2024浙江中考數(shù)學二輪訓練：圓的綜合題 (含答案)

2024浙江中考數(shù)學二輪專題訓練題型七圓的綜合題

類型一純幾何圖形的證明及計算

母題變式練

母題1（2023杭州23題12分）如圖，銳角三角形內(nèi)接于。。，/A4c的平分線/G

交。。于點G,交8C邊于點R連接3G.

(1)求證：AABG^/\AFC；

【思維教練】結(jié)合角平分線的性質(zhì)及同弧所對的圓周角相等，即可得證.

母題1題圖

（2）已知AC=AF=b,求線段FG的長（用含a,6的代數(shù)式表示）;

【思維教練】結(jié)合相似三角形的性質(zhì)進行等量代換，即可得解.

（3）已知點￡在線段工尸上（不與點/，點尸重合），點。在線段/E上（不與點/,點￡重合）,

/ABD=NCBE,求證：BG2=GE-GD.

【思維教練】結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，進行恒等變形，即可得證.

母題1題圖

母題變式

【變式角度】題干中由。。的弦變?yōu)橹睆?，角平分線變?yōu)榛〉闹悬c.

1.如圖，△ZBC內(nèi)接于。。，48是。。的直徑，點。是劣弧/C上的一點(不與點/、C重

合)，連接AD并延長與8c的延長線交于點E,AC,3。相交于點M

(1)求證：BCCE=ACMC；

(2)若點。是劣弧/C的中點，tan//CD=；,MD-BD=W,求。。的半徑；

(3)若CO〃4B,過點/作/尸〃3C,交CD的延長線于點尸，求竺一區(qū)的值.

CDCE

針對演練

2.如圖，己知/C,3。為。。的兩條直徑，連接BC,0E_L48于點E,點尸是半徑

0c的中點，連接￡足

(1)設(shè)。。的半徑為1,若/&4C=30。,求線段昉的長；

⑵連接BEDF,設(shè)03與斯交于點P.

①求證：PE=PF-,

②若DF=EF,求/比1C的度數(shù).

類型二與函數(shù)結(jié)合的證明及計算

母題變式練

母題2如圖，△48C是。。的內(nèi)接三角形，點。在正上，點E在弦A8上(E不與/重

合)，且四邊形5DCE為菱形.

It

母題2題圖

(1)求證：AC=CE；

【思維教練】要證/C=CE,即要證NC4E=NCE4,由圓內(nèi)接四邊形的對角互補，可知

ZBDC+NA4C=180°,由四邊形BDCE為菱形得到ZBDC=ZBEC,而ZBEC+ZCEA=

180°,等量代換即可得證.

(2)求證：BC2-AC2=AB-AC；

【思維教練】由所證結(jié)論BC—NC2易聯(lián)想到需構(gòu)造直角三角形，結(jié)合/C=C￡可想到過點

C作CF_L4B得到RtZkBCF和RtZUCF,利用勾股定理得到關(guān)于3C2、/C2的關(guān)系式，兩者

作差即可得證.

(3)已知。。的半徑為3.

①若四=上，求8C的長；

AC3

②當迎為何值時，AB'AC的值最大？

AC

【思維教練】①由期的值結(jié)合(2)中所證結(jié)論，可得到AB,AC,2c三者的比值，而四邊形

NC

BDCE為爰形,AC=CE=BD,由此想到連接ED,且點。在￡￡＞上，構(gòu)造以5c長度的一

半，點。到弦8C的距離所組成的直角三角形，同時在0。中構(gòu)造以半徑，8C長度的一半，

點。到弦8c的距離所組成的直角三角形，二者結(jié)合即可求解；②設(shè)四=/,按照①中的思

4c

路求解即可.

母題變式

【變式角度】由AB為。。的弦變?yōu)?8為。。的直徑，由構(gòu)造直角三角形解決問題變?yōu)闃?gòu)

造相似三角形解決問題.

1.如圖，△/BC是。O的內(nèi)接三角形，點D為線段NC上一動點(不與點/、。重合)，且直

徑N8=10,siM=(,過點。作N8于點尸，連接并延長交0。于點"連接CE

(1)當。尸經(jīng)過圓心。時，求的長;

(2)求證：△ACFS/\4BD；

(3)求的最大值.

第1題圖

針對演練

2.如圖，等邊△NBC的頂點/,。在0。上，8在OO內(nèi)，圓心。在△NBC內(nèi)，AB,CB

的延長線分別交。。于點。，E,連接?！?BFLEC交4E于點、F.

(1)求證：BD=BE-,

(2)當4F：￡尸=4：3,/C=8時，求/￡的長；

AP,

(3)設(shè)一=冽，匕口/0力片:九求n關(guān)于m的函數(shù)表達式.

第2題圖

參考答案

類型一純幾何圖形的證明與計算

母題1⑴證明：平分/R4C,

ZBAG=Z.FAC,

又,：/G=/C,

△ABGS/\AFC；

(2)解：由(1)得繁=繁，

,;AC=AF=b,

：.FG=AG~AF=a~b；

(3)證明：,：NCAG=/CBG,NBAG=/CAG,

：.NBAG=/CBG,

?.?NABD=NCBE,

：.NBDG=ZBAG+AABD=ZCBG+ZCBE=/EBG,

又ZDGB=ZBGE.

：.△DGBsABGE,

,GD=BG

GB~EG

：.BG2=GEGD,

1.(1)證明：???CQ=CQ,

???ZMBC=ZEAC,

???/B是。。的直徑，

JZBCM=ZACE=90°,

:?△CBMsACAE,

.BC=MC

^AC~EC

：.BC?CE=ACMC；

(2)解：??,點。是劣弧/C的中點,

：.AD=CD,

/ABD=/MAD,

,?ZB是。。的直徑,

???/ADB=/MDA=90。,

：.ABADs叢AMD,

,AD=BD

??MDAD

：.AD2=MDBD=10,

解得4。=加(負值已舍去),

,/NACD=NABD,

tanZACD=tan/ABD=

3

..?A—D—_—\,

BD3

???助=3班，

在中，由勾股定理得45=402+瓦）2,

AB=(Vib)2+(3^10)2=10,

???。。的半徑為1/5=5；

2

(3)解:?:CD〃AB,

.BC=AD

**CE~DE

■:AF/IBC,

???△ADFs^EDC,

,AD=DF

'ED~DC

,BC=DF

,CE~DC

.CF_BC=CFDF=CF-DF=CD=

9CDCE~CDCDCDCD

2(1)1?：*COELAB,NB4c=30。,04=1,

AZAOE=60°,OE=-OA=~,AE=0

222

,/ZOFE=-ZAOE=30°,

2

???/BAC=/OFE,

：.EF=AE=^.

2

(2)①證明：如解圖，過點尸作尸交于點G,與BO交于點、H,連接EH.

第2題解圖

??ZC為。。的直徑，

,ZABC=90°9

：.FG//BC,

:?△OFHs^oCB,

丁點尸是OC的中點,

閂工田。￡1

...F一H=——OF=一1,同理一=一，

CBOC2BC2

：.FH=OE,

*：OELAB,FGLAB,

C.FH//OE,

???四邊形OEHF是平行四邊形,

：.PE=PF；

②角患9：OE//FG//BC,

,EGOF[

GBFC

：.EG=GB,

:.EF=BF,

■:DF=EF,

：.DF=BF,

■:DO=BO,

：.FO±BD,

是等腰直角三角形，

工ZBAC=45°.

類型二與函數(shù)結(jié)合的證明與計算

母題2(1)證明：：四邊形是。。的內(nèi)接四邊形,

Z5DC+Z^C=180°,

???四邊形ADCE是菱形，

???NBDC=NBEC,

：.N5￡C+NC4E=180。，

ZBEC+ZCEA=lS0°f

；?/CEA=/CAE,

：.AC=CE；

(2)證明：如解圖，過點。作于點尸,

/I

母題2解圖

"：CE=CA,

：.AF=EF,

在RtzXBCF中，BC2=BF1^rCF1,在Rt/X/C/中，AC2=AF2+CF2,

：.3C2—/C2=(BP+CF2)-(A尸+C產(chǎn))=BF—AF2=(BE+EF)2-AFi2=BE2+2.BEEF+EF2

-AF2=BE(BE+2EF)=BEAB,

:四邊形3OCE是菱形，

：.BE=CE=AC,

.,.BC-mAC；

(3)解:①?邛=|，

.,.設(shè)43=5左,AC=3k,

由(2)知BC=2?k,BD=AC=3k,

如解圖，連接08,ED,設(shè)皮)交于點

:四邊形8OCE是菱形，

...￡1￡(垂直平分BC,

點。在ED上，BM=CM=y{6k,

在Rt△瓦W中，由勾股定理得

DM=、］BD2—BM2=?,

(W=OD-DM=3一收，

在RtASOM中，由勾股定理得。/二臺心+欣》,

即32=(^)2+(3-^)2,

解得左1=^^，攵2=0(舍去)，

???BC=2\[6k=2加X項=；

3

AR

②令人=K設(shè)AC=x,則AB=tx,則ABAC=tx1,

AC

由(2)得BaMNb/C+NGMa+ON,BD=AC=x,

：.BC=\ll+tx,

：?BM=5^x.

2

在RtZXBOM中，由勾股定理得氏以

解得p(負值已舍去),

：.OM=OD~DM=3一迫二4,

2

在Rt45(W中，由勾股定理得5M2+0河2=502,

即^42+(3——4)2=32,

42

解得％=35二/或1=0(舍去)，

a41

：.AB?AC=tx2=9t(3-0=-9(^-1)2+,

V-9<0,

AB

.??當f=3時，即當45?4C的值最大.

2AC

1.(1)解：當。咒經(jīng)過圓心。時，AF=0A=%B=5,

,?Z5為。。的直徑，45=10,

???N4C5=90。,

：.sinA=^=~,

AB5

：.BC=6f

在RtZ\45C中，由勾股定理得/CnW咫—BC^g,

?；DFL4B,

???/AFD=/ACB=90。,

JAADF^AABC.

.AD_AF

'AB~AC

AFAB5X10=25

：.AD

AC84

ADAB

⑵證明「.由⑴得加如即=

AF~AC

又??,N/為AACF和△48。的公共角,

工△ACFs^ABD；

(3)解:如解圖，連接C",

由(2)知CFsAABD,

工/ABD=/ACF,

'：/ABD=/ACH,

：.ZACF=ZHCD,

又,：/CAF=/CHD,

：.LACFsAHCD,

CFAF

即CFDH=CDAF,

CDHD

設(shè)ND=x,則CD=8—x,

4437464

：.CF?D//=CD^F=|x(8-x)=-|x*2+*45yx=-|(x-4)2+y

4

V--<0,0<x<8,

5

.??當％=4時，取最大值，最大值為師.

5

2.證明：(口,??△45C是等邊三角形，

ZBAC=ZC=60°,

VZDEB=ZBAC=60°,ZD=ZC=60°,

???ZDEB=ZD,

：.BD=BE；

(2)如