2024年中考數(shù)學壓軸題之二次函數(shù)篇二次函數(shù)-面積最大值問題

第七講二次函數(shù)-面積最大值問題

目錄

必備知識點.............................................................................1

考點一三角形面積的最大值..............................................................1

考點二四邊形面積的最大值..............................................................7

考點三.圖形面積和、差、比的最大值....................................................13

)知識導航

必備知識點

基本原理:

豎直線段一個數(shù)學思想：轉(zhuǎn)化思想

兩個基本線段：豎直線段和水平線段

四個轉(zhuǎn)化：水平線段轉(zhuǎn)化)豎直線段

斜線段一轉(zhuǎn)化>豎直線段

AB=(XRXJI=X-XJ

AB=|yx-y2|玉玉2三角形周長…營化)豎直線段

(縱坐標相減)(橫坐標相減)

三角形面積一舉化?豎直線段

上減下右減左

考點一三角形面積的最大值

1.如圖，拋物線y=a/+bx+3與x軸交于/(-2,0)、2(6,0)兩點，與y軸交于點C.直線/

與拋物線交于N、。兩點，點。的坐標為(4,〃).

(1)求拋物線的解析式與直線I的解析式；

(2)若點P是拋物線上的點且在直線/上方，連接P/、PD,求當△尸面積最大時點尸的坐

標及該面積的最大值；

［解答］解：（1）把點A（-2,0）,B（6,0）代入y=ax2+bx-3,

（4a~2b+3=0

l36a+6b+3=0

'J

解得：a一7

tb=l

拋物線的解析式為：y=-工f+x+3；

4

把點D的坐標為（4,n）代入y=-L?+x+3得〃=3,

4

設直線/函數(shù)關系式為：y=mx+n,

把點(-2,0)和(4,3)代入，

f-2m+n=0

14m+n=3

解得：m=T,

,n=l

???直線/的函數(shù)關系式為：y=lx+l

2

(2)設P(加，-lm2+m+3),過尸點作尸加〃y軸交直線/于N交x軸于

4

則點N的坐標為(w,—m+\),

2

2

S^PAD=S^APN+SADPN=—x(--m~+m+?>--m-1)(4+2)=--m+—m+6=--1)

242424

4

???當加=1時，△尸4D面積最大,

此時，點尸的坐標為（1,西），該面積的最大值為亞；

2.如圖1,拋物線>=62_2x+c（q聲0）與％軸、V軸分別交于點4,B,C三點、,已知點4（-2,

0）,點。（0,?8）,點。是拋物線的頂點.

（1）求此拋物線的解析式；

(2)若點尸在直線BC下方的拋物線上運動，求點P運動到何處時，4PBC的面積最大?

【解答】解：(1)??,拋物線產(chǎn)。f-2x+c與x軸、y軸分別交于點/(-2,0)、C(0,-8),

.(4a+4+c=0,

|c=-8.

解得：卜口

[c=-8.

拋物線的解析式為y=--2x-8；

(2)如圖1,過點尸作尸尸〃y軸，交BC于點F.

圖1

在拋物線y=f-2x-8中，令y=0,貝儲-2%-8=0,

解得：xi=4或X2=-2,

.■.B(4,0).

由點8(4,0)和C(0,-8),可得直線8c的解析式為y=2x-8.

設點P的坐標為(n,?2-2M-8),則點F的坐標為("，2〃-8),

由題知Ov幾v4,

.，.PF=(2〃-8)-(幾2-2幾-8)

=-層+4兒

:S^PBC=S2PB盧SKPF=—OB9PF

2

=工x4X(-〃2+4〃)

2

=-2層+8,

=-2(幾-2)2+8.

*/0<2<4,

二.當〃=2時，S2PBe取得最大值,

此時，點尸的坐標為(2,-8)；

3.如圖，已知拋物線歹=。/+及-4與x軸交于4,B兩點,與歹軸交于點C,且點/的坐標為(-

2,0),直線2C的解析式為>=工”4.

2

(1)求拋物線的解析式.

(2)如圖1,過點/作AD//BC交拋物線于點D(異于點A\P是直線BC下方拋物線上一點,

過點P作軸，交/。于點0,過點0作。尺，3c于點心連接PR求△PQR面積的最大

值及此時點P的坐標.

圖1

【解答】解：(1)?高點在X軸上，且8點在>=工》-4上,

2

■-B(8,0),

■-A(-2.0),B(8,0),都在拋物線尸后+區(qū)一4上,

.\x=-2,x=8是方程辦-4=0的兩個根，

aa

??U.--,U——,

42

-'■y=—x1-—%-4；

'42

(2)-：AD//BC,直線2c的解析式為尸L-4,

2

直線AD的解析式為7=-lx+1,

2

過點2作2GL4D交點G,

■.■QRA.BC,

：.QR=BG,

在Rtz\A8G中，^5=10,tanZ5^G=A,

2

:.BG=2店,

設P(m,—nr--m-4),R(n,-n-4),貝!J。（冽，—m+1）,

422一2

?:QR=2爬,

20=(m-?)2+gm-^n+5)2，

n-m=2,

:.R(m+2,—m-3),

2

SAPOR=—x(—m+1-—m2,+—m+4)x2=-—m2+2m+5=-—(m-4)2+9,

224244

二.當冽=4時，Sv?有最大值9,

圖1

4.如圖，拋物線yuf+fcv+c與％軸相交于點4(-1,0)和點5,交》軸于點C,tanZAC0=^-

3

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,P點為一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，。點是8C中點，連接尸。，BD,PB.求4

BDP面積的最大值以及此時P點坐標；

【解答】解：(1)???/(-1,0),

OA=1,

'''tanNAC。］，

o

??.OC=3,

.,.C(0,-3),

將C(0,-3)代入y=x2+bx+c,

.(l-b+c=0

lc=-3，

解得(b=-2

lc=-3

■'-y=x2-2x-3;

(2)令y=0,貝I"-2x-3=0,

解得x=-1或x=3,

-B(3,0),

點是8c中點，

■■-D(-2,-3),

22

設直線BC的解析式為y=kx+b.

.(3k+b=0

lb=-3,

.(k=l

'lb=-3'

■'■y=x-3,

過點P作PG〃歹軸，交8c于點G,

設尸(a,a2-2a-3),則G(a,a-3),

-'-PG=-/+3a,

??S^BDP=—xPNx(3-)=-—(a-)2+2'-,

224216

---0<a<3,

.?.當時，△AD尸面積的最大值為2L,

216

考點二四邊形面積的最大值

5.如圖，拋物線產(chǎn)-尹+妙+2與x軸交于/、3兩點，與y軸交于點C,拋物線的對稱軸直線x

=3交x軸于點D

2

(1)求加的值;

(2)點E是線段上的一個動點.過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點足與x軸相交于點

H,連接CF、BF、OE.當四邊形CDAF的面積最大時，請你說明四邊形。CFE的形狀.

【解答】解：(1)?對稱軸直線x=3,

2

?加=3.

2

(2)：BD=殳,

2

S^BCD=—xBDxOC=—x±Lx2=—,

2222

---s四邊形CDBF=S^BCD+S^BCF,

―當SABCF取大時，S四邊形CDB尸就成大，

設直線BC的解析式為y=kx+b,

,f4k+b=0

"lb=2'

(}r-1--

解得2,

b=2

-'-y=--x+2,

2

設/("z,--m2+—m+2)，則E(〃?，-—w+2),

222

-'-EF=--m2+—m+2+—m-2=--m2+lm=-—(m-2)2+2,

22222

.?.當加=2時，EF最大,此時打小尸最大，

3),￡(2,1),

:.EF=2,

'.-0C=2,

CO//EF,CO=EF,

???四邊形COFE是平行四邊形；

6.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a/+6x+c與x軸交于/(-1,0),3(3,0),交y軸于

點C,且0c=3.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點P為直線3C下方拋物線上的一點，連接NC、BC、CP、BP,求四邊形PC/3的面積的

最大值，以及此時點P的坐標；

【解答】解：(1)?.?0C=3,

，C(0,-3),

將點/(-1,0),8(3,0),C(0,-3)代入y=ax2+bx+c,

a-b+c=0

得，9a+3b+c=0,

.c=-3

'a=l

解得，b=-2,

=-

Lc3

■'-y=x2-2x-3;

(2).'S四邊形pats=SAABC+S^PBC,

.,.當S^PBC面積最大時，S四邊形PC/B的面積最大，

設BC的直線解析式y(tǒng)=kx+b,

.(3k+b=0

lb=-3,

解得仆=1,

lb=-3

-,?y=x-3,

過點P作，x軸交BC于點。，

設尸(,,Z2-2Z-3),則。(t,/-3),

，當尸。最大時，面積最大，

PQ=t-3-戶+2什3=-於+3/=-(/--)2+—,

24

當片3時，尸。取最大值9,

24

二尸(3,-匹)，

24

--A(-1,0),5(3,0),C(0,3),

.-.AB=4,

'''S四邊形PCAB=S4ABe+S4PBe=X4x3+XX_1.X3=；

7.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-^x2+|"x+衣X軸于/、2兩點(點/在點2左側(cè))，

交y軸于點C,一次函數(shù)了=b+6(4/0)與拋物線交于8、。兩點，已知cos乙/3。=合區(qū).

5

(1)求點D的坐標；

(2)點尸是拋物線的頂點，連接5尸尸是拋物線上方、。兩點之間的任意一點，過點尸作可

//BF交BD于點、E,連接尸入PD、FE.求四邊形尸尸面積的最大值及相應的點尸的坐標；

【解答】解：（1）當y=0時,32玲x+2=0,

解得x=-1或X=4,

■.A（-1,0）,B（4,0）,

如圖，設3。與y軸交于點G,貝iJcos4/8D=a=空殳

_BG5

.4,275

?-----------------,

BG5

:.BG=2疾,

0G=3,

.?.G(0,-2),

將B,G的坐標代入直線>；=米+乩

(1

.J4k+b=0,解得k=j：

IbT|b=-2

直線BD的解析式為：y=^x-2,

2

令-2=-yx2-tyx+2，

解得x=-2或x=4(舍)，

.■.D(-2,-3).

（2）如圖，連接尸3,

：PE//BE,

,\S〉PBE=S^PEF,

s四邊形PFED=sAPED+S&PFE=sMPED+SMPBE=SRPBD,

過點P作PH//y軸交BD于點H,

S^PBD=-'PH'(XB-xp)+—?PH*(xp-X。)=LPH,(XB-XD),

222

設P(x,-—x2-+—x+l),則//(x,—x-2),

222

：.PH=-JL/+3X+2-(AX-2)=-JL/+X+4,

2222

四邊形PFED=S^PBO="^■?尸4(XB-x。)=(--LX2+X+4)x(4+2)=-^-X2+3X+12,

衛(wèi)<0,

二當x=---------=1時，S四邊形PFED有最大值?土，

2X(4)2

此時P(1,3).

8.如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+6x+c(。關0)與直線y=-^x+2交于x軸上的點當

y軸上的點C,且其對稱軸為直線x=1.該拋物線與x軸的另一交點為點4頂點為

(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；

(2)如圖2,長度為遙的線段。尸在線段3c上滑動(點。在點尸的左側(cè))，過。，產(chǎn)分別作y

軸的平行線，交拋物線于E,P兩點，連接尸E.求四邊形尸陽E面積的最大值及此時點尸坐標;

圖1圖2

【解答】解：（1）對y=—^x+2，當x=0時，y=2,當y=0時，x=4,

???點B（4,0）,點C（0,2）,

將點B和點C的坐標代入y=a^+bx+c,得

（1

（16a+4b+c=0,化簡得:b=-4a-7）

1c=2Ic=2

???對稱軸為直線x=3,

2

-上_=3,即有6=-3a,

2a2

?--4。-=-3a,

2

：.a=--,b=3,

22

.,?拋物線的解析式為＞=-AX2+-1X+2=--1（X-3）2+2殳，

22228

???頂點M的坐標（3,空）.

28

(2)如圖2,過點尸作尸。，尸尸于點。，過點尸作尸于點N,

.'PFlx^A,￡￡>_Lx軸，

ADQF=ABOC=90°,AQDF=AOBC,DQ=PN,

/\DQF^/\BOC,

-B(4,0),C(0,2),

；.OB=4,OC=2,

:.BC=2近,

■.DF=4S,

.DQDFQFHMQ臟QF

,,而武銃’4

：.DQ=PN=2,FQ=1,

2

設點D的坐標為(x,-lx+2)，則點E(x,-i-x+lx+2)，尸(x+2,-4.),尸(x+2,--x2

22222

-—x+3),

2

22

：.ED=-AX+2X,PF=-AX+2,

22

PF+ED2

S四邊形PFDE=S^DP盧S^PDE=ypp-DQ+yED-PN==-^+2-■X2+2X=-X2+2X+2=

-(x-1)」+3,

，當x=l時，四邊形尸陽E面積的最大值為3,

此時，點E的坐標為(1,3),點尸坐標為(3,2).

圖2

考點三圖形面積和、差、比的最大值

9.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>=-f+fcc+c與入軸交于/(-5,)、3(1,0)兩點,

2

與)，軸交于點C

(1)求拋物線的解析式;

(2)連接/。，8C,點。是線段/C上一點，過點。作DE〃BC交線段NC上方的拋物線于點￡,

過點E作瓦軸交直線/C于點過點。作。NLEM于點N,求陰影部分面積S的最大值

和此時點E的坐標.

【解答】解：(1)把N(-盤，0)、8(1,0)代入拋物線y=-f+6x+c得,,

-

Ll+b+c=O

二拋物線的解析式為：y=-x2-3x+$.

22

(2)如圖，延長交y軸于點尸，

■.-DE//BC,

：.乙PCB=ACPE,

??,EN〃y軸，

乙MEP=乙CPE,

乙PCB=乙MEP,

???DN1EM,

:.XENDsRCOB,

：.EN：ND=CO：OB,

把x=0代入y=-x2-3x+互得，y=立，

222

.?.C(o,包)，

2

.-.OA=OC=^-,

2

：.EN：ND=3：1,BPEN=^-ND,AACO=45°,

22

???￡N〃了軸，

ADMN=AACO=45°,

：.NM=DN,

：.EM=EN+NM=^-ND+ND=1.ND,

22

把/(一S,o),C(0,$)代入/C：y=丘+6得，

22

直線NC的解析式為：y=x+L.

2

設E(x,-x2-—x+—),M(x,x+—),

222

22

：.EM=-x-Ax+A-(x+5)=-x-^-x=J-ND,

22222

.'.ND=--x2-—x,

77

s=Ax7VOXoc=^-ND=-且/-至了=--L(x+$)2+l^,

241428144224

止匕時￡,(-A,型).

4224

綜上可知，S的最大值為工空；此時￡(-9，125)

2244224,

10.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線芻X-2與X軸交于/、8兩點(點/在點2

33

的左側(cè)），與y軸交于點C

(1)求點A的坐標；

(2)如圖1,連接NC,點。為線段/C下方拋物線上一動點，過點D作。E〃＞軸交線段/C于

E點、,連接EO,記△/OC的面積為S,/^AEO的面積為S2,求Si-S2的最大值及此時點D的

坐標；

【解答】解：(1),??拋物線卷X-2,與X軸交于4、5兩點，

令＞=0,得2x2"^x-2=0，解得X1=-3,X2=l,

33

???點/在點8的左側(cè)，

，點/的坐標為(-3,0)；

(2)如圖1,延長DE交x軸于點K,

??,拋物線與＞軸交于點C,

.?.C(0,-2),

設直線/C的函數(shù)表達式為3；=船+〃(后關0),

--A(-3,0),C(0,-2),

.(n=~2

l-3k+n=0'

2

解得3,

,n=-2

???直線AC的函數(shù)表達式為y=-lx_2，

3

設D(tyt2+1t-2)，其中-3v"0,

?,E(t,K(t,0),

o

??DE—-■於-2，，

3

??.Sfk等上專3=7』

===(+2)

S2SAAEO^ff=2

.-.Si-S2=-f2-3?-Z-3=-t2-4t-3=-(f+2)2+l,

???當看-2時，Si-S?取得最大值，最大值為1,

11.已知拋物線與x軸交于43兩點，且經(jīng)過點C（0,-2）,頂點坐標為（3,且

28

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,點。為第四象限拋物線上一點，連接40,2C交于點￡,連接AD,記△ADE的面

S,_

積為Si,的面積為S2,當一L最大時，求D點坐標;

$2

圖1

【解答】解：（1）設拋物線的解析式為＞=〃（X-三）2一型,

28

,?,將C（O,-2）代入得：4。=2,解得Q=JL,

.??拋物線的解析式為尸工(X-3)2一生，即產(chǎn)12_2_2;

22822

(2)過點。作軸于點G,交BC于點F,過點/作軸交8C的延長線于點K,

.-.AK//DG,

/\AKE^/\DFE,

,.--D-F---D-E-,

AKAE

.S1_SABDE_DE_DF

522AABE皿郎

設直線BC的解析式為y=kx+b,

.|/4k+b=0

lb=-2,

r,i

解得2,

,b=-2

???直線8c的解析式為>=工x-2,

2

■-A(-1,0),

■■y=---2=-—,

22

:.AK=k,

2

設￡>(m,—m2-—m-2),貝！J尸(冽，—m-2),

222

.'.DF=—m-2-(—m2---m-2)=--m2+2m.

2222

12H