專題15 數(shù)列中的情景題及數(shù)學(xué)文化題（解析版）

專題15數(shù)列中的情景題及數(shù)學(xué)文化題一、單選題1．明代數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》中已經(jīng)給出由n，和d求各項(xiàng)的問題，如九兒問甲歌：“一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七．借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．”則該問題中老人的長子的歲數(shù)為（

）A．35 B．32 C．29 D．26【答案】A【解析】依據(jù)題意，九個兒子的歲數(shù)從大到小構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，設(shè)長子的歲數(shù)為，則，解得．故選A2．（2024屆遼寧省六校高三上學(xué)期期初考試）黃山市歙縣三陽鎮(zhèn)葉村歷史民俗“疊羅漢”已被列入省級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)愛護(hù)項(xiàng)目，至今已有500多年的歷史，表演時由二人以上的人層層疊成各種樣式，魅力四射，光榮奪目，好看又壯麗.小明同學(xué)在爭辯數(shù)列時，發(fā)覺其遞推公式就可以利用“疊羅漢”的思想來處理，即，假如該數(shù)列的前兩項(xiàng)分別為，其前項(xiàng)和記為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，所以，.故選D.3．《周碑算經(jīng)》記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣唇（guǐ）長損益相同，夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是連續(xù)十二個節(jié)氣，其日影子長依次成等差數(shù)列．經(jīng)記錄測算，夏至、處暑、霜降三個節(jié)氣日影子長之和為16.5尺，這十二節(jié)氣的全部日影子長之和為84尺，則夏至的日影子長為（

）尺A．1 B．1.25 C．1.5 D．2【答案】C【解析】由題意可知：十二個節(jié)氣的日影子長為等差數(shù)列，設(shè)為，公差為d，其前n項(xiàng)和為，則，代入得：，解得：.故選C.4．（2023屆廣東省揭陽市惠來縣高三最終一模）在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不犯難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)”.其大意是：有人要去某關(guān)口，路程為里，第一天健步行走，從其次天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則此人后天共走的里程數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)第天走里，其中，由題意可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，，解得，所以，此人后三天所走的里程數(shù)為.故選D.5．（2024屆湖南省永州市雙牌縣高三上學(xué)期摸底聯(lián)考）“三分損益法”是古代中國創(chuàng)造的制定音律時所用的生律法.例如：假設(shè)能發(fā)出第一個基準(zhǔn)音的樂器的長度為36，那么能發(fā)出其次個基準(zhǔn)音的樂器的長度為，能發(fā)出第三個基準(zhǔn)音的樂器的長度為，……，也就是依次先削減三分之一，后增加三分之一，以此類推.現(xiàn)有一愛好小組接受此規(guī)律構(gòu)造了一個共12項(xiàng)的數(shù)列用來爭辯數(shù)據(jù)的變化，已知，則（

）A．324 B．297 C．256 D．168【答案】A【解析】由損益規(guī)律可知，即，解得.故選A6．（2023屆河南省部分名校高三二模）大衍數(shù)列0，2，4，8，12，18，?來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)受過的兩儀數(shù)量總和.其通項(xiàng)公式為記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）參考公式：.A．169125 B．169150 C．338300 D．338325【答案】B【解析】由，故.故選B7．任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘再加上；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈．這就是數(shù)學(xué)史上有名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）．比如取正整數(shù)，依據(jù)上述運(yùn)算法則得出．猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足（為正整數(shù)），，若，則的取值為（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】由“冰雹猜想”可知：若，則，，若為偶數(shù)，則；若為奇數(shù)，則；綜上所述：或.故選D.8．高階等差數(shù)列是數(shù)列逐項(xiàng)差數(shù)之差或高次差相等的數(shù)列，中國古代很多有名的數(shù)學(xué)家對推導(dǎo)高階等差數(shù)列的求和公式很感愛好，制造并進(jìn)展了名為“垛積術(shù)”的算法，呈現(xiàn)了聰慧才智如南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法商功》一書中記載的三角垛、方垛、芻甍垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關(guān)如圖是一個三角垛，最頂層有個小球，其次層有個，第三層有個，第四層有個，則第層小球的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】記第層有個球，則，，，，結(jié)合高階等差數(shù)列的概念知，，，，，則第層的小球個數(shù)．故選B9．（2023屆陜西省丹鳳中學(xué)高三模擬）在數(shù)學(xué)中，歐拉-馬?羅尼常數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個重要常用無理數(shù)，為了便于仗用，我們認(rèn)為，且．爭辯與的單調(diào)性，可得所在的區(qū)間為（

）（參考數(shù)據(jù)，）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于，所以單調(diào)遞減，則，即．由于，所以單調(diào)遞增，則當(dāng)趨近于時，，所以，所以，故所在的區(qū)間為．故選C10．（2023屆甘肅省隴南市高三一模）斜拉橋是將梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的橋，它由梁、斜拉索和塔柱三部分組成.如圖1，這是一座斜拉索大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列.如圖2，已知拉索上端相鄰兩個錨的間距約為4m，拉索下端相鄰兩個錨的間距均為18m.最短拉索的錨，滿足，，以所在直線為軸，所在直線為軸，則最長拉索所在直線的斜率為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，分別是公差為4和18的等差數(shù)列，所以，，所以，，即最長拉索所在直線的斜率為.故選B.11．（2023屆湖南省岳陽市華容縣高三上學(xué)期適應(yīng)性考試）裴波那契數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·裴波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，該數(shù)列滿足，且．盧卡斯數(shù)列是以數(shù)學(xué)家愛德華·盧卡斯命名，與裴波那契數(shù)列聯(lián)系緊密，即，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由于，所以當(dāng)時，，所以，故，由于，所以，，故，所以.故選C.12．（2024屆山西省大同市高三上學(xué)期學(xué)情調(diào)研）分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅在20世紀(jì)70年月創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題供應(yīng)了全新的思路，依據(jù)如圖1的分形規(guī)律可得知圖2的一個樹形圖，記圖2中第行黑圈的個數(shù)為，白圈的個數(shù)為，若，則（

）

A．34 B．35 C．88 D．89【答案】D【解析】由題可知，每個白圈在下一行產(chǎn)生一個白圈一個黑圈，一個黑圈在下一行產(chǎn)生一個白圈兩個黑圈，所以有，，又由于，，所以，，，，，，，，，，，，故選D.二、多選題13．（2023屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期調(diào)研測試）朱世杰是歷史上宏大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人，每人日支米三升.”其大意為“官府間續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從其次天開頭每天比前一天多派7人，官府向修筑堤壩的每人每天發(fā)放大米3升.”則下列結(jié)論正確的有（

）A．將這1864人派譴完需要16天B．第十天派往筑堤的人數(shù)為134C．官府前6天共發(fā)放1467升大米D．官府前6天比后6天少發(fā)放1260升大米【答案】ACD【解析】記數(shù)列為第n天派遣的人數(shù)，數(shù)列為第n天獲得的大米升數(shù)，則是以64為首項(xiàng)，7為公差的等差數(shù)列，即，是以192為首項(xiàng)，21為公差的等差數(shù)列，即，所以，B不正確.設(shè)第k天派遣完這1864人，則，解得（負(fù)值舍去），A正確；官府前6天共發(fā)放升大米，C正確，官府前6天比后6天少發(fā)放升大米，D正確.故選ACD14．（2024屆貴州省貴陽第一中學(xué)高三上學(xué)期適應(yīng)性月考）提丟斯·波得定律是關(guān)于太陽系中行星軌道的一個簡潔的幾何學(xué)規(guī)章，它是在1766年由德國的一位中學(xué)老師戴維斯·提丟斯發(fā)覺的，后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成一條定律，即數(shù)列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6…表示的是太陽系第顆行星與太陽的平均距離（以天文單位AU為單位）.現(xiàn)將數(shù)列的各項(xiàng)乘以10后再減4，得到數(shù)列，可以發(fā)覺數(shù)列從第3項(xiàng)起，每項(xiàng)是前一項(xiàng)的2倍，則下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的第2023項(xiàng)為 B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為C．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為157.3 D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和【答案】CD【解析】數(shù)列各項(xiàng)乘以后再減得到數(shù)列故該數(shù)列從第項(xiàng)起構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，所以，則，故A錯誤；從而，故B錯誤；設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，也符合上式，所以，所以，故C正確；由于，所以當(dāng)時，當(dāng)時，，兩式相減得，所以，又當(dāng)時也滿足上式，所以，故D正確.故選CD.15．平面螺旋是以一個固定點(diǎn)開頭，向外圈漸漸旋繞而形成的圖案，如圖（1）．它的畫法是這樣的：正方形ABCD的邊長為4，取正方形ABCD各邊的四等分點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H作其次個正方形，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點(diǎn)M，N，P，Q作第三個正方形，以此方法始終循環(huán)下去，就可得到陰影部分圖案，設(shè)正方形ABCD邊長為，后續(xù)各正方形邊長依次為，，…，，…；如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形AEH面積為，后續(xù)各直角三角形面積依次為，，…，，…．則（

）

A．?dāng)?shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列B．從正方形開頭，連續(xù)個正方形的面積之和為32C．使得不等式成立的的最大值為3D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和【答案】ACD【解析】對于A選項(xiàng)，由題意知，且，所以，又由于，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故A正確；對于B選項(xiàng)，由上知，，，，，所以，故B錯誤；對于C選項(xiàng)，，易知是單調(diào)遞減數(shù)列，且，，故使得不等式成立的的最大值為，故C正確；對于D選項(xiàng)，由于，且，所以，所以，故D正確；故選ACD．16．（2024屆重慶市高三上學(xué)期9月質(zhì)量檢測）歷史上有名的伯努利錯排問題指的是：一個人有封不同的信，投入n個對應(yīng)的不同的信箱，他把每封信都投錯了信箱，投錯的方法數(shù)為.例如兩封信都投錯有種方法，三封信都投錯有種方法，通過推理可得：.高等數(shù)學(xué)給出了泰勒公式：，則下列說法正確的是（

）A． B．為等比數(shù)列C． D．信封均被投錯的概率大于【答案】ABC【解析】選項(xiàng)A，令4封信分別為，當(dāng)在第2個信箱時，共3種錯排方式：第1種信箱1234信第2種信箱1234信第3種信箱1234信同理可得在第3和4個信箱時，也分別有3種錯排方式，所以共種方法，故A選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，，∴，又，則，故B選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C，，兩邊同除以得，∴，，故C選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，裝錯信封的概率為，∵，則，即當(dāng)n為奇數(shù)時，；當(dāng)n為偶數(shù)時，；綜上，當(dāng)n為奇數(shù)時；當(dāng)n為偶數(shù)時，故D項(xiàng)錯誤.故選ABC.17．（2023屆重慶市高三下學(xué)期5月質(zhì)量檢測）麥克斯韋妖（Maxwell＇sdemon），是在物理學(xué)中假想的妖，能探測并把握單個分子的運(yùn)動，于1871年由英國物理學(xué)家詹姆斯·麥克斯韋為了說明違反熱力學(xué)其次定律的可能性而設(shè)想的．當(dāng)時麥克斯韋意識到自然界存在著與熵增加相拮抗的能量把握機(jī)制．但他無法清楚地說明這種機(jī)制．他只能詼諧地假定一種“妖”，能夠依據(jù)某種秩序和規(guī)章把作隨機(jī)熱運(yùn)動的微粒安排到肯定的相格里．麥克斯韋妖是耗散結(jié)構(gòu)的一個雛形．可以簡潔的這樣描述，一個絕熱容器被分成相等的兩格，中間是由“妖”把握的一扇小“門”，容器中的空氣分子作無規(guī)章熱運(yùn)動時會向門上撞擊，“門”可以選擇性的將速度較快的分子放入一格，而較慢的分子放入另一格，這樣，其中的一格就會比另外一格溫度高，可以利用此溫差，驅(qū)動熱機(jī)做功．這是其次類永動機(jī)的一個范例．而直到信息熵的發(fā)覺后才推翻了麥克斯韋妖理論．設(shè)隨機(jī)變量X全部取值為1，2，…n，且（，2，…n），定義X的信息熵，則下列說法正確的有（

）A．n=1時B．n=2時，若，則與正相關(guān)C．若，，D．若n=2m，隨機(jī)變量y的全部可能取值為1,2,…,m，且（j=1,2,…,m）則【答案】ABD【解析】對于A，若，則，因此，A正確；對于B，當(dāng)n=2時，，，令，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以與正相關(guān)，B正確；對于C，，，則，，而，于是，令，則，兩式相減得，因此，，C錯誤；對于D，若，隨機(jī)變量的全部可能的取值為，且（），，，由于，即有，則，因此，所以，即成立，D正確.故選ABD三、填空題18．風(fēng)雨橋（如圖①所示）是侗族最具特色的民間建筑之一.風(fēng)雨橋由橋、塔、亭組成.其中亭、塔的俯視圖通常是正方形、正六邊形或正八邊形.圖②是某風(fēng)雨橋亭的大致俯視圖，其中正六邊形的邊長的計算方法如下：，，…，，其中.已知該風(fēng)雨橋亭共層，若，，則圖②中的五個正六邊形的周長總和為.

【答案】【解析】由已知可得（且），，則，所以，圖②中五個六邊形的邊長（單位：）構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，這五個正六邊形的周長之和為.19．（2024屆江西省南昌市高三上學(xué)期8月月考）我國古代的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方：如圖將填入的方格內(nèi)，使三行，三列和兩條對角線上的三個數(shù)字之和都等于15.一般地，將連續(xù)的正整數(shù)填入個方格中，使得每行，每列和兩條對角線上的數(shù)字之和都相等，這個正方形叫做階幻方.記階幻方的每列的數(shù)字之和為，如圖三階幻方的，那么.

【答案】65【解析】由階幻方填入，共列，這個數(shù)字之和為，由這列之和都相等，則每一列和.故.20．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等比數(shù)列，最上面節(jié)的容積之積為，最下面節(jié)的容積之積為，則第節(jié)的容積是.【答案】【解析】現(xiàn)有一根節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等比數(shù)列，設(shè)第節(jié)的容積為，則為等比數(shù)列，且，上面節(jié)的容積之積，下面節(jié)的容積之積為，，解得，，第節(jié)的容積為：．21．黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想涉及到很多領(lǐng)域的應(yīng)用，有些數(shù)學(xué)家將黎曼猜想的攻堅