用空間向量研究距離、夾角問題課件（第二課時(shí)）-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

第一章

空間向量與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用

1.4.2

用空間向量研究距離、

夾角問題（第二課時(shí)）一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)會(huì)用向量法解決線線角、線面角、面面角會(huì)區(qū)分向量角與線線角、線面角、面面角的關(guān)系能用向量夾角公式解決立體幾何中角度的度量問題學(xué)習(xí)目標(biāo)直線和平面間的距離兩個(gè)平行平面之間的距離點(diǎn)到平面的距離兩個(gè)平行直線之間的距離點(diǎn)到直線的距離??ldA空間中的距離兩點(diǎn)間的距離復(fù)習(xí)回顧新課導(dǎo)入與距離類似，角度是立體幾何中另一個(gè)重要的度量．直線與直線所成的角直線與平面所成的角平面與平面的夾角．那么，空間中的角包括哪些？用向量方法研究再回憶一下向量與向量所成的角是如何求的？新知探究一般地，兩條異面直線所成的角，可以轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的方向向量的夾角來求得.也就是說，若異面直線l1,l2所成的角為θ，其方向向量分別是

則l1l2l1l2OO

θ=<

>嗎？它們的關(guān)系是什么？θ=或θ=π-問題1

如何用向量的夾角來刻畫異面直線所成角？典例解析P36-例1

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體(四個(gè)面都是正三角形)ABCD中，M，N分別為BC,

AD的中點(diǎn)，求直線AM和CN夾角的余弦值．ACDBMN解：化為向量問題進(jìn)行向量運(yùn)算回到圖形問題新知探究問題2

我們?cè)诶?用向量方法解決了異面直線AM和CN所成角的問題，你能用向量方法求直線AB與平面BCD所成的角嗎？CABDMN

類似地，直線與平面所成的角，可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角.

如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量

，平面α的法向量為.ABCθ=<

>嗎？如何用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出它們的關(guān)系？或θ=-θ=-新知探究問題3

圖中有幾個(gè)二面角？?jī)蓚€(gè)平面的夾角與這兩個(gè)平面形成的二面角有什么關(guān)系？

如圖示，平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.

兩個(gè)平面的夾角與這兩個(gè)平面形成的二面角相等或互補(bǔ)。ll法向量的方向：一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角；同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角新知探究二面角的大小判斷:肉眼觀察法

P37-例8

如圖示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q,R分別在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1.

求平面PQR與平面A1B1C1夾角的余弦值.ACBA1C1B1QPRxyz典例解析新知探究①建系：依據(jù)幾何條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．②求點(diǎn)和直線方向向量的坐標(biāo)③求法向量：在建立的坐標(biāo)系下求兩個(gè)面的法向量④計(jì)算空間角相應(yīng)的三角函數(shù)值利用坐標(biāo)法的求空間角的步驟1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，D1,F1分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1.則BD1與AF1所成角的余弦值是().ACBA1C1B1F1D1xyzA鞏固練習(xí)課本P38鞏固練習(xí)課本P38ACBA1C1B1F1D11.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，D1,F1分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1.則BD1與AF1所成角的余弦值是().A鞏固練習(xí)課本P382.PA,PB,PC是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是().

PBCADOFE解:過PC上任取一點(diǎn)D并作PO⊥平面APB,則∠DPO就是直線PC與平面PAB所成的角.過點(diǎn)O作OE⊥PA,OF⊥PB,∵DO⊥平面APB,則DE⊥PA,DF⊥PB.∴△DEP≌△DFP,∴EP=FP，∴△OEP≌△OFP.∴點(diǎn)O在∠APB的平分線上,即∠OPE=30°C

3.如圖，在三棱錐O-ABC中，OA,OB,OC兩兩垂直，OA=OC=3，OB=2.求直線OB與平面ABC所成角的正弦值.BOCAxyz鞏固練習(xí)課本P413.如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,求平面AA1B與平面A1BC1夾角的余弦值.ACBA1C1B1xyzO鞏固練習(xí)課本P38鞏固練習(xí)課本P384.如圖，△ABC和△DBC所在平面垂直,且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°.求:

(1)直線AD與直線BC所成角的大小;DBCAxyzO鞏固練習(xí)課本P384.如圖，△ABC和△DBC所在平面垂直,且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°.求:

(2)直線AD與平面BCD所成角的大小;DBCAxyzO鞏固練習(xí)課本P384.如圖，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠CB