21.2.4　一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

第二十一章一元二次方程*21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

利用根與系數(shù)的關(guān)系求兩根之和或兩根之積1.【教材第17頁習題21.2第7題改編】已知

x1和

x2是一元二次方程

x2－3

x

＋2＝10的兩個根，則

x1＋

x2的值為(

B

)A.2B.3C.－3D.－22.若一元二次方程

x2－2

x

＝0的兩根分別為

x1和

x2，則

x1

x2等于(

D

)A.－2B.1C.2D.0BD12345678910111213141516173.利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和與兩根之積.(1)2

x2－3

x

＝5；

(2)2

x2＋3＝7

x2＋

x

.

1234567891011121314151617

利用根與系數(shù)的關(guān)系求方程中待定字母的值4.已知

x1，

x2是一元二次方程

x2＋2

x

－

k

－1＝0的兩根，且

x1

x2＝－3，則

k

的值為(

B

)A.1B.2C.3D.4

B12345678910111213141516175.已知

x1，

x2是關(guān)于

x

的方程

x2＋

bx

－3＝0的兩個根，且滿足

x1＋

x2－

3

x1

x2＝5，那么

b

的值為(

A

)A.4B.－4C.3D.－3【解析】由

x1

x2＝－3可得

x1＋

x2＋9＝5，則

x1＋

x2＝－4，∴

b

＝4.A1234567891011121314151617

A.

x2＋4

x

－2＝0B.

x2－4

x

－2＝0C.

x2＋4

x

＋2＝0D.

x2－4

x

＋2＝0【解析】由題可得方程的

x1

x2＝2，

x1＋

x2＝4，只有方程

x2－4

x

＋2＝0

符合.D1234567891011121314151617

利用根與系數(shù)的關(guān)系求相關(guān)代數(shù)式的值7.已知關(guān)于

x

的一元二次方程

x2－3

x

－2＝0的兩實數(shù)根分別為

x1，

x2，

則

x1

x2＋

x1＋

x2的值為(

B

)A.－1B.1C.5D.－5【解析】由方程可得

x1

x2＝－2，

x1＋

x2＝3，∴

x1

x2＋

x1＋

x2＝－2＋3＝1.B12345678910111213141516178.若一元二次方程

x2－

x

－2＝0的兩根分別為

x1，

x2，則(1＋

x1)＋

x2(1

－

x1)的值是

?.【解析】(1＋

x1)＋

x2(1－

x1)＝1＋

x1＋

x2－

x1

x2＝1＋1＋2＝4.9.若

m

，

n

是方程

x2－

x

－101＝0的兩個實數(shù)根，則

m2＋

m

＋2

n

的值

為

.

【解析】把

x

＝

m

代入方程得

m2－

m

－101＝0，

m2－

m

＝101，則

m2＋

m

＋2

n

＝

m2－

m

＋2

m

＋2

n

＝

m2－

m

＋2(

m

＋

n

)＝101＋2×1＝103.4

103

123456789101112131415161710.已知關(guān)于

x

的一元二次方程

x2＋

ax

－6＝0的兩個根是2，

b

，則代數(shù)

式(2

a

＋

b

)2023的值為

?.【解析】由題可得

x1

x2＝2

b

＝－6，∴

b

＝－3，兩根和

x1＋

x2＝－3＋2

＝－1，∴

a

＝1，因此(2

a

＋

b

)2023＝(2－3)2023＝－1.－1

1234567891011121314151617

11.在解關(guān)于

x

的一元二次方程

x2＋

px

＋

q

＝0時，小紅看錯了常數(shù)項

q

，得到方程的兩個根是－3，1.小明看錯了一次項系數(shù)

p

，得到方程的兩個根是5，－4，則原來的方程是(

B

)A.

x2＋2

x

－3＝0B.

x2＋2

x

－20＝0C.

x2－2

x

－20＝0D.

x2－2

x

－3＝0B123456789101112131415161712.若一元二次方程

x2－7

x

＋5＝0的兩個實數(shù)根分別是

a

，

b

，則一次

函數(shù)

y

＝

abx

＋

a

＋

b

的圖象一定不．經(jīng)．過．(

D

)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解析】

a

＋

b

＝7，

ab

＝5，則一次函數(shù)為

y

＝5

x

＋7，此函數(shù)圖象經(jīng)

過第一、二、三象限，不過第四象限.D1234567891011121314151617

123456789101112131415161714.若關(guān)于

x

的方程

x2＋(

a

－1)

x

＋

a2＝0的兩個根互為倒數(shù)，求

a

的值.解：∵方程的兩根互為倒數(shù)，∴兩根的積為1.由根與系數(shù)的關(guān)系，得

a2＝1.解得

a

＝±1.當

a

＝1時，原方程化為

x2＋1＝0.∵Δ＝

b2－4

ac

＝0－4＝－4＜0，∴此

方程沒有實數(shù)根，不符合題意，舍去.當

a

＝－1時，原方程化為

x2－2

x

＋1＝0.∵Δ＝

b2－4

ac

＝(－2)2－4×1＝0.∴此方程有實數(shù)根.∴

a

＝－1.1234567891011121314151617

若關(guān)于

x

的一元二次方程

x2－(2

m

＋3)

x

＋

m2＝0有兩個不相等的

實數(shù)根

x1，

x2，且

x1＋

x2＝

x1

x2，則

m

的值是(

B

)A.－1B.3C.3或－1D.－3或1B123456789101112131415161715.已知關(guān)于

x

的方程

x2－(

k

＋2)

x

＋2

k

＝0.(1)求證：無論

k

為何值，方程總有兩個實數(shù)根；證明：∵Δ＝[－(

k

＋2)]2－4×2

k

＝

k2－4

k

＋4＝(

k

－2)2≥0，∴無論

k

為何值，該方程總有兩個實數(shù)根.(2)求證：無論

k

為何值，方程總有一個定根；證明：∵

x2－(

k

＋2)

x

＋2

k

＝0，∴(

x

－

k

)(

x

－2)＝0.∴

x1＝

k

，

x2＝2.∴無論

k

為何值，方程總有一個定根為

x

＝2.1234567891011121314151617(3)若等腰三角形

ABC

的一邊長

a

＝3，另兩邊長

b

，

c

恰好是這個方程

的兩個根，則△

ABC

的周長是多少？解：①當

b

＝

c

時，則Δ＝0，即(

k

－2)2＝0，∴

k

＝2.則方程可化為

x2－4

x

＋4＝0，∴

x1＝

x2＝2，即

b

＝

c

＝2.∴△

ABC

的周長＝

a

＋

b

＋

c

＝3＋2＋2＝7；1234567891011121314151617②當

b

＝

a

＝3時，∵

x2－(

k

＋2)

x

＋2

k

＝0，由(2)知

x1＝

k

，

x2＝2.∵另兩邊長

b

，

c

恰好是這個方程的兩個根，∴

k

＝

b

＝3，

c

＝2.∴△

ABC

的周長＝

a

＋

b

＋

c

＝3＋3＋2＝8.綜上所述，△

ABC

的周長為7或8.1234567891011121314151617

16.

有理數(shù)

a

，

b

，

c

對應的點在數(shù)軸上的位置如圖所示