2024年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)【一輪復(fù)習(xí)講義】第40講 圓與圓的位置關(guān)系及圓的綜合性問題（新高考）解析版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

第40講圓與圓的位置關(guān)系及圓的綜合性問題（精講）

題型目錄一覽

①圓與圓的位置關(guān)

系

②圓的公共弦問題

③圓的公切線問題

④圓的綜合性問題

、知識(shí)點(diǎn)梳理

一、兩圓位置關(guān)系的判斷

用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：

設(shè)兩圓的半徑分別是R/,（不妨設(shè)R>r）,且兩圓的圓心距為d,貝IJ：

+兩圓相交；d=R+r。兩圓外切；

R-r<d<R+rO兩圓相離；d=R-廠=兩圓內(nèi)切；

0Wd<R-ro兩圓內(nèi)含（d=0時(shí)兩圓為同心圓）

設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為R,r,R>r,圓心距為d,則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示:

位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

幾何特征d>R+rd—R+rR-r<d<R+rd-R-rd<R—r

代數(shù)特征無實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無實(shí)數(shù)解

公切線條數(shù)43210

【常用結(jié)論】

關(guān)于圓的切線的幾個(gè)重要結(jié)論

（1）過圓/+V=/上一點(diǎn)尸（%,%）的圓的切線方程為x/+=r2.

(2)過圓(尤-a)2+(y-6)2=尸上一點(diǎn)尸(無。,%)的圓的切線方程為

(%-a)(x-a)+(%-b\y-b)=r

(3)過圓x2+y2+Dx+Ey+F=0上一點(diǎn)的圓的切線方程為

?X+Xg

%無?——

(4)求過圓Y+y2=/外一點(diǎn)P?,%)的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)注意理解:

①所求切線一定有兩條;

②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對(duì)所求直線的斜率是否存在加以討論.設(shè)切線方程為利用圓心到

切線的距離等于半徑，列出關(guān)于左的方程，求出左值.若求出的左值有兩個(gè)，則說明斜率不存在的情形不符

合題意；若求出的左值只有一個(gè)，則說明斜率不存在的情形符合題意.

二、題型分類精講

題型二圓與圓的位置關(guān)系

畬策略方法幾何法判斷圓與圓的位置的步驟

(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長.

(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d和廠1+廠2,忻一廠2|的值.

(3)比較d,ri+「2,6一的大小，寫出結(jié)論.

22

[]]已知圓G:X?+J__2y+q-—]5=0,|51C9X'+y—4(ix—2y+4fl=0(G>0).試求0為何

值時(shí)，兩圓G,c?：

(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)含.

【答案】(1)3或5

⑵(3,5)

(3)(5,+oo)

(4)(0,3)

【分析】根據(jù)兩圓方程可確定圓心和半徑，根據(jù)兩圓位置關(guān)系可得圓心距和兩圓半徑之間的關(guān)系，由此可

構(gòu)造方程或不等式求得結(jié)果.

【詳解】（1）由圓C1方程知：圓心G（dl）,半徑1QJ4/+4-4（/-15）=4；

由圓C?方程知：圓心G（2a,l）,半徑4=+4—16。~=1；

若兩圓內(nèi)切，貝！l|GG|=k—引，即“a-2a1+（1-1）2=3,又a>0,，a=3；

若兩圓外切，貝!]|。]。2|=4+弓，即J（q_2a）2=5,又。>0,:.a=5；

若兩圓相切，貝!]°=3或5.

（2）若兩圓相交，貝也-回<|￡G|<弓+弓，即3</"20）2+（1-1）2<5,

又〃>0,.,.3<a<5,即當(dāng)〃￡（3,5）時(shí)，兩圓相交.

（3）若兩圓外離，則|C￡|>石+&，即32不+（1一廳>5,

Xa>0,:.a>5,即當(dāng)時(shí)，兩圓外離.

（4）若兩圓內(nèi)含，則CG|<k-引，即“”24+（1-1<3,

Xo>0,.,.0<a<3,即當(dāng)。?0,3）時(shí)，兩圓內(nèi)含.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023高三專題練習(xí)）兩圓/+/=9和尤2+/一8工+6、+9=0的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相交C.內(nèi)切D.外切

【答案】B

【分析】先求出兩圓的圓心和半徑,再根據(jù)圓心距與兩圓的半徑和及半徑差之間的大小關(guān)系，得出兩圓的位置

關(guān)系即可.

【詳解】解:由題知，/+/=9的圓心為（0,0）,半徑為3,

因?yàn)闋t+y2-8x+6y+9=0,

即（尤-4）2+（尸3）2=16,圓心為（4,-3）泮徑為4,

所以兩圓心之間的距離為"7百=5,

因?yàn)?-3<5<4+3,

所以兩圓相交.

故選:B

2.(2023高三專題練習(xí))已知圓弓：爐+/一4x-6y+9=0與圓C?:(尤+iy+(y+iy=9,則圓G與圓G的

位置關(guān)系為()

A.相交B.外切C.外離D.內(nèi)含

【答案】B

【分析】確定兩圓的圓心和半徑，由圓心間的距離與半徑的關(guān)系即可得解.

【詳解】圓G：*+y2-4x-6y+9=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x_2y+(y_3)2=4,圓心G(2,3),半徑為4=2,

22

?C2:(X+1)+(^+1)=9,圓心G(T，T)，半徑為弓=3,

|qc2|=J(2+1)2+(3+1)2=5=rl+r2,圓G與圓C2的位置關(guān)系為外切，

故選：B

3.(2023高三專題練習(xí))已知圓C|：(X-?)2+(J+2)2=25,圓G：(x+1)2+(y+a)2=4,若圓Q與圓C?

內(nèi)切，則實(shí)數(shù)a的值是()

A.-2B.2C.-1或2D.1或-2

【答案】C

【分析】由圓心距等于兩圓半徑之差的絕對(duì)值可得結(jié)論.

【詳解】由題可知圓心G(a,-2),半徑6=5,圓心G(T-。)，半徑2=2,因?yàn)閳AG與圓C?內(nèi)切，所以

|CC|=J(a+1)~+(-2+°)~=,_/|=3,解得a=_］或a=2.

故選：C.

4.(廣西梧州市蒼梧中學(xué)2023屆高三5月份高考數(shù)學(xué)模擬試題)若圓Y+y一辦+2y+1=0與圓/+V=1

關(guān)于直線y=x-i對(duì)稱，過點(diǎn)C(-a,a)的圓P與y軸相切，則圓心尸的軌跡方程為()

A.y2-4x+4y+8=0B.y2-2x-2y+2=0

C.y2+4x-4y+8=0D.y2-2x-y-l=0

【答案】C

【分析】求出兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)，兩個(gè)半徑，利用兩個(gè)圓關(guān)于直線的對(duì)稱知識(shí)，求出a的值，然后設(shè)出圓

心P的坐標(biāo)為(x,y),圓心到點(diǎn)C的距離等于圓心到y(tǒng)軸的距離，列出方程求出圓心P的軌跡方程.

【詳解】圓尤2+V-依+22+1=。的圓心為圓/+必=1的圓心為wo,。)，

因?yàn)閳A12+>2_〃%+2)+1=0與圓％2+丁2=1關(guān)于直線丁=龍一1對(duì)稱，

所以A3的中點(diǎn)與-1滿足直線y=l方程，解得0=2,

過點(diǎn)C(-2,2)的圓P與y軸相切，設(shè)圓心P的坐標(biāo)為(x,y),

所以J(x+2『+(y-2)2=\x\解得：y?+4x-4y+8=0,

故選：C.

5.(東北三省四城市聯(lián)考暨沈陽市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題)已知圓G：Y+9=1和圓C?:(x+/=16,

其中”>0,則使得兩圓相交的一個(gè)充分不必要條件可以是()

A.3<a<5B.3<a<6C.4<a<5D.2<a<5

【答案】c

【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍，結(jié)合充分、必要性定義確定答案即可.

【詳解】由G(0,0)且半徑4=1,C?(a,0)且半徑4=4,結(jié)合a大于0,

所以+4時(shí)，兩圓相交，則3<〃<5,

由選項(xiàng)可得A選項(xiàng)為3<?<5的充要條件；

B、D選項(xiàng)為3<a<5的必要不充分條件；

C選項(xiàng)為3<a<5的充分不必要條件；

故選：C

6.(2023高三專題練習(xí))已知圓C1：(x-4+(y+22=4與圓C2：(X+5)2+Q+I)2=I相外切,則質(zhì)的最

大值為()

9

A.2B.J17C.—D.4

【答案】A

【分析】由圓的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑，再由兩圓外切可得(。+4=8,要使必取得最大值，則。，6同

號(hào)，不妨取。>0,b>0,然后利用基本不等式求得仍的最大值.

【詳解】圓C］：(尤-a)2+(y+2)2=4的圓心為G3-2),半徑午=2,

圓G：(x+0)2+(y+l)2=l的圓心為G(-4T)，半徑1=1,

由圓G與圓C2相外切，得IGGI日+4

即7(a+^)2+(-2+l)2=3,

:.(a+b)2=8；

要使必取得最大值，則。，匕同號(hào)，不妨取〃>0,b>Qf

由基本不等式，得

...MV(審)2=3=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=亞時(shí)等號(hào)成立，

：.ab的最大值為2.

故選：A

7.(2023高三專題練習(xí))已知點(diǎn)P,。分別為圓C:/+y2=i與￡>?_7)2+y=4上一點(diǎn)，貝力PQI的最小

值為()

A.4B.5C.7D.10

【答案】A

【分析】根據(jù)兩圓位置關(guān)系求解.

【詳解】圓C的圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑4為1；

圓O的圓心坐標(biāo)為(7,0),半徑4為2；

所以兩圓的圓心距3=7-0=7>/+4，兩圓外離，

所以1尸。1mto=7-4一々=4,

故選：A.

8.(廣東省深圳市羅湖區(qū)部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期開學(xué)模擬數(shù)學(xué)試題)「?君”是“圓G：/+/=：!與

圓C?：(x+ay+(y-2a)2=36存在公切線”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用內(nèi)含的定義以及充分而不必要條件的定義求解.

【詳解】當(dāng)兩圓無公切線時(shí)，兩圓內(nèi)含，

圓的圓心為(0,0),半徑a=1,圓G的圓心為(F，2a),半徑為4=6,

所以兩圓的圓心距為d=\CxC^=J/+4/=歷，

即解得-布<”乖,

所以當(dāng)兩圓有公切線時(shí)a2下或aw-石，

所以a2正能推出圓G和G有公切線，而圓G和G有公切線不能推出a26,

所以"a2有''是"圓a：Y+丁=1與圓C2：（x+a）2+（y_24=36存在公切線”的充分而不必要條件，

故選：A.

9.（黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三下學(xué)期5月考前得分訓(xùn)練（三）數(shù)學(xué)試題）已知圓

C:（x-3）2+（y-4）2=l和兩點(diǎn)A（a,0）,B（-a,0）（d>>0）,若圓C上至少存在一點(diǎn)尸，使得NAP3>90。，則

實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.（4,6）B.（4,+oo）C.[4,+oo）D.（6,+<?）

【答案】B

【分析】由題意，圓C：（工-3）2+（了-4）2=1與圓0：/+丁2=/位置關(guān)系為相交，內(nèi)切或內(nèi)含，從而求得

實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】圓C：。一3）2+（丁一4）2=1的圓心~3,4）,半徑廠=1,

:?圓C上至少存在一點(diǎn)P,使得ZAPB>90°,

...圓C：5-3）2+（曠-4）2=1與圓0：1+產(chǎn)=1位置關(guān)系為相交，內(nèi)切或內(nèi)含，如圖所示，

又圓O：/+/="的圓心。（0,0）,半徑式入，

貝！||OC|<r+R,即a+l>5,:.a>4.

故選：B.

10.（北京市通州區(qū)2023屆高三模擬考試數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)B,C

滿足|。8|=|"|=后，OBOC^O,A為線段BC中點(diǎn)，尸為圓（x-3）2+（y-4）2=4任意一點(diǎn)，則網(wǎng)的取

值范圍是（）

A.[2,8]B.[3,8]C.[2,7]D.[3,7]

【答案】A

[分析]根據(jù)題意得A為圓O:尤②+V=1任意一點(diǎn)，設(shè)圓（尤-3）2+（y-釬=4的圓心為M,從而得到網(wǎng)為

圓O與圓M這兩圓上的點(diǎn)之間的距離，進(jìn)而即可求解.

LILUJUUL1

【詳解】由08.0C=0,則O8_LOC,

又1081=|OC|=0,且A為線段BC中點(diǎn)，則|0A|=l,

所以A為圓O-.x2+y2=1任意一點(diǎn)，

設(shè)圓（無-3>+（y-4）2=4的圓心為乂，則=5,

X|OM|=5）l+2,所以圓。與圓M相離，

所以卜葉的幾何意義為圓O與圓M這兩圓上的點(diǎn)之間的距離,

所以=|OM|+|AO|+|MP|=5+1+2=8,

明LH網(wǎng)-國T網(wǎng)=5一1一2=2,

所以的取值范圍為[2,8].

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：依題意得,耳的幾何意義為圓/+丁=1與圓（；1一3）2+。-4）2=4這兩圓上的點(diǎn)之間

的距離是解答此題的關(guān)鍵.

二、多選題

11.（湖南省長沙市雅禮中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期月考（三）數(shù)學(xué)試題）下列圓中與圓

C:尤2+/+2x-4y+l=0相切的是()

A.(x+2)2+(y+2)2=9B.(x-2)2+(j+2)2=9

C.(x-2)2+(y-2)2=25D.(x-2>+(y+2>=4

【答案】BC

【分析】求出圓C的圓心及半徑，求出圓心距，即可得出答案.

【詳解】解：圓C:x?++2x—4y+1=0,化為(x+1)+(y—2)=4,

則圓。:/+y+2X-4丫+1=0的圓心。(一1,2),半徑r=2,

對(duì)于A,圓心為(-2,-2),半徑為3,

圓心距為++(2+2『二厲,

因?yàn)?<JT7<5,所以兩圓相交，故A不符題意；

對(duì)于B,圓心為(2,-2),半徑為3,

圓心距為同-1-2)2+(2+2)2=5=2+3,

所以兩圓外切，故B符合題意；

對(duì)于C,圓心為(2,2),半徑為5,

圓心距為y/(-l-2)2+(2-2)2=3=5-2,

所有兩圓內(nèi)切，故C符合題意；

對(duì)于D,圓心為(2,-2),半徑為2,

圓心距為2)2+(2+2『=5>2+2,

所以兩圓外離，故D不符題意.

故選：BC.

12.(2023高三專題練習(xí))已知圓C:f+y2一6x+4y-3=0,則下列說法正確的是(

A.圓C的半徑為18

B.圓C截x軸所得的弦長為46

C.圓C與圓E:(x-6y+(y-2>=1相外切

D.若圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線3x+4y+%=。的距離為1,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(19,24)口(-26,-21)

【答案】BC

【分析】先運(yùn)用配方法將一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可確定其圓心個(gè)半徑;根據(jù)點(diǎn)到弦的距離可求出弦長;

圓心距和半徑的關(guān)系可確定圓與圓的位置關(guān)系；圓心到直線的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系可確定圓C上有

且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為1

【詳解】A：將一般式配方可得：(x-3『+(y+2)2=16,，%=4,A錯(cuò);

B：圓心到x軸的距離為2,弦長為2"導(dǎo)=46，B對(duì)；

C：由題意憶=4,七=1,="6-3)2+(2+2)2=5=2+/,所以圓c與圓E外切，C對(duì)；

D：圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線3x+4y+m=0的距離為1,d表示圓心與直線的距離，

:.r-\<d<r+l,貝!|3」3X3+4X(2)+W<5,解之：OTe(i4,24)u(-26,-16),D錯(cuò)；

A/32+42

故選：BC.

13.(廣東省江門市部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)已知圓Q：(x-l)2+y2=4,圓

。2：。-5)2+丁=4祖，下列說法正確的是()

A.若%=4,則圓。1與圓。2相交

B.若租=4,則圓。?與圓。2外離

C.若直線=0與圓。2相交，則機(jī)>一25

O

D.若直線x-y=0與圓。1相交于N兩點(diǎn)，貝1]|9|=浮

【答案】AC

【分析】根據(jù)直線與圓相交、圓與圓位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：圓a：(x-1)2+/=4的圓心4(1,0),半徑4=2

2

若在=4,O2:(X-5)+/=16,則圓心Q(5,O),半徑4=4,則=44+弓=6,卜一百=2,

所以,i-目<。。2<4+勺則圓。?與圓。2相交，故A正確，B錯(cuò)誤；

若直線x-y=0與圓。2相交，則圓心C(5,O)到直線x-y=0的距離〃屈，解得加>冬，故C

正確;

若直線x-y=O與圓。1相交于M,N兩點(diǎn)，則圓心口（1,0）到直線x-y=o的距離〃=苧=4，所以相

722

交弦長|MN|=2yjr；-d2=24-I=A/14，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

14.（2023高三專題練習(xí)）己知圓C:（尤-3月+（y-4f=1和兩點(diǎn)A（-a,1）,3（私-1）（根>0）,若圓C上存在點(diǎn)P,

使得NARB=90。，則優(yōu)可能的取值為（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】CD

【分析】先求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡，再利用圓與圓的位置關(guān)系可求冽的取值范圍，從而可得正確的選項(xiàng).

【詳解】設(shè)尸（x,y）,則AP=（x+m,yT）,BP=（x—m,y+l）,

因?yàn)閆AE?=90。，故AP3P=0即Y+y2=療+1,

故尸的軌跡為圓。（原點(diǎn)為圓心，半徑為石不，不含兩點(diǎn)）,

因?yàn)锳,B分別在第二象限和第四象限，而圓C在第一象限，

又尸在圓C:（x-3）2-4-=1上，故圓C與圓。有公共點(diǎn)，

所以Jm1+1—14|C°|41+J"+1即-\/m2+l—1<5<1+A/W2+1，

解得后，

故選：CD.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：直線與圓中的隱圓問題，大多需要考慮動(dòng)點(diǎn)的軌跡（常為圓），從而把動(dòng)點(diǎn)的存在性問

題歸結(jié)圓與圓的位置關(guān)系問題.

三、填空題

15.（2023高三專題練習(xí)）已知圓G：f+（y_l）2=i與圓C”/+（丫-加）2=4相內(nèi)切，則實(shí)數(shù)根的值為

【答案】0或2

【分析】首先根據(jù)題中圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓的圓心與半徑，再根據(jù)兩圓相內(nèi)切求出加的值為.

【詳解】圓C1的圓心為（0,1）,半徑為4=1,

圓C2的圓心為（0,加），半徑為&=2,

所以兩圓的圓心距d=J。?，

又因?yàn)閮蓤A內(nèi)切，有|加-1|=|1-2|=>根=0或祇=2.

故答案為：0或2.

16.(黑龍江省齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題)寫出一個(gè)與兩坐標(biāo)軸和圓C：

x2+y2_6)：_2,+9=0都相切的一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】(x-l)2+(y-l)2=l或(x-3)2+(y+3)2=9或(x-3>+(y-3)2=9或(x-9y+(y-9)2=81(寫出其中一

個(gè)即可)

【分析】做出圖像，即可求解.

【詳解】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(》-3)2+"-1)2=1,畫圖可知

圓(x_+(y-1)?=］和圓(x—3)2+(y+3-=9和圓(a3y+(y—3)2=9和(尤—9)2+(y—9)2=81都與坐標(biāo)軸和

圓C相切.

故答案為：(x-l)2+(y-l)2=l或(無-3)2+"+3)2=9或(x-3)2+(y-3)79或(x-9)2+(y-9)2=81(寫出其中

一個(gè)即可)

9........................-

17.(山東省棗莊市2023屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題)滿足圓x2+(y-4)2=25與(x-a)2+y2=1

相交的一個(gè)a值為.

【答案】2(答案不唯一，只要在區(qū)間卜2石,0)(0,2石)即可)

【分析】根據(jù)兩圓相交可求得圓心距大于半徑之差的絕對(duì)值，小于半徑之和，即可得。的范圍，從而可的

答案.

【詳解】圓丑+(尸4)2=25的圓心為(0,4),半徑15,

圓(x-a)2+y2=l的圓心為(d0),半徑4=1,

因?yàn)閮蓤A相交，

所以卜-<Jg_0)2+(0_4『<i\+r2,

即4<J4+16<6,解得0<a<2若或-2若<。<0，

所以滿足圓x2+(y-4)2=25與(x-康+/=1相交的一個(gè)。值可以為2.

故答案為：2.(答案不唯一，只要在區(qū)間卜2石,0)值,2石)即可)

18.(2023高三專題練習(xí))已知圓￡:/+/=4與圓。2：/+(廠。)2=93>0)外切，此時(shí)直線/：x+y—3=0

被圓G所截的弦長為.

【答案】2/

【分析】根據(jù)兩圓外切，可得圓心距離為半徑之和，可得。，接著計(jì)算C?到直線的距離，最后根據(jù)圓的弦

長公式計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】由題意可得：a=2+3=5,

即圓G：爐+(y—a)?=9(a>0)的圓心為。5),半徑為3,

即圓心到直線/：x+y-3=o的距離為一='=血，

故所截弦長為2方二=2幣.

故答案為：2不

19.(2023高三專題練習(xí))若圓6：(*-1)2+寸=/(廠>0)上存在點(diǎn)以且點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)。在圓

22

C2:(x+2)+(y-2)=l±,則r的取值范圍是.

【答案】[75-1,75+1]

【分析】求出圓C1關(guān)于y軸的對(duì)稱圓a的方程，由題意知圓G與圓C?有交點(diǎn)，由此可列出不等式，即可求

得答案.

【詳解】圓C1關(guān)于y軸的對(duì)稱圓為圓G，其方程為(x+l)2+y2=/,

根據(jù)題意，圓C,與圓Cz有交點(diǎn),

又圓G與圓C2的圓心距為“-1+2）2+（2-0）2=后,

要滿足題意，只需|一1區(qū)岔Vr+1,解得re[有-1,&'+1],

故答案為：[0-L?+l]

20.（重慶市2024屆高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知圓M與圓O:/+y2=1內(nèi)切，且圓加與直線x=2

相切，則圓加的圓心的軌跡方程為.

【答案】/=l-2x

【分析】根據(jù)題意可得：點(diǎn)M到直線x=2的距離d=2—x,根據(jù)兩圓的位置關(guān)系列式求解即可.

【詳解】設(shè)M（x，y）,點(diǎn)M到直線X=2的距離為d,

如圖，M只能在直線x=2的左側(cè)，則d=2-x,

因?yàn)閳A0:/+丫2=1的圓心為。（0,0）,半徑為1,

依題意可得|MO|+l=d,即后于=（2-x）-1,化簡可得y2=l-2x,

故圓河的圓心的軌跡方程為y2=l-2x.

故答案為：＞2=1-2尤.

四、解答題

21.（2023高三專題練習(xí)）已知圓A：（x+2）2+y2=9,圓8：（x-2）2+y2=1,圓C與圓A、圓8外切,

求圓心C的軌跡方程E；

【答案】一-1=1，xe（l，+s）

【分析】

根據(jù)圓C與圓A、圓B外切，得至！再利用雙曲線的定義求解.

【詳解】

因?yàn)閳AC與圓A、圓B外切，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)G，y),圓C半徑為r,

則儂=/+3,\CB\=r+l,所以卜2<4,

所以點(diǎn)C的軌跡是雙曲線的一支，

11

又2c=4,c=2,2a=2,a=l9b=(^—a=39

2

所以其軌跡方程為4=1,xe(l,+8).

22.(2023高三專題練習(xí))已知圓Af:/+9-2犬=0與圓N:x2+y2-8x+a=0外切.

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

⑵若直線x-y-2=0與圓M交于A,B兩點(diǎn)，求弦AB的長.

【答案】(l)a=12

(2)|AB|=V2

【分析】(D分別求出兩圓的半徑及圓心，由兩圓外切可得圓心距等于兩圓半徑之和，注意方程

x2+—8%+〃=。表示圓時(shí)a的范圍；

(2)求出圓心M到直線Ay-2=。的距離，再利用圓的弦長公式即可得出答案.

【詳解】(1)解：由圓M：%2+'2一2%=0,

得圓心M(LO),半徑

由圓N:f+y2-8x+a=0,

得圓心N(4,0),半徑G=尿工，

因?yàn)閳AM與圓N外切，

[16-〃>0[16-Q>0

所以jjMN|=r;+G，即3=1+J16-a'

解得a=12；

(2)解：圓心M至!J直線無一y-2=0的距離d==

V1+12

所以[4卻=2"；-相=2^71=72.

題型二圓的公共弦問題

畬策略方法兩圓的公共弦方程為兩圓方程相減可得.

【典例1］已知圓C的圓心為(2,-2),且與直線x+y+2而=0相切.

⑴求圓C的方程；

⑵求圓C與圓f+/=4的公共弦的長.

【答案】(l)(x—2)2+(y+2)2=20

(2)272

【分析】(1)由題意求得圓的半徑，即可求得答案；

(2)將兩圓方程相減，求出兩圓的公共弦方程，根據(jù)弦長、弦心距以及圓的半徑之間的關(guān)系即可求得答案.

【詳解】(1)由題意得圓C的半徑為r」2-2丫廊=21,

故圓C的方程為(尤-2y+(y+2)2=20；

(2)圓下+產(chǎn)=4和(x-2>+(y+2/=20的圓心距為2&,

而2百-2<20<2指+2,即兩圓相交，

將工2+；/=4和(尤一2)2+(>+2)2=20相減得無一>+2=0,

圓f+,2=4的圓心到x-y+2=。的距離為1=宏=應(yīng)，

故兩圓的公共弦長為2曲-(&)2=20.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.(2023高三專題練習(xí))過圓/+/—4=0與圓x2+y2-4x+4y-12=0交點(diǎn)的直線方程為().

A.x+y—3=0B.x-y+3=0

C.x-y+2=0D.x+y—4=。

【答案】C

【分析】聯(lián)立兩圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線方程，化為一般式可得解.

X2+y2=4x=0

【詳解】聯(lián)立解得

X2+y2-4x+4y-12=0)=2

所以圓/+/-4=0與圓了2+/一4》+4〉-12=0交點(diǎn)為(0,2)和(—2,0),

所以過兩圓交點(diǎn)的直線方程為M=即x-y+2=o.

0-2-2-0

故選：C

2.(天一大聯(lián)考三晉名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期頂尖計(jì)劃聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)已知圓G：V+0-2)2=5

和C2：(x+2)2+/=5交于A,8兩點(diǎn)，貝力AB|=()

A.百B.2上C.723D.2723

【答案】B

【分析】先求得相交弦所在直線方程，然后根據(jù)圓的弦長的求法求得

【詳解】將—+(>-2)2=5和(x+2)2+V=5相減得直線=

點(diǎn)(0,2)至［J直線x+y=0的距離d=^=0,

所以|AB|=2^/^^=2宕.

故選：B

3.(重慶市2023屆高三下學(xué)期適應(yīng)性月考(A)數(shù)學(xué)試題)圓￡：/+，2+4.”2>-10=0與圓

C2：尤2+y2=r2(r>())的公共弦恰為圓G的直徑，則圓G的面積是()

A.2萬B.4萬C.10〃D.20%

【答案】D

【分析】兩圓方程相減得公共弦所在直線方程，再由公共弦為直徑得圓心a在直線上，代入圓心坐標(biāo)可求

半徑，進(jìn)而求出圓的面積.

［詳解】兩圓方程相減得兩圓的公共弦所在直線方程為4x-2y-10+/=o,

因?yàn)楣蚕覟閳AC1的直徑，

所以圓Ci的圓心(-2,1)在直線4-2丁-10+r=0上，

由4x(-2)-2-10+產(chǎn)=0解得戶=20,

所以圓G的面積為20萬.

故選：D.

4.(2023高三專題練習(xí))已知圓G:Y-fcr+2y=。與圓C2:x?++h-2=。的公共弦所在直線恒過點(diǎn)

P,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為()

A.(1,-1)B.(-1,-1)C.(-1,1)D.(1,1)

【答案】A

【分析】兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程，然后k取特值解方程組可得交點(diǎn).

【詳解】由r+—fcv+2y=。，x2+y~+ky—2=0

兩式相減得公共弦所在直線方程為：履+(左-2)y-2=0,

分別取左=0,左=2,得:0,解得[二「，即尸(I)

\2x-2=0[x=l

故選：A

2

5.(2023高三專題練習(xí))已知圓C過圓G:尤2++4x—2y-10=。與圓C2:(x+3)"+(y-3)=6的公共點(diǎn).若

圓c-G的公共弦恰好是圓C的直徑，則圓c的面積為(）

入11乃26%c近而兀c104萬

DD.------

5555

【答案】B

【分析】根據(jù)題意求解圓G，的公共弦方程，再計(jì)算圓C2中的公共弦長即可得圓C的直徑，進(jìn)而求得

面積即可

【詳解】由題，圓G，C2的公共弦為犬+丁+4》-2>-1。=。和(尤+3)2+(y-3)2=6的兩式相減，化簡可得

x-2y+ll=0,又。2（-3,3）至*2y+ll=0的距離d=,故公共弦長為

故圓C的半徑為Jg,故圓C的面積為g萬

故選：B

6.(2023高三專題練習(xí))已知圓C：(x-2)2+y2=2,點(diǎn)尸是直線/：4x-y-2=0上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸引圓C

的兩條切線巳4、PB,其中A、8為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn)()

【答案】D

【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)锽4、總是圓C的兩條切線，所以PA，AC,35,BC,因此點(diǎn)A、B在以PC為直徑的圓上,

因?yàn)辄c(diǎn)尸是直線/：4尤-〉-2=0上的動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)P（m,4吁2）,點(diǎn)C（2,0）,

因此PC的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：—,縱坐標(biāo)為：-^―=2/n-l,

-\PC\=-7(2-//z)2+(4/n-2)2,因此以PC為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

777-I-21

(x-——)2+(y-2m+l)2=-(1777?-20/n+8)(l),而圓C：(x-2)2+y2=2(2),

⑴一(2)得：(2-〃7)%-(47篦-2)y+2加一2=0,即為直線A3的方程，

由(2—m)%—(4加—2)y+2m—2=0=2%+2y—2=m(x+4j—2)

2x+2y-2=0321

所以直線A3經(jīng)過定點(diǎn)（5,*,

x+4y—2=0

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由圓的切線性質(zhì)得到點(diǎn)A、B在以PC為直徑的圓上，運(yùn)用圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解

是解題的關(guān)鍵.

7.（2023高三專題練習(xí)）已知圓C:Y+>2-履+2〉=。與圓c?：彳2+V+0一4=0的公共弦所在直線恒過點(diǎn)

P（a，b）,且點(diǎn)尸在直線〃z.〃y-2=0上，貝!|疝+1的取值范圍是（）

—,+oo

2

【答案】C

【分析】把兩圓的方程作差即可得出公共弦所在直線方程，再利用直線系方程求出x,y的值，即a,b的值,

然后代入直線方程nu-ny-2=0,由重要不等式求m2+n2的取值范圍.

【詳解】由圓G：爐+V-丘+2y=。，圓G：*2+>2+矽—4=0,

兩式相減，得圓與圓g的公共弦所在直線方程為：/+y）-2y-4=0,

9即a=2,b=—2f

又P（2,-2）在直線如-町;-2=。上,

/.2m+2n—2=0,HPm-\-n=1.

得（病+〃）之當(dāng)且僅當(dāng)加=〃時(shí)取等,

有1=(機(jī)+〃)=m2+2mn+n2<221.=1

加+"2的取值范圍是—,+°°J.

故選：C.

二、多選題

2

8.（2023高三專題練習(xí)）已知圓Cj：%+/-4=O^0|C2：/+y-6尤-8y+9=0,貝!!（）

A.兩圓的圓心的距離為25

B.兩圓相交

C.兩圓的公共弦所在直線方程為6x+8y-ll=0

D.兩圓的公共弦長為叵

5

【答案】BD

【分析】A選項(xiàng)，求出兩圓的圓心，進(jìn)而求圓心距；B選項(xiàng)，利用圓心距與兩半徑之差和半徑之和比較，

確定是否相交；C選項(xiàng)，兩圓相減即為公共弦所在直線方程；D選項(xiàng)，利用C選項(xiàng)的結(jié)果，利用點(diǎn)到直線

距離公式求出圓心Ci（0,0）到6彳+8丁-13=。的距離，進(jìn)而利用垂徑定理求出公共弦長.

【詳解】圓G：X2+/=4圓心。（0,0）,半徑/=2,圓C?：（尤一3）2+（y-盯=16圓心G。，4）,半徑々=4,

圓心距C￡=J9+16=5,A錯(cuò)誤；

因?yàn)??！?=5,弓+/=6,=2,r2-rt<CtC2<r2+r1,兩圓相交，B正確;

兩圓相減得：6尤+8丁-13=0,故兩圓的公共弦所在直線方程為6x+8y-13=0,C錯(cuò)誤;

圓心C1（0,0）到6x+8y-13=。的距離為7bL=2，由垂徑定理得：兩圓的公共弦長為

,36+6410

D選項(xiàng)正確.

故選：BD

9.（2023二專題練習(xí)）已知圓&:-2x—3=。和圓。2：廠+J7之一2y—1=0的交點(diǎn)為A,8,則（）

A.圓。1和圓。2有兩條公切線

B.直線A3的方程為x—y+l=0

C.圓。2上存在兩點(diǎn)尸和。使得1尸。1>[42|

D.圓。?上的點(diǎn)到直線A3的最大距離為2+0

【答案】ABD

【分析】A：判斷兩圓相交可得切線條數(shù)；B：兩圓相交，做差可得公共弦方程；C：判斷弦AB經(jīng)過圓心,

則弦為最長弦，不再存在比AB更長的弦；D：求圓心到直線的距離加半徑即為到直線AB的最大距離.

【詳解】解：對(duì)于A,因?yàn)閮蓚€(gè)圓相交，所以有兩條公切線，故正確;

對(duì)于B,將兩圓方程作差可得-2x+2y-2=0,即得公共弦A3的方程為彳-y+1=。，故B正確;

對(duì)于C,直線AB經(jīng)過圓。2的圓心(0,1),所以線段是圓。2的直徑，故圓。2中不存在比長的弦，故

C錯(cuò)誤;

I1+H

對(duì)于D,圓。|的圓心坐標(biāo)為(1,。)，半徑為2,圓心到直線AB：x-y+l=O的距離為=母,所以圓。?上

叵

的點(diǎn)到直線的最大距離為2+血，D正確.

故選：ABD.

10.(2023高三專題練習(xí))圓Qi：f+y2-2尤=0和圓Q2：x2+y2+2x-4y=0的交點(diǎn)為A,8,貝|()

A.公共弦AB所在直線的方程為》->=。

B.線段A8中垂線方程為犬+〉-1=0

C.公共弦AB的長為變

2

D.P為圓。1上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線距離的最大值為5+1

【答案】ABD

【分析】兩圓方程作差后可得公共弦方程，從而可判斷A的正誤，求出圓。的圓心坐標(biāo)后求出垂直平分線

的方程后可判斷B的正誤，利用垂徑定理計(jì)算弦長后可判斷C的正誤，求出2到直線的距離后可求動(dòng)點(diǎn)到

直線距離的最大值，從而可判斷D的正誤.

2222

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)閳AQ|：X+y~2X=0,Q2：x+y+2x-4y=0,

兩式作差可得公共弦AB所在直線的方程為4x-4y=0,即x-y=0,故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,圓&x?+y2-2x=0的圓心為(1,0),%=1,

則線段AB中垂線的斜率為T,即線段AB中垂線方程為y-0=Tx(x-l),

整理可得x+y-i=o,故B正確;

|l-o|_V2

對(duì)于選項(xiàng)C,圓心2。,0)到彳-丫=0的距離為d=n=V

次+(-1)一2

又圓。1的半徑r=l，所以|AB|=2(=拒，故C不正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,P為圓2上一動(dòng)點(diǎn)，圓心2。,0)到％-，=0的距離為d=1，

又圓2的半徑廠=1,所以P到直線AB距離的最大值為孝+1,故D正確.

故選：ABD.

11.(安徽省A10聯(lián)盟2023屆高三最后一卷數(shù)學(xué)試題)已知P:x2+(y+3)2=9,Q:尤?+2x++8y+初=。,

點(diǎn)A,B分別在P,。上，貝IJ()

A.若。的半徑為1,則m=16

B.若m=13,貝UP與。相交弦所在的直線為2x+2y-13=0

C.直線/:依-丁-。-2=0截P所得的最短弦長為2近

D.若IA例的最小值為2-點(diǎn)，則IA例的最大值為2+0

【答案】AC

【分析】直接求。的半徑即可判斷A；兩圓方程相減即可得相交弦所在直線方程，從而判斷B；易知直線

/過定點(diǎn)，當(dāng)定點(diǎn)與圓心連線與/垂直時(shí)，可得弦長最小值，從而判斷C；先根據(jù)IABI的最小值確定兩圓的

位置關(guān)系并求出小，從而可得|4例的最大值，可判斷D.

【詳解】由題意得，尸：洋+1+3)2=9的圓心為尸(0,-3),半徑13,e：(x+l)2+(j+4)2=17-m,圓

心為―)，

若。的半徑為1,則17-相=F,解得加=16,故A正確；

若m=13,則Q:Y+2x+y2+8y+13=0,兩圓方程相減，得，與。相交弦所在的直線為2x+2y+13=0,

故B錯(cuò)誤；

易得直線/：分-丁-。-2=0過定點(diǎn)(1,-2),且點(diǎn)(1,-2)在/內(nèi)，貝！|圓心尸(0,-3)與點(diǎn)(1,-2)的距離為④，

則直線/:依-y-a-2=。被P所截的最短弦長為2,32-(&y=2幣,故C正確；

若IA例的最小值為2-a,貝！I尸與。內(nèi)含或外離，由點(diǎn)。(-1,-4)在P內(nèi)，得，與。內(nèi)含，

當(dāng)：。被尸內(nèi)含時(shí)，有|尸。|=應(yīng)＜3-而=,

此時(shí)IABI的最小值為3-(夜+^^)=2-0,解得m=16,

.143|的最大值為6-(2-0)=4+夜，

這種情況足以判斷D錯(cuò)誤，作為選擇題，則無須考慮尸被。的情況，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

三、填空題

12.（2023高三專題練習(xí)）圓G：，+丁-2x+10y-24=0與圓G：/+/+2x+2y-8=0的公共弦所在直

線的方程為.

【答案】x-2y+4=0

【分析】利用兩圓的一般方程相減即可得出結(jié)果.

.??,_,,,[x2+y"2x+10_y_24=0

【詳解】聯(lián)立兩圓的方程得＜,,cC一。C

[%2+y2+2x+2y-8=0

兩式相減并化簡，得尤-2y+4=0,

所以兩圓公共弦所在直線的方程為》-2丁+4=0.

故答案為：x-2y+4=0.

13.（天一大聯(lián)考皖豫名校聯(lián)盟2023屆高三第三次考試數(shù)學(xué)試題）己知圓加：1+[一3]=/與圓

=m的公共弦經(jīng)過點(diǎn)加，則機(jī)=.

17

【答案】y

【分析】根據(jù)兩圓的方程可得公共弦方程，然后根據(jù)點(diǎn)M在直線上即得.

【詳解】因?yàn)閳A弓的圓心味|]，圓Y+yi,