2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面向量（解析版）

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專題07平面向量

易錯(cuò)點(diǎn)：注意零向量書寫及三角形

題型一：平面向量線性運(yùn)算

\與平行四邊形適用前提___________

題型二：平面向量的基本定理

0、易錯(cuò)點(diǎn)：忽略基底選取原則

及坐標(biāo)表示

題型三：平面向量的數(shù)量稅及

e,易錯(cuò)點(diǎn)：忽醵僵積不滿足結(jié)合律

易錯(cuò)點(diǎn)一：注意零向量書寫及三角形與平行四邊形適用前提（平面向量線

性運(yùn)算）

i.向量的有關(guān)概念

（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或模）.

（2）向量的模：向量入百的大小，也就是向量4月的長(zhǎng)度，記作|AE|.

（3）特殊向量：

①零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的.

②單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定：。與任一向量平行.

④相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運(yùn)算和向量共線定理

（1）向量的線性運(yùn)算

運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

①交換律

求兩個(gè)向量d+b=b+a

加法

和的運(yùn)算a②結(jié)合律

三角形法則平行四邊形法則(a+萬(wàn))+c=4+(5+c)

求。與b的

相反向量-5的

減法/'弋a(chǎn)—石=0+(—Z?)

和的運(yùn)算叫做。a

與b的差三角形法則

(1)14dH刈〃|

求實(shí)數(shù)力與

(2)當(dāng)；1>0時(shí)，曲與a的方向相同；

小a=癡+

數(shù)乘向量。的積的運(yùn)(2+

當(dāng)4<0時(shí)，而與4的方向相同；

算+萬(wàn))=+45

當(dāng)4=0時(shí)，2a=0

共線向量定理

向量。(2片0)與5共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)2,使得方=幾直

共線向量定理的主要應(yīng)用：

(1)證明向量共線：對(duì)于非零向量。，b,若存在實(shí)數(shù)彳，使&=26,則。與b共線.

(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)九使A3=XAC,則A,B,C三點(diǎn)共線.

(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.

平面向量線性運(yùn)算問(wèn)題的求解策略：

(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，

三角形的中位線及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái).

(2)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式

等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用.

(3)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧：

①觀察各向量的位置；

②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；

③運(yùn)用法則找關(guān)系；

④化簡(jiǎn)結(jié)果.

解決向量的概念問(wèn)題應(yīng)關(guān)注以下七點(diǎn)：

(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵.

(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(3)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).

(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向

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量.

(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)混為一談.

aa

(6)非零向量4與「的關(guān)系：一是。方向上的單位向量.

(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，故可以比較大小

易錯(cuò)提醒：(1)向量表達(dá)式中的零向量寫成0,而不能寫成。.

(2)兩個(gè)向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個(gè)向量共線滿足的條件是：兩個(gè)向量所在直線平行或重

合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系.

(3)要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)兩個(gè)向量的起點(diǎn)必須重

合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時(shí)兩個(gè)向量必須首尾

相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件.

(4)向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更廣泛、靈活如：OA-OB=BA,AM-AN=NM,

OA=OB+CAOOA-OB=CA^BA-CA=BA+AC=BC.

A.AB+AD=ACB.AB+CD+DO=OA

UUULIUWULHUUUU1

c.AB+AD+CD=ADD.AC+BA+DA=O

變式1：給出下列命題，其中正確的命題為()

A.若AB=CD，則必有A與C重合，8與。重合，與CO為同一線段

12

B.^AD=-AC+-AB,則可知BC=33Z)

uumiuiriuuriuuu

C.若。為ABC的重心，則PQ=§PA+]PB+§PC

D.非零向量a，b，[滿足￡與6，6與3與a都是共面向量，則a，b，3必共面

21

變式2：如圖所示，在平行四邊形ABCZ)中，AB=a,AD=b,BM=-BC,AN=-AB.

DC

（1）試用向量2,方來(lái)表示。;

（2）AM交ON于。點(diǎn)，求AO:OAf的值.

變式3：如圖所不，在矩形ABCD中，=4百，,⑷=8,設(shè)BC=",AB=a,BD-c＞求k-石

uim/Tr、

1?已知a、5為不共線的向量，AB=a+5bBC=—2a+8b，CD=3(a-6),貝!j()

A.AB,C三點(diǎn)共線B.AC,。三點(diǎn)共線

C.AB,。三點(diǎn)共線D.B,C,。三點(diǎn)共線

2.如圖，在平行四邊形ABC。中，E是BC的中點(diǎn)，尸是線段AE上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則￡（戶等于（

B.-AB--AD

3333

13

C.-AB--ADD.-AB--AD

34

3.在四邊形ABCD中，^AC=AB+AD，貝U（）

A.四邊形ABCD是平行四邊形B.四邊形ABCD是矩形

C.四邊形ABCD是菱形D.四邊形ABCD是正方形

4.已知4。,成分別為ABC的邊8C,AC上的中線，設(shè)乂（=。，BE=b,^\BC=（）

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B

4224

A.~a+~bB.~a+~b

3。。3

24?4

C?~a~~bD.--a+-b

。JJ3

5.如果￡目是平面a內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說(shuō)法中不正確的是（）

①。=力6+〃$（4〃eR）可以表示平面a內(nèi)的所有向量；

②對(duì)于平面a內(nèi)任一向量2，使。=幾4+〃6；（4〃€口）的實(shí)數(shù)對(duì)（4〃）有無(wú)窮多個(gè)；

③若向量+〃怎與辦e；+〃2e；共線，則§=為

42沆2

④若實(shí)數(shù)入〃使得雞+〃e；=0,則/l=〃=0.

A.①②B.②③C.③④D.②

6.給出下列各式：?AB+CA+BC-@AB-CD+BD-AC<@AD-OD+OA^?NQ-MP+QP+MN,

對(duì)這些式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，則其化簡(jiǎn)結(jié)果為0的式子的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

7.已知平面向量a，b，c，下列結(jié)論中正確的是（）

A.若a〃B，則力=6B.若卜卜W，則3=5

C.若a〃b，b//c，則a〃cD.若b+?=同+忖，則

8.設(shè)e；與e；是兩個(gè)不共線的向量，AB=3e,+2e2,CB=k^+^,CD=3e,-2ke；,若A,B,。三點(diǎn)共線，則

上的值為（）

4938

A.-----B.-----C.——D.——

9483

9.在,Q4B中，已知|加|=2,長(zhǎng)3=4,尸是AB的垂直平分線/上的任一點(diǎn)，則OPAB=（）

A.6B.-6C.12D.-12

10.已知拋物線C：V=4元的焦點(diǎn)為足準(zhǔn)線為/,點(diǎn)從近，線段AF交拋物線C于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)B作/的垂

線，垂足為“，若FA=3FB，則（）

A.阿信B.網(wǎng)=4

C.網(wǎng)=3網(wǎng)D.網(wǎng)=4網(wǎng)

11.下列各式中結(jié)果為零向量的為（）

A.AB+MB+BO+OMB.AB+BC+CA

C.AB-AC+BD-CDD.OA+OC+BO+CO

易錯(cuò)點(diǎn)二：忽略基底選取原則（平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示）

1.平面向量基本定理和性質(zhì)

（1）共線向量基本定理

如果M=則d//6；反之，如果4//方且〃片0,則一定存在唯一的實(shí)數(shù)力,使。=".（口

訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）.

（2）平面向量基本定理

如果■和耳是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量4,都存在唯一的一對(duì)

實(shí)數(shù)4,4,使得。我們把不共線向量I，不叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為

｛耳勺｝,4%+4￡叫做向量&關(guān)于基底｛弓勺｝的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量■與《不共線，平面內(nèi)的任一向量“都可以分解成形如

瓦的形式，并且這樣的分解是唯一的.41+4可叫做石，耳的一個(gè)線性組合.平面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).

推論1：若+4A=4冢+4可，則4=4,4=4.

推論2：若a=4"；+4瑟=0，則4=4=。.

（3）線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式

2XC

如圖所示，在△ABC中，若點(diǎn)。是邊BC上的點(diǎn)，且BD/DC（八-1）,則向量入》=---------.在

1+/L

向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問(wèn)題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌

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握.

(4)三點(diǎn)共線定理

平面內(nèi)三點(diǎn)A,B,C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)使猶=45+〃加，其中彳+〃=1,。為

平面內(nèi)一點(diǎn).此定理在向量問(wèn)題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握.

A,B、C三點(diǎn)共線

O存在唯一的實(shí)數(shù)X,使得AC=/IAE;

一存在唯一的實(shí)數(shù)X,使得OC=04+448;

今存在唯一的實(shí)數(shù)%,使得00=(1+

=存在4+〃=1,使得OC=2O4+〃QB.

(5)中線向量定理

如圖所示，在△ABC中，若點(diǎn)D溟邊3c的中點(diǎn)，則中線向量Z力=；(AB+五C1),反之亦正確.

2.平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算

(1)平面向量的坐標(biāo)表示.

在平面直角坐標(biāo)中，分別取與x軸，y軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量7作為基底，那么由平面向

量基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量白，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)匹＞使。=爐+爐，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)。,丁)

叫做向量&的坐標(biāo)，記作。=(x,y).

(2)向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，即有

向量(x,y)一對(duì)應(yīng)向量函一對(duì)應(yīng)點(diǎn)A(x,y).

(3)設(shè)。=(%,乂)，b=(x2,y2),則，+日=(玉+%,%+%)，a-b=(x1-x2,y1-y2),即兩個(gè)向量的和

與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

若。=（尤,y）,X為實(shí)數(shù)，則=即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)

坐標(biāo).

（4）設(shè)A（X，x）,B（x2,y2）,則他=08,Q一=（尤i-尤2,X-%），即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有向

線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).

3.平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

①已知點(diǎn)A（X］，％）,B（x2,y2）,則AB=（x2—,必一X），IAB|=Q（x?-xj+（%-yj?

②已知。=（占,%），萬(wàn)=（々,％）,則0±萬(wàn)=（±±工2，M土豆），^a=（Ax1,Ay1）,

a-b=\x2+yly1,|止Qx；+y；.

?！ㄊ?無(wú)1y2-尤2%=0，a_1_石=為%+芳女=0

向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

1.利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo).一般地，在求與一個(gè)已知向量。共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量

為獨(dú)（ZeR）,然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于2的方程，求出4的值后代入2。即可得到所求的向量.

2.利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若&=（占,%）,

6=（%,%），則?！ǚ降某湟獥l件是占%=%%”解題比較方便.

3.三點(diǎn)共線問(wèn)題.A,B,C三點(diǎn)共線等價(jià)于AB與木？共線.

4.利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒

等變換求解.

用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路

（1）先選擇一組基底，并運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進(jìn)行

向量的運(yùn)算.

（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來(lái)方便，另外，要熟練運(yùn)用線段中點(diǎn)的

向量表達(dá)式.

向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系.

兩個(gè)相等的向量，無(wú)論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.

易錯(cuò)提醒：（1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個(gè)不共線的向量.

（2）選定基底后，通過(guò)向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示

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出來(lái).

（3）強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相

似等。

三

例.已知向量0=（2,1）,6=（-B）,則（）

A.若工=',則aj_cB.向量在向量力上的投影向量為分

C.。與Z-b的夾角余弦值為半D.（a+b）Ha

變式1.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的為（）

A.已知2=（1,2）,力=（1,1）且。與。+奶的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是

B.向量q=（2,-3）,e?不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底

C.非零向量a，b，滿足忖<W且a與6同向，則

D.非零向量方和6，滿足,卜W=萬(wàn)］則方與a+Z?的夾角為30

變式2.（多選）下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若〃=（%］,%）］=（%2，%），且：與X共線，則十二3

A2>2

B.若a==（%2，%），且占%。％2乂，則〃與］不共線

C.若A,B,。三點(diǎn)共線,則向量低,靛，&都是共線向量

D.若向量a=（l,2）,b=（—2,〃）,且，〃0,貝!］〃=—4

變式3.已知",4是平面內(nèi)的一組基底，則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若實(shí)數(shù)m,〃使mex+ne2=0,貝I」zn=〃=0

B.平面內(nèi)任意一個(gè)向量a都可以表示成@=加,十九e；,其中相，〃為實(shí)數(shù)

C.對(duì)于如根q不一定在該平面內(nèi)

D.對(duì)平面內(nèi)的某一個(gè)向量。，存在兩對(duì)以上實(shí)數(shù)如n,?d=mex+ne2

三9

1.在梯形ABCD中，ABI/CD,AB=2CD,E,F分別是AB,8的中點(diǎn)，AC與BQ交于M,設(shè)出n

AD=b，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AC——a+bB.BC=4+6

22

12.

C.BM=——a+—bD.EF=--<7+6

334

2.已知點(diǎn)41,2）,3（3,尤），向量。=（2-尤,一1）,初〃&,則I）

A.x=2+及時(shí)AB與“方向相同

B.x=2-夜時(shí)，AB與2方向相同

C.x=2-及時(shí)與4方向相反

D.%=2+&時(shí)，與。方向相反

3.已知點(diǎn)4(1,2),3(3m)，向量。=(2-尤,一1),44〃4,貝!!()

A.x=3時(shí)AB與d方向相同

B.x=2-0,時(shí)AS與2方向相同

C.x=3時(shí)AB與2方向相反

D.x=2+夜，時(shí)4a與。方向相反

4.如果4,a是平面a內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說(shuō)法中正確的是（）

A.X4+〃@2（Z〃eR）可以表示平面a內(nèi)的所有向量

B.對(duì)于平面a內(nèi)任一向量4,使。=彳4+〃4的實(shí)數(shù)對(duì)（4〃）有無(wú)窮個(gè)

C.若向量4。1+〃自與共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)力，使得44+自七=4（4百+4。2）

D.若存在實(shí)數(shù)在〃使得力號(hào)+〃。2=°，則彳=〃=0

5.已知平面內(nèi)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)A（-2,l）,3（-1,3）,C（3,4）,則第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）

A.（-2,2）B.（4,6）

C.（-6,0）D.（2,-2）

6.已知橢圓E：三+丁=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過(guò)下頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)F?的直線與E交于另一點(diǎn)8,

2一一

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8耳與〉軸交于點(diǎn)P，則（）

A.AFtlAF2B.忸瑞卜，

C.月的內(nèi)切圓半徑為豐D.4FtP-3PB=0

7.設(shè)0<6<兀，非零向量a=（sin29,cos。），=（cos6>,l）,則（）.

i3兀

人.若1211。=5，則￡〃/?B.若。=丁，貝！Ja_Lb

C.存在e,使2a=bD.若a〃況則tan人；

8.已知向量Z=（2,-l）,b=（/w,2）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若Q〃B，則根=-4B.若。_1人則帆=1

C.若|2a-6|=|a+5|,則加=1D.若卜+0=卜卜則〃z=Y

9.如圖，在：ABC中，8。=12,。,后是8（S的三等分點(diǎn)，貝IJ（）

A

33

2

B.若AB.AC=O，則近在AB上的投影向量為§48

C.若AB.AC=9，貝UA/>AE=40

D.若ADAE=4,AB?+3=88

10.已知&=（l,2）,b=（4j）,則下列敘述正確的是（）

A.若ab,則f=8B.若aLb，貝1k=2

C.卜叫的最小值為5D.若向量。與向量6的夾角為鈍角，則r<-2

11.已知空間向量a=（1,-1,2）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.|o|=V6

B.向量Z與向量6=（2,2,-4）共線

C.向量Z關(guān)于x軸對(duì)稱的向量為（1,1,-2）

D.向量￡關(guān)于yOz平面對(duì)稱的向量為(一1,1,—2)

易錯(cuò)點(diǎn)三：忽視數(shù)量積不滿足結(jié)合律(平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用)

1.平面向量的數(shù)量積”

(1)平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量與6,我們把數(shù)量|。|S|cos，叫做。與力的數(shù)量積(或內(nèi)積)，

記作即a.A=|a||)|cos。，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

(2)平面向量數(shù)量積的幾何意義

①向量的投影：lalcos。叫做向量a在b方向上的投影數(shù)量，當(dāng)。為銳角時(shí)，它是正數(shù)；當(dāng)。為鈍角時(shí),

它是負(fù)數(shù)；當(dāng)。為直角時(shí)，它是0.

②。小的幾何意義：數(shù)量積。包等于。的長(zhǎng)度1a1與)在。方向上射影1川。05。的乘積.

2.數(shù)量積的運(yùn)算律

已知向量a、b、c和實(shí)數(shù)幾，則：

①a?b=b-a；

②(2?)-b=2(ab)=a-(2Z>)；

@(a+b)c=ac+bc.

3.數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)“、》都是非零向量，e是與。方向相同的單位向量，J是a與e的夾角，則

①es=a?e=|a|cos。.?a±b<^a-b=0.

③當(dāng)。與b同向時(shí)，a-b^a\\b\■當(dāng)a與分反向時(shí)，a-b=~\a\\b\.

特別地，?！?|。|2或|。|=?"].

(4)COS(9=AB(|a||[)0).⑤|a?"W|a||A|.

|a||*l

4.數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

已知非零向量a=(占，%),b=(x2,y2),(9為向量a、b的夾角.

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模Ia|=a\a\=yfx2+y2

高考材料

數(shù)量積a-b=\a\\b\cos0a-b=x{x2+yly2

cos9="cos*,二+/

夾角

l?l|Z-l

aVb的充要

ab=0xxx2+yiy2=0

條件

。〃方的充要

a=AKbw0)xlx2+yly2=Q

條件

H?川與

|a二|4|a|網(wǎng)（當(dāng)且1卒2+%%IW

lalSI

僅當(dāng)?！╞時(shí)等號(hào)成立）

的關(guān)系

1.平面向量數(shù)量積的類型及求法:

（1）平面向量數(shù)量積有兩種計(jì)算公式：一是夾角公式a/=Ia1傳Icos，；二是坐標(biāo)公式ab=xxx2+%%.

（2）求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn).

2.平面向量數(shù)量積主要有兩個(gè)應(yīng)用：

（1）求夾角的大小：若?為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得cosJ=廣上（夾角公式），

所以平面向量的數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)角度的問(wèn)題.

（2）確定夾角的范圍：數(shù)量積大于。說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于。說(shuō)明不共線的

兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角.

3.向量與平面幾何綜合問(wèn)題的解法與步驟：

（1）向量與平面幾何綜合問(wèn)題的解法

①坐標(biāo)法

把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算

和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決.

②基向量法

適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來(lái)進(jìn)行求解.

（2）用向量解決平面幾何問(wèn)題的步驟

①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；

②通過(guò)向量運(yùn)算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題;

③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

4.利用向量求解三角函數(shù)問(wèn)題的一般思路：

（1）求三角函數(shù)值，一般利用已知條件將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式

及三角函數(shù)中常用公式求解.

（2）求角時(shí)通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，先求值再求角.

（3）解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問(wèn)題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即通過(guò)向量的相關(guān)運(yùn)算把

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題.

（4）解三角形.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程，在三角形中利用內(nèi)角和

定理或正、余弦定理解決問(wèn)題.

5.用向量法解決實(shí)際問(wèn)題的步驟如下：

第一步：抽象出實(shí)際問(wèn)題中的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；

第二步：建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；

第三步：利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型；

第四步：用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)求解問(wèn)題.

6.常見(jiàn)的向量表示形式：

⑴重心.若點(diǎn)G是AWC的重心，則G4+GE+GC=0或PG=g（P4+P8+PC）（其中尸為平面內(nèi)任

意一點(diǎn)）.反之，若G4+GB+GC=O，則點(diǎn)G是△ABC的重心.

（2）垂心.若X是八45。的垂心，則*HR=-HC=HC?HA.反之，HA-HB=HB-HC=HC-HA

,則點(diǎn)”是△ABC的垂心.

（3）內(nèi)心.若點(diǎn)/是AWC的內(nèi)心，則國(guó)+|漢卜花+|351元=0.反之，^\BC\-lA+\CA\-

IB+\AB\IC=0,則點(diǎn)/是△ABC的內(nèi)心.

（4）外心.若點(diǎn)。是AABC的外心，貝1（04+08）?麗=（08+0乙＞圍=（6^+04）-4「=0或

|加|=|①|(zhì)=|優(yōu)|.反之，若|6|=|加|=|覺(jué)|,則點(diǎn)。是△ABC的外心.

題型：平面向量的模及其應(yīng)用的類型與解題策略：

（1）求向量的模.解決此類問(wèn)題應(yīng)注意模的計(jì)算公式|a|=J/=W，或坐標(biāo)公式|創(chuàng)=/?17的應(yīng)用，

另外也可以運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算公式列方程求解.

（2）求模的最值或取值范圍.解決此類問(wèn)題通常有以下兩種方法：

高考材料

①幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)合模的幾何意義求模的最值或取值范圍；

②代數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍.

（3）由向量的模求夾角.對(duì)于此類問(wèn)題的求解，其實(shí)質(zhì)是求向量模方法的逆運(yùn)用.

易錯(cuò)提醒：（1）平面向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且|40兇

（2）當(dāng)4/0時(shí)，由小6=0不能推出6一定是零向量，這是因?yàn)槿我慌ca垂直的非零向量5都有。%=（）.

當(dāng)d/O時(shí)，且無(wú)石=無(wú)，時(shí)，也不能推出一定有/?=￡=,當(dāng)萬(wàn)是與。垂直的非零向量，e是另一與a垂直的

非零向量時(shí)，a-b=a-c=O＞但bwe.

（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即（打?方紀(jì)/（萬(wàn)N）。,這是因?yàn)槭且粋€(gè)與？共線的向量，而是一個(gè)

與a共線的向量，而4與。不一定共線，所以（無(wú)萬(wàn)足不一定等于（萬(wàn)/）/,即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選

項(xiàng)，一般都是錯(cuò)誤選項(xiàng).

（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）.當(dāng)且僅當(dāng)qd＞0且。*"（九＞0）（或。?萬(wàn)＜0,且。w26（X＜0））.

例.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A.單位向量都相等

B.向量AE與。力是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線上

C.兩個(gè)非零向量6,若|4+6|=忖|-屹則0與6共線且反向

D.已知向量二=（4,3-m）,萬(wàn)=（1,機(jī)），若4與方的夾角為銳角，則-1（機(jī)＜4

變式L給出下列命題，其中正確的有（）

A.已知向量/_1_6,則％,僅+2）+2,（方一可=萬(wàn)"

B.若向量共線,則向量Z,6所在直線平行或重合

C.已知向量a,6,則向量2,6與任何向量都不構(gòu)成空間的一個(gè)基底

D.A,B,M,N為空間四點(diǎn)，若BA,BM,BN構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則AB,M,N共面

變式2.設(shè)卬村均為單位向量，對(duì)任意的實(shí)數(shù)/有匕+；口〈國(guó)+0|恒成立，則（）

A.q與e?的夾角為60B.\ei+^e2\=^-

C.I4-咐I的最小值為gD.|02+《令一62）|的最小值為g

變式3.已知拋物線％2=4y的焦點(diǎn)為尸，M（4,%）在拋物線上，延長(zhǎng)“尸交拋物線于點(diǎn)N,拋物線準(zhǔn)線與＞

軸交于點(diǎn)Q,則下列敘述正確的是（）

A.\MF\=6B.點(diǎn)N的坐標(biāo)為（一1,；）

____.9

C.QMQN=-D.在X軸上存在點(diǎn)R,使得尸為鈍角

4

1.如圖，在三棱柱ABC-A與G中，M，N分別是gG上的點(diǎn)，且9=2AM,CM=2B\N.沒(méi)加書,

1-1,2-

A.MN=—a+—b+—cB.\MN\=與

333

C.AB1±BCjD.cos

2.設(shè)a,6,2是任意的非零向量，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.0-<7=0B.(0?力?c=a?S?c)

D.(Q+/?)?(“一〃)=|Q『一|62

C?a.b=0=a1b

3.（多選）下列各命題中，正確的命題為（）

A.y/a-a=|a\B.m(Aa)-b=(mA)a-b(m,2GR)

C.a-(b+c)=(b+c)-aD.a2b=b2a

4