一元二次方程和一元二次不等式講義-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

一元二次方程和一元二次不等式模塊一一元二次方程一．一元二次方程根的判別式知識梳理一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2-4ac.定理1：方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根.定理2：方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根.定理3：方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0，方程沒有實數(shù)根.定理4：方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有兩個不相等的實數(shù)根，△＞0.定理5：方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有兩個相等的實數(shù)根，△=0.定理6：方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程沒有實數(shù)根，△＜0.題型精練例1、已知關(guān)于x的方程x2-x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，化簡∣-k-2|+|∣變式訓(xùn)練1、關(guān)于x的方程：k（k+1）（k-2）x2-2（k+1）（k+2）x+k+2=0只有一個實數(shù)解（兩個相同的也只算一個），則實數(shù)k可取不同值的個數(shù)為（）A.2B.3C.4D.52、若方程∣x2+ax∣=4，有3個不相等的實數(shù)根，求a的值和相應(yīng)的3個根.秋季延伸探究1．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有三個實數(shù)根，則的取值范圍為．二．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知識梳理若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個實數(shù)根，則x1=，x2=++=，··==定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根為，，那么：+，· 說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為“韋達(dá)定理”．上述定理成立的前提是△≥0．題型精練例1、若x1、x2是方程x2+2x-2012=0的兩個根，試求下列各式的值.（1）；（2）；（3）（x1-5）（x2-5）；（4）∣x1-x2∣變式訓(xùn)練1、若實數(shù)a≠b，且a、b滿足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0，則代數(shù)式+的值為（）A.-20B.2C.2或-20D.2或202、設(shè)x1、x2是方程x2+px+p=0的兩實根，x1+1，x2+1是關(guān)于x的方程x2+qx+p=0的兩實根，則p=_____，q=_____．秋季延伸探究1、設(shè)m是不小于-1的實數(shù)，關(guān)于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2.求的最大值.三．根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用例1、（1）判斷直線y=2x+1與拋物線y=x2-3x+1的交點的個數(shù)；（2）若直線y=2x+b與拋物線y=x2有兩個不同的交點，求b的取值范圍.變式訓(xùn)練1、已知m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的兩實數(shù)根，則（m+2）（n+2）的最小值是（）A.7B.11C.12D.162、若x1、x2是關(guān)于x的方程x2-（2k+1）x+k2+1=0的兩個實數(shù)根，且x1、x2都大于1．（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）若，求k的值．模塊二二次函數(shù)最值知識梳理二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）是初中函數(shù)的主要內(nèi)容，也是高中學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)．在初中階段大家已經(jīng)知道：二次函數(shù)在自變量x取任意實數(shù)時的最值情況(當(dāng)a＞0時，函數(shù)在x=處取得最小值，無最大值；當(dāng)a＜0時，函數(shù)在x=處取得最大值，無最小值．本節(jié)我們將在這個基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)當(dāng)自變量x在某個范圍內(nèi)取值時，函數(shù)的最值問題．同時還將學(xué)習(xí)二次函數(shù)的最值問題在實際生活中的簡單應(yīng)用．根據(jù)二次函數(shù)對稱軸的位置，函數(shù)在所給自變量x的范圍的圖象形狀各異．下面給出一些常見情況：題型精練例1、當(dāng)-2≤x≤2時，求函數(shù)y=x2-2x-3的最大值和最小值．變式訓(xùn)練1、函數(shù)y=x2+2x+3在m≤x≤0上的最大值為3，最小值為2，求m的取值范圍．秋季延伸探究1、已知關(guān)于x的函數(shù)y=x2+2ax+2在-5≤x≤5上，當(dāng)a為實數(shù)時，求函數(shù)的最大值．2、已知函數(shù)y=x2+2ax+1在-1≤x≤2上的最大值為4，求a的值．模塊三不等式一．一元二次不等式知識梳理初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法．高中階段將進(jìn)一步學(xué)習(xí)一元二次不等式和分式不等式等知識．本講先介紹一些高中新課標(biāo)中關(guān)于不等式的必備知識．一元二次不等式ax2+bx+c＞0（或＜0）與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）及一元二次方程ax2+bx+c=0的關(guān)系（簡稱：三個二次）．以二次函數(shù)y=x2+x-6為例：（1）作出圖象；（2）根據(jù)圖象容易看到，圖象與x軸的交點是（-3，0），（2，0），即當(dāng)x=-3或x=2時，y=0．就是說對應(yīng)的一元二次方程x2+x-6=0的兩實根是x=-3或x=2．（3）當(dāng)x＜-3或x＞2時，y＞0，對應(yīng)圖像位于x軸的上方．就是說x2+x-6＞0的解是x＜-3或x＞2．（4）當(dāng)-3＜x＜2時，y＜0，對應(yīng)圖像位于x軸的下方．就是說x2+x-6＜0的解是3＜x＜2．一般地，一元二次不等式可以結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步驟如下：（1）將二次項系數(shù)先化為正數(shù)；（2）觀測相應(yīng)的二次函數(shù)圖象．①如果圖象與x軸有兩個交點（x1，0），（x2，0），此時對應(yīng)的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2（也可由根的判別式△＞0來判斷）．那么（圖1）：ax2+bx+c＞0（a＞0）x＜x1或x＞x2ax2+bx+c＜0（a＞0）x1＜x＜x2②如果圖象與x軸只有一個交點（，0），此時對應(yīng)的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根x1=x2=（也可由根的判別式△=0來判斷）．那么（圖2）：ax2+bx+c＞0（a＞0）x≠ax2+bx+c＜0（a＞0）無解③如果圖象與x軸沒有交點，此時對應(yīng)的一元二次方程沒有實數(shù)根（也可由根的判別式△＜0來判斷）．那么（圖3）：ax2+bx+c＞0（a＞0）x取一切實數(shù)ax2+bx+c＜0（a＞0）無解如果單純的解一個一元二次不等式的話，可以按照一下步驟處理：（1）化二次項系數(shù)為正；（2）若二次三項式能分解成兩個一次因式的積，則求出兩根x1，x2．那么“＞0”型的解為x＜x1或x＞x2（俗稱兩根之外）；“＜0”型的解為x1＜x＜x2（俗稱兩根之間）；也就是通常所說的因式分解法.否則，對二次三項式進(jìn)行配方，變成ax2+bx+c=a（x+）2+，結(jié)合完全平方式為非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解．1.列表總結(jié)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）與一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0），不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解的對應(yīng)關(guān)系判別式△=b2-4ac△＞0△＝0△＜0二次函數(shù)的圖像方程的根有兩個相異的實數(shù)根x1，x2（x1＜x2）有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝?jīng)]有實數(shù)根不等式的解集{x|x＜x1，或x＞x2}{x≠}R2．分式不等式與整式不等式(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．簡單的絕對值不等式|x|>a(a>0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集為(－a，a)．例1、解下列不等式：（1） x2+4x-12＞0. （2）（x+2）（x-3）＜6變式訓(xùn)練1、若2x2-5x+2＜0，則+2∣x-2∣=.2、解下列不等式：（1）x2-2x-8＜0（2）x2-4x+4≤0（3）x2-x+2＜0二．含參數(shù)的一元二次不等式知識梳理前一節(jié)我們一起探討了一元二次不等式的解法，本節(jié)我們學(xué)解含參數(shù)的一元二次不等式.通常情況下，均需對字母系數(shù)的取值分類進(jìn)行討論，這是一元二次不等式的難點.那么如何討論呢？對含參數(shù)的一元二次不等式常用的分類方法有三種：（1）按二次項的系數(shù)a的符號分類，即a＞0，a=0，a＜0；（2）按判別式△的符號分類，即△＞0，△=0，△＜0；（3）按方程ax2+bx+c=0的根x1、x2的大小分類，即x1＞x2，x1=x2，x1＜x2.題型1、討論二次項系數(shù)例1、解不等式ax2+（a+2）x+1＞0.題型2、討論對應(yīng)的一元二次方程根的判別式例2、解不等式（m2+1）x2-4x+1≥0.題型3、討論對應(yīng)方程兩個解的大小例3、解關(guān)于x的不等式：＜1-a.變式訓(xùn)練1.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8.(1)若不等式f(x)<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)<x<4))))，求a的值；(2)當(dāng)a<0時，求關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集．總結(jié)歸納對含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進(jìn)行分類討論，常見的分類有：根據(jù)二次項系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類；根據(jù)判別式△與0的關(guān)系判斷根的個數(shù)有兩個根時，有時還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論題型4、根據(jù)不等式的解集求參數(shù)例5、已知對于任意實數(shù)x，kx2-2x+k恒為正數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．例6、已知不等式2x2+px+q＜0的解是-2＜x＜1，求不等式px2+qx+2＞0的解．秋季延伸探究一．一元二次不等式恒成立問題題型一在R上恒成立問題例1(多選)對任意實數(shù)x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，則實數(shù)k可以是()A．0B．－24C．－20D．－2題型二在給定區(qū)間上上恒成立問題例2已知函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為________．題型三在給定參數(shù)范圍內(nèi)的恒成立問題例3(2023·宿遷模擬)若不等式x2＋px