天津市和平區(qū)2024屆高三第三次質(zhì)量調(diào)查（三模）數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市和平區(qū)2024屆高三第三次質(zhì)量調(diào)查（三模）數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，故.故選：A.2.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗命題“，”的否定為“，”.故選：B.3.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減，所以，又在定義域上單調(diào)遞增，所以，在定義域上單調(diào)遞減，所以，所以.故選：B.4.若，則等于（）A. B.6 C. D.3〖答案〗C〖解析〗由，可得，即，所以.故選：C.5.已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，由于，則，所以，所以數(shù)列是以2為公比，2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，所以，所以，故選：D.6.下列說法中，正確的個(gè)數(shù)為（）①樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度；②用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好；③隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則；④隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若方差，則．A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)〖答案〗C〖解析〗相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度越強(qiáng)，故①正確；用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，故②正確；已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則，故③正確；若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則方差，所以，所以，所以或，故④錯(cuò)誤.故選：C.7.已知正方體的棱長為6，點(diǎn)，分別在棱，上，且滿足，點(diǎn)為底面的中心，過點(diǎn)，，作平面，則平面截正方體所得的截面面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗連接，，與交點(diǎn)即為，因?yàn)?，所以‖，因?yàn)椤?，所以‖，所以共面，所以平面截正方體所得的截面為梯形，因?yàn)檎襟w的棱長為6，且，所以，在中，，則，在中，，則，在，，則，過作于，則，所以,所以等腰梯形的面積為,故選：A.8.已知函數(shù)（，且），，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，，函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，故，解得.故選：D.9.雙曲線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若拋物線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，（點(diǎn)，均異于原點(diǎn)），且與分別過，的焦點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，拋物線的焦點(diǎn)為，由過的焦點(diǎn)，可設(shè)，，又在雙曲線上，可得，由，解得由過的焦點(diǎn)，可得，即有，代入，可得，解得，則.故選：C.二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對1個(gè)的給3分，全部答對的給5分）10.為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，所以?fù)數(shù)的虛部為，故〖答案〗為：.11.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為______（請用數(shù)字作答）．〖答案〗〖解析〗二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為：，由或，得或，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.12.拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，其中白色骰子與黑色骰子各一顆，記事件為“白色骰子的點(diǎn)數(shù)為或”，事件為“兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和大于”，則______；______．〖答案〗〖解析〗拋擲白、黑兩顆骰子，事件總數(shù)為，事件的基本事件數(shù)為，易知，用中的表示拋擲白、黑兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)，則事件包含：，，所以，，所以，.13.已知圓以點(diǎn)為圓心，且與直線相切，則滿足以上條件的圓的半徑最大時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．〖答案〗〖解析〗直線，可化為，所以，解得，所以直線過定點(diǎn)，當(dāng)與直線垂直時(shí)，圓的半徑最大，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.14.已知中，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記，，請用，表示______；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值為______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，可得，由點(diǎn)是中點(diǎn)，可得，所以，向量在向量上的投影向量，因?yàn)?，所以，所以向量在向量上的投影向量的模為：，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以向量在向量上的投影向量的模的最小值為.15.已知函數(shù)，，且有，若關(guān)于的方程有8個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗由題意設(shè)，，由此可知，的對稱軸均為，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，且，由此可以畫出這兩函數(shù)的大致圖像如圖所示：所以，所以直線與函數(shù)至多有4個(gè)不同的交點(diǎn)，關(guān)于方程至多有2個(gè)不同的根，由題意若關(guān)于的方程有8個(gè)相異實(shí)根，則當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)關(guān)于的方程，共有8個(gè)不同的根，其中，，是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，令，則關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的根，，即有兩個(gè)不同的根，，設(shè)，由對勾函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，，所以有兩個(gè)不同的根，，當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.三、解答題（本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，的面積為，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ碛孝伲忠驗(yàn)椋?，代入①式有．又因?yàn)槿切蝺?nèi)角，因此，所以，．（2）因?yàn)榈拿娣e為，即，所以②．又由余弦定理，，可得③．因?yàn)椋散冖凼娇芍?）由正弦定理有，有，，，，．17.如圖，平面平面，，，，．（1）求直線與平面所成角的大??；（2）求平面與平面所成夾角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．解：（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，又因?yàn)?，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知，所以，，，，．因?yàn)?平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，又，所以直線與平面所成角為．（2）設(shè)平面的法向量為，，則，令，則，又因?yàn)樵O(shè)平面與平面所成夾角為，則，又，所以，所以平面與平面所成夾角的正弦值為．（3）因?yàn)?，平面的法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為．18.已知橢圓的焦距為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且滿足，求的值．解：（1）設(shè)橢圓焦距為，依題意：，解得又因?yàn)?，所以，所以，橢圓的方程為．（2）由（1）可知，設(shè)點(diǎn)，，中點(diǎn)為，（?。┤糁本€的斜率不存在，，線段的垂直平分線為軸，，代入，，有．（ⅱ）如圖所示：若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，解得，（舍去），即，則中點(diǎn)，由題意，所以．線段的垂直平分線方程為，令，則，所以，，，，解得，代入，則，綜上：或．19.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，（且），．（1）求的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；（2）記，當(dāng)，時(shí)，試比較與的大??；（3）若，正項(xiàng)等比數(shù)列中，首項(xiàng)，數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列，且，求的通項(xiàng)公式與．解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由公式，，又，有，所以．則，．（2）因?yàn)椋杂?，，，，，?dāng)，時(shí)，，即，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（3）因?yàn)?，所以，設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，，所以，因?yàn)椋?，又，，設(shè)①，則②，①式-②式得，，所以，，所以，.20.已知函數(shù)，，．（1）若，函數(shù)存在斜率為3的切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，試討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若，設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，過線段的中點(diǎn)作軸的垂線分別交于點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）因?yàn)椋?，，因?yàn)楹瘮?shù)存在斜率為3的切線，所以在有解，所以，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）因?yàn)?，所以，，令，即，，（?。┊?dāng)時(shí)，即，，在上單調(diào)遞增．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，即，或，有兩根，，，①當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞增．②當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．