福建省泉州市2025屆高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題（解析版）

泉州市2025屆高中畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）高三數(shù)學(xué)2024.08本試卷共19題，滿分150分，共8頁(yè).考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效.在草稿紙?試題卷上答題無(wú)效.3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用05毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書(shū)寫(xiě)，字體工整?筆跡清楚.4.保持答題卡卡面清潔，不折疊?不破損.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用排除法或先求集合A,再結(jié)合集合的交集判斷求解.【詳解】解法一：（排除法）因符合題意，排除D；因?yàn)榉项}意，排除；解法二：因?yàn)椋?，故選:C.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B.-1 C. D.16【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出.【詳解】解法一：設(shè)，則，解得，所以，所以，解法二：因，所以，解法三：方程兩邊同時(shí)平方，有，所以，故選:A.3.已知向量滿足與的夾角為，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)等式進(jìn)行變形得，再運(yùn)算數(shù)量積的運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)，由題得，所以，，所以，所以，又，所以，故選:D.4.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及輔助角公式求解即可.【詳解】解法一：（特殊法）由題知滿足條件，所以.解法二：由題得，所以，所以，所以,.解法三：由題得，所以，即，所以，即.解法四：由題得，所以，所以，即，所以，所以.解法五：觀察，知同正，為第一象限角，其正切值為正，排除A，B.若，可取，則，不符合已知條件，排除D，故選:C.5.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的底數(shù)要求只討論且，由題意得為單調(diào)遞增，因雙勾函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，故；又時(shí)，為單調(diào)遞增，故；再由，得；綜上，，故選：B.6.已知正四棱臺(tái)的頂點(diǎn)都在同一球面上，其上?下底面邊長(zhǎng)分別為，高為3，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】法一：分別求得上下底面所在平面截球所得圓的半徑，找到球心，求得半徑，再由球的表面積公式可得結(jié)果；法二：應(yīng)用排除法得答案．【詳解】法一：正四棱臺(tái)的對(duì)角面的外接圓為其外接球的大圓（如下圖），對(duì)角面為等腰梯形，其上下底邊長(zhǎng)分別為2，4，高為3，由正四棱臺(tái)的對(duì)稱性可知，球的球心在梯形上下底的中點(diǎn)連線所在直線上，設(shè)，則，球半徑為，由，可得，解得，所以所求的球的表面積為，法二：下底的外接圓不大于球的大圓，故球半徑（下底對(duì)角線長(zhǎng)的一半），表面積排除D；對(duì)角面等腰梯形的對(duì)角線長(zhǎng)，故球半徑，表面積，排除C；若，則，易求球心到的距離為，球心到的距離為，無(wú)法滿足，或，排除A.故選：B.7.已知函數(shù)滿足，若，則（）A.25 B.125 C.625 D.15625【答案】C【解析】【分析】利用賦值法結(jié)合條件可得進(jìn)而即得；或構(gòu)造函數(shù)求解.【詳解】解法一：由題意取，可得即知?jiǎng)t.解法二：令，則，所以，即，所以，則.解法三：由可構(gòu)造滿足條件的函數(shù)，可以快速得到.故選：C.8.已知函數(shù)，則（）A.是的一個(gè)周期 B.是圖象的一條對(duì)稱軸C.是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心 D.在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減【答案】B【解析】【分析】法一：利用排除法，取特值檢驗(yàn)即可；法二：根據(jù)周期性的定義判斷A；根據(jù)對(duì)稱性的定義判斷BC；利用導(dǎo)數(shù)判斷在區(qū)間0,π內(nèi)單調(diào)性，進(jìn)而判斷D.【詳解】法一：（排除法）因?yàn)?，，即，所以不是的一個(gè)周期，故A錯(cuò)誤；且，所以不是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故C錯(cuò)誤；又因?yàn)椋?，所以在區(qū)間0,π內(nèi)不單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；法二：A：因?yàn)榧矗圆皇堑囊粋€(gè)周期，故A錯(cuò)誤；B：因?yàn)?，即，所以是圖象的一條對(duì)稱軸，故B正確；C：因?yàn)?，即，所以不是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故C錯(cuò)誤；D：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，此時(shí)f'x<0當(dāng)時(shí)，，此時(shí)f'x>0當(dāng)時(shí)，，此時(shí)f'x<0可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間0,π內(nèi)不單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題，可以通過(guò)舉反例的形式說(shuō)明其錯(cuò)誤，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算和推理.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某校在開(kāi)展“弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，深植文化自信之根”主題教育的系列活動(dòng)中，舉辦了“誦讀國(guó)學(xué)經(jīng)典，傳承中華文明”知識(shí)競(jìng)賽．賽前為了解學(xué)生的備賽情況，組織對(duì)高一年和高二年學(xué)生的抽樣測(cè)試，測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)處理后，得到如下頻率分布直方圖，則下面說(shuō)法正確的是（）A.高一年抽測(cè)成績(jī)的眾數(shù)為75B.高二年抽測(cè)成績(jī)低于60分的比率為C.估計(jì)高一年學(xué)生成績(jī)的平均分低于高二年學(xué)生成績(jī)的平均分D.估計(jì)高一年學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)低于高二年學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)【答案】ACD【解析】【詳解】根據(jù)頻率分步直方圖?樣本的數(shù)字特征等基礎(chǔ)知識(shí)判斷即可．【試題解析】選項(xiàng)A：高一年學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)為區(qū)間的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，故A正確；選項(xiàng)B：高二年學(xué)生成績(jī)得分在區(qū)間的學(xué)生人數(shù)頻率為，所以低于60分的比率為，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：高一年學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)約為分；高二年學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)約為分，因?yàn)?，故C正確；選項(xiàng)D：高一年學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)位于，高二年學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)位于，故D正確；故選：ACD．10.已知函數(shù)，則（）A.的值域?yàn)锽.圖象的對(duì)稱中心為C.當(dāng)時(shí)，無(wú)極值D.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減【答案】BC【解析】【分析】函數(shù)的基本性質(zhì)判斷A,B,應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性判斷D,應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)判斷極值存在性判斷C.【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)至少一個(gè)不為0，則函數(shù)為三次函數(shù)或者一次函數(shù)，值域均為；當(dāng)均為0時(shí)，值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：函數(shù)滿足，可知為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于中心對(duì)稱，所以的圖象為的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位后得到的，即關(guān)于0,1中心對(duì)稱，故B正確；C選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，恒大于0或者恒小于0，所以函數(shù)在上單調(diào)，無(wú)極值.故C正確；D選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，取，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:BC.11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知是動(dòng)點(diǎn)．下列命題正確是（）A.若，則的軌跡的長(zhǎng)度等于2B.若，則的軌跡方程為C.若，則的軌跡與圓沒(méi)有交點(diǎn)D.若，則的最大值為3【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，確定M點(diǎn)軌跡，即可判斷；對(duì)于B，結(jié)合雙曲線定義進(jìn)行判斷；對(duì)于C，求出M點(diǎn)軌跡方程，聯(lián)立方程或利用向量數(shù)量積判斷與圓的交點(diǎn)情況，即可判斷；對(duì)于D，求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，進(jìn)而求解數(shù)量積最值，即可判斷.【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)椋缘能壽E為線段，從而的軌跡的長(zhǎng)度等于2，故A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)椋呻p曲線的定義知，的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，而結(jié)論的方程中未限制范圍，故B錯(cuò)誤；（由，得的軌跡方程為）選項(xiàng)C：解法一：由，得，化簡(jiǎn)得，，聯(lián)立，得，這與矛盾，所以方程組無(wú)解，故的軌跡與圓沒(méi)有交點(diǎn)，故C正確；解法二：若有交點(diǎn)Mx,y又，矛盾，所以的軌跡與圓沒(méi)有交點(diǎn)，故C正確；選項(xiàng)D：解法一：由得，，化簡(jiǎn)得，所以的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，等于在軸上的投影的長(zhǎng)度，由圖知其最大值為3，故D正確；解法二：同法一得的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，，由圓的方程知可取到最大值3，故D正確；解法三：由得，，當(dāng)在的反向延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào)，①；②當(dāng)在的反向延長(zhǎng)線上，且時(shí)，滿足條件，此時(shí)，所以的最大值為3，故D正確；故選：ACD．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若曲線在處的切線與直線垂直，則__________.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義以及兩直線的位置關(guān)系與斜率的關(guān)系求解.【詳解】由題意得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，故在處切線的斜率為，直線的斜率存在為，根據(jù)題意得，，解得.故答案為:.13.過(guò)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別作實(shí)軸的垂線，交于四個(gè)點(diǎn)，若這四個(gè)點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，則的離心率為_(kāi)_________.【答案】.【解析】【分析】由雙曲線的幾何性質(zhì)確定之間的等式關(guān)系，即可求解.【詳解】解法一：不妨設(shè)雙曲線，令，可得，所以AB=2b依題意可得，，所以，又，所以，解得：，又因?yàn)?，所?解法二：如圖，連結(jié)，在中，所以離心率.解法三：，依題意知在曲線上，故，整理得（取正），所以，故答案為：.14.如圖，有一個(gè)質(zhì)地均勻的正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8.將該八面體連續(xù)拋擲三次，按順序記錄它與地面接觸的面上的數(shù)字，則這三個(gè)數(shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列的概率為_(kāi)_________.【答案】##.【解析】【分析】利用古典概率模型以及等差數(shù)列的定義即可求解.【詳解】由題意可知所有可能情況共有種，按順序記錄的三個(gè)數(shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列，可以按照公差為分類，其中公差為和的做法數(shù)對(duì)應(yīng)相等.公差為0的有共8種做法；公差為1的有共6種做法，同公差為的；公差為2的有共4種做法，同公差為的；公差為3的有共2種做法，同公差為的；所以三個(gè)數(shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列的概率.故答案為:.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求；（2）若的角平分線與交于點(diǎn)，求.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角以及三角恒等變換公式求解；（2）利用等面積法以及余弦定理即可求解.【小問(wèn)1詳解】依題意，由正弦定理可得所以，又所以，因?yàn)锽∈0,π，所以，所以又，所以.【小問(wèn)2詳解】解法一：如圖，由題意得，，所以，即，又，所以，所以，即，所以.解法二：如圖，中，因?yàn)?，由余弦定理得，，所以，所以，所以，所以，所?16.如圖，在圓柱中，分別為圓柱的母線和下底面的直徑，為底面圓周上一點(diǎn).（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若，圓柱的體積為，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，利用線面平行的判定性質(zhì)，結(jié)合圓柱的結(jié)構(gòu)特征推理即得.（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)，如圖，由分別為的中點(diǎn)，得，由圓柱上下底面平行，且與平面交于和，得，且，則且，因此四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】由底面直徑，得，由圓柱的體積，得，過(guò)作平面，則，又，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)二面角的大小為，則，于是，所以二面角的正弦值為.17.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的方程；（2）過(guò)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，記的面積為的面積為，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用離心率公式以及點(diǎn)在橢圓上即可求解；（2）解法一：設(shè)，利用三角形的面積公式，將面積之比表示為點(diǎn)的縱坐標(biāo)之比，利用韋達(dá)定理可求出的縱坐標(biāo)之比的取值范圍，從而可求解；解法二：設(shè)，將面積之比表示為點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)之比，利用韋達(dá)定理可求出A,B的縱坐標(biāo)之比的取值范圍，即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以.即，解得，所以，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】解法一：由（1）得，依題意設(shè)，由消去，得，設(shè)Ax1,設(shè)，則，，由得，，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，令且，則，解得，且，所以，所以的取值范圍為0,2.解法二：由（1）得，依題意設(shè)，由消去，得，設(shè)Ax1,所以，設(shè)，則，，令且，則代入可得，消去得：，因?yàn)椋?，所以，解得，且，所以，所以的取值范圍?,2.18.已知曲線.（1）證明：；（2）若曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線為，則稱為與的一條對(duì)稱軸.請(qǐng)寫(xiě)出與的一條對(duì)稱軸，并探究是否存在其它的對(duì)稱軸；（3）已知是上的兩點(diǎn)，是上的兩點(diǎn)，若四邊形為正方形，其周長(zhǎng)為，證明：.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）與的一條對(duì)稱軸為直線，是與的唯一對(duì)稱軸（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值的關(guān)系結(jié)合隱零點(diǎn)證明；（2）利用兩函數(shù)成反函數(shù)關(guān)系可確定對(duì)稱軸為，并用反證法思想證明有且僅有一條對(duì)稱軸；（3）設(shè)，其，利用正方形的性質(zhì)特征建立四個(gè)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的等量關(guān)系，進(jìn)而確定正方形邊長(zhǎng)為，構(gòu)造函數(shù)即可證明.【小問(wèn)1詳解】要證原命題，只需證，設(shè)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，顯然在0,+∞單調(diào)遞增，且，故存在唯一的滿足，即，從而可得在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增；所以Fx在處取到最小值，其中即，所以得證.【小問(wèn)2詳解】與的一條對(duì)稱軸為直線，且是與的唯一對(duì)稱軸，證明如下：,所以在處的切線斜率為1，切點(diǎn)為0,1，所以切線方程為，所以結(jié)合函數(shù)圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即曲線與直線相切于點(diǎn)，且曲線在直線的上方（除點(diǎn)）；,所以在處的切線斜率為1，切點(diǎn)為1,0，所以切線方程為，所以結(jié)合函數(shù)圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即與直線相切于點(diǎn)，且曲線在直線的下方（除點(diǎn)）；而平行線的距離為，故曲線上的任意點(diǎn)與上任意點(diǎn)的距離不小于，注意到兩點(diǎn)距離恰為，故可得結(jié)論①：曲線上的任意點(diǎn)與上任意點(diǎn)的距離最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)這兩點(diǎn)分別為時(shí)取到.反證法：假設(shè)與存在除以外的其它對(duì)稱軸，那么關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，注意到兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，故在上且異于點(diǎn)，同理關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，其中在上且異于點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可得，這與①矛盾，故假設(shè)不成立.故是與的唯一對(duì)稱軸.【小問(wèn)3詳解】由題意，不妨設(shè)，其中，并由（2）分析得分別與關(guān)于直線對(duì)稱，可得，且，由正方形可得，即所以，即正方形對(duì)角線軸，因?yàn)?，即?②又因?yàn)?，所以②式可化為故為方程的根，即的零點(diǎn)為，因?yàn)?，所以?,+∞單調(diào)遞增，且，所以，所以正方形的邊長(zhǎng)，令，且，，所以φx在0,+∞則，即正方形的邊長(zhǎng)大于，所以正方形的周長(zhǎng).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)的關(guān)鍵在于設(shè)，其，利用正方形