甘肅省武威市涼州區(qū)武威第九中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期甘肅省武威九中九年級(jí)數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)考試試卷一．選擇題（共30分）1.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了合并同類(lèi)項(xiàng)，同底數(shù)冪相乘，二次根式的混合運(yùn)算，根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)，同底數(shù)冪相乘，二次根式的混合運(yùn)算的運(yùn)算法則計(jì)算即可，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、與不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，故選項(xiàng)不符合題意；B、，故選項(xiàng)不符合題意；C、，故選項(xiàng)不符合題意；D、，計(jì)算正確，故選項(xiàng)符合題意；故選：D．2.下列各式是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查最簡(jiǎn)二次根式的定義，最簡(jiǎn)二次根式必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：(1)被開(kāi)方數(shù)不能含有分母；(2)被開(kāi)方數(shù)中不能含有能開(kāi)得盡方的因數(shù)．根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義判斷即可．【詳解】解：A、，被開(kāi)方數(shù)中含有能開(kāi)得盡方的因數(shù)，不符合題意；B、，被開(kāi)方數(shù)中含有分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；C、，被開(kāi)方數(shù)中含有能開(kāi)得盡方的因數(shù)，不符合題意D、，是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；故選：D．3.如圖，在中，，是的角平分線，若，，則點(diǎn)到的距離是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理、點(diǎn)到直線的距離，先根據(jù)計(jì)算，根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距相等”，即可得出答案，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，又∵，是的角平分線，∴點(diǎn)到的距離，故選：C．4.如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△A′B′C′的位置，連接C′B，則C′B的長(zhǎng)為()A.2－ B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】如圖，連接BB′，延長(zhǎng)BC′交AB′于點(diǎn)D，證明△ABC′≌△B′BC′，得到∠DBB′=∠DBA=30°；求出BD、C′D的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接BB′，延長(zhǎng)BC′交AB′于點(diǎn)D，

由題意得：∠BAB′=60°，BA=B′A，

∴△ABB′為等邊三角形，

∴∠ABB′=60°，AB=B′B；

在△ABC′與△B′BC′中，∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），

∴∠DBB′=∠DBA=30°，

∴BD⊥AB′，且AD=B′D，∵AC＝BC＝，∴，∴，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線．作輔助線構(gòu)造出全等三角形并求出BC′在等邊三角形的高上是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．5.如圖，四邊形是菱形，其頂點(diǎn)C在x軸上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是，將菱形沿x軸向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式，先根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)是，得出，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，即可得出，根據(jù)平移性質(zhì)得出點(diǎn)的坐標(biāo)為．【詳解】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是，∴，∵四邊形為菱形，∴，∴，∵將菱形沿x軸向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，∴平移后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：C．6.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，菱形的邊長(zhǎng)為3，則菱形的面積為（）A. B.8 C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，連接、交于點(diǎn)O，根據(jù)正方形的性質(zhì)利用勾股定理求出的長(zhǎng)，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，即可得出的長(zhǎng)，最后根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半即可求解．【詳解】解：連接、交于點(diǎn)O，∵四邊形正方形，∴，，由勾股定理得，，∵四邊形是菱形，∴，，，，∴，由勾股定理得，∴，∴菱形的面積為，故選：D．7.已知點(diǎn)和都在直線上，則與的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.無(wú)法確定【答案】C【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，把點(diǎn)和分別代入，計(jì)算出與的值，再進(jìn)行比較，即可作答．【詳解】解：∵點(diǎn)和都在直線上，∴把點(diǎn)和分別代入，則；∴故選：C8.一組數(shù)據(jù)2，4，x，6，8的眾數(shù)為2，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)眾數(shù)的概念求出x，再根據(jù)中位數(shù)的概念進(jìn)行求解即可.【詳解】∵數(shù)據(jù)2，4，x，6，8的眾數(shù)為2，∴，則數(shù)據(jù)重新排列為2、2、4、6、8，所以中位數(shù)為4，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的概念，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．9.某校七年級(jí)組織一次籃球賽，各班均組隊(duì)參賽，賽制為每?jī)砂嘀g賽兩場(chǎng)，共需安排42場(chǎng)比賽．設(shè)七年級(jí)共有x個(gè)班，則下列方程正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，利用比賽的總場(chǎng)數(shù)七年級(jí)班級(jí)數(shù)七年級(jí)班級(jí)數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程．【詳解】解：依題意得：．故選：A．10.若關(guān)于x的方程的兩根之和為p，兩根之積為q，則關(guān)于y的方程的兩根之積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程，根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的兩個(gè)根，，滿足，．根據(jù)關(guān)于x的方程的兩根之和為p，兩根之積為q，可以得到關(guān)于y的方程的根符合，，然后整理化簡(jiǎn)，即可解答本題．【詳解】解：設(shè)關(guān)于y的方程的兩根分別為，，∵關(guān)于x的方程的兩根之和為p，兩根之積為q，∴，，∴，，化簡(jiǎn)，得：，，整理可得，，故選：A．二．填空題（共24分）11.若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，解不等式，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件得到，，解不等式即可．【詳解】∵式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，∴．故答案為：．12計(jì)算：________．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及二次根式的乘法進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：故答案為：．13.如圖，已知在四邊形中，，邊上一點(diǎn)，若，，，，則______．【答案】##【解析】【分析】在上取一點(diǎn)，使得，過(guò)點(diǎn)作于，利用三角形的外角定理及度直角三角形的性質(zhì)得，，進(jìn)而利用勾股定理求得，，，，再證明，利用角平分線的性質(zhì)及解直角三角形即可得解．【詳解】解：在上取一點(diǎn)，使得，過(guò)點(diǎn)作于，∵，，，，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，角平分線性質(zhì)，度直角三角形的性質(zhì)定理，等腰三角形的判定，熟練掌握解直角三角形，勾股定理，角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14.如圖，在和中，M，N分別為對(duì)角線交點(diǎn)，已知，且與的周長(zhǎng)分別為22與21，則四邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】23【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的周長(zhǎng)公式，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，，，，，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式得到的周長(zhǎng)，的周長(zhǎng)，求得，，于是得到結(jié)論．【詳解】解：在和中，，，，，，，的周長(zhǎng)，的周長(zhǎng)，，，四邊形的周長(zhǎng)，故答案為：23．15.如圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，，，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理及三角形中位線定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用菱形對(duì)角線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由菱形的性質(zhì)可求得菱形的邊長(zhǎng)，由三角形中位線定理即可求得的長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形是菱形，O為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，∴O是的中點(diǎn)，且，，，∴由勾股定理得：，∵H為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，故答案為：．16.如圖，函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)2,0，則關(guān)于x的不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】此題考查了一次函數(shù)的平移，一次函數(shù)的圖象與不等式的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)圖象可得的解集為，向右平移3個(gè)單位得，則的圖象與x軸交于點(diǎn)，即可求解．【詳解】解：向右平移3個(gè)單位得，向右平移3個(gè)單位得，∴的圖象與x軸交于點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)圖象得的解集為，∴關(guān)于x的不等式的解集為故答案為：．17.甲、乙、丙三名男同學(xué)進(jìn)行跳遠(yuǎn)測(cè)試，每人10次跳遠(yuǎn)成績(jī)的平均數(shù)都是，方差分別是，則這三名同學(xué)跳遠(yuǎn)成績(jī)最不穩(wěn)定的是__________．【答案】甲【解析】【分析】本題考查了方差的意義，若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，則方差小的更穩(wěn)定，理解方差的意義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)方差越小，成績(jī)?cè)椒€(wěn)定，反之，則最不穩(wěn)定，即可求解．【詳解】解：∵甲、乙、丙三名同學(xué)進(jìn)行跳遠(yuǎn)測(cè)試，每人10次跳遠(yuǎn)成績(jī)的平均數(shù)都是，方差分別是，∴甲的方差最大，∴這三名同學(xué)跳遠(yuǎn)成績(jī)最不穩(wěn)定的是甲，故答案為：甲．18.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為_(kāi)____．【答案】－1【解析】【分析】由關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即可得判別式Δ＝0，繼而可求得k的值．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2?4ac＝（?2）2?4×1×（－k）＝4＋4k＝0，解得：k＝－1，故答案為：－1．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根與△＝b2?4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．三．解答題（共66分）19.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】本題考查二次根式的加減運(yùn)算，合并同類(lèi)二次根式即可．【詳解】解：．20.解方程：＋3x﹣4＝0．【答案】＝﹣4，＝1【解析】【分析】利用十字相乘法將方程的左邊因式分解后求解可得．【詳解】解：∵＋3x﹣4＝0，∴（x＋4）（x﹣1）＝0，則x＋4＝0或x﹣1＝0，解得＝﹣4，＝1．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．21.已知一次函數(shù)，完成下列問(wèn)題：（1）在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出此函數(shù)的圖象．（2）根據(jù)函數(shù)圖象回答：①不等式的解集是__________.②當(dāng)x__________時(shí)，．③當(dāng)時(shí)，相應(yīng)x的取值范圍是__________.【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）①②③．【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是畫(huà)出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．（1）根據(jù)函數(shù)解析式，可以求得該函數(shù)與軸和軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后即可畫(huà)出該函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)函數(shù)圖象，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想①可以寫(xiě)出不等式的解集，②當(dāng)為何值時(shí)，，③當(dāng)取何值時(shí)，．【小問(wèn)1詳解】解：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即該函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，，函數(shù)圖象如圖所示，；【小問(wèn)2詳解】解：①由圖象可得，不等式的解集是．故答案為：；②由圖象可得，當(dāng)時(shí)，；故答案為：；③∵，隨的增大而增大∴，解得；∴，解得x=2當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的取值范圍是，故答案為：．22.先閱讀下面提供的材料，再解答相應(yīng)的問(wèn)題，若和在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都有意義，求的值．解：和在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都有意義，且．由得：，．問(wèn)題，若實(shí)數(shù)滿足，求的值．【答案】5【解析】【分析】此題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義得到，解得，再求出，再代入進(jìn)行解答即可．【詳解】解：由題意可得，和在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都有意義，∴且由得到∴解得，∴，∴23.如圖，有人在岸上點(diǎn)C的地方用繩子拉船靠岸，開(kāi)始時(shí)，繩長(zhǎng)，，且，拉動(dòng)繩子將船從點(diǎn)B沿的方向拉到點(diǎn)D后，繩長(zhǎng)，求船體移動(dòng)的距離的長(zhǎng)度．【答案】船體移動(dòng)的距離的長(zhǎng)度為【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，利用勾股定理分別求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解；在中，，，∴，在中，，，∴，∴，∴船體移動(dòng)的距離的長(zhǎng)度為．24.如圖，在菱形中，點(diǎn)分別在邊上，，求證：．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)證得，，再根據(jù)全等三角形的判定證明即可．【詳解】證明：四邊形是菱形，，，，，．25.如圖，在平行四邊形中，的平分線交于點(diǎn)E，的平分線交于點(diǎn)F，與相交于點(diǎn)O，連接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，求平行四邊形的面積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先由平行四邊形的性質(zhì)得到，再由角平分線的定義推出，則，同理可得，即可得到，易證四邊形是平行四邊形，再由．即可證明四邊形是菱形；（2）利用菱形的性質(zhì)和勾股定理求出，再利用等面積法求出的長(zhǎng)，再根據(jù)平行四邊形面積公式列式計(jì)算即可．【小問(wèn)1詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵的平分線交于點(diǎn)E，∴，∴，∴，同理可得，∴，又∵∴四邊形是平行四邊形，∵．∴四邊形是菱形；【小問(wèn)2詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)F作于G，∵四邊形是菱形，，∴，∴，∵，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，菱形的性質(zhì)與判斷等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．26.我校九龍園校區(qū)開(kāi)展了“學(xué)校是我家，安全靠大家”的知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，初三760名全體學(xué)生參與了此次競(jìng)答活動(dòng)（滿分：50分）．答題完成后，在男生和女生中各隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的競(jìng)答成績(jī)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析得到下列信息（成績(jī)得分用表示，其中A：，B：，C：，D：，E：）．抽取的男生和女生的競(jìng)答成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示：

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)男生47.548.5女生47.549男生等級(jí)同學(xué)的競(jìng)答成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：50，49，50，50，49，50，50，50，50，49．女生等級(jí)同學(xué)的競(jìng)答成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：47，48，48，47，48，48．（1）根據(jù)以上信息可以求出：______，______，______；（2）你認(rèn)為是男生還是女生的安全知識(shí)競(jìng)答成績(jī)較好，請(qǐng)說(shuō)明理由（理由寫(xiě)出一條即可）；（3）若規(guī)定49分及以上為“安全意識(shí)特強(qiáng)”，請(qǐng)估計(jì)我校九龍園校區(qū)初三所有學(xué)生中“安全意識(shí)特強(qiáng)”的學(xué)生有多少人？【答案】（1）30，48，50（2）男生知識(shí)競(jìng)答成績(jī)較好，理由見(jiàn)解析（3）我校九龍園校區(qū)初三所有學(xué)生中“安全知識(shí)特別強(qiáng)”的人數(shù)約為361人【解析】【分析】本題考查了平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)，扇形統(tǒng)計(jì)圖，條形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，掌握題意讀懂統(tǒng)計(jì)圖是解題的關(guān)鍵．（1）用“1”分別減去其他四個(gè)等級(jí)所占百分比可得的值；分別根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義可得、的值；（2）根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的意義解答即可；（3）用總?cè)藬?shù)乘樣本中49分及以上所占百分比即可．【小問(wèn)1詳解】由題意得，，故；把女生20個(gè)學(xué)生的競(jìng)答成績(jī)從小到大排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)分別是48，48，故中位數(shù)；男生20個(gè)學(xué)生的競(jìng)答成績(jī)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是50，故眾數(shù)．故答案為：30，48，50；【小問(wèn)2詳解】男生的學(xué)生知識(shí)競(jìng)答成績(jī)較好，理由如下：因?yàn)槟猩团钠骄鶖?shù)相同，但男生的中位數(shù)比女生中位數(shù)和眾數(shù)都比女生高，所以男生的學(xué)生知識(shí)競(jìng)答成績(jī)較好；【小問(wèn)3詳解】，（人，答：我校九龍園校區(qū)初三所有學(xué)生中“安全意識(shí)特強(qiáng)”的學(xué)生大約有361人．27.已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍，求a的值．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）4【解析】【分析】本題考查根的判別式，因式分解法解方程：（1）求出判別式的符號(hào)，判斷即可；（2）因式分解法解方程，再根據(jù)其中一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍，分兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：證明：∵，∴該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；【小問(wèn)2詳解】∵，∴，∴或，∴，∵方程的根都是整數(shù)，且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍，∴或，解得或（舍去），∴a的值為4．28.如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)E作，交射線于點(diǎn)F，以為鄰邊作矩形，連接．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)度；（3）當(dāng)線段與正方形的某條邊的夾角是時(shí)，求的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）或【解析】【分析】本題考查正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)：（1）作于P，于Q，證明，即可；（2）勾股定理得到，進(jìn)而得到為的中點(diǎn)，得到點(diǎn)F與C重合，矩形為正方形，即可得出結(jié)果；（3）分與的夾角為和與的夾角為，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【小問(wèn)1詳解】證明：∵正方形，∴，作于P，于Q，∴四邊形為矩形，為等腰直角三角形，，∴，∴四邊形為正方形，∴，∵矩形，∴，∴，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】解：如圖2中，在中，，∵，∴，∴為的