專題21 圓中的最值問題（解析版）

專題21圓中的最值問題一、單選題1．（2024屆廣東省信宜市高三上學(xué)期摸底）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為圓C：上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】

如圖所示，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，A為切點(diǎn)，此時(shí)最大，易得,由，即，所以.故選C2．（2023屆天津市寧河區(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)高三上學(xué)期期末）己知直線：被圓截得的弦長(zhǎng)為，則點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離最大值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【解析】由題可得，圓的半徑，圓心到直線的距離為，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，解得或（舍去），則點(diǎn)的坐標(biāo)為，該點(diǎn)到圓心的距離為，所以點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最大值為，故選A.3．（2024屆浙江省嘉興市高三上學(xué)期9月測(cè)試）已知點(diǎn)是直線：和：的交點(diǎn)，點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于直線：，即，令，解得，可知直線過定點(diǎn)，同理可知：直線過定點(diǎn)，又由于，可知，所以直線與直線的交點(diǎn)的軌跡是以的中點(diǎn)，半徑的圓，由于圓的圓心，半徑，所以的最大值是.故選B.4．（2024屆廣東省珠海市其次中學(xué)高三上學(xué)期10月月考）在平面直角坐標(biāo)系中，過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如下圖所示：

由題意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，又由于，所以，所以，又圓心到直線的距離為，所以，所以不妨設(shè)，則，又由于在單調(diào)遞增，所以當(dāng)且僅當(dāng)即，即當(dāng)且僅當(dāng)直線垂直已知直線時(shí)，有最大值.故選A.5．（2024屆重慶市高三上學(xué)期9月月度質(zhì)量檢測(cè)）已知A，B是圓C：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若，則點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．7【答案】D【解析】由題意可知：圓C：的圓心，半徑，則，設(shè)P、C到直線AB的距離分別為，由于，解得，分別過P、C作，垂足分別為，再過C作，垂足為，明顯當(dāng)P、C位于直線AB的同側(cè)時(shí)，點(diǎn)P到直線AB的距離較大，

則，當(dāng)且僅當(dāng)，即直線AB與直線PC垂直時(shí)，等號(hào)成立，所以點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為7.故選D.6．（2023屆河南省開封市通許縣高三下學(xué)期押題）已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，故設(shè)，則，令，則，即，則，其中為幫助角，，則，整理得，故的最大值為，故選A7．（2023屆四川省岳池中學(xué)高三上學(xué)期10月月考）已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，，則（

）A．的最大值是 B．的最小值是C．的最小值是 D．的最大值是【答案】B【解析】圓的方程可化為，設(shè)，且，且，則，當(dāng)，時(shí)，取得最大值，故A錯(cuò)誤；，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故B正確；，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故C錯(cuò)誤；，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故D錯(cuò)誤.故選B8．（2024屆THUSSAT中同學(xué)標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)力量診斷性測(cè)試高三上學(xué)期9月測(cè)試）已知三角形中，，角的平分線交于點(diǎn)，若，則三角形面積的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】在中，在中，故，，由于，故，又角的平分線交于點(diǎn)，則，故.故.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖平面直角坐標(biāo)系，則由于，，故，，設(shè)，則，即，故，化簡(jiǎn)可得，即，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓（除去）.故當(dāng)縱坐標(biāo)最大，即時(shí)面積取最大值為.

故選C9．（2023屆安徽省臨泉第一中學(xué)高三下學(xué)期三模）在中，，D是以BC為直徑的圓上一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．12 B． C． D．【答案】A【解析】如圖：

取BC，BD中點(diǎn)E，G，可知，且，取BE的中點(diǎn)O，則G為圓O上一點(diǎn)，所以最大值為，故的最大值為12.故選A.10．（2024屆遼寧省朝陽市高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知拋物線，圓，若點(diǎn)、分別在、上運(yùn)動(dòng)，且設(shè)點(diǎn)，則的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)圓心為，則為拋物線的焦點(diǎn)，該拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，由拋物線的定義得，要使最小，則需最大，如圖，最大時(shí)，經(jīng)過圓心，且圓的半徑為1，，且，所以，令，則，所以，由，而，得，取得最小值，則的最小值為．故選B．11．（2023屆福建師范高校附屬中學(xué)高三上學(xué)期12月月考）已知實(shí)數(shù)滿足，，，則的最大值是（

）A． B．6 C． D．12【答案】D【解析】如圖：設(shè)，，則原題等價(jià)于點(diǎn)，是圓上兩點(diǎn)，并且，所以，，所以所求最大值就是兩點(diǎn)到直線的距離之和的倍，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，由上圖可知：，就是M點(diǎn)到直線的距離的倍，由于是直角三角形，，設(shè)的中點(diǎn)為，所以在圓上運(yùn)動(dòng)，所以本題等價(jià)于求到直線的距離倍的最大值，明顯，最大值=原點(diǎn)O到直線的距離與圓的半徑之和的倍；故選D.12.圓內(nèi)一點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的直線和，分別與圓交于、和、，則四邊形面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，易知四邊形為等腰梯形，所以，四邊形的面積為，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，因此，四邊形面積的最大值為.故選D.二、多選題13．（2023屆福建省廈門雙十中學(xué)高三上學(xué)期10月考試）古希臘有名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)覺：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓．”后來人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為曲線，下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的方程為B．直線與曲線有公共點(diǎn)C．曲線被軸截得的弦長(zhǎng)為D．面積的最大值為【答案】ACD【解析】設(shè)，對(duì)于選項(xiàng)A，由于，所以，化簡(jiǎn)得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由于曲線C為，所以圓心為，半徑為，計(jì)算圓心到直線的距離為，所以直線與曲線C沒有公共點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，曲線的圓心在軸上，所以被軸截得的弦即為直徑，所以曲線被軸截得的弦長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由于，，所以,故，而曲線C為，所以，即的最大值為，故D正確.故選ACD14．（2024屆山西省大同市高三上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)）已加點(diǎn)P是圓上的一點(diǎn)．直線與直線交于點(diǎn)M．則下列說法正確的是（

）A． B．直線與圓O相切C．直線被圓O截得的弦長(zhǎng)為 D．的最小值為【答案】ABD【解析】由題意可知：圓的圓心，半徑為3，由于，所以，故A正確；圓心O到的距離為，所以與圓O相切，故B正確；圓心O到直線的距離為，所以弦長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；由，得，即，所以，所以的最小值為，故D正確．故選ABD．15．（2023屆河北省秦皇島市聯(lián)考高三沖刺）已知圓，直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與圓C相切B．若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的最大值為4C．當(dāng)時(shí)，圓C上存在4個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為D．當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，曲線恒過直線與圓C的交點(diǎn)【答案】BCD【解析】，圓心且半徑為，由于直線過定點(diǎn)，且點(diǎn)在圓上，若直線l與圓C相切，則直線l的斜率不存在，即，故A不正確；當(dāng)直線l經(jīng)過圓心時(shí)，取最大值即圓的直徑，故B正確；當(dāng)時(shí)，直線，由于圓心C到直線l的距離，所以，所以圓C上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故C正確；當(dāng)時(shí)，直線，曲線，即肯定過直線與圓的交點(diǎn)，故D正確．故選BCD．16．（2023屆河南省信陽高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期3月測(cè)試）已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過和兩點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線為切點(diǎn)，則（

）A．點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的最小距離為B．線段長(zhǎng)度的最小值為C．的最小值為D．存在點(diǎn)，使得的面積為【答案】CD【解析】對(duì)于A，由于，設(shè)，則，可得曲線的軌跡為圓.方程為直線：，圓心到直線的距離為，則點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的最小距離為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由圖可知，在直角三角形中，，要使得線段的長(zhǎng)度最小，則取最小值，由選項(xiàng)A可知，長(zhǎng)度的最小值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則，在直角三角形中，，，所以，所以令，又，所以，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即的最小值為3，故C正確；對(duì)于D，由切線長(zhǎng)定理知，直線垂直平分線段，得，當(dāng)且僅當(dāng)與直線垂直時(shí)取等號(hào)，即弦長(zhǎng)度的最小值為.此時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以，所以的面積的最小值為，又，，的面積所以存在點(diǎn)，使得的面積為3，故D正確.故選CD.17．（2024屆福建省泉州市高三高中畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測(cè)）已知的頂點(diǎn)在圓上，頂點(diǎn)在圓上.若，則（

）A．的面積的最大值為B．直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為C．有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得為等邊三角形D．有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得直線，都是圓的切線【答案】ACD【解析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，由于圓的半徑為2，，所以，且，

對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)到直線距離的最大值為15，所以的面積的最大值為，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，點(diǎn)到直線的距離小于等于，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又的最大值為7，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為7，這時(shí)直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，若為等邊三角形，則需，，由于，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心的單位圓，所以，又的最小值為4，所以，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)成立，因此有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得為等邊三角形，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若直線，都是圓的切線，則，由射影定理，可得，同上，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，因此有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得直線，都是圓的切線，故D正確；故選ACD三、填空題18．（2024屆山東省臨沂市高三上學(xué)期聯(lián)考）已知A，B為圓上的兩點(diǎn)，，M為的中點(diǎn)，則M到直線距離的最小值為．【答案】【解析】由垂徑定理可知，∴，∴M的軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓，O到l的距離，∴M到直線距離的最小值為．19．（2023屆江西省九江市高三一模）已知點(diǎn)分別是拋物線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為．【答案】【解析】如圖所示：

由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為可知圓心，半徑為，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義可知，圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離滿足，即；所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立；即的最小值為．20．（2024屆福建省廈門第一中學(xué)高三上學(xué)期9月月考）已知，，過x軸上一點(diǎn)P分別作兩圓的切線，切點(diǎn)分別是M，N，當(dāng)取到最小值時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為.【答案】【解析】的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，設(shè)，則，所以，取，，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線：令，則，

21．（2023屆海南省?？谑泻Ｄ先A僑中學(xué)高三模擬測(cè)試）已知圓：的圖象在第四象限，直線：，：.若上存在點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為A，，使得為等邊三角形，則被圓截得的弦長(zhǎng)的最大值為.【答案】【解析】

由已知可得，圓的圓心，半徑，且有.則圓心到直線：的距離.又直線方程可化為，可知，，所以直線過一、二、三象限，不過第四象限，直線與圓相離.由題意易知，則，，所以有，即，所以.又，，所以，，所以.所以圓心到直線的距