2024年高考數(shù)專項復習：常用邏輯用語

常用邏輯用語2024年高考數(shù)專項復習

知識點一：命題的概念

回顧1：什么是命題？

例1.判斷下列語句是否為命題？若是命題，則判斷其真假.

(1)空集是任何集合的子集；

(2)若allc,bile,則allb；

(3)若x?=l,則無=1；

(4)x＞5；

(5)難道正弦函數(shù)不是周期函數(shù)嗎？

知識點二：命題的結構

回顧2：一種特殊形式的命題

例2.(1)若allc,bile,則a//b；

(2)若必=1,則x=l.

例3.將下列命題改寫為“若p,則q”的形式，并判斷其真假.

(1)垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；

(2)對角線相等的平面四邊形是矩形.

解析：有一些命題雖然表面上不是“若p,則q”的形式，但適當?shù)母膶?/p>

后可以寫成“若P，則q”的形式，那么就能很清楚地看出其條件和結論.

解：(1)“若兩個平面垂直于同一條直線，則這兩個平面平行”，真命題.

(2)“若一個平面四邊形的兩條對角線相等，則這個四邊形是矩形”，

假命題.

知識點三：四種命題

四種命題

例4.給出如下四個命題：

(1)若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；若p,則q.

(2)若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)；若q,則p.

(3)若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù)；I-----＞若”則

(4)若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù).I-----＞若“貝卜p.

分析：（1）與（2）、（3）、（4）的關系.

（2）的條件是（1）的結論，結論是（1）的條件；

（3）的條件是（1）的條件的否定，結論是（1）的結論的否定；

（4）的條件是（1）的結論的否定，結論是（1）的條件的否定.

四種命題

原命題1“若P，則q."?------------?逆命題“1若q,則p.”

否命題“若rp,貝Gq."------------?逆否命題”若rq,貝卜p.”

例5寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷四種命題的真假.

（1）若=0,則/+A?=0；

（2）若x=l,則x?-3x+2=0；

（3）若一個三角形有兩條邊相等，則這個三角形有兩個角相等.

解析：

（1）原命題：若應?=0,則/+/=0；假命題

逆命題：若〃+廿=。，則曲=0；真命題

否命題：若他00,則真命題

逆否命題：若則他W0.假命題

（2）原命題：若x=l,則/一3%+2=0；真命題

逆命題：若V—3x+2=0,則x=l；假命題

否命題：若xwl,則無2—3%+2#0；假命題

逆否命題：若爐―3x+2/0,則九A1.真命題

（3）原命題：若一個三角形有兩條邊相等，則這個三角形有兩個角相等;

真命題

逆命題：若一個三角形有兩個角相等，則這個三角形有兩條邊相等;

真命題

否命題：若一個三角形沒有兩條邊相等，則這個三角形沒有兩個角

相等；真命題

逆否命題：若一個三角形沒有兩個角相等，則這個三角形沒有兩條

邊相等.真命題

例5答案匯總

原命題逆命題否命題逆否命題

(1)假真真假

(2)真假假真

(3)真真真真

原命題“若p,則q."V-----------?逆命題”若q,則p.”

1XI

否命題“若rp,貝kq."?-----------?逆否命題”若rq,貝卜p.”

如果兩個命題互為逆否命題，則它們具有相同的真假性.

例6.設原命題：若。+匕22,則凡。中至少有一個不小于1.寫出其逆

命題，并判斷原命題及其逆命題的真假.

解析：逆命題：若。，。中至少有一個不小于1,則0+522.

很容易判斷逆命題為假命題，如a=l,b=-l,a+3=0<2.對于原命

題，很容易判斷其是真命題，但從正面似乎不大容易說清楚理由.考慮利

用逆命題與其同真假來說明.

答案：逆命題（從略）是假命題.

考慮逆否命題：若a力都小于1（a<l且b<l）,則a+b<2.

顯然是真命題，所以原命題是真命題.

反思：如果從正面不容易說明命題“若p,則q”的真假，那么可以考慮

先說明其逆否命題的真假.這是有效的“以退為進”的間接做法.

練習：

寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假.

(1)若a,6都是偶數(shù)，則a+匕是偶數(shù);

(2)若m>0,則關于x的方程爐+x—wi=0有實根.

參考答案：

(1)逆命題：若a+匕是偶數(shù),則。,。都是偶數(shù)；假命題

否命題：若a,6不都是偶數(shù)，則a+匕是奇數(shù)；假命題

逆否命題：若a+b是奇數(shù)，則。，。不都是偶數(shù).真命題

(2)逆命題：若關于x的方程9+%-加=0有實根，則加>0；假命題

否命題：若mMO,則關于x的方程1+x—m=0沒有實根；假命題

逆否命題：若關于x的方程/+X一機=。沒有實根，貝卜”<0.真命題

總結：

1、可以判斷真假的陳述句是命題.

逆命題”若q,則p.”

I

逆否命題“若rq,則rp.”

如果兩個命題互為逆否命題，則它們具有相同的真假性.

充分條件與必要條件

一、回顧并引入新的概念

回顧：

判斷下列命題的真假：

(1)若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；

(2)若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)；

(3)若x>2,則x>l.

說明：如果命題“若p,則q”是真命題，那么稱p可以推出q,

并記作pnq.

如果命題''若p,則q”是假命題，那么P不能推出q,

記作p^>q.

進一步，以(3)為例：

(3)若x>2,則x>L

解析：這里p是x>2,q是x>l,并且有p=>q.

一方面，條件p足以保證結論q成立，或者說能夠“充分”保證結論q

成立.

另一方面，由于“原命題與其逆否命題等價”，所以“若x不小于1,則

x不小于2”，也就是說，X>1成立是尤>2成立的“必須要有”前提條件.

充分條件與必要條件

定義：如果命題“若p,則q”是真命題，那么記作pnq.

稱p是q的充分條件，稱q是p的必要條件.

(1)“若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)”是真命題，

則“f(x)是正弦函數(shù)"n“f(x)是周期函數(shù)”，

“f(x)是正弦函數(shù)”是“f(x)是周期函數(shù)”的充分條件，

“f(x)是周期函數(shù)”是“f(x)是正弦函數(shù)”的必要條件.

(3)命題“若x>2,則X>1”是真命題，

貝4“%>2"0“x>l”

“x>2”是“x>l”的充分條件；

“X>1”是“1>2”的必要條件.

(2)“若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)”是假命題，

則”f(x)是周期函數(shù)”與“f(x)是正弦函數(shù)”，

“f(x)是周期函數(shù)”不是“f(x)是正弦函數(shù)”的充分條件.

“f(x)是正弦函數(shù)”不是“f(x)是周期函數(shù)”的必要條件

二、例題

例1.完成下表

Pqp是q的什么條q是p的什么條

件件

X=1x2-4x+3=0

/(X)=X在

(-00,+oo)上

是增函數(shù)

X是無理數(shù)X2是無理數(shù)

a>ba+c>b+c

a>bac>bc

解析：如何判定？

——回歸定義！判斷“若p,則q"與“若q,則p”是否為真命題.

問題：為什么還要判斷“若q,則p”是否為真命題呢？

總結：在判斷p是q的什么條件時，既要判斷“若p,則q”的真假，也

要判斷“若q,則p”的真假，從而根據(jù)定義得出正確的答案.

例2.已知p：0<x<3,q：|x-l|<2,則p是4的()

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

解析：q：|x-l|<2,解得-l<x<3,亦即q：

如圖，在數(shù)軸上畫出集合P=(0,3),Q=(-l,3),/QA

I__>

-10123x

從圖中看PQ,p=>q，但q/p,所以選擇(A).

反思：充分條件和必要條件與集合之間的關系.

已知P=Q,記p：XGP,q：xeQ.

用圖形表示P^Q,于是

“若xeP,則xeQ”是真命題，即有pnq,

所以p是q的充分條件，q是p的必要條件.

問題：(1)若p是q的充分不必要條件，那么集合P,Q是什么關系？

(2)若p是q的充要條件，那么集合P,Q是什么關系？

例3設xeR,則X>2的一個必要不充分條件是().

(A)x>l(B)%<1(C)x>3(D)x<3

解析：審清題目是關鍵！

利用定義確定x>2的必要不充分條件，那么x>2是“pnq”中

的p還是q呢？

根據(jù)題意可知，需要判斷“x>2"n?

由圖可知，選擇(A)..

反思：要先確定x>2是p還是q,才能根據(jù)定義選擇正確答案.

三、總結：

(1)定義：若p=>q,稱p是q的充分條件，q是p的必要條件.

若pOq,稱p是q的充分必要條件.

(2)判斷“若p則q”與“若q則p”的真假，根據(jù)定義確定p是q的什

么條件.

(3)用集合觀點理解充分條件與必要條件.

簡單的邏輯聯(lián)結詞

一、邏輯聯(lián)結詞：且，或，非

例：給出如下命題：

(1)12是3的倍數(shù)；

(2)12是4的倍數(shù)；

(3)12是3的倍數(shù)，且12是4的倍數(shù)；

(4)12是3的倍數(shù)，或12是4的倍數(shù)；

(5)12不是3的倍數(shù)

在邏輯、數(shù)學中使用“且"、“或”、“非”三種邏輯聯(lián)結詞，用它們

和比較簡單的命題能夠構成相對復雜的命題.

例：給出如下命題：

(1)P;

(2)q；

(3)p且q；(記作p/\q)

(4)p或q；(記作pVq)

(5)非p.(記作「p)T?命題的否定

二、例題

例1將下列各組命題用“且”聯(lián)結組成新命題：

(1)P：平行四邊形的對角線互相平分，

q：平行四邊形的對角線相等；

(2)p：集合力是6的子集，

q：集合力是4y6的子集；

(3)p：%2+1>1,

q：3>4.

解析：

(1)pAq：平行四邊形的對角線互相平分且相等；

(2)pAq：集合/是/一6的子集，且是小」8的子集;

(3)pAq：X2+1>1,且3>4.

PqPAq

真真真

真假假

(1)P真，q真，pAq真;

假真假

(2)P假,q真，pAq假;

(2)P真，q假，pAq假.假假假

例2將下列各組命題用“或”聯(lián)結組成新命題:

(1)P：平行四邊形的對角線互相平分，

q：平行四邊形的對角線相等；

(2)p：集合/是/"6的子集，

q：集合/是4.6的子集；

(3)p：%2+1>1,

q：3>4.

解析：

(1)pVq：平行四邊形的對角線互相平分或相等；

(2)pVq：集合/是?-'6的子集，或是的子集;

(3)pVq：X2+1>1,或3>4.

PqPVq

真真真

(1)P真,q真，pVq真;真假真

(2)P假，q真，pVq真;

假真真

(2)P真，q假，pVq真.

假假假

例3寫出下列命題的否定：

(1)P：平行四邊形的對角線相等；

(2)p：集合/是4,6的子集；

(3)p：3>4.

解析：

(1)「p：平行四邊形的對角線不相等;

(2)P：集合/不是8的子集;

(3)rp：3W4.

(1)P真，rP假;

(2)P真，rp假;

(3)P假，P真

問題：如何判斷命題p/\q,pVq,rp的真假？

工具：真值表

pqPAqpVq「P

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

例4判斷下列命題的真假：

(1)1是奇數(shù)，且1是素數(shù)；

(2)2是素數(shù)，且3是素數(shù)；

(3)2W2；

(4)周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等;

(5)y-sinx不是周期函數(shù).

例5已知命題p：所有有理數(shù)都是實數(shù)，命題q：正數(shù)的對數(shù)都是負數(shù),

則下列命題為真命題的是()

(A)Qp)Vq(B)pAq

(C)(rp)V(rq)(D)(rp)八(rq)

例6若命題pAq的否定是假命題，則()

(A)p和q都是真命題

(B)p和q都是假命題

(C)p是真命題，q是假命題

(D)p是假命題，q是真命題

練習：

1、將下列各組命題用“且”與“或”聯(lián)結組成新命題，并判斷它們的真假.

(1)P：4G{2,3},q：2e{2,3}.

(2)p：奇函數(shù)的圖象關于原點對稱；q：728.

2、寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假.

(1)#47=-1；

(2)3是％2—9=0的根.

三、總結

(1)邏輯聯(lián)結詞：且(A),或(V),非Q).

(2)用真值表判斷命題pAq,pVq,rp的真假

工具：真值表

PqpAqpVq「P

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

全稱量詞與存在量詞

一、回顧：

下列語句是命題嗎？

(1)尤＞3；

(2)2x+l是整數(shù).

解析：命題是可以判斷真假的陳述句.

問題：如何修改上述語句能使之成為命題？

解析：給變量x賦值或給出變量x的取值范圍.

第一種修改：

(1)任意xe(4,5),都有x>3；

(2)對于所有實數(shù)x,都有2x+l是整數(shù).

解析：“所有”、“任意”等通常稱為全稱量詞，并用符號V表示.

含有全稱量詞的命題稱為全稱命題.

(1)Vxe(4,5),尤>3；

(2)VxeR,2x+leZ.

全稱命題的一般形式：\/xeM,p(x).

第二種修改：

(1)存在與6(4,5),使得x0>3；

(2)至少有一個實數(shù)x0,使得2x0+l是整數(shù).

解析：“存在”、“至少有一個”等通常稱為存在量詞，并用符號三表示.

含有存在量詞的命題稱為特稱命題.

(1)3%0e(4.5),%0>3；

(2)3/eR,2x0+leZ.

特稱命題的一般形式：3x0EM,p(X0).

二、例題

例1判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題.

(1)VxeR,x2+l>l；

(2)所有素數(shù)都是奇數(shù)；

(3)存在兩個相交平面垂直于同一條直線；

(4)有些整數(shù)只有兩個正因數(shù).

解析：通過量詞來確定命題是全稱命題還是特稱命題.

例2判斷下列命題的真假.

(1)p：VxeR,x2+2>0；

(2)p：VxeN,x4>1.

例3判斷下列命題的真假.

(1)p：3%0eZ,XQ<1；

(2)p：3%0eQ,Xg=3.

例4寫出下列命題的否定，并判斷真假:

(1)p：VXGR,x2—2x+1>0；

(2)p：所有能被3整除的數(shù)都是奇數(shù)；

(3)p：3XQeR,XQ—2x0+2>0；

(4)p：有的三角形是等邊三角形.

例5%和b都不是偶數(shù)”的否定形式是()

(A)a和b至少有一個是偶數(shù)

(B)a和6至多有一個是偶數(shù)

(C)。是偶數(shù)，6不是偶數(shù)

(D)a和b都是偶數(shù)

三、練習：

判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：

(1)每條直線在y軸上都有截距；

(2)每個二次函數(shù)的圖象都與x軸相交；

(3)存在一個三角形，它的內(nèi)角和小于180°；

(4)存在一個四邊形沒有外接圓.

答案：

(1)假；否定：存在一條直線在y軸上沒有截距；

(2)假；否定：存在一個二次函數(shù)的圖象與x軸不相交;

(3)假；否定：任意三角形的內(nèi)角和不小于180°；

(4)