè)乘法表達(dá)式的值，然后將結(jié)果相加。具體步驟如下：

(1+i)×(1-i)=(1×1+1×(-i)+i×1+i×(-i))

=(1-i+i-i^2)

由于i^2=-1，我們可以將上式簡化為：

=(1+1)

=2

(1-i)×(1+i)=(1×1-1×i-i×1+i×i)

=(1-i-i+i^2)

由于i^2=-1，我們可以將上式簡化為：

=(1-1)

=0

將兩個(gè)結(jié)果相加，得到：

2+0=2

題目：計(jì)算以下復(fù)數(shù)表達(dá)式的值：

（3）(2-3i)÷(1+i)×(1-i)

解答：

首先，我們需要將分母實(shí)部虛部同時(shí)乘以其共軛復(fù)數(shù)，具體步驟如下：

(2-3i)÷(1+i)=(2-3i)×(1-i)÷(1+i)×(1-i)

=(2×1+2×(-i)-3i×1-3i×(-i))÷(1×1-1×i+i×1-i×(-i))

由于i^2=-1，我們可以將上式簡化為：

=(2-2i-3i+3)÷(1+1)

=(5-5i)÷2

=(5÷2)-(5i÷2)