2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題之二次函數(shù)篇確定二次函數(shù)的表達(dá)式

第二講確定二次函數(shù)的表達(dá)式

目錄

必備知識(shí)點(diǎn)..............................................................................1

考點(diǎn)一■頂點(diǎn)式求表達(dá)式...................................................................2

考點(diǎn)二兩點(diǎn)式求表達(dá)式..................................................................4

考點(diǎn)三一般式求表達(dá)式...................................................................7

)知識(shí)導(dǎo)航

必備知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)的解析式的常見形式

(1)一般式：y=ax?+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a關(guān)0),該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式知道拋物線

與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,c).

(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)?+k(a,h,k是常數(shù)，a#0),其中(h,k)為頂點(diǎn)坐標(biāo)，該形式的優(yōu)勢(shì)

是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k)。

(3)交點(diǎn)式：y=a(x-xi)(x-x2)(a,b,c是常數(shù)，aWO),該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式得到

拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)(xi,0),(X2,0)。

知識(shí)點(diǎn)2二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系

(1)對(duì)于二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a#0)來(lái)說(shuō)，當(dāng)y=0時(shí)，就得一元二次方程ax。+bx+c=0(a

#0).拋物線y=ax?+bx+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是一元二次方程ax?+bx+c=0的根；

2、二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a#0)的圖象與x軸的交點(diǎn)有三種情況(也即一元二次方ax2+bx+c

=0根的情況)

①拋物線y=ax2+bx+c(a#0)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(xb0)(x210)

當(dāng)A>0時(shí)，一元二次方程ax?+bx+c=0(a#0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根xl,x2,

②拋物線y=ax2+bx+c(a#0)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，恰好就是拋物線的頂點(diǎn)

當(dāng)=0時(shí)，方程ax?+bx+c=O有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

③拋物線y=ax2+bx+c(a#0)與x軸沒有交點(diǎn)

當(dāng)A<0時(shí)，方程ax2+bx+c=0沒有實(shí)數(shù)根。

知識(shí)點(diǎn)3待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從

而代入數(shù)值求解.一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程

組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸

有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解.

考點(diǎn)一頂點(diǎn)式求表達(dá)式

1.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為()

A.y=X2+2X-3B.y=x2-2x-3C.y=-x2+2x-3D.y=-x2-2x+3

【解答】解：從圖象可知：二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,-4),與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,0),

設(shè)二次函數(shù)的解析式是y=a(x-l)2-4,

把(-1,0)代入得：0=。(-1-1)2-4,

解得：＜2=1,

所以y=(x-1)2-4=x2-2x-3,

故選：B.

2.一個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,4),且過(guò)另一點(diǎn)(0,-4),則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為()

A.y=-2(x+2)2+4B.y=1(x+2)2-4

C.y=-2(x-2)2+4D.y=2(x-2)2-4

【解答】解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x-h)2+k,

則拋物線表達(dá)式為尸a(x-2)2+4,

將(0,-4)代入上式得，-4=a(0-2)2+4,解得。=-2,

故拋物線的表達(dá)式為y=-2(x-2)2+4.

故選：C.

3.如圖，拋物線與直線交于點(diǎn)/(-4,-1)和點(diǎn)2(-2,3),拋物線頂點(diǎn)為/,直線與y軸交于

點(diǎn)C.

(1)求拋物線和直線的解析式；

(2)若y軸上存在點(diǎn)P使△PN8的面積為9,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解答】解：(1)由拋物線的頂點(diǎn)/(-4,-1)

設(shè)二次函數(shù)為y=a(x+4)2-1,

將B(-2,3)代入得，3=。(-2+4)2-1,

解得a=\,

???二次函數(shù)為〉=(x+4)2-1(或>=/+8;<:+15),

設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b,

將/(-4,-1)和2(-2,3)代入得［-4k+b=V

I-2k+b=3

解得卜=2,

lb=7

,一次函數(shù)的解析式為y=2x+7；

(2)由直線y=2x+7可知。(0,7),

設(shè)尸(0,〃),

.■.PC=\n-7|,

S^PAB=S^PAC-S^BPC=—(4-2)-7|=9,

2

*'?\n-7|=9,

n=-2或16,

??.尸(0,-2)或尸(0,16).

考點(diǎn)二兩點(diǎn)式求表達(dá)式

4.已知二次函數(shù)/=-，+6x+c的圖象過(guò)點(diǎn)/(3,0)、C(-1,0).

(1)求此二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)3,二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)尸，則P

點(diǎn)的坐標(biāo).

【解答】解：(1)把點(diǎn)/(3,0),C(-1,0)代入y=-/+6x+c中,

得-14+。=0,解得仆=2,

I-9+3b+c=0Ic=3

拋物線的解析式為j=-X2+2X+3；

(2)在y=-X2+2X+3中，當(dāng)x=0時(shí)，y=3,

■-B(0.3),

設(shè)直線AB的解析式為y=foc+b,

./b=3

-l3k+b=0'

.fk=-l

"lb=3'

二直線48的解析式為y=-x+3,

當(dāng)x=1時(shí)，y=2,

■-P(1,2).

5.如圖，二次函數(shù)y=af+fer+c(aXO)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)、2(3,0)兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C(0,3),D為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求△(?￡漫的面積.

(3)在其對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)尸，使△PDC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫

出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

［解答］解：(1)設(shè)解析式為：y=a(x-xi)(x-%2)(a^O),即y=a(x+l)(x-3).

把點(diǎn)C(0,3)代入，得a(0+1)(0-3)=3.

a=-1.

故該拋物線解析式是＞=-(x+1)(x-3)或〉=-X2+2X+3.

(2)由了=-X2+2X+3=-(x-1)2+4知，頂點(diǎn)坐標(biāo)。為(1,4).

-B(3,0),C(0,3),

.?.3。2=18,BD2=(3-1)2+(0-4)2=20,CD2=(0-1)2+(3-4)2=2,

.-.BD2=BC2+CD2.

??.△BCD是直角三角形，且42c0=90。.

SECD=1.CD-BC=Ax72x372=3,即^CDB的面積是3.

22

(3)存在，由尸-f+2x+3得，。點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),對(duì)稱軸為x=l,

①若以CD為底邊，則尸〃=PC,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),

根據(jù)勾股定理得：x2+(3-y)2=(x-1)2+(4-y)2,即y=4-x,

又,?.尸點(diǎn)(x,y)在拋物線上,

.'-4-x=-/+2x+3,HPx2-3x+l=0,

解得4=老正，雙=三區(qū)＜1(舍去),

_22

,r_3+V5_

2_

「?y=4-x=5.立,

2

即點(diǎn)P坐標(biāo)為(老巽，生要)

22

②若以C￡＞為一腰，因?yàn)辄c(diǎn)尸在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，

由拋物線對(duì)稱性知，點(diǎn)P與點(diǎn)。關(guān)于直線x=l對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,3),

(1)求該拋物線的解析式；

(2)在直線NC上方的該拋物線上是否存在一點(diǎn)D使得的面積最大，若存在，求出點(diǎn)。

的坐標(biāo)及面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

將點(diǎn)C(0,-2)坐標(biāo)代入解析式得：-2=a(0-4)(0-1),解得°=

2

y=-—-1)=--2,

222

故該拋物線的解析式為：尸-lx2+lx-2,

22

(2)如圖,

設(shè)直線ZC表達(dá)式為：y=kx+b(WO),將/(4,0),C(0,-2)代入其表達(dá)式得:

(1

f0=4k+b,解得卜方，

，直線/C：y=—x-2,

2

設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)為(x,-Xx+^-x-2),則點(diǎn)E坐標(biāo)為(x,-2),

222

SADCA=SADCE+SADAE=—xDExx￡+—xDEx(XN-XE)=—XDEx=AxDEx4=2DE,

2222

DE=(-J^x2+—x-2)-(A%-2)=--X2+2X,

2222

S^DCA=IDE=2x(--X2+2X)=-X2+4X=-(x-2)2+4,

2

.1.當(dāng)x=2時(shí)，y=--x2+—x-2=-2+5-2=1,即點(diǎn)D坐標(biāo)為(2,1),

22

此時(shí)的面積最大，最大值為4.

考點(diǎn)三一般式求表達(dá)式

7.如圖，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(-1,0),點(diǎn)2(2,-3),與了軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)

為D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△P8C的面積是△8。面積的4倍，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】解：(1).?.拋物線y=f+6x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(-1,0),點(diǎn)B(2,-3),

.(l_b+c=0

14+2b+c=-3

解得b=-2,c=-3,

「?拋物線的解析式：y=^-2x-3；

(2)存在，理由如下：

,''y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

二。點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),

令x=0,貝!］歹=/-21-3=-3,

???C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3),

又點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-3),

???5C〃x軸，

?e-S4BCD=-1-X2x1=1,

2

設(shè)拋物線上的點(diǎn)P坐標(biāo)為(冽，加2.2加-3),

*e-S^PBC=—x2x|zw2--3-(-3)I=Im2-2m|,

2

當(dāng)|加2-2加|=4x1時(shí)，

解得m=l±y/5,

當(dāng)加=1+4虧時(shí)，加2-2加-3=1,

當(dāng)冽=1-時(shí)，m2-2m-3=1,

綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為(1+而，1)或(1-V5,1).

8.已知：在直角坐標(biāo)系中直線y=-x+4與x軸、y軸相交于點(diǎn)4、B,拋物線y=-/x2+bx+c經(jīng)

過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如果直線AB與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)C,求0C的長(zhǎng);

(3)P是線段0A上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線AB的平行線，與y軸相交于點(diǎn)。，把△OPQ沿直線

尸。翻折，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)。，如果點(diǎn)。在拋物線上，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

V

6-

5-

4

3-

2-

【解答】解：(1)直線y=-x+4與x軸、》軸相交于點(diǎn)/、B,

■-A(4,0)、8(0,4),

[-8+4b+c=0

代人拋物線得:

Ic=4

-'-b=1,c=4,

拋物線的解析式為：y=-Lx2+x+4.

(2)由y=-^x2+x+4=蔣

可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,

當(dāng)》=1時(shí)，7=-x+4=3,

??.C(1,3),

oc=VTo.

(3)如圖，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(t,0),

.-AO=BO=4,AAOB=90°,

AOAB=AOBA=45°,

--PQ//AB,

AOPQ=AOQP=45°,

ADPO=ADQO=90°,又乙尸00=90°,

四邊形DP。。為矩形，

：OP=OQ,

四邊形DP。。為正方形，

：.DP=DQ=OP=t,