沖刺雙一流備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)核心專題講練新高考版第3講三角恒等變換與解三角形重難點(diǎn)題型突破含解析

Page1第2講三角恒等變換與解三角形書目第一部分：學(xué)問強(qiáng)化其次部分：重難點(diǎn)題型突破突破一：三角函數(shù)式求值突破二：已知三角函數(shù)值求角問題突破三：三角函數(shù)式化簡突破四：和（差）角公式逆應(yīng)用突破五：拼湊角突破六：利用正、余弦定理解三角形角度1：三角形個(gè)數(shù)問題角度2：利用正弦定理解三角形角度3：利用余弦定理解三角形角度4：正余弦定理綜合應(yīng)用突破七：推斷三角形的形態(tài)突破八：三角形面積相關(guān)問題第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)第一部分：學(xué)問強(qiáng)化1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）（2）（3）2、二倍角公式①②；；③3、降冪公式①②4、協(xié)助角公式(其中)5、正弦定理6、余弦定理；7余弦定理的推論；；8、三角形常用面積公式①；②；③（其中，是三角形的各邊長，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；④(其中，是三角形的各邊長，是三角形的外接圓半徑).其次部分：重難點(diǎn)題型突破突破一：三角函數(shù)式求值1．（2024·河南省淮陽中學(xué)模擬預(yù)料（理））若為其次象限角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】為其次象限角，，，由得：，，，，.故選：D.2．（2024·黑龍江·哈九中模擬預(yù)料（理））已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，則,故選：．3．（2024·吉林·東北師大附中模擬預(yù)料）求值_________．【答案】##【詳解】，故答案為：.4．（2024·河南焦作·一模（理））計(jì)算：___________.【答案】##【詳解】.故答案為：突破二：已知三角函數(shù)值求角問題1．（2024·海南華僑中學(xué)模擬預(yù)料）已知，則（

）A． B． C． D．或【答案】A【詳解】依題意，均為銳角，由得，由得，所以，而，所以.故選：A.2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，，，，又，.故選：B.3．（2024·陜西·蒲城縣蒲城中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，，且，，所以，，所以，因?yàn)?，，所以，，所以，所以，故選：C4．（2024·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，均為銳角，且，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵，均為銳角，且，，∴，，∴.又∵，均為銳角∴.∴.故選：B.5．（2024·福建泉州·模擬預(yù)料）已知，且，則α=（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)樗裕淼茫?，因?yàn)椋?，所以，解得：故選：B突破三：三角函數(shù)式化簡1．（2024·廣東汕頭·高三期中）的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】故選：A2．（2024·山東·乳山市銀灘高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖像過定點(diǎn)P，且角的始邊與x軸的正半軸重合，終邊過點(diǎn)P，則等于___________.【答案】【詳解】由題設(shè)知：過定點(diǎn)，故，所以.故答案為：3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）化簡：＝________.【答案】##【詳解】原式=故答案為：4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）化簡：值是________．【答案】【詳解】解：，故答案為：5．（2024·山西忻州·高三階段練習(xí)）（1）已知，求；（2）已知，，且，，求的值．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，即所以?）因?yàn)?，，且，，所以，，所以，因?yàn)椋?，所以，所以突破四：和（差）角公式逆?yīng)用1．（2024·江蘇·高三專題練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式，化簡可得：.故選：B.2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，則C的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由已知可得tanA＋tanB＝(tanA·tanB－1)，∴tan(A＋B)＝＝－.又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝.故選：C3．（多選）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的可能值為（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】依題意，原等式變?yōu)椋海?，明顯是第三象限角或第四象限角，，即或，于是得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的可能值為或.故選：BD4．（2024·江蘇·海安市立發(fā)中學(xué)高三期中）在中，若，則_________.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，，由題意可得，若，則，不妨設(shè)為銳角，則，則，不合乎題意，所以，，故，因此，.故答案為：.5．（2024·陜西·模擬預(yù)料（理））已知，，，則__________【答案】【詳解】，，；，兩式作和得：，.故答案為：.突破五：拼湊角1．（2024·湖北黃岡·高三階段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：因?yàn)椋?，又，所以，所以故選：D2．（2024·天津·高三期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選：D3．（2024·湖南·寧鄉(xiāng)一中高三期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，..故選：A4．（2024·山西忻州·高三階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】,,.故選：C5．（2024·山東煙臺(tái)·高三期中）已知，則______．【答案】【詳解】由誘導(dǎo)公式可知，，因?yàn)椋?故答案為：.突破六：利用正、余弦定理解三角形角度1：三角形個(gè)數(shù)問題1．（2024·陜西·西安市鄠邑區(qū)其次中學(xué)高二階段練習(xí)）在中，，，，此三角形解的狀況為（

）A．一個(gè)解 B．二個(gè)解 C．無解 D．無法確定【答案】B【詳解】由正弦定理，可得，則，因?yàn)椋瑒t，所以有兩個(gè)解，故選：B.2．（2024·陜西咸陽·高二期中（理））在中，若，，，則此三角形解的狀況為（

）A．無解 B．兩解C．一解 D．解的個(gè)數(shù)不能確定【答案】C【詳解】由正弦定理，得，得，因?yàn)?，則，故為銳角，故滿意條件的只有一個(gè).故選：C.3．（2024·吉林·延邊第一中學(xué)高一期中）在中，已知，則滿意條件的三角形（

）A．有2個(gè) B．有1個(gè) C．不存在 D．無法確定【答案】A【詳解】由正弦定理可得，又所以，所以，因?yàn)?，所?又所以或∴滿意條件的三角形有2個(gè)．故選：A.4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，已知，則此三角形（

）A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．無法推斷有幾解【答案】A【詳解】在中，，由正弦定理得，而，有，即A為銳角，所以此三角形有一解．故選：A5．（2024·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，則此三角形（

）A．無解 B．一解 C．兩解 D．解的個(gè)數(shù)不確定【答案】C【詳解】由正弦定理，得，解得.因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以或，故此三角形有兩解，故選：C.角度2：利用正弦定理解三角形1．（2024·四川·成都市其次十中學(xué)校高三期中）中，已知、、分別是角、、的對(duì)邊，且，、、成等差數(shù)列，則角（

）A． B． C．或. D．或【答案】D【詳解】由，利用正弦定理得:，即，，，，.或.或.又、、成等差數(shù)列，則，由，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.或故選：D.2．（2024·河南·汝陽縣一高高三階段練習(xí)（理））已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則A＝（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】或（舍）故選：C.3．（2024·寧夏·銀川一中高三階段練習(xí)（文））中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿意，，，則__________．【答案】【詳解】解：在中，由正弦定理得，，．故答案為：．4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且，則_______．【答案】【詳解】由正弦定理，①，又，代入式①得：，∴，∵，∴，，故，又，∴．故答案為：5．（2024·江蘇·常熟中學(xué)高三階段練習(xí)）已知在中，，，，則_________．【答案】14【詳解】∵在中，，，∴，，∴，∴，∴．故答案為：14角度3：利用余弦定理解三角形1．（2024·河南·高三階段練習(xí)（文））在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且，則B＝______．【答案】【詳解】由余弦定理可得，化簡得，則，又，所以，故答案為：．2．（2024·黑龍江·哈爾濱市劍橋第三高級(jí)中學(xué)有限公司高三階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，且，則的面積的最大值為___________.【答案】【詳解】由余弦定理可知：，而，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?dāng)時(shí)等號(hào)成立設(shè)的面積為，所以有，故答案為：3．（2024·黑龍江·密山市第四中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，則__．【答案】8【詳解】解：在中，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所?故答案為：8．4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，已知，則的面積S為___________．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以由得，解得，故，又因?yàn)?，所以，故，所以故答案為?5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知三角形的三邊分別是，，，則該三角形的內(nèi)切圓的半徑是________.【答案】【詳解】解：設(shè)中、、，由余弦定理可得，即，所以，則，所以，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，即，解得；故答案為：6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若c（acosB－bcosA）＝16，a－b＝2，∠C＝，則c的值等于___．【答案】【詳解】解：由余弦定理，得，∴，又，則，則a＝5，b＝3，又，所以，∴．故答案為：角度4：正余弦定理綜合應(yīng)用1．（2024·河南·駐馬店市其次高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為．已知．則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，因?yàn)?，得又因?yàn)榈谜淼糜烧叶ɡ砜傻玫玫?，因?yàn)樗运怨蔬x:B2．（2024·河南駐馬店·高三階段練習(xí)（理））鈍角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，，且，則的周長為（

）A．9 B． C．6 D．【答案】A【詳解】解：因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，為銳角，所以，，因?yàn)橛捎嘞叶ɡ淼?，解得或，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，此時(shí)肯定不是鈍角，故舍去.所以所以的周長為．故選：A3．（2024·山東省試驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊為，若，且的面積，則的取值范圍是______．【答案】【詳解】已知的面積，則，即，即，則，由可得：，由余弦定理可得：，即，由正弦定理可得：，則,由正弦定理可得：，則，又，則,則，則.故答案為：.4．（2024·江西贛州·高三期中（理））的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，c是a，b的等比中項(xiàng)，且的面積為，則_________．【答案】【詳解】由正弦定理得，，即，又，所以，得，由，得，得.又c是a，b的等比中項(xiàng)，所以.由余弦定理得.∴，即，則，即.故答案為：5．（2024·江西·高三階段練習(xí)（文））已知中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，角的平分線交于點(diǎn)M，若，則______．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得，即，故，因?yàn)椋瑒t，所以，所以，因?yàn)槠椒郑?，在中，，即，在中，，即，因?yàn)椋?，所以，所以，故，在中，，所以，即，解得，，由得，即，所?故答案為：6．（2024·重慶南開中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，為上一點(diǎn)，，，則______；若，則______．【答案】

##

##【詳解】如下圖所示：在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，消元可得，所以，；在中，由正弦定理可得，①在中，由正弦定理可得，②②①可得，，，，由余弦定理可得.故答案為：；.突破七：推斷三角形的形態(tài)1．（2024·山西忻州·高三階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，則為（

）A．鈍角三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【詳解】由結(jié)合正弦定理可得，即，所以，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋裕蕿橹苯侨切?，故選：C2．（2024·江西·崇仁縣其次中學(xué)高三階段練習(xí)（文））在中，已知，那么肯定是（

）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等邊三角形【答案】B【詳解】因?yàn)?，，所以，所以由正余弦定理得，化簡得，所以，所以為等腰三角?故選：B.3．（2024·四川·模擬預(yù)料（文））在中，角的對(duì)邊分別為，已知三個(gè)向量，共線，則的形態(tài)為（

）A．等邊三角形 B．鈍角三角形C．有一個(gè)角是的直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【詳解】向量，共線，，由正弦定理得：，，則，，，，即．同理可得．形態(tài)為等邊三角形．故選：A．4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，若，，則肯定是（

）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．無法確定【答案】A【詳解】解：由，依據(jù)余弦定理，故，所以，所以，，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，從?所以三角形為等邊三角形，故選:5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，則是（

）A．鈍角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【詳解】在中，由正弦定理得，而，∴，即，又∵、為的內(nèi)角，∴，又∵，∴，∴由余弦定理得：，∴，∴為等邊三角形.故選：B.突破八：三角形面積相關(guān)問題1．（2024·貴州·模擬預(yù)料（文））在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，是邊上一點(diǎn)，平分，且，若，則的最小值是（

）A． B．6 C． D．4【答案】C【詳解】解：∵，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴.∵，∴，∴，∴.∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為.故選：C.2．（2024·河南·高三階段練習(xí)（理））在中，已知，AC＝4，則的面積為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【詳解】依題意，∴由正弦定理得∴．故選：C．3．（2024·全國·高三階段練習(xí)（理））已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，記的面積為.若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，得，由余弦定理得即，（其中）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，所以所以故選:C.4．（2024·天津二十中高三階段練習(xí)）已知是內(nèi)的一點(diǎn)，且，則的最小值是（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】A【詳解】由得取邊中點(diǎn)為,則,因此可知：在過且與平行的中位線上，由得,由于為三角形的內(nèi)角，因此,所以,所以,因此,設(shè)，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，故最小值為8，故選：A5．（2024·安徽·碭山中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，若點(diǎn)M滿意，且，則的面積為_________________．【答案】##【詳解】∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．在中，，在中，，聯(lián)立兩式，整理得①；在中，由余弦定理得，②，解得，，∴，∵，∴．6．（2024·江蘇常州·高三期中）在中，，，邊上的中線長為，則的面積為______．【答案】【詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理可得，又，所以，設(shè)中點(diǎn)為，，所以所以，解得，所以，所以．故答案為：.7．（2024·四川省成都市新都一中高三階段練習(xí)（文））在中，，點(diǎn)D在線段AC上，且，，則面積的最大值為_________．【答案】【詳解】設(shè)，則，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，由于，得，即，整理，得，在中，由余弦定理，得，即，代入式化簡整理，得，由，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為.故答案為：.8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，，則的面積為_______．【答案】【詳解】解：解法1：，又，∴，∴，∵，∴，∴，又，∴，∵，∴，．解法2：由射影定理，，又由題意，，∴，∴，∵，∴，又，∴，．故答案為：第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)一、單選題1．（2024·安徽·碭山中學(xué)高三階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵，∴，∴，故選：D．2．（2024·江蘇南通·高三期中）已知，，則等于(

)A． B． C． D．【答案】C【詳解】．故選：C．3．（2024·河南·汝陽縣一高高三階段練習(xí)（理））若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，故，.故選：B4．（2024·湖北·宜都二中高三期中）等于（

）A． B． C． D．2【答案】C【詳解】.故選：C.5．（2024·廣東肇慶·高三階段練習(xí)）的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【詳解】.故選：A.6．（2024·廣東肇慶·高三階段練習(xí)）《周髀算經(jīng)》是我國最早的數(shù)學(xué)典籍，書中記載：我國早在商代時(shí)期，數(shù)學(xué)家商高就發(fā)覺了勾股定理，亦稱商高定理三國時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了如圖1的“勾股圓方圖”（以弦為邊長得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形組成），用數(shù)形結(jié)合法給出了勾股定理的具體證明.現(xiàn)將“勾股圓方圖”中的四條股延長相同的長度得到圖2.在圖2中，若，，G，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離為，則“勾股圓方圖”中小正方形的面積為（

）A．9 B．4 C．3 D．8【答案】B【詳解】由條件可得.在中，由余弦定理得，∴，∴，，∴，∴“勾股圓方圖”中小正方形的邊長為，∴面積為4.故選：B7．（2024·寧夏·銀川一中高三階段練習(xí)（理））已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC是銳角三角形，且滿意，若△ABC的面積，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，由余弦定理可得，即，又，故可得，由正弦定理可得：，則，，又均為銳角，故可得，即；由可得，又，故可得；由，可得；又，又，，解得或（舍去負(fù)值）,則，即的取值范圍是.故選：A.8．（2024·江西省豐城中學(xué)高三期中（文））已知是內(nèi)部的一點(diǎn)，，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則與的面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由正弦定理,又，，，所以得,因?yàn)?所以.設(shè)可得則是的重心，，利用