2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓知識(shí)點(diǎn)分類練習(xí)

垂徑定理

知識(shí)提煉

名稱文字語(yǔ)言圖示

垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

垂徑定理

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

的推論

平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

D

拓展二

弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

對(duì)于一個(gè)圓和一條直線，如果具備下列五個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么一定具備其他三個(gè)（知二推三）：①過(guò)圓心；②垂直于

歸納

弦；③平分弦（非直徑）；④平分弦所對(duì)的劣弧；⑤平分弦所對(duì)的優(yōu)弧.

注意：“垂徑定理”中的“徑"并不需要一定是直徑，有時(shí)候是“半徑”、有時(shí)候是“弦心距”，還可以是其它可以經(jīng)過(guò)圓心的線段（或直

線），總之：“過(guò)圓心”是其特征。

基本圖1基本圖2

垂徑基本圖1：“雙垂徑”，多用于已知圓內(nèi)有“垂直弦”，并且求其中的一條弦長(zhǎng)或和弦長(zhǎng)相關(guān)聯(lián)的其他線段長(zhǎng)。方法：作2條垂徑,

用2次勾股，矩形“導(dǎo)邊”。

垂徑基本圖2:“過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)（N）的弦”，根據(jù)垂徑+勾股定理得：AB=2Vr2-h2,又hWd,故當(dāng)h=d時(shí)，弦長(zhǎng)AB有最小值，此時(shí)ON

為AB的垂徑。當(dāng)弦AB過(guò)圓心（變直徑）時(shí)，弦長(zhǎng)有最大值。

弧、弦、圓心角的關(guān)系定理

知識(shí)提煉

圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等；②在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓

心角相等，所對(duì)的弦也相等；③在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的優(yōu)弧或劣弧也相等.

弧、弦、圓心角之間的關(guān)系

名稱文字語(yǔ)言圖示

定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)

的弦相等

重要結(jié)論「

\\/B

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)-------"A

的優(yōu)弧、劣弧相等

不能忽略“在同圓或等圓中”這個(gè)前提條件，如果丟掉了這個(gè)前提條件，

注意即使圓心角相等，所對(duì)的弧、弦也不一定相等。如右圖所示，兩個(gè)圓的圓心相

同，AB與AE對(duì)應(yīng)同一個(gè)圓心角，但AB彳AB,AB^A'B'0)

在同圓或等圓中，兩條?。ㄒ话阃瑸榱踊』騼?yōu)?。?、兩條弦、兩個(gè)圓心角中，中只要有一組量相等，那么它

規(guī)律總結(jié)

們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也分別相等

模型快練

1.如圖.AB為。0的直徑,C,D分別是OA,OB的中點(diǎn),(CF_L4B,ED148,點(diǎn)E,F都在G)O上.求證:⑴CF=DE(2)AF=EF=BE(3)

AE=2CF

圓周角、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

知識(shí)提煉

圓內(nèi)接多邊形：

如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓.

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角.

圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

圓周角定理的推論：

①在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等；

②半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

模型快練

1.如圖,OA,OB,0C者B是0O的半徑,44。8=2乙BOC.

⑴求證:ZACB=2ZBAC;

(2)若AC平分NOAB,求NAOC的度數(shù).

垂直弦的平行弦解決方案

知識(shí)提煉

平行弦的性質(zhì)：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

證明方法：1.過(guò)O作垂徑，利用垂徑定理證明；

2.連AD,相等的圓周角所對(duì)的弧相等。

模型快練

1.如圖,在△4BC中,tan^BACxtan乙ABC=1,00經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)分別交AC,BC于D,E兩點(diǎn)若.DE=10,AB=24,,則。0的半徑為

2.如圖,四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形,.AC1BD于點(diǎn)P,半徑r=6,BC=8,則tan^DCA=.

A

定弦定角

知識(shí)提煉

【基本方法】圓周角定理的逆運(yùn)用，用于解決“隱圓問(wèn)題”，“軌跡”、“動(dòng)點(diǎn)”等。

模型快練

1.如圖,M,N是正方形ABCD的邊CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足.AM=BN,連接AC交BN于點(diǎn)E,連接DE交AM于點(diǎn)F,連接CF.若正

方形的邊長(zhǎng)為2,則線段CF的最小值是.

2.如圖,在邊長(zhǎng)為2的等邊△4BC中,D.E分別是BC,AC上的兩點(diǎn),且BD=CE,,AD與BE相交于點(diǎn)M.當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C

的過(guò)程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為,

圓的折疊

知識(shí)提煉

基本圖

本質(zhì)：軸對(duì)稱、兩個(gè)等圓的相交問(wèn)題（圖2）

補(bǔ)充概念：

如圖2,OO,為兩圓的連心線，AB為兩圓的公共弦，對(duì)于等圓，連心線和公共弦互相垂直平分,即:四邊形AOBO為菱形。

高頻考點(diǎn)：

如圖3,根據(jù)“在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等“，可知：AC=AD,從而得到AC=AD（作等弦是這類題型常見(jiàn)的輔

助線），根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，有三線合一，關(guān)聯(lián)垂徑定理、勾股定理，一般會(huì)考查到“方程思想工

模型快練

I如圖,AB是OO的直徑,BC是。O的弦,先將BC沿BC翻》折交AB于點(diǎn)D.再將BD沿AB翻》折交BC于點(diǎn)E.若BE=DE,設(shè)NABC=

a,則a所在的范圍是（）

A.21.9°<a<22.3°B.22.3°<a<22.7

C.22.7°<a<23.1°D,23.1°<a<23.5°

阿基米德折弦定理

知識(shí)提煉

Bu

tel

推論-：推論二

模型快練

1.已知,△4BC內(nèi)接于0O,AC為OO的直徑，點(diǎn)D為優(yōu)弧BC的中點(diǎn).

⑴如圖1,連接0D,求證:AB\\OD;

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)D作.DE14C,垂足為E.若4E=3,BC=8?求＜30的半徑.

圖2

2.如圖,。0是△4BC的外接圓，AC為直徑，弦BD=BA,BE1DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

⑴求證:Z1=乙BCE;

⑵求證:BE是。。的切線；

⑶若EC=1,CD=3,求cosKDBA.

定弦張角最大模型

知識(shí)提煉

如圖，A為定長(zhǎng)線段BD上的定點(diǎn)，C在過(guò)D點(diǎn)且與BD垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，試通過(guò)作圖的方法找出.乙4cB最大時(shí)，C點(diǎn)的位

置。

【核心解讀】米勒角問(wèn)題，最終都可以轉(zhuǎn)化為“切割線問(wèn)題"當(dāng)切割互垂的時(shí)候，可以用勾股定理、垂徑定理求解；推廣到一般情

形，切割線的夾角不是90。時(shí)，用“切割線定理”（子母形相似）比較簡(jiǎn)單。

模型快練

1.已知,C在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng),A（0,2）,B（4,6）,當(dāng)/4C8最大時(shí)，求C點(diǎn)坐標(biāo)。

內(nèi)心圖（任意角+直角）

【基本結(jié)論】MB=MC=Ml

左圖：等腰圖基本結(jié)論（中位線、雙勾）；對(duì)角互補(bǔ)（任意角）

右圖：對(duì)角互補(bǔ)（雙直角）

模型快練

1.如圖,00的直徑AB，弦CD于點(diǎn)E,F是弧AD的中點(diǎn),CF交AB于點(diǎn)I,連接BD,AC,AD.

(1)求證:BI=BD;

(2)若01=1,OE=2,求。O的半徑

B

切線長(zhǎng)定理

圖解模型

基本結(jié)論&方法:

切線長(zhǎng)定理：PA=PB、乙4P0=/BP。、PO垂直平分AB

雙等腰（4M=BM）、射影定理、面積法

點(diǎn)［為△P4B的內(nèi)心

模型快練

1.如圖,四邊形ABCD,^ADC=90。,48=6,4D=8,00切AB、CD于B、C兩點(diǎn),切AD于點(diǎn)E,求BC的長(zhǎng)

三角形內(nèi)切圓半徑

知識(shí)提煉

1.直徑三角形內(nèi)切圓半徑（拓展到旁切圓半徑）

基本結(jié)論&方法：

ab

左圖（內(nèi)心）

r=a+b+c

c+b-aab

右圖（旁心）r=

2a+c-b

2.任意三角形內(nèi)切圓半徑

2S

2S

r=--------

a+b+c

模型快練

（2023武漢四調(diào)T9）《數(shù)書(shū)九章》是我國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書(shū)中提出了已知三角形三邊a,b,c求面積的公式S=

若三角形的三邊a,b,c分別為7,6,3,則這個(gè)三角形內(nèi)切圓的半徑是（)

VionVio

4B年L.----U.----

正多邊形和圓的計(jì)算

知識(shí)提煉

名稱公式說(shuō)明

中心角a=360°a為中心角，n為邊數(shù)

邊心距、邊長(zhǎng)、半徑間的關(guān)系式R2T2+1/4a2Rn為半徑,rn為邊心距,an為邊長(zhǎng)

周長(zhǎng)公式Pn=nanPn為正多邊形周長(zhǎng)，an為邊長(zhǎng)

面積公式sn=Pr.Pn為正多邊形的周長(zhǎng)，rn為邊心距

模型快練

1.如圖，正五邊形ABCDE和正三角形AMN都是。O的內(nèi)接多邊形，則乙BOM=

2.如圖為一個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形EFGH和正六邊形ABCDEF組成的平面模具.已知A,E兩點(diǎn)的距離為2舊，現(xiàn)用一個(gè)圓形紙片覆蓋這

個(gè)模具，則該紙片的最小面積為.

3.如圖,已知AB是OO的直徑,48=2而,點(diǎn)C,D,H是0O上的點(diǎn)四邊形CDEF和EGHI都是正方形,其中點(diǎn)G,E,F在AB上,則正

方形EGHI的邊長(zhǎng)為

弧長(zhǎng)和扇形面積

知識(shí)提煉

弧長(zhǎng)的計(jì)算

弧長(zhǎng)公式：，=鬻

扇形面積的計(jì)算

扇形面積公式：S=嗒=97?

球3602

弓形面積的計(jì)算

如圖1,S弓形=S腐形AOB-

如圖2,S弓形=S朗形彳QB+S.48

圓錐的計(jì)算

基本概念：連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線，連接圓錐頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫做圓錐的高.

圓錐的側(cè)面積和全面積

側(cè)面積公式：S側(cè)=杜

全面積公式：S.=nlr+nr2

全

一圓錐底面半徑一go。

展開(kāi)圖扇形圓心角度數(shù)圓錐母線’即:九=蕓360。

B

1.一個(gè)圓錐的底面半徑r=10,高h(yuǎn)=20，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（）

4.100遙兀B.200V37TC.100V5TTD.200V5TT

2.如圖,用半徑為3cm.圓心角為120。的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為（）

42&B.y/2C.V10D.|

3.如圖,半徑為10的扇形AOB中，乙40B=90°,C為AB上一點(diǎn),CD±OA.CE1垂足分別為D,E.若乙CDE=36。,則圖中陰影部

分的面積為（）

A.IOTIB.9兀C.87CD.6兀

4.如圖,?O的半徑為2,AB,CD是互相垂直的兩條直徑,點(diǎn)P是。O上任意一點(diǎn)（P與A,B,C,D不重合）,經(jīng)過(guò)P作PMJ.4B于點(diǎn)M,PN

1CD于點(diǎn)N,點(diǎn)Q是MN的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P沿著圓周轉(zhuǎn)過(guò)45。時(shí)，點(diǎn)Q走過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）

A?.7-T

4

等腰三角形內(nèi)接于圓

圖解模型

條件：A4BC內(nèi)接于。O,4B=4C

結(jié)論：

1.垂徑.中位線AOHBC;CG=BG;ZOAC=Z.OAB;OGB'C、OG=|B'C

2.角平分.全等.NME4=可以反推等腰AB=AC）;AAMCANB;

3.雙勾股CG?=OC2-OG2=AC2-AG2

4.相似△BCPs/\OAP（X形）:AB，CPs/\APB（蝶形）；

△PAOS^PBA（子母）；

5.角相等乙COG=/.CAB=ZCB'B（常用于三角函數(shù)導(dǎo)角）

模型快練

1如圖PA、PB分別與。O相切于A、B兩點(diǎn)AC是。O的直徑,.AC=

(1)求證:AABC^APDA;

⑵求器的值；

2.如圖,在四邊形ABCD中,.AD\\BC,AD1CD,AC=48,00為AABC的外接圓

⑴如圖1.求證:AD是。。的切線

⑵如圖2,CD交。0于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作.AG1BE,垂足為F,交BC于點(diǎn)G

①求證:AG=BG

①若4。=2,CD=3,求FG的長(zhǎng)

3.如圖..A4BC內(nèi)接于。O,AB=AC,,BD為＜30直徑,連接AO,CD.

⑴求證:AO\\CD;

⑵若BC=8,AB=4V5.求CD的長(zhǎng).

平行四邊形+圓

圖解模型

基本結(jié)論、方法：

等腰圖、平行弦、貝殼相似（雙等腰）

垂徑定理+對(duì)邊平行,雙勾股；

模型快練

1如圖,平行四邊形ABCD的邊AD與經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)的。0相切.

⑴求證:點(diǎn)A平分BC;

⑵延長(zhǎng)DC交0O于點(diǎn)E,連接BE,若BE=4V13,0O半徑為13,求BC的長(zhǎng).

等腰圖一以腰為直徑作圓

知識(shí)提煉

頂角為銳角頂角為鈍角

基本結(jié)論、方法：

點(diǎn)D為BC中點(diǎn),（三線合一）,.ED=CD=BD（斜邊中線）,△DEC為圓內(nèi)接等腰（等腰圖），四邊形DQEL為矩形，與矩形的邊相

關(guān)的中位線，A4EC和△BEC雙勾股，整體圖形可用面積法。

模型快練

1.如圖,在A'中,AB=AC,以AB為直徑的。0分別交BC,AC邊于點(diǎn)D,F.過(guò)點(diǎn)D作DE±CF于點(diǎn)E.

⑴求證:DE是。O的切線;

(2)AF-DE=2,EF=2,求。O的半徑.

2.如圖,在△4BC中，以AB為直徑的OO恰好過(guò)AC的中點(diǎn)D,CB的延長(zhǎng)線交0O于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作.DF1BC于點(diǎn)F.

⑴求證:DF與。O相切；

（2）若。O的半徑為5,DF+BF=6,求BE的長(zhǎng).

c

A

3.如圖,在&4BC中,AB=AC,,以AB為直徑的。0與邊BC,AC分別交于D,E,DF是。O的切線.交AC于點(diǎn)F.

（】）求證:DF1AC;

⑵若AE=4,DF=3,求。O的半徑.

4.已知:△48c中,以AB為直徑的。O交邊AC,BC于點(diǎn)D,E,且點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn).

⑴求證:4C=4B;

(2)若BE=2通,AD=6,求0O半徑長(zhǎng).

5.如圖,以AD為直徑的0O交AB于C點(diǎn),BD的延長(zhǎng)線交00于E點(diǎn)連CE交AD于F點(diǎn),且AC=BC.

⑴求證:AC=CE;

⑵若黑=舜taMCED的值.

E

D

切割等腰圖

圖解模型

如圖,PA是OO的切線,A為切點(diǎn),PB是。0的割線，交。O于B、C兩點(diǎn),M為弧BC的中點(diǎn),連接MA,交BC于點(diǎn)D,求證:PD=PA

1.如圖,在。0中,弦,BC_L半徑0A于點(diǎn)D,F是CD上一點(diǎn),AF的延長(zhǎng)線交。O于點(diǎn)E,P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),.PF=PE.

⑴求證:PE是OO的切線；

⑵若AD=2,BC=8,DF=1,求PE的長(zhǎng).

'E

余弦定理思想和正弦定理

圖解模型

1.余弦定理思想【雙勾股】（已知兩邊夾角求第三邊長(zhǎng)度）

余弦定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理,

運(yùn)用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊的問(wèn)題。

2.正弦定理

正弦定理