人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)5.2.3簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【同步教學(xué)課件】

第五章5.2.3簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)能求簡單的復(fù)合函數(shù)(限于形如f(ax＋b))的導(dǎo)數(shù).課標(biāo)要求素養(yǎng)要求在根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究11.復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作____________________.y＝f(g(x))2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一般地，對(duì)于由函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y＝f(g(x))，它的導(dǎo)數(shù)與y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝________________，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.yu′·ux′點(diǎn)睛對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則要注意以下三點(diǎn)：(1)yx′＝y(tǒng)u′·ux′也可表示為yx′＝f′(u)·g′(x)；(2)我們把復(fù)合函數(shù)的這種求導(dǎo)法則稱為“鏈?zhǔn)椒▌t”；(3)法則可以推廣到兩個(gè)以上的中間變量，例如yx′＝y(tǒng)u′·uv′·vx′.

1.思考辨析，判斷正誤(1)函數(shù)y＝sin(πx)的復(fù)合過程是y＝sinu，u＝πx.(

)√×(3)f(x)＝x2cos2x，則f′(x)＝2xcos2x＋2x2sin2x.(

)提示f′(x)＝2xcos2x－2x2sin2x.×2.設(shè)f(x)＝ln(2x＋1)，則f′(x)＝(

)BB4.設(shè)曲線y＝eax在點(diǎn)(0，1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，則a＝________.2課堂互動(dòng)題型剖析2題型一求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例1】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解

(3)設(shè)y＝eu，u＝3x＋2，則yx′＝y(tǒng)′uu′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2，即y′＝3e3x＋2.思維升華(1)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟(2)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的注意點(diǎn)：①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；②求導(dǎo)時(shí)分清是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)；③計(jì)算結(jié)果盡量簡潔.【訓(xùn)練1】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝102x＋3；解

(1)設(shè)y＝u4，u＝2x－1，則yx′＝y(tǒng)u′ux′＝(u4)′(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.(2)設(shè)y＝10u，u＝2x＋3，則yx′＝y(tǒng)u′ux′＝(10u)′(2x＋3)′＝10uln10×2＝2×102x＋3×ln10＝102x＋3×ln100.解

(3)yx′＝(e－x)′sin2x＋e－x·(sin2x)′＝－e－xsin2x＋2e－xcos2x.【例2】

(1)曲線y＝ln(2x－1)上的點(diǎn)到直線2x－y＋3＝0的最短距離是(

)題型二復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的綜合應(yīng)用A2(2)令y＝f(x)，則曲線y＝eax在點(diǎn)(0，1)處的切線的斜率為f′(0)，又切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因?yàn)閒(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.解由題意可知，設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，則當(dāng)m＝－12時(shí)，直線2x－y－12＝0與曲線y＝ln(2x－1)有交點(diǎn)，則曲線上的點(diǎn)到曲線2x－y＋m＝0的距離為0，故m＝－12舍去.即實(shí)數(shù)m的值為8.【遷移2】

(變條件、變結(jié)論)把本例(1)條件變?yōu)椤叭糁本€y＝kx＋b是y＝lnx＋2的切線，也是y＝ln(x＋1)的切線”，求b的值.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題時(shí)的注意點(diǎn)(1)求曲線過某一定點(diǎn)的切線方程或斜率時(shí)，首先應(yīng)判斷所給定點(diǎn)是不是切點(diǎn)，如果不是，需將切點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出.(2)切點(diǎn)既在原函數(shù)的圖象上也在切線上，可將切點(diǎn)坐標(biāo)代入兩者的函數(shù)解析式建立方程組.(3)如果切線的斜率存在，那么函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率，這是求切線方程最重要的條件.(4)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線不一定是曲線的切線，曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)不一定只有一個(gè).思維升華【訓(xùn)練2】

已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝e－x－1－x，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，2)處的切線方程是__________.2x－y＝0解析

設(shè)x>0，則－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)為偶函數(shù)，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝ex－1＋x.因此，當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，2)處的切線的斜率為f′(1)＝2，所以切線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.題型三復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合問題將復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義結(jié)合，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)揭示物體在某時(shí)刻的變化狀況.思維升華【訓(xùn)練3】

已知某質(zhì)點(diǎn)的位移s與位移時(shí)間t滿足s＝tet－1，則質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度為________.解析

s′＝(t＋1)et－1，當(dāng)t＝1時(shí)，s′(1)＝2.1.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的3個(gè)注意點(diǎn)：①分解函數(shù)為基本初等函數(shù)；②求導(dǎo)時(shí)分清是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)；③計(jì)算結(jié)果盡量簡潔.2.和與差的運(yùn)算法則的1個(gè)推廣 [f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn).課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

C2.函數(shù)y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，則a＝(

) A.1 B.－1 C.2 D.－2A解析

y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，則y′|x＝2＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1.3.設(shè)函數(shù)f(x)＝(2021－2020x)3，則f′(1)＝(

)A.6060 B.－6060C.2020 D.－2020B解析

f′(x)＝3×(－2020)(2021－2020x)2，則f′(1)＝3×(－2020)＝－6060.4.(多選題)下列結(jié)論中不正確的是(

)ACD對(duì)于B，y＝sinx2，則y′＝2xcosx2，故正確；對(duì)于C，y＝cos5x，則y′＝－5sin5x，故錯(cuò)誤；B二、填空題6.某鐵路線新開行“綠巨人”動(dòng)力集中復(fù)興號(hào)動(dòng)車組，最高時(shí)速為160km/h.假設(shè)“綠巨人”開出站一段時(shí)間內(nèi)，速度v(m/s)與行駛時(shí)間t(s)的關(guān)系v＝0.4t＋0.6t2，則出站后“綠巨人”速度首次達(dá)到24m/s時(shí)加速度為________(m/s2).7.6解析

當(dāng)v＝24時(shí)，0.4t＋0.6t2＝24，解得t＝6(負(fù)根舍去)，v′＝0.4＋1.2t，當(dāng)t＝6時(shí)，v′＝0.4＋1.2×6＝7.6(m/s2).7.已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為________.2解析

設(shè)直線y＝x＋1切曲線y＝ln(x＋a)于點(diǎn)(x0，y0)，則y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.0－1解析

由曲線y＝f(x)過(0，0)點(diǎn)，可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1.此即為曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線的斜率.所以a＝0，b＝－1.三、解答題9.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解

(1)設(shè)y＝u8，u＝1＋2x2，∴y′＝(u8)′(1＋2x2)′＝8u7·4x＝8(1＋2x2)7·4x＝32x(1＋2x2)7.(3)y＝sin2x－cos2x；(4)y＝cosx2.解

(3)yx′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′(4)設(shè)y＝cosu，u＝x2，則yx′＝(cosu)′·(x2)′＝(－sinu)·2x＝(－sinx2)·2x＝－2xsinx2.10.已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(0，f(0))處的切線.求切線l的方程.解

f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，f(0)＝1.f′(0)＝－1，∴切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，1)，l的斜率為－1，∴切線l的方程為x＋y－1＝0.ABA.y＝2x＋6 B.y＝2x－4C.y＝3x＋1 D.y＝3x－4解析

y′＝e2x(2cos3x－3sin3x)，∴y′|x＝0＝2，∴直線l的方程為y＝2x＋6或y＝2x－4.2