人教版八年級數(shù)學上冊整式的乘法和因式分解《乘法公式（第1課時）》示范教學設計

乘法公式（第1課時）教學目標1．經(jīng)歷探索平方差公式的過程，進一步發(fā)展符號意識和推理能力．2．會推導平方差公式，并能用公式進行簡單的計算和推理．3．了解平方差公式的幾何背景，發(fā)展幾何直觀．教學重點平方差公式的探索和應用．教學難點平方差公式的探索和應用．教學過程知識回顧1．a(chǎn)m÷an＝（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m＞n）．即同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．2．a(chǎn)0＝1（a≠0）．這就是說，任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1．3．一般地，單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．4．一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．5．判斷0次冪成立的條件是底數(shù)不等于0，進而轉(zhuǎn)化為求解不等式即可．6．同底數(shù)冪的除法，找準底數(shù)再運算只有兩個冪的底數(shù)相同時，才能運用此運算法則；如果底數(shù)是一個多項式，可以把這個多項式看成一個整體．7．依次計算不漏項，符號變化記心間將多項式除以單項式轉(zhuǎn)化為單項式除以單項式時，應注意逐項計算，不要漏項；并且要注意符號的變化，最后的結果按某一字母升冪或降冪的順序排列．新知探究一、探究學習【問題】之前我們學習了整式的乘法，知道了多項式與多項式相乘的運算法則．根據(jù)所學知識計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）＝_____；（2）＝______；（3）＝______．【師生活動】學生作答，教師給出正確答案．【答案】（1）；（2）；（3）．【設計意圖】通過運用多項式與多項式相乘的運算法則得到結果，為下文探索平方差公式做鋪墊．【問題】上述問題中，相乘的兩個多項式有什么共同點？【師生活動】教師引導，學生作答，然后教師給出正確答案．【答案】都是形如a＋b的多項式與形如a－b的多項式相乘．【問題】等式左邊相乘的兩個多項式的各項與右邊多項式中的各項有什么關系？你能將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用式子表示出來嗎？【師生活動】教師引導，學生作答，然后教師給出正確答案．【答案】【設計意圖】通過一步步追問，讓學生思考并回答問題，逐漸推出平方差公式，鍛煉學生的總結歸納和推理能力．【問題】你能對發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行推導嗎？【師生活動】教師引導，學生作答，教師給出正確答案，然后進行歸納．【答案】【歸納】對于具有與此式相同形式的多項式相乘，我們可以直接寫出運算結果．【新知】兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差．這個公式叫做（乘法的）平方差公式．平方差公式中的a，b可以表示任意的代數(shù)式．【設計意圖】通過運用多項式乘多項式的運算法則推導得出平方差公式，講解平方差公式的定義和特點，讓學生理解和掌握平方差公式．【問題】你能根據(jù)下面圖形的面積說明平方差公式嗎？【師生活動】教師讓學生代表依次表示圖形變換前后圖形①和②的面積和，然后根據(jù)面積相等得到平方差公式．【答案】改變前：S①＋②＝(a＋b)(a－b)；改變后：S①＋②＝a2－b2；所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2．【設計意圖】通過圖形變換前后圖形①和②的面積和相等，讓學生了解平方差公式的幾何背景，發(fā)展幾何直觀．【問題】觀察下列動圖，驗證平方差公式．【師生活動】學生觀察并說出自己的疑問和理解，教師適當給出解釋．【設計意圖】運用幾何圖形驗證平方差公式，讓學生體會數(shù)形結合思想．【問題】計算下列各組算式，并觀察它們的共同特點．7×9＝_____；11×13＝_____；79×81＝_____；8×8＝_____；12×12＝_____；80×80＝_____．【師生活動】學生作答，教師給出正確答案．【答案】63；143；6399；64；144；6400．特點：；；．【設計意圖】通過由簡到難的運算，讓學生觀察歸納出簡化運算的技巧，認識到平方差公式在簡化運算中的作用．【問題】計算下列各組算式，并觀察它們的共同特點．6×10＝_____；9×15＝_____；76×84＝_____；8×8＝______；12×12＝____；80×80＝_____．【師生活動】學生作答，教師給出正確答案．【答案】60；135；6384；64；144；6400．特點：；；．【設計意圖】提高難度，讓學生觀察歸納出簡化運算的技巧，認識到平方差公式在簡化運算中的作用．【問題】你能口算出18×22的值嗎？【師生活動】學生作答，教師給出正確答案并進行歸納．【答案】18×22＝396．【歸納】利用平方差公式，可以使一些計算變得簡單．【設計意圖】讓學生意識到，在運算過程中可以靈活運用公式，簡化運算步驟．二、典例精講【例1】計算：（1）(3x＋2)(3x－2)； （2）(－x＋2y)(－x－2y)．【答案】解：（1）(3x＋2)(3x－2)＝(3x)2－22＝9x2－4；（2）(－x＋2y)(－x－2y)＝(－x)2－(2y)2＝x2－4y2．【注意】在運算時，一定要分清楚哪個是相同項，哪個是相反項，并不是帶負號的就是相反項．【設計意圖】檢驗學生對平方差公式的理解和掌握情況．【例2】計算：（1）(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)； （2）102×98．【答案】解：（1）(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)＝y(tǒng)2－22－(y2＋4y－5)＝y(tǒng)2－4－y2－4y＋5＝－4y＋1；（2）102×98＝(100＋2)(100－2)＝1002－22＝10000－4＝9996．【注意】只有符合公式條件的乘法，才能運用公式簡化運算，其余的運算仍按乘法法則進行．【設計意圖】檢驗學生有無靈活運用平方差公式簡化運算的意識．【例3】先化簡，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2．【答案】解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2．當x＝1，y＝2時，原式＝5×12－5×22＝－15．【設計意圖】通過讓學生解決涉及平方差公式的化