2022年湖北省襄陽市中考數(shù)學(xué)真題(解析版)

2022年湖北省襄陽市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將其標(biāo)號(hào)在答題卡上涂黑作答．1.如果溫度上升2℃記作℃，那么溫度下降3℃記作（）A.℃ B.℃ C.℃ D.℃【答案】D【解析】【分析】首先審清題意，明確“正”和“負(fù)”所表示的意義；再根據(jù)題意作答．【詳解】解：如果溫度上升2℃記作+2℃，那么溫度下降3℃記作-3℃．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查正負(fù)數(shù)的意義，運(yùn)用正負(fù)數(shù)來描述生活中的實(shí)例．2.襄陽牛雜面因襄陽籍航天員聶海勝的一句“最想吃的還是我們襄陽的牛雜面”火爆出圈，引發(fā)了全國(guó)人民的聚焦和關(guān)注．襄陽某品牌牛雜面的包裝盒及對(duì)應(yīng)的立體圖形如圖所示，則該立體圖形的主視圖為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)主視圖的意義，從正面看該立體圖形所得到的圖形進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：從正面看，是一個(gè)矩形，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的主視圖，理解三視圖的意義，掌握三視圖的畫法是正確判斷的關(guān)鍵．3.2021年，襄陽市經(jīng)濟(jì)持續(xù)穩(wěn)定恢復(fù)，綜合實(shí)力顯著增強(qiáng)，人均地區(qū)生產(chǎn)總值再上新臺(tái)階，突破100000元大關(guān)．將100000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【詳解】解：將100000用科學(xué)記數(shù)法表示為．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了科學(xué)記數(shù)法．解題的關(guān)鍵是掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．4.已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如圖方式放置，點(diǎn)A，B分別落在直線m，n上．若∠1＝70°．則∠2的度數(shù)為（）A.30° B.40° C.60° D.70°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠ABD，再根據(jù)角的和差關(guān)系求得結(jié)果．【詳解】解：∵mn，∠1=70°，∴∠1=∠ABD=70°，∵∠ABC=30°，∴∠2=∠ABD-∠ABC=40°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．5.襄陽市正在創(chuàng)建全國(guó)文明城市，某社區(qū)從今年6月1日起實(shí)施垃扱分類回收．下列圖形分別是可回收物、廚余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的標(biāo)志，其中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選不符合題意；B、是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確，符合題意；D、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握定義：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形；在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形．6.下列說法正確的是（）A.自然現(xiàn)象中，“太陽東方升起”是必然事件B.成語“水中撈月”所描述的事件，是隨機(jī)事件C.“襄陽明天降雨的概率為0.6”，表示襄陽明天一定降雨D.若抽獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)概率為，則抽獎(jiǎng)50次必中獎(jiǎng)1次【答案】A【解析】【分析】根據(jù)概率意義，概率公式，隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的特點(diǎn)，即可解答．【詳解】解：A、自然現(xiàn)象中，“太陽東方升起”是必然事件，故A符合題意；B、成語“水中撈月”所描述的事件，是不可能事件，故B不符合題意；C、襄陽明天降雨的概率為0.6”，表示襄陽明天降雨的可能性是60%，故C不符合題意；D、若抽獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)概率為，則抽獎(jiǎng)50次不一定中獎(jiǎng)1次，故D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了概率的意義，概率公式，隨機(jī)事件，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵．7.如圖，?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列說法正確的是（）A.若OB＝OD，則?ABCD是菱形 B.若AC＝BD，則?ABCD是菱形C.若OA＝OD，則?ABCD是菱形 D.若AC⊥BD，則?ABCD是菱形【答案】D【解析】【分析】由矩形的判定和菱形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD，∴?ABCD是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴?ABCD是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴?ABCD是菱形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定和矩形的判定是解題的關(guān)鍵．8.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多一天：如果用快馬送，所需的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間少3天．已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規(guī)定時(shí)間．設(shè)規(guī)定時(shí)間為x天，則可列方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意找出題目中的等量關(guān)系列出方程即可．【詳解】設(shè)規(guī)定時(shí)間為x天，則可列方程為，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出題目中的等量關(guān)系列出方程．9.若點(diǎn)A（-2，y1），B（-1，y2）都在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則y1，y2的大小關(guān)系是（）A.y1＜y2 B.y1＝y(tǒng)2 C.y1＞y2 D.不能確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)A（-2，y1），B（-1，y2）都在反比例函數(shù)y=的圖象上，k=2＞0，∴在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∵-2＜-1，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝bx+c和反比例函數(shù)y＝在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象開口向下得到a＜0，再根據(jù)對(duì)稱軸確定出b，根據(jù)與y軸的交點(diǎn)確定出c＜0，然后確定出一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的情況，即可得解．【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象開口方向向下，∴a＜0，∵對(duì)稱軸為直線＞0，∴b＞0，∵與y軸的負(fù)半軸相交，∴c＜0，∴y=bx+c圖象經(jīng)過第一、三、四象限，反比例函數(shù)y=圖象在第二四象限，只有D選項(xiàng)圖象符合．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖形，一次函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對(duì)稱軸、與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)等確定出a、b、c的情況是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上．11.化簡(jiǎn)分式：＝_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)同分母的分式加法運(yùn)算法則求解后約分即可得到結(jié)論．詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)，掌握同分母的分式求和及約分是解決問題的關(guān)鍵．12.不等式組的解集是_____．【答案】x＞2【解析】【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到，確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x＞2，∴不等式組的解集為x＞2，故答案為：x＞2．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，掌握求不等式公共解集的方法是解題的關(guān)鍵．13.經(jīng)過某十字路口的汽車，它可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，假設(shè)這三種可能性大小相同，那么兩輛汽車經(jīng)過這個(gè)十字路口，一輛向左轉(zhuǎn)，一輛向右轉(zhuǎn)的概率是_____．【答案】【解析】【分析】列舉出所有情況，讓一輛向左轉(zhuǎn)，一輛向右轉(zhuǎn)的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的可能性．【詳解】一輛向左轉(zhuǎn)，一輛向右轉(zhuǎn)的情況有兩種，則概率是．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識(shí)點(diǎn)為：可能性=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．14.在北京冬奧會(huì)自由式滑雪大跳臺(tái)比賽中，我國(guó)選手谷愛凌的精彩表現(xiàn)讓人嘆為觀止，已知谷愛凌從2m高的跳臺(tái)滑出后的運(yùn)動(dòng)路線是一條拋物線，設(shè)她與跳臺(tái)邊緣的水平距離為xm，與跳臺(tái)底部所在水平面的豎直高度為ym，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），當(dāng)她與跳臺(tái)邊緣的水平距離為_____m時(shí)，豎直高度達(dá)到最大值．【答案】8【解析】【分析】把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，由函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，，∴當(dāng)x=8時(shí)，y有最大值，最大值為4，∴當(dāng)她與跳臺(tái)邊緣的水平距離為8m時(shí)，豎直高度達(dá)到最大值．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．15.已知⊙O的直徑AB長(zhǎng)為2，弦AC長(zhǎng)為，那么弦AC所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于_____．【答案】45°或135°【解析】【分析】直徑所對(duì)圓周角是直角，勾股定理求出BC，證得△ABC為等腰直角三角形即可解得．【詳解】解：如圖連接BC，∵⊙O的直徑AB∴∠ACB=90°根據(jù)勾股定理得∴∴△ABC為等腰直角三角形∴∠ABC=45°=135°∴弦AC所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于45°或者135°【點(diǎn)睛】此題考查了求圓周角，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．16.如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，△ABC的角平分線AE交BD于點(diǎn)F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長(zhǎng)為_____．【答案】【解析】【分析】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．證明，設(shè)，證明，設(shè)，則，求出，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．平分，，，，，，設(shè)，則，，，，，設(shè)，則，，，，的周長(zhǎng)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，共72分）解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，并且寫在答題卡上每題對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．17.先化簡(jiǎn)，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．【答案】【解析】【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而合并同類項(xiàng)，再把已知數(shù)據(jù)代入得出答案．【詳解】解：原式＝；a＝-，b＝+，∴原式【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算與整式的混合運(yùn)算——化簡(jiǎn)求值，正確掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．18.在“雙減”背景下，某區(qū)教育部門想了解該區(qū)A，B兩所學(xué)校九年級(jí)各500名學(xué)生的課后書面作業(yè)時(shí)長(zhǎng)情況，從這兩所學(xué)校分別隨機(jī)抽取50名九年級(jí)學(xué)生的課后書面作業(yè)時(shí)長(zhǎng)數(shù)據(jù)（保留整數(shù)），整理分析過程如下：【收集數(shù)據(jù)】A學(xué)校50名九年級(jí)學(xué)生中，課后書面作業(yè)時(shí)長(zhǎng)在70.5≤x＜80.5組的具體數(shù)據(jù)如下：74，72，72，73，74，75，75，75，75，75，75，76，76，76，77，77，78，80【整理數(shù)據(jù)】不完整的兩所學(xué)校的頻數(shù)分布表如下，不完整的A學(xué)校頻數(shù)分布直方圖如圖所示：組別50.5≤x＜60.560.5≤x＜70.570.5≤x＜80.580.5≤x＜90.590.5≤x＜100.5A學(xué)校515x84B學(xué)校71012174【分析數(shù)據(jù)】?jī)山M數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差如下表：特征數(shù)平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差A(yù)學(xué)校7475y127.36B學(xué)校748573144.12根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）本次調(diào)查是調(diào)查（選填“抽樣”或“全面”）；（2）統(tǒng)計(jì)表中，x＝，y＝；（3）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（4）在這次調(diào)查中，課后書面作業(yè)時(shí)長(zhǎng)波動(dòng)較小的是學(xué)校（選填“A”或“B”）；（5）按規(guī)定，九年級(jí)學(xué)生每天課后書面作業(yè)時(shí)長(zhǎng)不得超過90分鐘，估計(jì)兩所學(xué)校1000名學(xué)生中，能在90分鐘內(nèi)（包括90分鐘）完成當(dāng)日課后書面作業(yè)的學(xué)生共有人．【答案】（1）抽樣（2）（3）見解析（4）A（5）920【解析】【分析】（1）根據(jù)題意知本次調(diào)查是抽樣調(diào)查；（2）用總數(shù)減去其它組的頻數(shù)求x，利用求中位數(shù)的方法求y；（3）根據(jù)A學(xué)校的頻數(shù)分布表補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（4）根據(jù)方差即可判斷；（5）分別求出在90分鐘內(nèi)（包括90分鐘）完成當(dāng)日課后書面作業(yè)的學(xué)生即可．【小問1詳解】根據(jù)題意知本次調(diào)查是抽樣調(diào)查；故答案為：抽樣．【小問2詳解】x=50-5-15-8-4=18，中位數(shù)為第25個(gè)和第26個(gè)平均數(shù)故答案為：18，74.5．【小問3詳解】補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖：【小問4詳解】因?yàn)锳學(xué)校的方差為127.36，B學(xué)校的方差為144.12，12736＜144.12，∴課后書面作業(yè)時(shí)長(zhǎng)波動(dòng)較小的是A學(xué)校，故答案為：A．【小問5詳解】（人）故答案為：920．【點(diǎn)睛】本題主要考查了統(tǒng)計(jì)表，眾數(shù)，中位數(shù)以及方差的綜合運(yùn)用，利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息時(shí)，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖，才能作出正確的判斷和解決問題．19.位于峴山的革命烈士紀(jì)念塔是襄陽市的標(biāo)志性建筑，是為紀(jì)念“襄樊戰(zhàn)役”中犧牲的革命烈士及第一、第二次國(guó)內(nèi)革命戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期為襄陽的解放事業(yè)獻(xiàn)身的革命烈士的而興建的，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機(jī)測(cè)量烈士塔的高度．無人機(jī)在點(diǎn)A處測(cè)得烈士塔頂部點(diǎn)B的仰角為45°，烈士塔底部點(diǎn)C的俯角為61°，無人機(jī)與烈士塔的水平距離AD為10m，求烈士塔的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）【答案】烈士塔的高度約為28m．【解析】【分析】在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，則BD=AD=10m，在Rt△ACD中，tan∠DAC=tan61°=≈1.80，解得CD≈18m，由BC=BD+CD可得出答案．【詳解】解：由題意得，∠BAD=45°，∠DAC=61°，在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10m，∴BD=AD=10m，在Rt△ACD中，∠DAC=61°，tan61°=≈1.80，解得CD≈18，∴BC=BD+CD=10+18=28（m）．∴烈士塔的高度約為28m．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．20.如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．（1）作∠ACB的角平分線，交AB于點(diǎn)E（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求證：AD＝AE．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）按照角平分線的作圖步驟作圖即可．（2）證明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．【小問1詳解】解：如圖所示，CE即所求．【小問2詳解】證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分線，CE是∠ACB的角平分線，∴，，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD（ASA），∴AD＝AE．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握角平分線的作圖步驟以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．21.探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程．結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)畫出函數(shù)的圖象，并探究該函數(shù)性質(zhì)．（1）繪制函數(shù)圖象①列表：下列是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值，其中a＝．x……﹣5﹣4﹣3﹣2﹣112345……y……﹣3.8﹣2.5﹣1155a﹣1﹣2.5﹣3.8……②描點(diǎn)：根據(jù)表中的數(shù)值描點(diǎn)（x，y），請(qǐng)補(bǔ)充描出點(diǎn)（2，a）；③連線：請(qǐng)用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象；（2）探究函數(shù)性質(zhì)，請(qǐng)寫出函數(shù)y＝-|x|的一條性質(zhì)：；（3）運(yùn)用函數(shù)圖象及性質(zhì)①寫出方程-|x|＝5的解；②寫出不等式-|x|≤1的解集．【答案】（1）①1；②見解析，③見解析（2）的圖象關(guān)于軸對(duì)稱軸（答案不唯一）（3）①或；②或【解析】【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描點(diǎn)，連線即可；（2）觀察函數(shù)圖象，可得函數(shù)性質(zhì)；（3）①由函數(shù)圖象可得答案；②觀察函數(shù)圖象即得答案．【小問1詳解】①列表：當(dāng)x=2時(shí)，，故答案為：1；②描點(diǎn)，③連線如下：【小問2詳解】觀察函數(shù)圖象可得：的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故答案為：的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；【小問3詳解】①觀察函數(shù)圖象可得：當(dāng)y=5時(shí)，x=1或x=-1，的解是x=1或x=-1，故答案為：x=1或x=-1，②觀察函數(shù)圖象可得，當(dāng)x≤-2或x≥2時(shí)，y≤1，∴的解集是x≤-2或x≥2，故答案為：x≤-2或x≥2．【點(diǎn)睛】本題考查了列表描點(diǎn)畫函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息，畫出函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象獲取信息是解題的關(guān)鍵．22.如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，連接AC，BC，AD，AD與BC相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作直線DEBC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若，CG＝2，求陰影部分的面積．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接OD，根據(jù)已知條件，由OD⊥BC，DEBC，證明OD⊥DE即可；（2）根據(jù)相等，再由（1）中可得，，從而得到∠CAD=∠BAD=∠ABC=30°，在Rt△ACG中，利用銳角三角函數(shù)求出AC、AG的長(zhǎng)，從而求出△CAG的面積，在Rt△ABD中利用銳角三角函數(shù)求出AD的長(zhǎng)，根據(jù)DEBC可得△ACG∽△AED，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求出，進(jìn)而即可陰影部分的面積．【小問1詳解】證明：連接OD，如圖所示，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴OD⊥BC∵DEBC，∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切線．【小問2詳解】連接BD，如圖所示，∴BD=AC∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，∴，∴∠CAD=∠BAD=30°．∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACG中，，∴，∵，∴，，∴BD=CA=6，，在Rt△ABD中，∴∵DE∥BC，∴△CAG∽△EAD，∴，即，∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定定理、垂徑定理、圓周角定理以及相似三角形的性質(zhì)，解直角三角形，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．23.為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，我市某鎮(zhèn)鼓勵(lì)廣大農(nóng)戶種植山藥，并精加工成甲、乙兩種產(chǎn)品、某經(jīng)銷商購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲種產(chǎn)品進(jìn)價(jià)為8元/kg；乙種產(chǎn)品的進(jìn)貨總金額y（單位：元）與乙種產(chǎn)品進(jìn)貨量x（單位：kg）之間的關(guān)系如圖所示．已知甲、乙兩種產(chǎn)品的售價(jià)分別為12元/kg和18元/kg．（1）求出0≤x≤2000和x＞2000時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若該經(jīng)銷商購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種產(chǎn)品共6000kg，并能全部售出．其中乙種產(chǎn)品的進(jìn)貨量不低于1600kg，且不高于4000kg，設(shè)銷售完甲、乙兩種產(chǎn)品所獲總利潤(rùn)為w元（利潤(rùn)＝銷售額一成本），請(qǐng)求出w（單位：元）與乙種產(chǎn)品進(jìn)貨量x（單位：kg）之間的函數(shù)關(guān)系式，并為該經(jīng)銷商設(shè)計(jì)出獲得最大利潤(rùn)的進(jìn)貨方案；（3）為回饋廣大客戶，該經(jīng)銷商決定對(duì)兩種產(chǎn)品進(jìn)行讓利銷售．在（2）中獲得最大利潤(rùn)的進(jìn)貨方案下，甲、乙兩種產(chǎn)品售價(jià)分別降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所獲總利潤(rùn)不低于15000元，求a的最大值．【答案】（1）．（2）；當(dāng)購(gòu)進(jìn)甲產(chǎn)品2000千克，乙產(chǎn)品4000千克時(shí)，利潤(rùn)最大為288000元．（3）的最大值為．【解析】【分析】（1）分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意可知，分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別列出與的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意可知，降價(jià)后，與的關(guān)系式，并根據(jù)利潤(rùn)不低于15000，可得出的取值范圍．【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，設(shè)，根據(jù)題意可得，，解得，；當(dāng)時(shí)，設(shè)，根據(jù)題意可得，，解得，．．【小問2詳解】根據(jù)題意可知，購(gòu)進(jìn)甲種產(chǎn)品千克，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，的最大值為；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，的最大值為（元，綜上，；當(dāng)購(gòu)進(jìn)甲產(chǎn)品2000千克，乙產(chǎn)品4000千克時(shí)，利潤(rùn)最大為288000元．【小問3詳解】根據(jù)題意可知，降價(jià)后，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，，解得．的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出函數(shù)關(guān)系式．24.矩形ABCD中，＝（k＞1），點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)E作AE的垂線EF，與矩形的外角平分線CF交于點(diǎn)F．（1）【特例證明】如圖（1），當(dāng)k＝2時(shí)，求證：AE＝EF；小明不完整的證明過程如下，請(qǐng)你幫他補(bǔ)充完整．證明：如圖，在BA上截取BH＝BE，連接EH．∵k＝2，∴AB＝BC．∵∠B＝90°，BH＝BE，∴∠1＝∠2＝45°，∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，∴∠3＝∠DCG＝45°．∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．∴……（只需在答題卡對(duì)應(yīng)區(qū)域?qū)懗鍪Ｓ嘧C明過程）（2）【類比探究】如圖（2），當(dāng)k≠2時(shí)，求的值（用含k的式子表示）；（3）【拓展運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)k＝3時(shí)，P為邊CD上一點(diǎn)，連接AP，PF，∠PAE＝45°，，求BC的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）證明△AHE≌△ECF（ASA）即可；（2）在BA上截取BH=BE，連接EH．證明△AHE∽△ECF，即可求解；（3）以A為旋轉(zhuǎn)中心，△ADP繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°到△AP'H，設(shè)AB=3a，則BC=2a，連接P'E，HE，延長(zhǎng)P'H交CD于點(diǎn)G，連接EG，證明△AEP'≌△AEP（SAS），△PEG≌△P'EH（AAS），可得四邊形APEP'是正方形，再證明△APD≌△PEC（AAS），由（2）得△AHE∽△ECF，過點(diǎn)P作PK⊥AE交于K，進(jìn)而證明四邊形PKEF是矩形，則有PF==a，即可求出BC=．【小問1詳解】證明：如圖，在BA上截取BH=BE，連接EH．∵k=2，∴AB=BC．∵∠B=90°，BH=BE，∴∠1=∠2=45°，∴∠AHE=180°-∠1=135°，∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，∴∠3=∠DCG=45°，∴∠ECF=∠3+∠4=135°，∵AE⊥EF，∴∠6+∠AEB=90°，∵∠5+∠AEB=90°，∴∠5=∠6，∵AB=BC，BH=BE，∴AH=EC，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；【小問2詳解】解：在BA上截取BH=BE，連接EH．∵∠B=90°，BH=BE，∴∠BHE=∠BEH=45°，∴∠AHE=135°，∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，∴∠DCF=∠DCG=45°．∴∠ECF=135°，∵AE⊥EF，∴∠FEC+∠AEB=90°，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠FEC，∴△AHE∽△ECF，∴，∵，E是BC邊的中點(diǎn)，∴EC=HB=BC，∴AH=AB-BC=BC，∴；【小問3詳解】解：以A為旋轉(zhuǎn)中心，△ADP繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°到△AP'H，∵k=3，∴，設(shè)AB=3a，則BC=2a，∵∠PAE=45°，∴∠P'AP=90°，連接P'E，HE，延長(zhǎng)P'H交CD于點(diǎn)M，連接EM，∵AH=AD=2a，∴BH=a，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=a，∴HE=a，∠BHE=45°，∴∠P'HE=135°，∵CG=EC=a，∴∠MEC=45°，∴∠PME=135°，∵AP'=AP，∠PAE=∠P'AE，AE=AE，∴△AEP'≌△AEP（SAS），∴PE=P'E，∴△PEM≌△P'EH（AAS），∴∠PEG=∠P'EH，∵∠HEG=∠EGH=45°，∴∠HEG=90°，∴∠PEP'=90°，∴∠AEP=∠AEP'=45°，∴∠APE=∠AP'E=90°，∴四邊形APEP'是正方形，∴AP=PE，∵∠DAP+∠APD=90°，∠APD+∠EPC=90°，∴∠DAP=∠EPC，∵AP=PE，∴△APD≌△PEC（AAS），∴AD=PC=2a，PD=ED=a，∴PE=a，由（2）得△AHE∽△ECF，∴，∵∴，∵∠HEM=∠AE