2025年高考一輪復(fù)習(xí)-專題復(fù)習(xí)- 恒成立與存在性問(wèn)題【含解析】

專題8：恒成立與存在性問(wèn)題【原卷版】1．設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)使得，則的取值范圍是A． B． C． D．2．設(shè)函數(shù)，其中，若存在兩個(gè)整數(shù)，，使得，都小于0，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，3．設(shè)函數(shù)，，其中，若存在唯一的整數(shù)使得，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，4．設(shè)函數(shù)，其中，若有且只有一個(gè)整數(shù)使得，則的取值范圍是A． B． C． D．5．已知函數(shù)，曲線上存在兩個(gè)不同點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與軸垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．6．已知函數(shù)，曲線上存在兩個(gè)不同點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與軸垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，7．已知，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，都有恒成立，則的取值范圍是A． B．， C．， D．8．已知，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B． C． D．，9．已知函數(shù)，若對(duì)，，且，有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．， C．， D．10．已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，11．設(shè)函數(shù)，若不等式有解，則實(shí)數(shù)的最小值為A． B． C． D．12．設(shè)函數(shù)，若不等式有解，則實(shí)數(shù)的最小值為A． B． C． D．13．設(shè)函數(shù)，若不等式在，上有解，則實(shí)數(shù)的最小值為A． B． C． D．14．已知函數(shù)，若存在，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．15．已知，，若存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B．， C． D．，16．設(shè)過(guò)曲線上任意一點(diǎn)處的切線為，總存在過(guò)曲線上一點(diǎn)處的切線，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．17．設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，，，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍為A． B．， C． D．18．設(shè)表示自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的值為．19．已知，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，，都有恒成立，則的取值范圍是．20．（1）設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是．（2）已知，，若，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍．21．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．22．若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．23．關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．24．已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．25．已知函數(shù)，，若對(duì)任意，，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．26．若，，，且對(duì)任意，，，的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．27．設(shè)過(guò)曲線上任意一點(diǎn)處的切線為，總存在過(guò)曲線上一點(diǎn)處的切線，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．28．設(shè)函數(shù)，對(duì)任意、，不等式，恒成立，則正數(shù)的取值范圍是．29．已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，且對(duì)任意的，，，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．專題8：恒成立與存在性問(wèn)題【解析版】1．設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)使得，則的取值范圍是A． B． C． D．【解析】設(shè)，，由題意知存在唯一的整數(shù)使得在直線的下方，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（1），直線恒過(guò)定點(diǎn)且斜率為，故且，解得故選：．2．設(shè)函數(shù)，其中，若存在兩個(gè)整數(shù)，，使得，都小于0，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】函數(shù)，其中，設(shè)，，存在兩個(gè)整數(shù)，，使得，都小于0，存在兩個(gè)整數(shù)，，使得在直線的下方，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，（1），直線恒過(guò)，斜率為，故，且，解得．，解得，的取值范圍是，．故選：．3．設(shè)函數(shù)，，其中，若存在唯一的整數(shù)使得，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】設(shè)，，由存在唯一的整數(shù)使得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（1），直線恒過(guò)定點(diǎn)且斜率為，故且，解得故選：．4．設(shè)函數(shù)，其中，若有且只有一個(gè)整數(shù)使得，則的取值范圍是A． B． C． D．【解析】設(shè)，，則，，，單調(diào)遞減，，，，單調(diào)遞增，，取最小值，，（1）（1），直線恒過(guò)定點(diǎn)且斜率為，，，，的取值范圍，．故選：．5．已知函數(shù)，曲線上存在兩個(gè)不同點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與軸垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解析】曲線上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與軸垂直，有兩個(gè)不同的解，即得有兩個(gè)不同的解，設(shè)，則，，，函數(shù)遞減，，，函數(shù)遞增，時(shí)，函數(shù)取得極小值，，，，故選：．6．已知函數(shù)，曲線上存在兩個(gè)不同點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與軸垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】曲線上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與軸垂直，有兩個(gè)不同的解，即得有兩個(gè)不同的解，設(shè)，則，，，函數(shù)遞減，，，函數(shù)遞增，時(shí)，函數(shù)取得極小值，，，．故選：．7．已知，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，都有恒成立，則的取值范圍是A． B．， C．， D．【解析】設(shè)對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)都有恒成立，則，，令，則，所以函數(shù)是增函數(shù)，恒成立，恒成立，，當(dāng)時(shí)，取得最大值（1），．即的取值范圍是，．故選：．8．已知，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B． C． D．，【解析】對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，，都有恒成立則當(dāng)時(shí)，恒成立在上恒成立則而，則故選：．9．已知函數(shù)，若對(duì)，，且，有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．， C．， D．【解析】因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，，且，所以恒成立恒成立恒成立，即恒成立，所以恒成立，又因?yàn)闀r(shí)，，所以．故選：．10．已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】由函數(shù)，，，，且，不等式恒成立等價(jià)式恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，即，恒成立，整理可得：，，函數(shù)在是遞增函數(shù)．故得．故選：．11．設(shè)函數(shù)，若不等式有解，則實(shí)數(shù)的最小值為A． B． C． D．【解析】可化為，即，令，則，令，則，故當(dāng)，即時(shí)，有最小值，故當(dāng)，時(shí)，，時(shí)，；故有最小值（1）；故實(shí)數(shù)的最小值為．故選：．12．設(shè)函數(shù)，若不等式有解，則實(shí)數(shù)的最小值為A． B． C． D．【解析】若不等式有解，則有解，令，則，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在，，故，故，令，即，解得：，令，即，解得：，故在遞減，在遞增，故（e），故的最小值是，故選：．13．設(shè)函數(shù)，若不等式在，上有解，則實(shí)數(shù)的最小值為A． B． C． D．【解析】在，上有解在，上有解．令，則，，，當(dāng)，時(shí)，，在區(qū)間，上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，取得極小值（1），也是最小值，，．故選：．14．已知函數(shù)，若存在，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解析】，，，，存在，，使得，，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，最大值為（2），，故選：．15．已知，，若存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B．， C． D．，【解析】，，使得成立，等價(jià)于，，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)取得最大值為，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：．16．設(shè)過(guò)曲線上任意一點(diǎn)處的切線為，總存在過(guò)曲線上一點(diǎn)處的切線，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．【解析】設(shè)上為，，上切點(diǎn)為，，依題得，，有，，易得．故選：．17．設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，，，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍為A． B．， C． D．【解析】對(duì)任意，，，不等式恒成立，等價(jià)于恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，；又，在，上恒成立，則，，又，解得．正數(shù)的取值范圍為．故選：．18．設(shè)表示自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的值為．【解析】，若關(guān)于的不等式有解，即為有解，由，可得函數(shù)的幾何意義為點(diǎn)和點(diǎn)的距離，由于兩點(diǎn)在曲線和直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，可得切線的斜率為，解得，則切點(diǎn)為，可得切點(diǎn)到直線的距離為，可得有解，且等號(hào)成立，由和聯(lián)立，可得交點(diǎn)為，，即有，故答案為：．19．已知，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，，都有恒成立，則的取值范圍是，．【解析】設(shè)，則，，令，，在上單調(diào)遞減，，，時(shí)，，．的取值范圍是，．故答案為：，．20．（1）設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是，．（2）已知，，若，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)，其中，設(shè)，，存在唯一的整數(shù)，使得，存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，（1），直線恒過(guò)，斜率為，故，且，解得．的取值范圍是．（2），，使得成立，等價(jià)于，，，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，．時(shí)，．，．，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案分別為：（1）；（2）．21．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．【解析】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即時(shí)，恒成立，即時(shí)，或，令，，令，解得：，令，解得：，在遞增，在遞減，（e），而，又當(dāng)時(shí)，符合條件，，故，或，故答案為：，．22．若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．【解析】當(dāng)時(shí)，不等式即為顯然成立；當(dāng)時(shí)，，，只要，即有的最小值，令，，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減．即有處取得最小值，且為，則，解得；當(dāng)時(shí)，，，只要恒成立，由于，則不恒成立．綜上可得的范圍是，．故答案為：，．23．關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是或．【解析】，則，令，則，時(shí)，，時(shí)，時(shí)，函數(shù)取得最大值，，，；時(shí)，則，在上不恒成立，不合題意；時(shí)，或，，綜上，或．24．已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．【解析】當(dāng)時(shí)，取，則，，不等式在上不恒成立，．①當(dāng)時(shí)，，令，，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，在上的極大值也是最大值為（1）．又，，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，在上的極小值也是最小值為（1）（1）．在上恒成立；②當(dāng)時(shí)，取，則，，不等式在上不恒成立．綜上，．故答案為：，．25．已知函數(shù)，，若對(duì)任意，，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，．【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，又函數(shù)，在，上是減函數(shù)不妨設(shè)，則，，則不等式等價(jià)為，即設(shè)，則，等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間，上是減函數(shù)，在，上恒成立，即在，上恒成立，即不小于在，內(nèi)的最大值．而函數(shù)在，是增函數(shù)，的最大值為，又，，．故答案為：，．26．若，，，且對(duì)任意，，，的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，．【解析】易知在，上均為增函數(shù)，不妨設(shè)，則等價(jià)于，即；令，則在，為減函數(shù)，則在上恒成立，恒成立；令，，為減函數(shù)，在，的最大值為；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．故答案為：，．27．設(shè)過(guò)曲線上任意一點(diǎn)處的切線為，總存在過(guò)曲線上一點(diǎn)處的切線，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，．【解析】由，得，，，由，得，又，，，，要使過(guò)曲線上任意一點(diǎn)的切線為，總存在過(guò)曲線上一點(diǎn)處的切線，使得，則，解得．即的取值范圍為，，故答案為，．28．設(shè)函數(shù)，對(duì)任意、，不等式，恒成立，則正數(shù)的取值范圍是．【解