2024高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)梳理與鞏固訓(xùn)練：數(shù)列

模塊十一:數(shù)列

1、數(shù)列的概念

(1)數(shù)列的定義

一般地,我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列

(sequenceofnumber),數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的

項(xiàng).數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng),常用

符號(hào)內(nèi)表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，

用表示……第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，

用an表示.其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng).

說明：

1.數(shù)列具有有序性,一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的"數(shù)”有關(guān),而且與這些數(shù)的排列順

序有關(guān),注意與集合中元素的無序性區(qū)分開來.

2、數(shù)列的項(xiàng)具有可重復(fù)性，數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，這要與集合中元素的互異性

區(qū)分開來.

3、注意｛an｝與an的區(qū)別:｛%J表示數(shù)列整體:的，。2,…，…；％t表示數(shù)列｛an)中

的第n項(xiàng).

4.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系:數(shù)列｛%J是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集｛1,2,3,…,必)到

實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)n,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第九項(xiàng)即，記冊(cè)=

/(H)，即當(dāng)自變量從1開始，按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值就

是數(shù)列｛an｝，另一方面，對(duì)于函數(shù)y=/(%)，如果/(n)(nGN*)有意義，那么，

/(1),/(2),/(3),…J5),…,構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛//)｝.

2、數(shù)列的分類

用項(xiàng)的關(guān)系式哀示

用項(xiàng)的關(guān)系式表示

用項(xiàng)的關(guān)系式表示

用項(xiàng)的關(guān)系式表示

3、數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果數(shù)列｛%J的第九項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，

那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

說明:數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)定義域比較特殊的函數(shù)的解析式，即an=f(n),

通項(xiàng)公式中的n取不同的值,可以得到數(shù)列的項(xiàng).

4、數(shù)列的遞推公式

如果一個(gè)數(shù)列｛%J的相鄰兩項(xiàng)或者多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這

個(gè)式子就叫做數(shù)列｛an)的遞推公式.

說明：(1)不是所有的數(shù)列都有遞推公式(2)遞推公式是給出數(shù)列的一種方法.遞推

公式和數(shù)列的通項(xiàng)公式一樣,都是關(guān)于項(xiàng)的序號(hào)n的恒等式，如果用符合要求的正整

數(shù)依次去替換n，就可以求出數(shù)列的各項(xiàng).

(3)數(shù)列的表示方法:通項(xiàng)公式法;列表法；圖象法;遞推公式法.

5、數(shù)列的前幾項(xiàng)和。溫馨提示

an^Sn-Sn_1不是對(duì)一切正L概念:數(shù)列｛%J從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和,

稱為數(shù)列整數(shù)n都成立，而是對(duì)n>2｛an)的前n項(xiàng)和，記作Sn，即Snar+a2+

…■I-an.

的一切正整數(shù)n恒成立，因?yàn)槿绻麛?shù)列｛an)的前n項(xiàng)和Sn與它的序號(hào)n之間的對(duì)

應(yīng)關(guān)系當(dāng)九=1時(shí),Sn-Sn一無意義.因可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做

這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)此，由前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)公式an=/(九)時(shí),要分九=1與n22

和公式.

兩種情況,注意驗(yàn)證兩種情形2.冊(cè)與Sn的關(guān)系：%=整1'九；L曾>?能否用同一

一3九一1，九—乙

式子表示,若不能，則將an用分段形式表示.

6、數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)

(1)數(shù)列單調(diào)性的判斷方法：

(1)轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性研究數(shù)列的單調(diào)性，如:數(shù)列｛%J的通項(xiàng)公式為

加=M一九+1,考察函數(shù)y=/-久+1在C，+8)上為增函數(shù),則數(shù)列｛%J為單

調(diào)遞增數(shù)列.

(2)利用定義判斷作差(作商)比較法，比較an+1與an的大小，從而判斷數(shù)列｛an)的

單調(diào)性.

2

例：已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足an=n+An(nGN*)，若數(shù)列｛%J為遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)A的

取值范圍是(2)數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)

(1)借助數(shù)列的單調(diào)性研究數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng).

⑵利用CW+：522)求數(shù)列的最大項(xiàng);利用《;或:+：(心2)求

數(shù)列5｝的最小項(xiàng).

例：已知數(shù)列｛%J的通項(xiàng)公式是an-(n+2)xG)(nEN*)，試問數(shù)列｛%J中有

沒有最大項(xiàng)？若有,求出最大項(xiàng)和相應(yīng)的項(xiàng)數(shù);若沒有,說明理由.

7、等差數(shù)列與等比數(shù)列對(duì)比

等差數(shù)列等比數(shù)列

定

義

公

1.NS!■CL=2,Sn=

式n

性

質(zhì)1.a,b,c成等差數(shù)列=>稱b為a與c1.a,b,c成等比數(shù)列=>稱b為a

的等差中項(xiàng)2,若m+九=p+q,則與c的等比中項(xiàng)2.若租+九=p+q,則

8、證明數(shù)列為等差數(shù)列的方法：

(1)定義法:an-冊(cè)_1=d(d為常數(shù),n>2)?｛%J為等差數(shù)列；

(2)中項(xiàng)法:2an+1=an+an+2<=>｛an］為等差數(shù)列;

(31通項(xiàng)法:冊(cè)為九的一次函數(shù)0｛an］為等差數(shù)列；

2

(4)前n項(xiàng)和法:Sn=An+Bn或S兀=迎詈2。

9、等差數(shù)列的性質(zhì)：

(1)在等差數(shù)列中，若m+n=p+kam+an=ap+ak(jn>n、p、kEN+)。

(2)在等差數(shù)列｛冊(cè)｝中，以、a2k,Q3k、*八…仍為等差數(shù)列,公差為

(3)若｛冊(cè)｝為等差數(shù)列，則品、S2k-Sk.S3LS24…仍為等差數(shù)列，公差為k2do

_________________________^2k_________________________

+。2+。3+…+耿+G/C+1++a2k+a2k+l+…+a3k

Sks2k~sks3k~s2k

⑷等差數(shù)列的增減性:d>0時(shí)為遞增數(shù)列，且當(dāng)?shù)?lt;0時(shí)前n項(xiàng)和Sn有最小值。

(5)等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)是的,公差為d0

2

若其前n項(xiàng)之和可以寫成Sn—An+Bn,則A==%—g,當(dāng)dH0時(shí)它表示

2

二次函數(shù)數(shù)列｛%J的前n項(xiàng)和Sn=An+Bn是［an｝成等差數(shù)列的充要條件。

10、對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題的三中方法：

(1)利用即:西當(dāng)?shù)?gt;0,d<0,前幾項(xiàng)和有最大值，可由與工0且an+1<0，求得n

的直

(2)當(dāng)?shù)?lt;0,d>0,前幾項(xiàng)和有最小值，可由即W0且an+1>0，求得n的值。

注意:求Sn的最值時(shí)，當(dāng)冊(cè)=0時(shí)幾取兩個(gè)值。

(2)利用Sn:由%=9層+(%—9九利用二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值。

(3)利用函數(shù)的單調(diào)性

11、等比數(shù)列的判定與證明方法：

(1)定義法:若如i=q(neN+，qH0)或?-=q(n>2,nEN,q0)，則｛%J是

anan-l+

等比數(shù)列。

(2)等比中項(xiàng)法:若數(shù)列｛4｝中,即H0且a"1=an-an+2(jiE7V+)，則｛%J是等比

數(shù)列。

(3)通項(xiàng)公式法:若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an-c-q%0,q0,nE7V+)，則是

等比數(shù)列。

12、等比數(shù)列的性質(zhì)

(1)等比中項(xiàng):如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a、G、b成等比數(shù)列，那么稱這個(gè)

數(shù)G為a與b的等比

中項(xiàng)。即G=±VaF(a>b同號(hào)%

(2)等比中項(xiàng)的性質(zhì)：

(1)。九一。九-1,(幾—2);a九一*。九+左(">k>0);

(2)若m+n=p+々，則?。九二即?以。

(3)數(shù)列｛aj首項(xiàng)是的,公比為%,數(shù)列｛,｝首項(xiàng)為瓦，公比為Q2，則數(shù)列｛冊(cè)?%｝

是首項(xiàng)為的?瓦,公比為qi-q2的等比數(shù)列，同理數(shù)列｛署是首項(xiàng)為黃，公比為差的

等比數(shù)列。"1"

a

(4)在公比為q的等比數(shù)列｛%J中，數(shù)列am,c1m+八a?n+2k、m+3k…仍是等比數(shù)

列。

(5)公比為qt數(shù)列品、S2k-Sk.S3k—S2k、…仍是等比數(shù)列(此時(shí)qH—l)。

S2k

aa

ar+a2+a3-\----cck+ak+1H-----Fa2k+2k+i+…+3k

Sks2k~sks2k~s2k

13、遞推數(shù)列的類型以及求通項(xiàng)方法總結(jié)：

(1)定義法:等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:an-ar+(n-l)d或=<2瓶+(九一m)d0

n-1nm

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:冊(cè)=%?(7(a1-q0)an-am-q~(n>m)

na

(2)做差法：由冊(cè)與%(即的+a2T■…+an=/())的關(guān)系求an>n=

伍，n-1

(Sn-Sn_i，n>2°

(3)累加法：由an+1-an-f(n)求an,an=(an-an_1)4-(an_1-an_2)H"…+

(a2一%)+?!(?!>2)o

⑷累乘法：已知皿=汽n)求通項(xiàng)冊(cè),即=W??的⑺22)。

anan-lan-2al

(5)已知遞推關(guān)系求樂用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)：

形如an+1-pan+f(n)，只需構(gòu)造數(shù)列｛?。?消去/'(n)帶來的差異,/(九)的形式有:

(1)f(n)為常數(shù)，即遞推公式為an+1-pan+q(其中p、q均為常數(shù)且pq(p-1)H

0)o

解法:先設(shè)參轉(zhuǎn)化為an+1+丸=p(an+A)，其中A=吉，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比

數(shù)列求解。0

(2)f(n)為一次多項(xiàng)式，即遞推公式為an+1-p-an+r-n+s0

2

(3)f(n)為n的二次式,則可設(shè)bn=an+An+Bn+Co

n

遞推公式為an+1-p-an+q(其中p、q為常數(shù)且pq(p-l)(q-1)H0)或

n

an+1-p-an+r-q(其中p、q、r君常數(shù))。

解法:一般地要先在原遞推公式兩邊同除以qn+1,得:鬻=??號(hào)+二引入輔助數(shù)列

qn+1qqnq

也｝(其中.=符，得:刈+1巧4+5，再應(yīng)用類型⑴的方法解決。

遞推公式為an+2=p-an+1+q-an(其中p、q均為常數(shù))。

解法:先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+2-s?an+1=t(an+i-s-an')，其中s、t滿足

篦丁，解出s、》，于是

(an+1-san)是公比為t的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類型。形如an=或

?n-i-b-an^k-an-an_1的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)?！?/p>

形如即+1=p?成型，該類型是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為前邊的類型，然后再用遞推

法或待定系層構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)。兩邊取對(duì)數(shù)IgCln+l=lg(P-An)=IgP+丁?

lgan，設(shè)%=lg%t,原等式變?yōu)?+i=r?bn+Igp即爰為基本型。14、數(shù)列的求和

方法：

(1)等差數(shù)列求和:Sn="迦=刖=71al+也押；SM+聯(lián)=Sm+

Sn+mndo

nar(Q=1)

(2)等比數(shù)列求和:Sn=卜式…)=.。1一。"r,；^m+n=++

、1-q-1-q〈I)

q"m。

(3)分組求和法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成幾項(xiàng)使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求和。

對(duì)于求\an\的前幾項(xiàng)和的問題一般都是分類討論。

(4)倒序求和法:將數(shù)列的順序倒過來排列,與原數(shù)列兩式相加,若有公因式可提,并

且剩余項(xiàng)的和易于求出,這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和。

(5)裂項(xiàng)相消法:就是把數(shù)列的各項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)之差,相鄰的兩項(xiàng)彼此相消，只余有限

幾項(xiàng),就可以化簡后求和。適用條件：

(1)[^―]其中｛%J是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列,c為常數(shù)，可拆解為=

^-anan+l^anan+l

(2)部分無理數(shù)列=-(Van+1~瘋0。

(6)一些常用的裂項(xiàng)公式：

⑴]二_.⑵」一=_________="二______M?

I)n(n+l)nn+1'1J4n2-l(2n-l)(2n+l)2\2n-l2n+lJ'

(3)—=-f---);(4);「=VnTT-Vn;(5);(6)

iJn(n+2)2\nn+2/'Jy/n+l+y/nvJn(n+k)k\nn+kj'J

_____i_____二M____________1

n(n+l)(n+2)2Ln(n+1)(n+1)(n0+2)J°

(7)常見放縮公式：

⑴2(訴了1一加=焉赤<2<赤磊與=2(的一詬[1)；

(2)/〈含皂居:一言)；

')kk+1fc(fc+l)k2fc(fc-l)k-1k'

(8)錯(cuò)位相減法:主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘得的新數(shù)列求

和。(9)周期法:有的數(shù)列是周期數(shù)歹U,把握了數(shù)列的周期則可順利求和。

【重要方法總結(jié)】

1、特殊遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式

數(shù)列數(shù)列通項(xiàng)公式

2

_ac1rl+b不動(dòng)點(diǎn)遞推法.令:an+1-an-x，即ex-(a—d)x-b-0;

an+1

~can+d解出兩個(gè)根為%6.(1)當(dāng)aH0時(shí)，■f=k學(xué)(k=

號(hào)l)，數(shù)列｛腎｝是以告!為首項(xiàng)，k%公比的W比數(shù)列(2)

當(dāng)a=0時(shí),=」+k(k=—)，數(shù)列｛—)是以

an+1-aan-a\ac+d/Van-a)

上為首項(xiàng),k為公差的等差數(shù)列.

ar—a

即+i=P&+(1)當(dāng)p+q=1時(shí),冊(cè)=a+(人到―…].(2)當(dāng)p+q。1

qanT—、i+Q

a=aa

a,a2=b時(shí)，設(shè)&i+i—仇“九二夕(。九一打狐一i)與n+lPn+Qn-1比

較，得｛;1『匚:，可知:a,6是方程x2-px-q^0的兩根’

容易求得a,0.當(dāng)aH0時(shí)，特征根解方程法:令％t=久?a71+

數(shù)列數(shù)列通項(xiàng)公式

n

y?0，將alta2代入即可.當(dāng)a=0時(shí)，特征根解方程法:令即=

n

(xn+y)a，將a1(a2代入即可.

Fn=Fn-1+Fn-2(1)定義:一個(gè)數(shù)列,前兩項(xiàng)都為1,從第三項(xiàng)起,每一項(xiàng)都是前兩

尸0=a=1斐波項(xiàng)之和.⑵通項(xiàng)公式:Fn=/(竽y-(H]⑶性質(zhì)：

那契數(shù)列（黃金分

割數(shù)列）憂+諼+-->W=anan+l

aa

n+l~Pn+(1)當(dāng)p+q=1時(shí),an+1-an--q(,an-an_^+A，繼續(xù)構(gòu)造

qan-i+Aa-^—法，迭加法求出冊(cè).(2)當(dāng)p+q。1時(shí)，設(shè)an+1-aan=

CL=b2

f0(an-aa^i)+Aa,p是方程x-px-q-0的兩根，容易求

nn

得a,0.當(dāng)aH0時(shí),特征根解法:an-x-a+y-p+z，代入

n

a1,a2,&3可解.當(dāng)a=0時(shí)，特征根法:an=(xn+y)a+z，代

入alta2,a3可解.

周期數(shù)列數(shù)列｛%J滿足:a=a-a(nEN,)、a=如^⑺>3)

n+2n+1nnan-l

則是周期為6的數(shù)列,計(jì)算出前6個(gè)數(shù)列值,整個(gè)數(shù)列就都

知道了.

3、幾個(gè)特殊數(shù)列的和

自然數(shù)列的和：1+2+3+4+……+九=的!西

平方數(shù)列的和：1+22+324-42+....+n2--n(n+l)(2n4-1)

6

立方數(shù)列的和：1+23+33+43+……+小=件受平

奇數(shù)列的和：1+3+5+....+(2n-1)=n2

4、裂項(xiàng)求和中的方法

(1)適用條件:適用于題目所給數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)為分式形式的數(shù)列求和.

(2)核心步驟:需把題目所給數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行列項(xiàng).其中:k=抖

大分母一小分母

列項(xiàng)公式:小分母X大分母=k(小分母-大分母)

(3)常見放縮方式：

(1)形如(n+i)2，常放縮為n(n+1)>(n+i)2-(n+i)(n+2)；

⑵形如備，常放縮為關(guān)，譬如《〉念之藐W

(3)形如而彳，常放縮為赤??赤+后I

【課本優(yōu)質(zhì)習(xí)題匯總】

新人教A版選擇性必修二P9

4.已知數(shù)列｛%J的第1項(xiàng)是1,第2項(xiàng)是2,以后各項(xiàng)由an=an_i+an_2(n>2)給

出.

(1)寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)；

(2)利用數(shù)列｛%J，通過公式刈=皿構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列

an

13610

,口

I4

15

(第5題)

[bn]，試寫出數(shù)列｛%｝的前5項(xiàng).

5.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù).他們根據(jù)沙粒或

小石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖中第一行的1,3,6,10稱為三角形數(shù)，第二

行的1,4,9,16稱為正方形數(shù)，第三行的1,5,12,22稱為五邊形數(shù).請(qǐng)你分別寫出三角

形數(shù)、正方形數(shù)和五邊形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列的第5項(xiàng)和第6項(xiàng).

6.假設(shè)某銀行的活期存款年利率為0.35%,某人存人10萬元后,既不加進(jìn)存款也不

取款,每年到期利息連同本金自動(dòng)轉(zhuǎn)存.如果不考慮利息稅及利率的變化用an表示

第九年到期時(shí)的存款余額，求的,<22，&3及an.

新人教A版選擇性必修二P9

7.已知函數(shù)/(%)=eR)，設(shè)數(shù)列｛時(shí)｝的通項(xiàng)公式為an=/(n)(nGN*).

⑴求證an>|.

(2)是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？為什么？

新人教A版選擇性必修二P18

3.在等差數(shù)列｛an｝中,冊(cè)=科=九,且nHm,求am+n.新人教A版選擇性必修

二P23

5.已知一個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù),其中所有奇數(shù)項(xiàng)的和為290,所有偶數(shù)項(xiàng)的和為

261.求此數(shù)列中間一項(xiàng)的值以及項(xiàng)數(shù).

新人教A版選擇性必修二P23

5.已知數(shù)列｛an)的通項(xiàng)公式為an=梟，前n項(xiàng)和為S0.求右取得最小值時(shí)n的

值.”

新人教A版選擇性必修二P25

3.(1)求從小到大排列的前71個(gè)正偶數(shù)的和.

(2)求從小到大排列的前n個(gè)正奇數(shù)的和.

(3)在三位正整數(shù)的集合中有多少個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)？求這些數(shù)的和.

⑷在小于100的正整數(shù)中,有多少個(gè)數(shù)被7除余2這些數(shù)的和是多少？

新人教A版選擇性必修二P25

5.已知一個(gè)多邊形的周長等于158cm，所有各邊的長成等差數(shù)列，最大的邊長為

44cm，公差為3cm.求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

6.數(shù)列｛aj｛%｝都是等差數(shù)列，且?i=5,瓦=15,a1004-b100—100,求數(shù)列

(an+bn｝的前100項(xiàng)的和.

7.已知Sn是等差數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和.

(1)證明｛事｝是等差數(shù)列；

(2)設(shè)Tn為數(shù)列閨的前n項(xiàng)和，若S4=12,S8=40,求九

8.已知兩個(gè)等差數(shù)列2,6,10,…,190及2,8,14,…,200，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按

從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列.求這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和.

新人教A版選擇性必修二P26

12.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為

“三角垛"."三角垛”的最上層有1個(gè)球,第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……設(shè)各層

球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列.

(1)寫出數(shù)列｛an｝的一個(gè)遞推公式；

*(2)根據(jù)(1)中的遞推公式，寫出數(shù)列｛an)的一個(gè)通項(xiàng)公式.

糜

新人教A版選擇性必修二P34

5.已知數(shù)列｛%J的通項(xiàng)公式為an=a，求使an取得最大值時(shí)n的值.

新人教A版選擇性必修二P37

2.已知aWb,且abW0,對(duì)于幾GN*,證明：

a九+i_5九+1

a71+an~1b+an-2b2+???+abn~r+bn=----------：-----.

a-b

5.如果一個(gè)等比數(shù)列前5項(xiàng)的和等于10,前10項(xiàng)的和等于50,那么這個(gè)數(shù)列的公

比等于多少？

新人教A版選擇性必修二P40

1.一個(gè)乒乓球從1m高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度都是原來高度的

0.61倍.

(1)當(dāng)它第6次著地時(shí),經(jīng)過的總路程是多少(精確到1cm)?

(2)至少在第幾次著地后，它經(jīng)過的總路程能達(dá)到400cm?

新人教A版選擇性必修二P41

3.求和：

(1)(2-3X5-1)+(4-3X5-2)+…+(2九—3X5—);

(2)1+2%+3x2+—Fnxn-1.

新人教A版選擇性必修二P41

5.已知S*是等比數(shù)列｛%J的前n項(xiàng)和,S3，Sg,S6成等差數(shù)列.求證:a2,as,a5成等差

數(shù)列.

6.求下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式和一個(gè)前n項(xiàng)和公式：

1,11,111,1111,11111,-??

7.已知數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)的=1,且滿足an+1+冊(cè)=3X.

⑴求證:5-2町是等比數(shù)列.

(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.

8.若數(shù)列｛七｝的首項(xiàng)的=1，且滿足an+1=2an+1,求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前

10項(xiàng)的和.

9.在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)Ro是指在沒有外力介人，同時(shí)所

對(duì)于Ro>1，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者,以控制傳染源,切斷傳

播途徑.

有人都沒有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù).Ro一般由疾病的感染周

期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定.假設(shè)某種傳染

病的基本傳染數(shù)&=3.8，平均感染周期為7天，那么感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增

加到1000人大約需要幾輪傳染？需要多少天？(初始感染者傳染Ro個(gè)人為第一輪

傳染，這Ro個(gè)人每人再傳染Ro個(gè)人為第二輪傳染……)

10.已知數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列,臼=1024，公比q=之.若7；是數(shù)列｛an)的前n項(xiàng)

積，求Tn的最大值.

1L已知數(shù)列｛&J的首項(xiàng)的=2且滿足an+i=

52Cl九T1

⑴求證:數(shù)列｛￡-1］為等比數(shù)列.

(2)若工+工+工+,一+二＜100，求滿足條件的最大整數(shù)n.

aaa

i。23n

12.已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列,%=1,。3=2/+1,前n項(xiàng)和為s…數(shù)列｛%｝滿足

%.求證:

n

(1)數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列；

(2)數(shù)列｛an｝中的任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等比數(shù)列.

新人教A版選擇性必修二P55

(2)《萊因德紙草書》(RhindPapyrus)是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有一

道這樣的題目,請(qǐng)給出答案:把100個(gè)面包分給5個(gè)人,使每人所得面包個(gè)數(shù)成等差

數(shù)列,且使較大的三份之和的巳是較小的兩份之和，則最小的一份為().

(A)|(B)三?|(D)3

(3)如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法

是:從一個(gè)正三角形開始，把每條邊分成三等份,然后以各邊的中間一段為底邊分別

向外作正三角形,再去掉底邊.反復(fù)進(jìn)行這一過程,就得到一條“雪花”狀的曲線.設(shè)原

正三角形(圖(1)的邊長為1,把圖(1)、圖(2)、圖(3)中圖形的周長依次記為

&。2,。3,品，則品=().(A)等(B瑞(C)g(D)翳

(1)(2)(3)(4)

(第3(3)題)

新人教A版選擇性必修二P56

10.任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù),就將該數(shù)乘3再加上1;若是偶數(shù),就將該數(shù)除以2.

反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)人循環(huán)圈這就是數(shù)

學(xué)史上著名的“冰雹猜想"(又稱“角谷猜想”等).如取正整數(shù)租=6，根據(jù)上述運(yùn)算

法則得出6-3-10-5-16-8-4-2-1,共需經(jīng)過8個(gè)步驟變成1(簡稱

為8步“雹程”).

現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：

口加料加“1、產(chǎn)甲r4,T敕粘、(半，當(dāng)時(shí)為偶數(shù)時(shí)，

2

已知數(shù)列滿足:%-m(m為正整數(shù)),an+1=｛

(3an+1,當(dāng)即為奇數(shù)時(shí)

⑴當(dāng)租=17時(shí)，試確定使得an=1需要多少步看程；

(2)若@8=1,求租所有可能的取值集合M.

11,已知等差數(shù)列｛an)的前幾項(xiàng)和為％,且S4=4s2,a2n=2an4-l(neN*).

(1)求數(shù)列｛an)的通項(xiàng)公式；

n

(2)若“=3t，令cn=anbn，求數(shù)列｛”｝的前n項(xiàng)和Tn.

12.已知等比數(shù)列｛an)的前n項(xiàng)和為Sn，且an+1=2Sn+2(nGN*).

(1)求數(shù)列｛an)的通項(xiàng)公式.

(2)在冊(cè)與an+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為dn的等差數(shù)列，

在數(shù)列K｝中是否存在3項(xiàng)dm,dk,dp(其中m,k,p成等差數(shù)列)成等比數(shù)列？若存

在,求出這樣的3項(xiàng);若不存在,請(qǐng)說明理由.

新人教A版選擇性必修二P56

13.類比等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、常用性質(zhì)等,發(fā)現(xiàn)它們具有如下的

對(duì)偶關(guān)系：只要將等差數(shù)列的一個(gè)關(guān)系式中的運(yùn)算"十"改為"x一"改為“"，正整

數(shù)倍改為正整數(shù)指數(shù)幕，相應(yīng)地就可得到等比數(shù)列中一個(gè)形式相同的關(guān)系式,反之

也成立.

（1）根據(jù)上述說法,請(qǐng)你參照下表給出的信息推斷出相關(guān)的對(duì)偶關(guān)系式；

稱

等差數(shù)列｛%J等比數(shù)列｛%｝

定

。九+

義1=d

通

nm

項(xiàng)bn=瓦qZ=bmq-

公

式

常

用(1)+an—a2+o-n-x—+CLn_2—t??(1)(2)(3)若m+n—k+

性(2)a_+a=2a(n>k)(3)(4)

nkn+kn(m,n,k,lGN*),則bnbm=

質(zhì)□1+0.2+…+Q-ri~］屹1+bM(4)

（2）在等差數(shù)列｛%J中，若a2018=0，則有

%+++CLn=a1+a2++&4035-71（九CN*,Tl<4035）.

相應(yīng)地，在等比數(shù)列也｝中，若b2019=1，請(qǐng)你類比推測出對(duì)偶的等式,并加以證明.

新人教A版選擇性必修二P57

14.在2015年蘇州世乒賽期間,某景點(diǎn)用

（第14題）

乒乓球堆成若干堆“正三棱雉”形的裝飾品,其中第1堆只有1層，就一個(gè)球;第

2,3,4,…堆最底層（第一層）分別按圖中所示方式固定擺放,從第二層開始,每層的小

球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球.記第n堆的乒乓球總數(shù)為

f(n).

(1)求出/(3);

(2)試歸納出f(n+1)與f(n)的關(guān)系式,并根據(jù)你得到的關(guān)系式探求f(n)的表達(dá)式.

參考公式:I2+22+—\-n2--n(n+l)(2n+1).新人教A版選擇性必修二P57

6

15.有理數(shù)都能表示成：(租,71eZ,且nH0,TH與律互質(zhì))的形式，進(jìn)而有理數(shù)集Q=

｛引犯"eZ,且”0,租與n互質(zhì)｝.任何有理數(shù);都可以化為有限小數(shù)或無限循

笳小數(shù).反之，任一有限小數(shù)也可以化為友的形式而是有理數(shù);那么無限循環(huán)小數(shù)

n

是不是有理數(shù)？思考下列問題：

(1)1.2是有理數(shù)嗎？請(qǐng)說明理由.

(2)1,24是有理數(shù)嗎？請(qǐng)說明理由.

16.平面上有九5eN,"23)個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在同一條直線上.過這些點(diǎn)中

任意兩點(diǎn)作直線,這樣的直線共有多少條？證明你的結(jié)論.

*17.數(shù)學(xué)歸納法還有其他變化形式,例如,將數(shù)學(xué)歸納法中的第(1)步保持不變,第

(2)步改為“以"當(dāng)n0<n<k｛kEN*,k>n0)時(shí)命題成立'為條件，推出‘當(dāng)n=k+

1時(shí)命題也成立；也可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明

方法稱為第二數(shù)學(xué)歸納法.試用第二數(shù)學(xué)歸納法證明如下命題：

若數(shù)列｛乳｝滿足F1=1,F2=1,0=Pn-1+Fn_2(n>3,nEN*)(｛片｝稱為斐波那

契數(shù)列)，則其通項(xiàng)公式為片=同代回f-(DJ.

新人教B版選擇性必修三P8

(5)已知函數(shù)/(%)=矢H設(shè)數(shù)列｛%J的通項(xiàng)公式為an-f(n)，其中neN+.

(1)求證:1Wtin<2；

(2)判斷是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列,并說明理由.

(4)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為即="+2n，則168是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？如果

是,求出是第幾項(xiàng);如果不是,說明理由.

(4)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將1,3,6,10等數(shù)稱為三角形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)總可

以擺成一個(gè)三角形,如下圖所示.把所有的三角形數(shù)按從小到大的順序排列,就能構(gòu)

成一個(gè)數(shù)列｛an｝，寫出a5,a6以及an.

(第4題)

新人教B版選擇性必修三P

(2)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為S"=M一正,求｛an｝的通項(xiàng)公式.

⑷如圖，已知直線=%與曲線C：y=0，設(shè)Pi為

(第4題)

曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)過P1作無軸的平行線交［于＜22,過Q2作X軸的垂線交曲

線。于「2；再過22作無軸的平行線交［于＜?3，過＜23作X軸的垂線交曲線C于

P-3...設(shè)點(diǎn)…，2,…的縱坐標(biāo)分別為0-1,&2,…,冊(cè),…，試求數(shù)列｛%J的前兩

項(xiàng)以及遞推關(guān)系.新人教B版選擇性必修三P15

(3)已知數(shù)列｛an)的通項(xiàng)公式為an=需，它的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)是第幾項(xiàng)？最小

項(xiàng)是第幾項(xiàng)？''

(4)已知函數(shù)/(x)=￡詈，構(gòu)造數(shù)列an-f(n).

(1)求證:an＞—2;

(2)數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？為什么？

(5)寫出數(shù)列1,2,2,4,3,8,4,16,5,…的一個(gè)通項(xiàng)公式.

(6)已知數(shù)列［an］中，前n項(xiàng)和S"=等，求｛an｝的通項(xiàng)公式.新人教B版選擇性必

修三P22

(4)已知安裝在一個(gè)公共軸上的5個(gè)皮帶輪的直徑成等差數(shù)列，其中最大的與最小

的皮帶輪的直徑分別為216mm與120mm,求中間3個(gè)皮帶輪的直徑.

已知一個(gè)無窮等差數(shù)列的首項(xiàng)為由,公差為d.

(1)將數(shù)列的前m項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)依次構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是,它的首

項(xiàng)與公差分別為多少？

(2)取出數(shù)列中的所有序號(hào)是奇數(shù)的各項(xiàng)，依次構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列,這個(gè)數(shù)列是等差

數(shù)列嗎？如果是,它的首項(xiàng)與公差分別為多少？

(3)取出數(shù)列中的所有序號(hào)是7的倍數(shù)的各項(xiàng)，依次構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列,這個(gè)數(shù)列是

等差數(shù)列嗎？如果是,它的首項(xiàng)與公差分別為多少？

新人教B版選擇性必修三P27

等差數(shù)列14,11,8,...前多少項(xiàng)的和最大？為什么？

在兩位數(shù)的正整數(shù)中,有多少個(gè)除以3余1的數(shù)？求它們的和.

(4)已知一個(gè)凸n邊形內(nèi)角的度數(shù)按從小到大構(gòu)成等差數(shù)列，且最小角為40。,公差

為20。,求n的值.新人教B版選擇性必修三P27

如果一個(gè)三角形的3個(gè)內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列,這個(gè)三角形3個(gè)內(nèi)角的大小能確定

嗎？你能得到什么結(jié)論？

(2)已知等差數(shù)列｛%J中,d=-5,a10=-2，求這個(gè)數(shù)列前8項(xiàng)的和.

(2)記等差數(shù)列｛an)的前n項(xiàng)和為S…已知S。<0,Slo>0，則此等差數(shù)列的前多少

項(xiàng)和最??？

(4)在等差數(shù)列中，已知&3+=6，求S13.新人教B版選擇性必修三P28

如果一個(gè)三角形的3個(gè)內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列,這個(gè)三角形3個(gè)內(nèi)角的大小能確定

嗎？你能得到什么結(jié)論？

(2)已知等差數(shù)列｛冊(cè)｝中,d=-5,a10=-2，求這個(gè)數(shù)列前8項(xiàng)的和.

(2)記等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為Sn,已知S。<0,Si0>0，則此等差數(shù)列的前多少

項(xiàng)和最?。?/p>

(4)在等差數(shù)列｛an｝中，已知a3+a》=6,求S13.

(3)已知函數(shù)/(n)=|n-l|+|n-2|+|n-3|-f■…+\n-20|淇中律是自然數(shù).

(1)分別計(jì)算/(1),/(5)/(20)的值；

(2)當(dāng)n為何值時(shí),/(九)取得最小值？最小值是多少？

(2)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中說:九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤纏;次第每

人多十七,要將第八數(shù)來言;務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳.說的是，有996斤棉

花要贈(zèng)送給8個(gè)子女做旅費(fèi),從第1個(gè)孩子開始,以后每人依次多17斤,直到第8

個(gè)孩子為止……你能根據(jù)這些信息算出每人分得了多少棉花嗎？

新人教B版選擇性必修三P36

當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的首項(xiàng)與公比滿足什么條件時(shí)，這個(gè)數(shù)列是遞增數(shù)列？

n

(4)求證:{an)為等比數(shù)列的充要條件是an=kq，其中都是不為0的常數(shù).

下圖(1)是一個(gè)邊長為1的正三角形,將每邊3等分,以中間一段為邊向外作正三角

形，并擦去中間一▲段，得圖(2),如此繼續(xù)下去，得圖⑶……試求第九個(gè)圖形的周長和面

*

*

⑴⑵⑶

新人教B版選擇性必修三P42

(1)計(jì)算.

(110.9+0.99+0,999+…+0,999--9;

lnT9

(2)(a-1)+(a?-2)+…+(a"—n),aH0,aeR.

如果一個(gè)等比數(shù)列前5項(xiàng)的和等于10,前10項(xiàng)的和等于50,那么這個(gè)數(shù)列前15

項(xiàng)的和等于多少？

(3)已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為-1,前n項(xiàng)和為,如果羋=蕓，求S8.

新人教B版選擇性必修三P42

(4)已知數(shù)列｛%J的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)O,S。在函數(shù)y=2—2x3"的圖象上，求數(shù)

列｛an)的通項(xiàng)公式.

我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍力口增,

共燈三百八十一,請(qǐng)問尖頭幾盞燈？意思是,一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩

層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,求塔頂層燈的數(shù)目.你能求出來嗎？

新人教B版選擇性必修三P43

(2)求a,+02b2與4+a2b2(其中abH0)的等比中項(xiàng).

已知一個(gè)正三角形邊長為a,以此正三角形的高為邊作第2個(gè)正三角形，以此類推繼

續(xù)作正三角形.求前10個(gè)正三角形的周長之和.

(3)設(shè)｛aj是等比數(shù)列，且an>0，證明數(shù)列｛lg%J是等差數(shù)列,并求出這個(gè)等差數(shù)

列的首項(xiàng)與公差.新人教B版選擇性必修三P44

⑹設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，已知扣3與打4的等比中項(xiàng)為力5，且

與的等差中項(xiàng)為1,求｛%J的通項(xiàng)公式.

(2)已知等比數(shù)列｛a"的前n項(xiàng)的積為Tn,WflTn=a1a2a3an_ran，又已知a1=

4,q=，求此，及7；的最大值.

新人教B版選擇性必修三P44

(1)求1x2+2x22+3x23+…+九x2rl的值.

(2)在數(shù)列｛an｝中,Sn+1=40n+2,%=1.

(1)設(shè)%=an+1-2斯,求證:數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列；

(2)設(shè)“=聚，求證:數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列；

(3)求數(shù)列｛an)的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式.

(2)設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)于任意的正整數(shù)都有Sn