高中數(shù)學(xué)母題與衍生解析幾何

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯目錄前言(i)第1章直線的方程(1)1.1直線的斜率與傾斜角(1)1.2用直線的斜率解決三點(diǎn)共線問題(3)1.3直線斜截式方程的求法(4)1.4直線點(diǎn)斜式方程的求法(6)1.5兩直線的位置關(guān)系(6)1.6兩點(diǎn)間距離公式(8)1.7點(diǎn)到直線的距離公式(10)1.8動(dòng)直線過定點(diǎn)問題(11)1.9直線與直線方程的解(13)1.10中點(diǎn)坐標(biāo)公式與中央對(duì)稱問題(14)1.11軸對(duì)稱問題(15)第2章圓的方程及其性質(zhì)(19)2.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和普通方程(19)2.2圓的軌跡方程求法(25)2.3直線與圓的位置關(guān)系(27)2.4直線與圓相交弦長(zhǎng)問題(30)2.5直線與圓的相切問題(32)2.6圓與圓的位置關(guān)系問題(34)第3章橢圓方程及其性質(zhì)(37)3.1用橢圓定義求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程(37)3.2橢圓的焦點(diǎn)三角形(38)3.3含參方程表示橢圓的條件(42)3.4待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(43)3.5橢圓離心率的求法(45)3.6直線與橢圓的位置關(guān)系(47)3.7橢圓的相交弦與共軛直徑(50)3.8橢圓頂點(diǎn)處的直角張角(54)第4章雙曲線方程及其性質(zhì)(57)4.1用雙曲線的定義求雙曲線的軌跡方程(57)4.2雙曲線的焦點(diǎn)三角形(58)4.3雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(59)4.4雙曲線的離心率與漸近線(60)4.5雙曲線的漸近線方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系(62)4.6一類雙曲線離心率求法問題(63)4.7雙曲線離心率范圍問題(64)4.8共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的離心率關(guān)系(65)4.9直線與雙曲線的位置關(guān)系和交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(67)第5章拋物線方程及其性質(zhì)(69)5.1待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(69)5.2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程(70)5.3用拋物線定義求軌跡方程(71)5.4拋物線定義與焦半徑(72)5.5拋物線的焦點(diǎn)弦(74)5.6一類與拋物線上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問題(82)5.7過拋物線外一點(diǎn)與拋物線相切的直線(84)第6章直線與圓錐曲線(87)6.1直線與圓雉曲線交點(diǎn)(87)6.2中點(diǎn)弦方程(89)6.3弦長(zhǎng)問題(90)6.4點(diǎn)的坐標(biāo)(93)6.5向量的運(yùn)用主意(96)6.6直線方程(99)第7章對(duì)稱問題(102)7.1圓雉曲線的對(duì)稱性(102)7.2圓雉曲線上兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題(103)7.3圓雉曲線上點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱問題(105)7.4過圓雉曲線上一點(diǎn)作兩條關(guān)于某直線對(duì)稱的直線問題(108)7.5圓雉曲線上兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱問題(110)第8章最值問題(114)8.1關(guān)于和式、差式的最值問題(114)8.2圓雉曲線上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)距離最值問題(116)8.3線段長(zhǎng)度的最值問題(117)8.4面積的最值問題(119)8.5角的最值問題(122)第9章定值問題(126)9.1斜率積為定值(126)9.2參數(shù)和為定值(128)9.3點(diǎn)在定直線上(130)9.4定點(diǎn)問題(133)9.5斜率為定值(136)9.6數(shù)量積為定值(138)第10章動(dòng)點(diǎn)軌跡問題(141)10.1線段中點(diǎn)的軌跡(141)10.2向量中點(diǎn)的軌跡(143)10.3動(dòng)圓心的軌跡(144)10.4線段上滿意長(zhǎng)度關(guān)系的動(dòng)點(diǎn)軌跡(147)10.5切點(diǎn)弦中點(diǎn)的軌跡(150)第11章存在性問題(154)11.1是否存在滿意條件的定點(diǎn)問題(154)11.2是否存在滿意條件的直線問題(156)11.3是否存在滿意條件的圓雉曲線問題(158)11.4是否存在滿意條件的常數(shù)問題(161)11.5是否存在滿意條件的公共點(diǎn)問題(163)衍生題參考答案(166)第1章直線的方程1.1直線的斜率與傾斜角【母題1】已知點(diǎn)O0,0,A1,2,B(1)分離求出直線OA,(2)求出直線OP(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x,y,分離求出式y(tǒng)x和【解題策略】（&1）直接利用斜率的坐標(biāo)公式k=y(2)借助圖形分析臨界位置,再利用斜率的坐標(biāo)公式k=y2(3)需要找出式子的結(jié)構(gòu)特征與斜率坐標(biāo)公式之間的聯(lián)系,明確其幾何意義是兩點(diǎn)連線斜率,再結(jié)合圖形尋找臨界位置解決.解(1)kOA(2)由圖1.1有圖1.1k因?yàn)閗所以1(3)yx=y?0x?0表示點(diǎn)x,y與點(diǎn)0,0所在直線的斜率,所以由(2)得13≤yx≤2圖1.2【解后反思】對(duì)于斜率的坐標(biāo)公式k=y2?【衍生1】已知點(diǎn)A1,2,B?3,?1(1)分離求出直線AC,(2)求直線PC【衍生2】實(shí)數(shù)x,y滿意3x?2y【衍生3】實(shí)數(shù)x,y滿意y=x2?1≤x≤(2)直線xcosθ【解題策略】(1)先按照直線方程求出斜率k的值,再借助函數(shù)k=tanα0≤α<π的圖像由(2)先按照直線方程寫出斜率k的表達(dá)式,然后求出k的范圍,再借助函數(shù)k=tanα0≤α<解(1)由直線方程2x+k又因?yàn)?≤α<π,所以(2)由直線方程xcosθ?y+1=0,得k=cosθ,所以k∈[?【解后反思】函數(shù)是解決變量范圍的重要工具,直線的斜圖1.3率與傾斜角構(gòu)成函數(shù)關(guān)系.當(dāng)問題中斜率便于求解時(shí),可借助函數(shù)k=tanα0≤α【衍生4】直線x?y【衍生5】直線1+a【衍生6】直線xsinθ1.2用直線的斜率解決三點(diǎn)共線問題【母題】(1)已知A3,5,B5(2)證實(shí):A0,【解題策略】因?yàn)樵谛甭蚀嬖诘臈l件下,與同一點(diǎn)連線斜率相同的點(diǎn)在同向來線上,所以斜率相等是判定三點(diǎn)共線的重要主意.解(1)因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以?解得x=?(2)因?yàn)閗所以kAB=kAC【解后反思】斜率相等是判定三點(diǎn)共線的重要主意,同時(shí)也是證實(shí)動(dòng)直線過定點(diǎn)的重要主意.詳細(xì)操作過程偶爾也可以轉(zhuǎn)化為斜率之差為零來解決.【衍生1】已知a>0,若平面內(nèi)A1,?a【衍生2】若1a+1b=11.3直線斜截式方程的求法【母題】（&1）已知直線l在y軸上的截距為3,且傾斜角α的正弦值為45,求直線l(2)已知直線l過點(diǎn)0,2,且它的傾斜角是直線y=12x【解題策略】(1)按照同角三角函數(shù)的關(guān)系式把傾斜角的正弦值轉(zhuǎn)化為正切值,該正切值即為該直線的斜率,然后由點(diǎn)斜式直接寫出直線方程.(2)按照正切的二倍角公式求出所求直線的傾斜角正切值,該正切值即為該直線的斜率,然后由點(diǎn)斜式直接寫出直線方程.解(1)因?yàn)閟inα=45且α∈[0,π)k故所求直線l的方程為y即4(2)設(shè)直線y=12x?1的傾斜角為αtan所以直線l的斜率k=4又因?yàn)橹本€l過點(diǎn)0,2,所以直線ly即4【解后反思】因?yàn)橹本€斜率是傾斜角的正切值,所以借助相關(guān)三角公式求出傾斜角的正切值是解決問題的關(guān)鍵.【衍生1】已知直線l是由直線y=2x?1以點(diǎn)0,?1為中央逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)【衍生2】已知直線y=2x?1以點(diǎn)0,?1為中央逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角α為銳角1.4直線點(diǎn)斜式方程的求法【母題】求滿意下列條件的直線方程:(1)經(jīng)過點(diǎn)P2,?1且與直線(2)經(jīng)過點(diǎn)Q?1,3且與直線【解題策略】按照平行或垂直關(guān)系求出斜率,然后按照直線的點(diǎn)斜式直線方程y?y0解(1)按照平行關(guān)系得所求直線斜率為k=?23,再由點(diǎn)斜式得直線方程為y+1=?2(2)按照垂直關(guān)系得所求直線斜率為k=2,再由點(diǎn)斜式得直線方程為y?3=2x+【解后反思】一點(diǎn)和一方向決定一條直線,所以點(diǎn)和斜率是直接寫出直線方程的重要根據(jù).若碰到有斜率不存在的情形要單獨(dú)研究.【衍生1】經(jīng)過點(diǎn)?3,2,傾斜角為【衍生2】已知點(diǎn)A1,2,B3【衍生3】已知A1,1,B2,2,C3,?3,求點(diǎn)D1.5兩直線的位置關(guān)系【母題】已知直線l1:x+my(1)l1與l2(2)l1⊥(3)l1/(4)l1與l2【解題策略】已知直線l1:A1x+B1y+(1)直線l1和l2相交?方程組有唯一解,且交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解,即A1B(2)直線l1和l2平行?方程組無解?A1B2(3)直線l1和l2重合?方程組有無數(shù)個(gè)解?A1B2(4)直線l1和l2垂直?解(1)當(dāng)直線l1與l2相交時(shí),由l1與1即m解得m≠?1且故當(dāng)m≠?1且m≠3時(shí),l1(2)同理,當(dāng)l1⊥1解得m=1故當(dāng)m=12時(shí),(3)當(dāng)l1/1解得m=?故當(dāng)m=?1時(shí),(4)當(dāng)l1與l21解得m=3故當(dāng)m=3時(shí),l1與【解后反思】?jī)芍本€位置關(guān)系的判定既可以用斜率和截距解決(但斜率不存在的情形要單獨(dú)考慮),也可以用方程組解的情況舉行分析,但倘若題目所給直線方程是普通式,那么用后者的結(jié)論更好一些.【衍生1】(1)已知兩條直線l1:a?1x+2y+A.-1B.2C.0或-2D.-1或2(2)“a=1”是“直線ax+y+1=0與直線aA.充要條件B.充足不須要條件C.須要不充足條件D.既不充足也不須要條件【衍生2】已知兩條直線l1:ax?by+4=0(1)l1⊥l2,且l1(2)l1/1.6兩點(diǎn)間距離公式【母題】已知點(diǎn)A1,2和點(diǎn)(1)求線段AB(2)若P為y軸上一點(diǎn),求PA+(3)若Mx,y為直線AB上一點(diǎn),求【解題策略】(1)直接用兩點(diǎn)間距離公式AB=(2)首先借助圖形發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P位于線段AB與y軸的交點(diǎn)位置時(shí)PA+PB(3)首先要發(fā)現(xiàn)x+12+y2表示點(diǎn)N?1,0與直線AB上的點(diǎn)解(1)直接由兩點(diǎn)間距離公式得A=(2)由圖1.4可知,當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)C重合時(shí),三角形ABPP當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí),有P所以當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí),PA+P圖1.4(3)因?yàn)閤+12+y2表示點(diǎn)N?1,0與直線AB上的點(diǎn)圖1.5又因?yàn)橹本€AB4所以點(diǎn)N到直線AB4所以x+12+y2【解后反思】因?yàn)閤2?x12+y2?y12表示兩點(diǎn)間距離,所以平方和開方的式子往往都可以看成兩點(diǎn)間距離(倘若沒有根號(hào)則可以看成距離的平方).例如:x2+y?12可以表示點(diǎn)x【衍生1】已知點(diǎn)A0,3和點(diǎn)(1)求線段AB(2)若Mx,y為直線AB上一點(diǎn),求【衍生2】求函數(shù)y=x【衍生3】已知A4,0,B0,4兩點(diǎn),從點(diǎn)P2,0射出的光芒經(jīng)直線AB反射后再射到直線OA.210B.6C.33D.1.7點(diǎn)到直線的距離公式【母題】(1)已知點(diǎn)A?3,?4,B6,3(2)已知直線l1的方程為3x+4y?7=0,直線l2的方程為6【解題策略】(1)直接使用點(diǎn)到直線的距離公式:平面上隨意一點(diǎn)P0x0,y0到直線l:Ax+By+C=0的距離解(1)由題意及點(diǎn)到直線的距離公式得?解得a=?13或(2)由直線l1的方程為3x+4y?7=03再由兩平行直線間的距離公式求得直線l1與l21【解后反思】使用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí),直線的方程必須是普通方程,而使用兩平行線間的距離公式時(shí),兩直線方程必須是普通方程,并且x,y【衍生1】已知A?2,?3,【衍生2】直線l1:2x?y?2=0【衍生3】已知正方形的中央為直線2x?y+2=0和1.8動(dòng)直線過定點(diǎn)問題【母題】(1)直線y=a(2)直線a?1【解題策略】動(dòng)直線過定點(diǎn)問題普通可以先轉(zhuǎn)化成點(diǎn)斜式方程結(jié)構(gòu):y?y0=解(1)由直線方程y=ay由此可得該直線過定點(diǎn)3,2(2)直線方程a?1y然后得到其點(diǎn)斜式方程為y由此可得該直線過定點(diǎn)?2,【解后反思】動(dòng)直線過定點(diǎn)問題的解決主意:主意一直接對(duì)參數(shù)賦兩個(gè)不同的值,從而得到兩個(gè)詳細(xì)的方程,聯(lián)立這兩個(gè)方程,所得解即為所求定點(diǎn).主意二變形構(gòu)造出點(diǎn)斜式結(jié)構(gòu)得到定點(diǎn).主意三借助相交直線系方程來求定點(diǎn).方程A1x+B1y+C1+λA2x+B2y+C2=0表示過直線l1:A1x+B1y【衍生1】已知直線方程為2+λ(1)求證:不論λ取何實(shí)數(shù)值,此直線必過定點(diǎn).(2)過該定點(diǎn)引向來線,使它夾在兩坐標(biāo)軸間的線段被該點(diǎn)平分,求這條直線的方程.【衍生2】設(shè)m∈R,過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx?y?m+3=0交于點(diǎn)Px,yA.25B.5C.52D.【衍生3】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P?2,2,對(duì)于隨意不全為零的實(shí)數(shù)a,b,直線l的方程為ax?1+by+2=0,若點(diǎn)1.9直線與直線方程的解【母題】若兩條直線l1:a1x+b1y=3,l2【解題策略】若點(diǎn)在直線上,那么將點(diǎn)作為對(duì)應(yīng)的解代入相應(yīng)方程就能使方程成立.反之,符合直線方程的解的對(duì)應(yīng)點(diǎn)就在該直線上.解將l1與l2的交點(diǎn)P1,2代人l1a(1)a(2)由(1)(2)兩式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)易知:點(diǎn)Aa1,b1與Ba2,b2的坐標(biāo)都滿意方程x+2y=【解后反思】“合必在,在必合”也就是“符合方程的解其對(duì)應(yīng)點(diǎn)就在該曲線上,反之,點(diǎn)在曲線上其對(duì)應(yīng)解就滿意方程”.例如,若點(diǎn)m,n是方程Ax+By+C=0的一組解,那么就有Am+Bn+C=0【衍生1】判斷直線l1:x?3y+1=0【衍生2】判斷直線l1:x?3y+1=0與直線l2:x?3y?7=0的位置關(guān)系,并解釋方程xA.過點(diǎn)P且與l垂直的直線B.過點(diǎn)P且與l平行的直線C.不過點(diǎn)P且與l垂直的直線D.不過點(diǎn)P且與l平行的直線1.10中點(diǎn)坐標(biāo)公式與中央對(duì)稱問題【母題】(1)求點(diǎn)A2,?2關(guān)于點(diǎn)M?1(2)求直線l1:y=2x+1關(guān)于點(diǎn)【解題策略】中點(diǎn)坐標(biāo)公式:若點(diǎn)x1,y1和點(diǎn)x2,y2的中點(diǎn)為x若點(diǎn)x1,y1與x2,y2關(guān)于點(diǎn)x0,y解(1)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為x,yx所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為?4,(2)解法一在直線l1上取兩點(diǎn)0,1和1,3,它們關(guān)于M3,2對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)分離為6按照兩點(diǎn)式方程得x?65?6=解法二因?yàn)橹醒雽?duì)稱不改變直線斜率,所以對(duì)稱直線斜率k=2,在直線l1上取一點(diǎn)0,1,其關(guān)于M3,2對(duì)稱所得點(diǎn)坐標(biāo)為6,3解法三在直線l2上任取一點(diǎn)x,y,其關(guān)于點(diǎn)3,2的對(duì)稱點(diǎn)為6?x,4?y,因?yàn)檫@個(gè)對(duì)稱點(diǎn)在直線l1:y【解后反思】中央對(duì)稱的本質(zhì)是對(duì)稱中央就是這兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn),而直線關(guān)于某點(diǎn)中央對(duì)稱往往可以在直線上任取兩個(gè)點(diǎn)再求這兩個(gè)點(diǎn)所決定的直線即可.倘若結(jié)合圖像研究直線關(guān)于某點(diǎn)的對(duì)稱問題,就會(huì)發(fā)現(xiàn)中央對(duì)稱不會(huì)改變直線的斜率(兩條中央對(duì)稱的直線是互相平行的),這樣只需要找到一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)就可以用點(diǎn)斜式寫出直線的方程.用“代點(diǎn)法”可以更快地寫出中央對(duì)稱的直線方程.【衍生1】(1)已知點(diǎn)A2,2,B3,0,若點(diǎn)B是線段(2)過點(diǎn)P3,0作向來線,使它夾在兩直線l1:2x?y?2=0【衍生2】(1)若直線y=x?1關(guān)于點(diǎn)0,2對(duì)稱的直線為l(2)已知直線l與曲線2x+y?8x?3y+10=0交于A,1.11軸對(duì)稱問題【母題】(1)若點(diǎn)a,b關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上,則A.4a+3bC.2a+3b(2)如圖1.6所示,光芒沿直線l1:x?2y+5【解題策略】(1)點(diǎn)關(guān)于直線軸對(duì)稱可以先設(shè)出對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo),然后借助軸對(duì)稱關(guān)系“兩對(duì)稱點(diǎn)連線與對(duì)稱軸垂直且這兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上”來列方程組求解.圖1.6(2)可以先決定已知直線與對(duì)稱軸相交,先求出交點(diǎn),再求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn),可由兩點(diǎn)式寫出對(duì)稱直線方程,也可設(shè)直線x?2y+5=0上隨意一點(diǎn)Px0,y0關(guān)于直線l解(1)設(shè)點(diǎn)a,b關(guān)于直線y=2xb解得4a+3b=0(2)解法一聯(lián)立l1與lx解得x所以反射點(diǎn)M的坐標(biāo)為?1,取直線x?2y+5=0上一點(diǎn)P?5,0,設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線lk(1)而PP′的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為x0?52,y023(2)聯(lián)立(1)(2)兩式,得y解得x按照直線的兩點(diǎn)式方程可得所求反射光芒所在直線的方程為29x?解法二設(shè)直線l1:x?2y+5=0上隨意一點(diǎn)Px0,yy(3)又PP′的中點(diǎn)Qx+x03(4)聯(lián)立(3)(4),得y解得點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)分離為x代人方程x?2y+5=所以所求反射光芒所在的直線方程為29x?【解后反思】解決點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題要控制兩點(diǎn),若點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于直線l對(duì)稱,則線段MN的中點(diǎn)在直線l上,且直線l與直線MN垂直.若直線l1,l2關(guān)于直線l對(duì)稱,則有如下性質(zhì):(1)若直線l1與l2相交,則交點(diǎn)在直線l上;(2)若點(diǎn)B在直線l1上,則其關(guān)于直線l直線l1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角后與直線l2重合,則有tan【衍生1】(1)直線3x+4y?5(2)直線3x+4y?5【衍生2】(1)光芒從A3,2射人,被x軸反射后經(jīng)過點(diǎn)B?(2)光芒沿直線l1:x?2y+5=0射人,碰到直線l2:3x?2y+7=0后反射,求反射光線所在直線l3的方程.【衍生3】(1)△AB(2)已知直線y=2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線,若點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分離是?4A.?2,4C.2,4D.(3)等腰三角形兩腰所在直線的方程分離為x+y?2=0第2章圓的方程及其性質(zhì)2.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和普通方程【母題1】若方程x2+(1)實(shí)數(shù)m的取值范圍.(2)圓心坐標(biāo)和半徑.【解題策略】通過配方把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0變成x+D22解(1)據(jù)題意知D即4解得m故m的取值范圍為?∞,(2)將方程x2+y2+2mx?2y+m2+5解后反思方程Ax2+Bxy+Cy2【衍生1】若x2+y2+λ?1x+2λy+λ=0A.?2,?4C.?2,?4或【衍生3】設(shè)方程x2+(1)求m的取值范圍.(2)求該圓半徑的范圍.(3)求圓心的軌跡方程.【母題2】(1)求過三個(gè)點(diǎn)O0,(2)經(jīng)過兩點(diǎn)A1,?1和B?1(3)已知圓C的圓心在直線x+y=0上,圓C與直線x?y=0相切,且在直線x?y?【解題策略】(1)過三點(diǎn)求圓的方程可以用圓的普通方程代入三點(diǎn)列出三元方程組進(jìn)行求解,也可以先求出兩條弦的中垂線交點(diǎn)然后寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程舉行求解.(2)解題主意與(1)基本一致.(3)無論用圓的普通方程還是標(biāo)準(zhǔn)方程,都需要按照三個(gè)條件列出三個(gè)自立的方程.由圓心在直線上,可將圓心直接代入直線方程,列出第一個(gè)方程;由直線與圓相切的條件可以得到半徑等于圓心到直線的距離,從而列出第二個(gè)方程方程;由直線與圓相交弦長(zhǎng)條件結(jié)合圖形,運(yùn)用垂徑定理先求出圓心到該直線的距離,再用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算圓心到直線的距離,便可列出第三個(gè)方程;聯(lián)立這三個(gè)方程即可求解.解(1)解法一設(shè)所求的圓的方程為x因?yàn)辄c(diǎn)O0,0,M1F解此方程組,可得D=?所以所求圓的方程為x解法二因?yàn)閳A心在圓的中垂線上,所以兩條弦中垂線的交點(diǎn)就是圓心.弦OMy(1)弦ONy(2)聯(lián)立(1)(2),解得x所以圓心坐標(biāo)為4,?故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x(2)解法一設(shè)圓的方程為x?a2+y?程,得a解得a所以,所求圓的方程為x?1解法二由圓的幾何性質(zhì)可知,圓心一定在弦AB易得AB的垂直平分線為y=再結(jié)合題意,圓心在直線x+yy解得x故圓心C的坐標(biāo)為1,1,半徑r所以,所求圓的方程為x?1(3)解法一因?yàn)樗髨A的圓心在直線x+y=0上,所以可設(shè)所求圓的圓心為又因?yàn)樗髨A與直線x?y=0相切,所以半徑又因?yàn)樗髨A在直線x?y?3=0上截得的弦長(zhǎng)為6,圓心a,?a到直線x?y?3=0的距離d=2a?32解法二設(shè)所求圓的方程為x?a2+y?b2=r2r>0,則圓心r即2(1)因?yàn)樗髨A與直線x?ya(2)又因?yàn)閳A心在直線x+ya(3)聯(lián)立(1)(2)(3),解得a故圓C的方程為x?1解法三設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey因?yàn)閳A心在直線x+y=0上,所以D(1)又因?yàn)閳AC與直線x?y?即D所以D(2)又知圓心?D2,?E2到直線xd所以D(3)聯(lián)立(1)(2)(3),解得D故所求圓的方程為x2+y2?2【解后反思】求圓的方程需要三個(gè)自立條件,所以不論是設(shè)哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個(gè)自立方程.充足地分析條件關(guān)系和圖形特征(尤其涉及弦的問題時(shí)借助垂徑定理)往往可以簡(jiǎn)化問題從而簡(jiǎn)化運(yùn)算.【衍生4】(1)過點(diǎn)A1,?1,BA.x?32+C.x?12+(2)已知平面上三個(gè)定點(diǎn)A?1,0,B【衍生5】(1)圓心在y軸上,半徑長(zhǎng)為1,且過點(diǎn)A1,A.xB.xC.xD.x(2)圓心在直線x?2y?3=【衍生6】(1)在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過0,0(2)已知圓心在直線y=?4x上,且圓與直線l:x【母題3】(1)方程y=1A.兩個(gè)半圓B.兩個(gè)圓C.圓D.半圓(2)若曲線y=1?x2與直線y=x【解題策略】(1)通過將方程兩邊同時(shí)平方把陌生的方程變形成認(rèn)識(shí)的圓的方程,同時(shí)擔(dān)心變形過程中x,y(2)通過將方程兩邊同時(shí)平方把陌生的方程變形成認(rèn)識(shí)的圓的方程,同時(shí)擔(dān)心變形過程中x,y變量范圍的變化,然后借助圖像解(1)把y=1y移項(xiàng)得x因?yàn)槠椒角?≥yx所以y=1(2)如圖2.1所示,y=1?x2表示圓心在原點(diǎn)、半徑為1的半圓,而y=x+b表示斜率為1、縱截距為b圖2.1【解后反思】把陌生的方程變形成認(rèn)識(shí)的方程是解決問題的基本途徑,但是變形過程中一定要擔(dān)心x,y范圍的變化,變形后的范圍要與變形前保持一致.數(shù)形結(jié)合是解決這類問題的重要【衍生7】(1)方程x=1A.兩個(gè)半圓B.兩個(gè)圓C.圓D.半圓(2)方程y=1?x2【衍生8】方程y?1A.一個(gè)橢圓B.一個(gè)圓C.兩個(gè)圓D.兩個(gè)半圓【衍生9】方程1?x2=kx2.2圓的軌跡方程求法【母題】(1)點(diǎn)P4,?2與圓xA.xB.xC.xD.x(2)已知A?2,0,B1,0兩定點(diǎn),倘若動(dòng)點(diǎn)PA.πB.4πC.8πD.【解題策略】(1)設(shè)所求軌跡上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為x,y,倘若該坐標(biāo)可以直接表示出圓x2+y2(2)設(shè)所求軌跡上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為x,y,結(jié)合已知條件用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示P解(1)設(shè)圓上隨意一點(diǎn)坐標(biāo)為x1,y1,中點(diǎn)坐標(biāo)為x即x代人x2+2化簡(jiǎn)得x所以答案為A.(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)軌跡坐標(biāo)為x,y,則由Px化簡(jiǎn)得x所以軌跡曲線為以2,0為圓心,以2為半徑的圓,該圓面積為4所以答案為B.【解后反思】求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的幾種主意:(1)倘若能夠判斷出軌跡對(duì)應(yīng)曲線類型,普通設(shè)出曲線方程,用待定系數(shù)法求解;(2)倘若無法直接判斷出曲線類型且形成軌跡的約束條件的變量?jī)H含動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為x,y并直接把坐標(biāo)代入約束條件,化簡(jiǎn)可得軌跡方程;(3)倘若既不是(1)也不是(2),那么可設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為x,y,同時(shí)設(shè)出其他變量,然后按照條件列出方程組,消元只剩下x和【衍生1】已知圓C:x?12+y?12=9,過點(diǎn)A【衍生2】已知圓x2+y2=4上一定點(diǎn)A(1)求線段AP(2)若∠PBQ=90°【衍生3】已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1:x2+y(1)求圓C1(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C【衍生4】設(shè)定點(diǎn)M?3,4,動(dòng)點(diǎn)N在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng),以O(shè)2.3直線與圓的位置關(guān)系【母題1】(1)若直線4x?3y+a=0與圓x(2)已知點(diǎn)Ma,b在圓O:x2+y2=A.相切B.相交C.相離D.不決定【解題策略】判斷直線與圓的位置關(guān)系既可以聯(lián)立直線與圓的方程消元后用判別式的符號(hào)來決定,也可以用圓心到直線的距離與半徑比較大小決定.解(1)解法一代數(shù)法.由方程組4消去y,得25則有Δ(1)當(dāng)直線和圓相交時(shí),Δ>0,即?(2)當(dāng)直線和圓相切時(shí),Δ=0,即a=50或(3)當(dāng)直線和圓相離時(shí),Δ<0,即a<?50解法二幾何法.圓x2+y2=100的圓心為0d(1)當(dāng)直線和圓相交時(shí),d<r,即a5<10(2)當(dāng)直線和圓相切時(shí),d=r,即a5=10,則a=(3)當(dāng)直線和圓相離時(shí),d>r,即a5>10,則a<(2)因?yàn)镸a,b在圓O:x2+y2=1外,所以a2+b2>1所以答案為B.【解后反思】判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見主意:(1)幾何法:利用d與r的關(guān)系.(2)代數(shù)法:聯(lián)立方程之后利用Δ判斷.(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法:若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi),可判斷直線與圓相交.上述主意中最常用的是幾何法,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問題.【衍生1】(1)已知直線l:3x+y?6=0和圓C:(2)已知圓C:x?32+y?42=4和直線【衍生2】(1)“a=3”是“直線y=x+4與圓A.充足不須要條件B.須要不充足條件C.充要條件D.既不充足也不須要條件(2)圓x2+y2?2x+4yA.相離B.相切C.相交D.以上都有可能【衍生3】若過點(diǎn)A4,0的直線l與曲線x?22+y2=A.?3,3C.?33,3【母題2】已知實(shí)數(shù)x,y滿意方程x(1)yx(2)y?x【解題策略】先轉(zhuǎn)化成直線與圓的位置關(guān)系,再結(jié)合已知條件求解.解(1)原方程可化為x?22+y2=3,表示以yx的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,所以設(shè)yx=k,即當(dāng)直線y=kx與圓相切時(shí)(圖2.2),斜率k取最大值或最小值,此時(shí)2k?0k2+1=3,解得k=±(2)y?x可看作直線y=x+b在y軸上的截距,當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí)(圖2.3),縱截距b取得最大值或最小值,此時(shí)2?0+b2=3圖2.2圖2.3【解后反思】(1)令y?bx?a=k,則有y?b=kx?a(2)令mx+ny=c的直線方程y=?mn偶爾也可以用圓的三角參數(shù)方程舉行代換變形解決.【衍生4】(1)倘若實(shí)數(shù)x,y滿意等式x?22+(2)設(shè)點(diǎn)Mm,n為圓x?22+y2=3上的隨意一點(diǎn),求n?m2.4直線與圓相交弦長(zhǎng)問題【母題1】已知直線l:3x?y?6=0與圓x2【解題策略】這類題要先借助垂徑定理構(gòu)造直角三角形,再用勾股定理求解.圓心到弦的距離往往可以用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算.解由x2+y2?2x?4y=0收拾得x?12+y?22=5,所以該圓的圓心坐標(biāo)為1,2,半徑r=5【解后反思】有關(guān)弦長(zhǎng)問題的兩種解題主意.(1)幾何法:直線被圓截得的半弦長(zhǎng)為l2,弦心距d和圓的半徑r構(gòu)成直角三角形,即(2)代數(shù)法:聯(lián)立直線方程和圓的方程,消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程,由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得弦長(zhǎng)AB=1+k2【衍生1】(1)直線y=2x+3(2)直線x?2y?3=0與圓C:x?22+yA.32B.34C.25【衍生2】(1)已知過點(diǎn)M?3,?3的直線l與圓x2+y2+4y?21=0相交于(2)已知圓心為C4,3的圓經(jīng)過原點(diǎn)O.設(shè)直線3x?4y+15=0與圓【衍生3】直線x+y+2=0分離與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓xA.[2,6]B.[4,8]【母題2】圓C:x?12+y?(1)證實(shí):不論m取何實(shí)數(shù),直線l與圓恒相交于兩點(diǎn).(2)求⊙C與直線l【解題策略】直線恒過定點(diǎn)問題既可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)斜式方程解決,也可以借助相交直線系方程解決;定圓的動(dòng)弦過圓內(nèi)一定點(diǎn)求最短弦問題,主要按照垂徑定理知圓心到弦的距離最大時(shí)弦最短,由此可知?jiǎng)酉遗c圓心和定點(diǎn)連線垂直時(shí)弦最短(此時(shí)圓心到弦的距離最大,同時(shí)定點(diǎn)就是該弦的中點(diǎn)).解(1)將方程2m+1x+m+1直線l恒過兩直線2x+y?7=2解得x=3,y=1.所以交點(diǎn)坐標(biāo)為M3,1.又因?yàn)??12+1?22(2)由圓的性質(zhì)可知,當(dāng)l⊥CC所以弦長(zhǎng)為l=2【解后反思】若動(dòng)直線過定點(diǎn),那么定點(diǎn)在圓內(nèi)或圓上就是直線與圓總有公共點(diǎn)的根本緣故,倘若直接用代數(shù)法則轉(zhuǎn)化成Δ>0恒成立問題;由垂徑定理得圓的半徑、半弦長(zhǎng)和弦心距滿意勾股定理關(guān)系,在半徑一定條件下弦心距與弦長(zhǎng)是反向變化的(弦心距變大,弦長(zhǎng)變短;反之弦心距變小,弦長(zhǎng)變長(zhǎng)).【衍生4】已知點(diǎn)M1,0是圓C:【衍生5】已知圓C:x?32+(1)求證:不論k取什么值,直線和圓總相交.(2)求k取何值時(shí),圓被直線截得的弦最短,并求最短弦的長(zhǎng).【衍生6】已知圓的方程為x2+y2=8,圓內(nèi)有一點(diǎn)P?1,2(1)當(dāng)α=135°時(shí),求(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí),寫出直線AB2.5直線與圓的相切問題【母題】(1)過點(diǎn)3,1作圓x?12+y2A.2x+y?C.x?2y?(2)已知圓C:x?12+y?22=4,則過點(diǎn)3,5并與圓C相切的切線方程為.(3)過點(diǎn)P1,?2作圓A.y=?34C.y=?32【解題策略】直線與圓相切可以用Δ=0或d=r解決,切線長(zhǎng)、半徑和點(diǎn)到圓心的距離構(gòu)成直角三角形也往往是解決問題的關(guān)鍵.過圓外一點(diǎn)作圓的切線,恰能作出兩條切線,解(1)因?yàn)檫^點(diǎn)3,1作圓x?12+y2=r2又因?yàn)閳A心與切點(diǎn)連線的斜率k=1則圓的切線方程為y?1=?2x(2)因?yàn)辄c(diǎn)3,5到圓心的距離為4+9=13當(dāng)切線的斜率存在時(shí),設(shè)方程為y?5=kx?3,由圓心到切線的距離d=?2k+3k當(dāng)過點(diǎn)3,5的直線斜率不存在時(shí),直線方程為x綜上可知,切線方程為5x?12y+45(3)圓x?12+y2=1的圓心為C1,0,半徑為1,以PC=1?12+所以答案為B.【解后反思】過已知圓外一點(diǎn)求切線的方程普通有三種主意:(1)設(shè)切線斜率,用判別式法.(2)設(shè)切線斜率,用圓心到直線的距離等于半徑長(zhǎng).(3)設(shè)切點(diǎn)x0,【衍生1】(1)過點(diǎn)P?1,2且與圓(2)過點(diǎn)A3,1和圓x?22A.y=1B.C.x=3或y=【衍生2】已知圓C:x?12+y?22=2,過點(diǎn)P2,?1(2)求過P點(diǎn)的圓C的切線長(zhǎng).【衍生3】由直線y=x+1上的點(diǎn)向圓C:xA.1B.2C.7D.32.6圓與圓的位置關(guān)系問題【母題】已知兩圓x2+y2?2(1)m取何值時(shí)兩圓外切?(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切?(3)當(dāng)m=45【解題策略】求解兩圓的位置關(guān)系問題時(shí),首先要計(jì)算出三個(gè)變量一兩圓圓心距、兩圓半徑和兩圓半徑差的絕對(duì)值,然后借助圓心矩與另外兩個(gè)量的大小關(guān)系作判斷,即可求解.圓的弦長(zhǎng)問題通常利用垂徑定理和勾股定理解決.解因?yàn)閮蓤A的標(biāo)準(zhǔn)方程分離為x?12+y?32=11,x?5(1)當(dāng)兩圓外切時(shí),5?12+6?(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),因?yàn)槎▓A半徑11小于兩圓圓心之間的距離5,所以61?m?11=5(3)當(dāng)m=45x得兩圓的公共弦所在直線的方程為4故兩圓的公共弦的長(zhǎng)為2【解后反思】(1)判斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍有以下幾個(gè)步驟:(1)化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,寫出圓心和半徑.(2)計(jì)算兩圓圓心的距離d.(3)通過d,r1+(2)若兩圓相交,則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2,【衍生1】當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí),圓C1:x2+y2+【衍生2】(1)圓C1:x2+yA相離B.相切C.相交D.內(nèi)含(2)若圓C1:x2+y2=1A.21B.19C.9D.-11【衍生3】已知圓C1:x2+y(1)當(dāng)m=1時(shí),圓C1與圓(2)是否存在m使得圓C1與圓C2內(nèi)含?【衍生4】(1)已知圓C1:x2+y2?6x?7(2)圓x2+y2?4第3章橢圓方程及其性質(zhì)3.1用橢圓定義求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程【母題】(1)已知△ABC的周長(zhǎng)為8,且點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分離為?1(2)已知A?3,0,B3,0兩點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在圓x+32+y2=100【解題策略】先按照條件分析出動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離和為定值,然后寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和相應(yīng)的x,y解(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為x,y,因?yàn)椤鰽BC的周長(zhǎng)為8,且A,B的坐標(biāo)分離為A所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是一個(gè)橢圓,且a=3由b2+c2=a2,得x(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x,yA所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)橢圓,且a=5由b2+c2=a2得x【解后反思】此類問題解決的關(guān)鍵點(diǎn)在于按照條件能夠分析出動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)之間的和為定值,而該關(guān)鍵點(diǎn)可以由幾何圖形分析得出,也可以由代數(shù)式變形得出,無論哪種類型都必須擔(dān)心x,y的范圍.【衍生1】已知一動(dòng)圓與圓O1:x+【衍生2】已知△ABC中,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分離為?1,0,1,0【衍生3】已知△ABC中,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分離為?23.2橢圓的焦點(diǎn)三角形【母題1】已知橢圓C:x225+y216=1,F1,F2分離為左、右焦點(diǎn),P是橢圓(2)若∠F1MF2=π3,求【解題策略】本題是PF1+PF2=2a解(1)因?yàn)镻F1=4,按照PF1因?yàn)镕1Fcos(2)因?yàn)镻(1)在△F1P即P變形可得P(2)把(1)代入(2)可以求出PS【解后反思】在橢圓的焦點(diǎn)三角形中,借助橢圓定義和余弦定理可以很好地完成PF1+PF2,PF【衍生1】點(diǎn)P是橢圓x25+y24=1上一點(diǎn),F1,【衍生2】已知橢圓x2a+y2=1a>1的左、右焦點(diǎn)分離為F【衍生3】已知F1,F2是橢圓C:x2a2+y2b2=1a>【母題2】(1)橢圓x29+y24=1的焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)(2)已知F1,F2是橢圓C:x2a2+y2b2【解題策略】(1)焦點(diǎn)三角形中,若∠F1PF2=90°,那么點(diǎn)(2)既可以建立離心率與焦半徑的函數(shù)關(guān)系解決,也可以分析圖形發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)處∠F1PF2最大,按照解(1)因?yàn)椤螰1PF2=90°,所以點(diǎn)P既在橢圓x29所以由方程組x29+y24=1,x(2)解法一因?yàn)闄E圓上存在一點(diǎn)P使得∠F1P又因?yàn)镻所以e由均值定理得PF1PF2+所以e2≥12.又因?yàn)?<e解法二因?yàn)闄E圓上存在一點(diǎn)P使得∠F1PF2=∠則1從而有sin即當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)時(shí)O即e又因?yàn)?<e<1,所以【解后反思】(1)在焦點(diǎn)三角形中,當(dāng)∠F1PF2=90°時(shí),可以用橢圓與以F1F2為直徑的圓的交點(diǎn)去求點(diǎn)P坐標(biāo);當(dāng)∠F1PF2≠90°時(shí),可以結(jié)合定義和余弦定理計(jì)算出PF1?P(2)在焦點(diǎn)三角形中,按照∠F1PF2能取到的θ值,就能得出點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)時(shí)sin1【衍生4】已知橢圓x24+y23=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,問:橢圓上是否存在點(diǎn)P使得∠F1PF2=90°?若存在,求出點(diǎn)P坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.【衍生5】橢圓【衍生6】已知F1,F2是橢圓C:x2a2+y2b23.3含參方程表示橢圓的條件【母題】若方程x2a2+y2a+6=A.a>3B.C.a>3或a<?2D.(2)已知橢圓mx2+3y2?6m=【解題策略】(1)所給方程已經(jīng)是標(biāo)準(zhǔn)形式,所以可以直接按照條件決定半長(zhǎng)軸a與半短軸b,并按照它們的大小關(guān)系和符號(hào)(大于0)來求解范圍.(2)首先把方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程,再執(zhí)行(1)的步驟.解(1)因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)在x軸上,所以有a解得a>3或?6<a<(2)化橢圓方程為標(biāo)準(zhǔn)方程得y由題可知焦點(diǎn)在y軸上且c=2,所以a2=2m,b2=6.再由【解后反思】解這類題首先確認(rèn)是否為標(biāo)準(zhǔn)方程,化成標(biāo)準(zhǔn)方程后按照條件再?zèng)Q定半長(zhǎng)軸a與半短軸b,然后才是擔(dān)心值的大小與符號(hào).【衍生1】橢圓x2m+y24=1m>A.5B.3C.5或3D.8【衍生2】“2<m<6”是“方程xA.充足不須要條件B.須要不充足條件C.充要條件D.既不充足也不須要條件【衍生3】橢圓5x2+ky2=5的一個(gè)焦點(diǎn)是3.4待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【母題】求滿意下列條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)焦點(diǎn)在y軸上,且過0,2(2)離心率為32,且過點(diǎn)2,(3)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,且過點(diǎn)2,?【解題策略】首先要決定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型(無法決定則分類研究),按照方程類型列出標(biāo)準(zhǔn)方程,然后代入條件舉行求解.解(1)因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上,所以可以設(shè)橢圓方程為y因?yàn)闄E圓過0,24解得a2=所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為y24(2)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)橢圓方程為x因?yàn)殡x心率為32且過點(diǎn)2,e解得a2=4,b2當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)橢圓方程為y因?yàn)殡x心率為32且過點(diǎn)2,e解得a2=16,b2綜合以上,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=(3)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)橢圓方程為x因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,且過點(diǎn)2,?a解得a2=148,b2當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)橢圓方程為y因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,且過點(diǎn)2,?a解得a2=52,b2綜合以上,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2148+y237【解后反思】普通決定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程類型后,因?yàn)槲┆?dú)兩個(gè)系數(shù)待定,所以往往只要列出關(guān)于系數(shù)的兩個(gè)方程就可以求解.【衍生1】已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分離為F1,F2,離心率為33,過F2的直線A.x23+yC.x212+y【衍生2】過點(diǎn)3,?5,且與橢圓【衍生3】焦距是8,離心率等于0.8的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________________3.5橢圓離心率的求法【母題】(1)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點(diǎn)為F,CA.35B.57C.45(2)設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分離為F1,F2,過F2作x軸的垂線與C相交于A【解題策略】(1)本題要充足擔(dān)心△ABF和△(2)條件AD⊥F1B轉(zhuǎn)化成僅含a,解(1)如圖3.1所示,設(shè)AF=cos解得x=6圖3.1所以∠AFB=90°,由橢圓及直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知AF1=8,∠FAF1=∠FAB+∠(2)由題意知,焦點(diǎn)坐標(biāo)分離為F1?c,0,F2c,0,其中c=a2?b2,因?yàn)檫^點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線為x=c,由橢圓的對(duì)稱性可設(shè)它與橢圓的交點(diǎn)為Ac,b2a,Bc,?b2a.因?yàn)锳B平行于y軸,且F1O=OF2(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),所以F1D=DB,即D為線段F1B的中點(diǎn),所以點(diǎn)D【解后反思】利用橢圓幾何性質(zhì)的注重點(diǎn)及技巧:(1)注重橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系(在求與橢圓有關(guān)的一些范圍問題時(shí),常常用到x,y的范圍,離心率的范圍等不等關(guān)系).(2)利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧(求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí),理清頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等基本量的內(nèi)在聯(lián)系).求橢圓的離心率問題的普通思路:求橢圓的離心率或其范圍時(shí),普通根據(jù)題設(shè)得出一個(gè)關(guān)于a,b【衍生1】已知橢圓短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)分離為B1,B2,焦點(diǎn)為F1,F2【衍生2】過點(diǎn)M1,1作斜率為?12的直線與橢圓C:x2a2+y2b2=1a【衍生3】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F是橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點(diǎn),A,B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn),且PF⊥x軸.過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與A.13B.12C.233.6直線與橢圓的位置關(guān)系【母題1】已知直線y=x+m和橢圓2x2+3(1)直線與橢圓相交.(2)直線與橢圓相切.(3)直線與橢圓相離.【解題策略】這類題普通用判別式舉行求解:(1)Δ>0(2)Δ=0(3)Δ<0解聯(lián)立方程得2消去y,得5按照判別式有Δ(1)直線與橢圓相交?Δ>0,則(2)直線與橢圓相切?Δ=0,則(3)直線與橢圓相離?Δ<0,則m<?5【解后反思】直線與橢圓的位置關(guān)系問題主要用判別式舉行計(jì)算,結(jié)合圖形往往可以更好地分析位置關(guān)系.【衍生1】已知直線y=x?12【衍生2】已知橢圓4x2+y2=1及直線【衍生3】已知橢圓C:x24+y23=1,點(diǎn)P1,32【母題2】已知斜率為1的直線l過橢圓x24+y2=1的右焦點(diǎn),交橢圓于【解題策略】橢圓相交弦長(zhǎng)度問題,主要通過聯(lián)立直線與橢圓的方程并用韋達(dá)定理來求解,橢圓的弦長(zhǎng)公式為A=解由橢圓方程知a2=又因?yàn)橛医裹c(diǎn)F3,0,直線l的方程為x消去y,得5設(shè)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分離為xx所以A【解后反思】解相交弦長(zhǎng)問題時(shí),倘若題目有參數(shù),往往需要考慮條件Δ>0【衍生4】(1)已知直線y=x+2與橢圓x29+y2=(2)已知橢圓x24+y2=1,過橢圓右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于A,B【衍生5】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)A?2,0,B(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C.(2)設(shè)直線l:y=kx+1與曲線C交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)MN=423時(shí),求直線l的方程.【衍生6】已知橢圓ax2+by2=1與直線x+y【衍生7】已知點(diǎn)F1,F2分離為橢圓x22+y2=1的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)F2作傾斜角為3.7橢圓的相交弦與共軛直徑【母題】已知橢圓x22(1)求過點(diǎn)P12,12且被點(diǎn)P(2)求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程.(3)P,Q為橢圓上兩點(diǎn),O為原點(diǎn),若直線OP,OQ的斜率之積為?【解題策略】本題主要為弦中點(diǎn)問題,普通可以用韋達(dá)定理來解決,但用“設(shè)點(diǎn)一代點(diǎn)一作差一變形”的方式更容易一些.解(1)設(shè)直線l與該橢圓交于點(diǎn)x1,x(1)x(2)x(3)y(4)(2)-(1),得x變形可得x(5)把(3)(4)代人(5),得x再變形可得y所以直線l的斜率為?12由點(diǎn)斜式得y化簡(jiǎn)得直線l的方程為2(2)設(shè)斜率為2的平行弦所在直線l與該橢圓交于點(diǎn)x1,y1,x2,y2x(1)x(2)x(3)y(4)y(5)(2)-(1),得x變形可得x(6)把(3)(4)代人(6),得x再變形可得y所以斜率為2的平行弦中點(diǎn)M的軌跡方程為x(3)設(shè)P,Q的坐標(biāo)分離為x1,y1,x2,y2,且x(1)x(2)x(3)y(4)y(5)(1)+(2),得x變形得x再變形可得2(6)又因?yàn)?(7)將(7)代人(6),得x所以PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2+2橢圓共軛直徑的性質(zhì):設(shè)AC,BD為橢圓的一對(duì)共軛直徑,若A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)(1)x2=?aby(2)x12(3)x1y(4)OA2(5)S△A【衍生1】已知P4,2是直線l被橢圓x236+【衍生2】中央在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為F150,0的橢圓截直線y=3【衍生3】橢圓mx2+ny2=1與直線y=1?x交于M,NA.22B.223C.?93.8橢圓頂點(diǎn)處的直角張角【母題】已知:橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0,Aa,【解題策略】本題要證實(shí)的是充要條件問題,往往要把充足性和須要性分成兩個(gè)問題證實(shí).須要性是由“B,C,D三點(diǎn)共線”證實(shí)“AC⊥AD”,即證實(shí)kAC?kAD=?1.充足性是由“AC⊥AD證實(shí)(1)先證須要性:因?yàn)锽,C,D三點(diǎn)共線,所以過點(diǎn)B的直線與橢圓交于點(diǎn)設(shè)CD直線方程為x=聯(lián)立橢圓方程,得b消去x,得b收拾可得y設(shè)C,D坐標(biāo)分離為xyy因?yàn)閤==所以k即AC⊥(2)再證充足性:設(shè)CD直線方程為x=b消去x,得b收拾可得a設(shè)C,D坐標(biāo)分離為xyy又因?yàn)锳C⊥k即k用韋達(dá)定理代人并化簡(jiǎn),可得n所以CDx所以CD直線過點(diǎn)aa2?b2綜合以上,本題得證.【解后反思】本題不僅涉及了充要條件問題、三點(diǎn)共線問題、垂直問題的解決主意,而且還得到了一個(gè)重要的結(jié)論:過橢圓頂點(diǎn)的直角張角弦所在直線過固定點(diǎn).【衍生1】已知橢圓方程為x24+y2=1,過點(diǎn)M?65,0的直線l與該橢圓交于A,B【衍生2】已知橢圓方程為x24+y2=1,過點(diǎn)A0,1作兩條互相垂直的直線分離與該橢圓交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)B坐標(biāo)為第4章雙曲線方程及其性質(zhì)4.1用雙曲線的定義求雙曲線的軌跡方程【母題】已知兩圓C1:x+42+y2=2,C2A.x=0B.C.x22?y214=1【解題策略】按照條件分析出平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為定值,進(jìn)而按照要求可求出雙曲線方程.解(1)當(dāng)圓M與圓C1、圓C2同時(shí)內(nèi)切或同時(shí)外切時(shí),點(diǎn)M在y軸上,所以x(2)當(dāng)圓M與圓C1內(nèi)切、與圓C2外切時(shí),有MC2(3)當(dāng)圓M與圓C1外切、與圓C2內(nèi)切時(shí),有MC1所以點(diǎn)M的軌跡為雙曲線,且b2=c2?a綜上,動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為x22?y214【解后反思】利用雙曲線的定義時(shí)要注重:動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為定值2a;兩定點(diǎn)間的距離2c要大于這個(gè)定值;要【衍生1】已知點(diǎn)F1?3,0和F23,0,動(dòng)點(diǎn)P到F1,F2的距離之差為4,則點(diǎn)C.y24?x【衍生2】已知點(diǎn)F10,?3和F20,3,動(dòng)點(diǎn)P【衍生3】已知圓C1:x+32+y2=1和圓C2:x?32+4.2雙曲線的焦點(diǎn)三角形【母題】已知雙曲線x29?y216=1的左、右焦點(diǎn)分離為F1,F2,點(diǎn)P在雙曲線上,若P【解題策略】在△F1PF2解由題意知a=3,b=4不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上,則PF1又因?yàn)镻F1⊥PF2又因?yàn)镻F1?PF22=36,所以又因?yàn)镾△F1PF2=12×【解后反思】以橢圓上的一點(diǎn)和兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形叫焦點(diǎn)三角形,該三角形的兩邊之差為2a,第三邊的長(zhǎng)度為2c,充足利用三角形的性質(zhì),再結(jié)合三角形的正弦定理、余弦定理和勾股定理舉行求解.偶爾要擔(dān)心代數(shù)式的和、差、積等的特征【衍生1】雙曲線C:x29?y216=1的左、右焦點(diǎn)分離為F1,F2A.16B18C.30D.18或30【衍生2】已知F1,F2分離為雙曲線C:x2?y2=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在CA.2B.4C.6D.8【衍生3】已知雙曲線x2?y224=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,PA.48B.24C.12D.6【衍生4】已知F是雙曲線C:x2?y28=1的右焦點(diǎn),P是C的左支上一點(diǎn),點(diǎn)A4.3雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【母題】(1)已知雙曲線的離心率為2,兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分離為?4,0,4,A.x24?yC.x210?y(2)當(dāng)雙曲線M:x2m2?【解題策略】(1)待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:先由焦點(diǎn)求出c,再由離心率求出a,按照c2=b2+a(2)按照標(biāo)準(zhǔn)方程有a2=m2,b解(1)已知雙曲線的離心率為2,焦點(diǎn)坐標(biāo)分離是?4,0,4,0,則c=4,a=2(2)由題意可得c2=m2+2m+6=m+12+5m>?3,當(dāng)m=?1時(shí),c2取得最小值,即焦距2c取得最小值,此時(shí)雙曲線【衍生1】已知雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分離A.x24?yC.x2?y2【衍生2】已知雙曲線x2a2?y2b2=1A.x24?yC.x22?y【衍生3】設(shè)雙曲線x2a2?y2【衍生4】已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>A.x28?yC.x25?y4.4雙曲線的離心率與漸近線【母題】(1)雙曲線x2a2?y2b2=1a>C.y=±22(2)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>A.2B.2C.322D.【解題策略】雙曲線的離心率是c與a的比值,而漸近線的斜率是b與a的比值,按照c2=b2+解(1)解法一由題意知e=ca=3,所以c=3a,b解法二由e=ca=1+ba2=3,得ba(2)由題意知e=ca=1+b2a2=2,所以ba=1.所以雙曲線的漸近線方程為x±y=【解后反思】對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線,其漸近線斜率與離心率關(guān)系為e2+k2=1;對(duì)于焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,其漸近線斜率與離心率關(guān)系為e【衍生1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線x2a2?y2b2【衍生2】設(shè)點(diǎn)F1,F2分離是雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn),A.5B.2C.3D.2【衍生3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線C:y2a2?x2b2=1A.43B.C.169D.4.5雙曲線的漸近線方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系【母題】(1)雙曲線x2a2?y29=1a(2)已知雙曲線的漸近線方程為2x±3y=0【解題策略】雙曲線x2m2?y2解(1)由題意可得3a=35,所以(2)由雙曲線的漸近線方程為y=±23x,可設(shè)雙曲線方程為x29?y24=λλ【解后反思】求雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0或y2a2?x2b2=1a>0,b【衍生1】以橢圓x2+4y2=【衍生2】求與雙曲線x29?y216=1有共同的漸近線,且經(jīng)過點(diǎn)4.6一類雙曲線離心率求法問題【母題】已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分離為F1,F2,O為坐標(biāo)原點(diǎn).P是雙曲線在第一象限上的點(diǎn),直線PO,【解題策略】題目中的條件是圍繞焦點(diǎn)三角形給出的,所以利用余弦定理即可獲得a,b,c的關(guān)系式,再消元變形即可得到離心率e解由題意得PF1=2PF2,由雙曲線的定義可有PF1?PF2=2a,可得PF1=4a,PF2=2a.又因?yàn)镕1O=F2O,PO【解后反思】倘若題目條件與焦點(diǎn)三角形有關(guān),且結(jié)果是求離心率,普通有兩種模式:一是按照條件列出方程組,分離求出a和c,再求離心率;另一種是無法直接求出a和c,但結(jié)合三角形相關(guān)定理可以得到a,b圖4.1再消去b變形出e即可求解.【衍生1】如圖4.1所示,F1,F2是橢圓C1:x24+y2=1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn),點(diǎn)A,A.2B.3C.32D.62【衍生2】已知點(diǎn)F1,F2分離為雙曲線x2a2?y2b2A.3+1B.C.2+1D.4.7雙曲線離心率范圍問題【母題】已知雙曲線C1:x2a2?y2b2=1a>0,bA.1,233C.1,2D.【解題策略】因?yàn)殡p曲線的漸近線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以由d<r可以得到關(guān)于a,b,c解由雙曲線方程可得其漸近線方程為y=±bax圓C2:x2+y2?2ax+34a2=0由雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn),得aba2+b2<12a,即c>2b,也即c2>4b2,又知b2=c2?a2,所以【解后反思】在建立起關(guān)于a,b,c的關(guān)系式后還需要兩個(gè)關(guān)鍵步驟:一是如何消去b,這往往要把b變形成b2才干由b2=c2?a2來消元;二是把不等式變成只含e的不等式,解不等式后還要擔(dān)心雙曲線離心率e>1這一條件.【衍生1】雙曲線x2a2?A.1,3B.C.3,+∞【衍生2】已知雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分離4.8共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的離心率關(guān)系【母題】(1)如圖4.2所示,中央在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1,F2,點(diǎn)P是橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn),已知∠F1PF2=圖4.2(2)已知點(diǎn)F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),P是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且∠A.433B.C.3D.2【解題策略】(1)對(duì)焦點(diǎn)三角形用余弦定理,然后利用離心率公式化簡(jiǎn)變形得離心率的關(guān)系式.(2)利用(1)的結(jié)論舉行求解.解(1)由題意設(shè)焦距為2c,橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2m,不妨令點(diǎn)由雙曲線的定義得P(1)由橢圓的定義得P(2)又因?yàn)椤螰1P(3)D2+P(4)22?P(5)將(4)(5)代人(3),得2再結(jié)合離心率公式e1=1(2)由(1)的結(jié)論得1e12+3e22=4.再利用三角換元1e1【解后反思】共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線離心率的兩個(gè)異常結(jié)論:結(jié)論1已知橢圓C1:x2a12+y2b12=1a1>b1>解釋:此結(jié)論反映e1,e2,b1,b2之間的等量關(guān)系,等式左邊是兩分式之和,分母分離是e12,e22結(jié)論2已知F1,F2為橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),P為它們的一個(gè)公共點(diǎn),且∠F1PF2解釋:此結(jié)論反映e1,e2,θ之間的等量關(guān)系,等式左邊是兩分式之和,分母分離是e22,e此兩個(gè)結(jié)論在解決以共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線為背景的離心率之積與兩離心率倒數(shù)之和的最值與范圍問題時(shí),可優(yōu)化解題過程.【衍生1】已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)F1,F2,點(diǎn)P是橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn),已知∠F1PF2=60°,記橢圓與雙曲線的離心率分離為eA.22,62C.33,6【衍生2】已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)F1,F2,點(diǎn)P是橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn),已知∠F1PF2=60°【衍生3】橢圓C1:x2m2+y24b2=1m>2b>A.m>n且e1e2≥45C.m<n且e1e2≥454.9直線與雙曲線的位置關(guān)系和交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題【母題】已知雙曲線C:x2?y2=4和直線l:y=k【解題策略】先聯(lián)立直線與雙曲線的方程,再研究解的情況來獲得交點(diǎn)個(gè)數(shù).解聯(lián)立方程組x2?y2=4,y1(1)則有Δ(1)當(dāng)1?k2=0,即k=±1時(shí),解方程得x=52(2)當(dāng)1?k2≠0,Δ>0,即k(3)當(dāng)1?k2≠0,Δ=0,即k=±共點(diǎn).(4)當(dāng)1?k2≠0,Δ<0,即k綜上所述,當(dāng)k=±1或k=±233時(shí),直線l與雙曲線C有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)k∈?233,?1∪?1,1∪1,2【解后反思】聯(lián)立直線和雙曲線的方程,消元后得到的方程可能是一次方程也可能是二次方程,所以必須研究二次項(xiàng)系數(shù)是否為零.詳細(xì)研究情形如圖4.3所示.圖4.3【衍生1】過原點(diǎn)的直線l與雙曲線C:x24?yA.?32,3C.?33,3【衍生2】設(shè)雙曲線C:x2a2?y2=1a>0與直線l:第5章拋物線方程及其性質(zhì)5.1待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【母題】(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸正半軸,且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是___________(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn),且過點(diǎn)P?2【解題策略】用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,關(guān)鍵是要決定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型并求出焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p.解(1)由題意,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以設(shè)為x2=2pyp>0,由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1得(2)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=kx或x2=my,代人點(diǎn)P?2,3,解得k=?【解后反思】拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程類型決定的主意有對(duì)稱軸的位置、焦點(diǎn)的位置、準(zhǔn)線的位置和開口方向.在決定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型后,只需要一個(gè)條件(焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和拋物線上一點(diǎn))就可以求出參數(shù)p的值.【衍生1】(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)坐標(biāo)為P?1(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,且過點(diǎn)P?4,A.y2=?xC.y2=?8x或x2=?【衍生2】(1)如圖5.1所示,等邊三角形ABO的邊長(zhǎng)為83,且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E上.求拋物線(2)已知拋物線y2=2pxp>0和點(diǎn)C?4,0,過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線,與拋物線交于圖5.1方程是().A.y2=4xC.y2=8x【衍生3】(1)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),準(zhǔn)線方程為x=?(2)已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,拋物線上一點(diǎn)Mm,?3到焦點(diǎn)A.x2=6yC.x2=12y5.2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程【母題】(1)若拋物線方程為7x+4y2=A.716,0C.?716,0(2)若拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程是y【解題策略】已知拋物線的方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程,首先要把拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式,然后結(jié)合圖像決定焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.解(1)將方程化為y2=?74x形式,由此可知拋物線開口向左,2p=74所以答案為C.(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=1ay,由條件得2=【解后反思】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的一次項(xiàng)系數(shù)決定其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,詳細(xì)關(guān)系如下:(1)y2=ax的焦點(diǎn)為a4,(2)x2=ay的焦點(diǎn)為0,a【衍生1】(1)拋物線y=?x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為?.A.?C.0,?12(2)拋物線y=4A.2B.1C.14D.【衍生2】(1)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)到直線x?3A.23C.3D.1(2)若拋物線y2=2pxp>0的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線【衍生3】過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F,且斜率為3的直線交于拋物線C于點(diǎn)M(M在x軸的上方),l為C的準(zhǔn)線,點(diǎn)N在l上,且MN⊥l,則A.5B.2C.23D.5.3用拋物線定義求軌跡方程【母題】過點(diǎn)F0,3且和直線y+3=A.y2=12xC.x2=?12【解題策略】關(guān)鍵是要決定動(dòng)點(diǎn)到哪個(gè)定點(diǎn)的距離和到哪條定直線的距離相等(注重定點(diǎn)不能在定直線上),然后按照拋物線的定義寫出軌跡方程.解由題意知,動(dòng)圓圓心到點(diǎn)F0,3的距離等于其到直線y+3=0的距離,由拋物線的定義知,動(dòng)圓圓心的軌跡是以點(diǎn)F0,3為焦點(diǎn)和直線y【解后反思】在分析出定點(diǎn)和定直線之后,既要擔(dān)心動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離是否相等,還要擔(dān)心定點(diǎn)是否在定直線上和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的范圍.【衍生1】已知點(diǎn)M到點(diǎn)F2,0的距離比到直線l:x+【衍生2】求在平面內(nèi)過點(diǎn)A?2,0,且與直線x=2【衍生3】已知?jiǎng)訄AM與直線y=2相切,且與定圓C:x2+5.4拋物線定義與焦半徑【母題】(1)設(shè)拋物線y2=8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4,則點(diǎn)(2)設(shè)拋物線y2=4x上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是4,則點(diǎn)【解題策略】拋物線上的點(diǎn)與其焦點(diǎn)的連線段稱為焦半徑,按照拋物線定義每一條焦半徑的長(zhǎng)度都等于其在拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,所以(1)中到y(tǒng)軸的距離需要轉(zhuǎn)化成到準(zhǔn)線的距離.(2)中按照焦半徑公式可以由焦半徑長(zhǎng)度算出點(diǎn)的坐標(biāo).解(1)如圖5.2所示,拋物線的準(zhǔn)線l的方程為x=?2,F是拋物線的焦點(diǎn),過點(diǎn)P作PA⊥y軸,垂足是A,延伸PA交直線l于點(diǎn)B,則AB=2.因?yàn)辄c(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4,則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離圖5.2(2)按照焦半徑公式MF=xM+p2,則有4=xM+22【解后反思】在解決焦半徑問題時(shí),除了要借助圖形特征外,還要熟練控制焦半徑公式:(1)若AxA,yA為拋物線y2=2px(2)若AxA,yA為拋物線y2=?2p(3)若AxA,yA為拋物線x2=2py(4)若AxA,yA為拋物線x2=?2p【衍生1】已知點(diǎn)F是拋物線y=x2的焦點(diǎn),M,N是該拋物線上的兩點(diǎn),MF+NF=3【衍生2】拋物線C:y=x28的焦點(diǎn)為F,Ax0,y0是C上一點(diǎn),且【衍生3】已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),FM的延伸線交y軸于點(diǎn)N.若M為【衍生4】如圖5.3所示,過拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A,B,交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C,若圖5.3【衍生5】設(shè)拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A為C上一點(diǎn),若FA=3A.π3B.C.π3或2π3D.π45.5拋物線的焦點(diǎn)弦【母題1】如圖5.4所示,AB是過拋物線y2=2pxp>0焦點(diǎn)F的弦,AD,BC是準(zhǔn)線的垂線,垂足分離為D,C,設(shè)點(diǎn)A,(1)求證:AB=(2)求證:1AF(3)求證:y1y2=?p2和(2)既可以用焦半徑公式推導(dǎo)證實(shí),也可以構(gòu)造相似三角形舉行推導(dǎo).(3)設(shè)出直線方程,然后聯(lián)立直線與拋物線的方程,消元后用韋達(dá)定理來得出結(jié)論,這是典型的代數(shù)思維;倘若充足借助拋物線定義和平面圖形性質(zhì)也會(huì)得到很巧妙的主意.圖5.4證實(shí)(1)因?yàn)榘凑諕佄锞€的定義有A所以A(2)證法一由(3)(證實(shí)見后)得x1x2=p21==證法二如圖5.5所示,過點(diǎn)F作FM垂直AD于點(diǎn)M,過點(diǎn)B作FN垂直x軸于點(diǎn)因?yàn)椤纤訟所以A故A變形可得1圖5.5(3)證法一設(shè)過焦點(diǎn)Fp2,0的AB的直線方程為x=myy由韋達(dá)定理得y因?yàn)閥12x證法二如圖5.6所示,由拋物線定