湖南省婁底市某中學2024年中考試題猜想數(shù)學試卷（含解析）

湖南省婁底市婁底一中學2024年中考試題猜想數(shù)學試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.已知a-b=L貝!|a3-a'b+b?-2ab的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學專著，它對我國古代后世的數(shù)學家產(chǎn)生了深遠的影響，該書中記載了一個問題,

大意是：有幾個人一起去買一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，問有多少人？該物品價幾何？設

有x人，物品價值y元，則所列方程組正確的是（）

f8y+3=xJ8x+3=y

.〔7y-4=x?[7x-4=y

j8x-3=yj8y-3=x

[7x+4=y17y+4=x

3.如圖，四邊形43a）中，AC±BC,AD//BC,BC=3>,AC=4,AD=1.M是30的中點，則CM的長為（）

2

2

如圖，平行于BC的直線DE把4ABC分成面積相等的兩部分，則—的值為（

AD

C.V2-1D.72+1

5.若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的x與y的部分對應值如下表:

X-2-1012

y830-10

則拋物線的頂點坐標是（）

A.(-1,3)B.(0,0)C.(1,-1)D.(2,0)

6.已知拋物線丁=奴2+（2-?？?2（?！?）的圖像與犬軸交于4、B兩點（點A在點3的右側(cè)），與y軸交于點C.

給出下列結(jié)論：①當。＞0的條件下，無論。取何值，點4是一個定點；②當。＞0的條件下，無論4取何值，拋物線

的對稱軸一定位于y軸的左側(cè)；③y的最小值不大于-2；?^AB=AC,則a=.其中正確的結(jié)論有（）個.

2

A.1個B.2個C.3個D.4個

7.數(shù)據(jù)3、6、7、1、7、2、9的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）

A.1和7B.1和9C.6和7D.6和9

8.如圖，AABC中，BC=4,OP與△ABC的邊或邊的延長線相切.若。P半徑為2,△ABC的面積為5,則△ABC

C.13D.14

9.A、5兩地相距180km,新修的高速公路開通后，在A、3兩地間行駛的長途客車平均車速提高了50%,而從A地

到5地的時間縮短了lh.若設原來的平均車速為xkm/h,則根據(jù)題意可列方程為

180180,180180,

A.—--------------------------二1B.

X(1+50%)%(1+50%)%X

1801801180180,

---二1

c.—-D.

X(1-50%)%(1-50%)%X

10.初三（1）班的座位表如圖所示，如果如圖所示建立平面直角坐標系，并且“過道也占一個位置”，例如小王所對應

的坐標為（3,2）,小芳的為（5,1）,小明的為（10,2）,那么小李所對應的坐標是（）

J'A

A.(6,3)B.(6,4)C.(7,4)D.(8,4)

二、填空題(共7小題，每小題3分，滿分21分)

11.如圖，AB.CD相交于點O,AD=CB,請你補充一個條件，使得△40。之△CO5,你補充的條件是

12.-工的絕對值是

2

13.我們知道:四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形A3C。的邊A5在x軸上，4-3,0),3(4,0),

邊AO長為5.現(xiàn)固定邊A3,“推”矩形使點。落在y軸的正半軸上(落點記為。0,相應地，點C的對應點C'的坐

標為1

14.在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點，分別沿斜邊中點與這兩點的連線剪去兩個三角形，剩下的部分是

如圖所示的四邊形，AB/7CD,CD_LBC于C,且AB、BC、CD邊長分別為2,4,3,則原直角三角形紙片的斜邊長

是.

15.已知一組數(shù)據(jù)3,4,6,x,9的平均數(shù)是6,那么這組數(shù)據(jù)的方差等于

16.如圖1,點P從△ABC的頂點B出發(fā)，沿B-C—A勻速運動到點A,圖2是點P運動時，線段BP的長度y隨

時間x變化的關(guān)系圖象，其中M為曲線部分的最低點，則AABC的面積是

17.如圖，在矩形ABC。中，對角線AC與3。相交于點0,過點A作垂足為點E,若NEAC=2NCAD,

貝！|NR4E=_________度.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）先化簡，再求值：————土土，其中*=應-1.

x+4x+4x+2x+2

19.（5分）已知：AB為。O上一點，如圖，AB=12,BC=4A/3-BH與。O相切于點B,過點C作BH的平行線

交AB于點E.

(2)延長CE至UF,使.EF=g，連結(jié)BF并延長BF交于點G,求BG的長;

(3)在（2）的條件下，連結(jié)GC并延長GC交BH于點D,求證：BD=BG

20.（8分）如圖，矩形ABC。中，對角線AC,6。相交于點。，且A3=8cm,BC=6cm.動點P,。分別從點

C,A同時出發(fā)，運動速度均為lcm/s.點P沿C-DfA運動，到點A停止.點。沿A—OfC運動，點。到

點。停留4s后繼續(xù)運動，到點。停止.連接BP,BQ,PQ,設V8PQ的面積為'（cm?）（這里規(guī)定：線段是面

積為0的三角形），點P的運動時間為x（s）.

（1）求線段PD的長（用含X的代數(shù)式表示）；

（2）求5麴k14時，求y與X之間的函數(shù)解析式，并寫出X的取值范圍;

（3）當y=6時，直接寫出X的取值范圍.

21.（10分）如圖,在平行四邊形ABCD中，過點A作AE±BC,垂足為E,連接DE,F為線段DE上一點，且NAFE=NB

△ADF^ADEC；若AB=8,AD=65AF=4G求AE的長.

22.（10分）校車安全是近幾年社會關(guān)注的重大問題，安全隱患主要是超速和超載.某中學數(shù)學活動小組設計了如下

檢測公路上行駛的汽車速度的實驗：先在公路旁邊選取一點C,再在筆直的車道/上確定點D,使CD與/垂直，測得

CD的長等于21米，在/上點D的同側(cè)取點A、B,使NCAD=30。，ZCBD=60°.求AB的長（精確到0.1米，參考

數(shù)據(jù)：1,73,72^1.41）;已知本路段對校車限速為40千米/小時，若測得某輛校車從A到B用時2秒，這輛

校車是否超速?說明理由.

23.（12分）如圖，△ABC內(nèi)接于。O,過點C作5c的垂線交。。于。，點E在5c的延長線上，且NZ>EC=NR4C.求

證：OE是。。的切線；若AC〃OE,當A5=8,CE=2時，求。。直徑的長.

24.(14分)計算：(-1)-2-2(73+4)+|1-V12|

參考答案

一、選擇題(每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分)

1、C

【解析】

先將前兩項提公因式，然后把。-公1代入，化簡后再與后兩項結(jié)合進行分解因式，最后再代入計算.

【詳解】

a3-a2b+b2-2ab-a2(a-b')+b2-2ab-a2+b2-lab-(a-b)2=1.

故選C.

【點睛】

本題考查了因式分解的應用，四項不能整體分解，關(guān)鍵是利用所給式子的值，將前兩項先分解化簡后，再與后兩項結(jié)

合.

2、C

【解析】

8x-3=y

根據(jù)題意相等關(guān)系：①8x人數(shù)-3=物品價值，②7x人數(shù)+4=物品價值，可列方程組：一“‘，

7x+4=y

故選C.

點睛：本題考查了二元一次方程組的應用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系.

3、C

【解析】

延長3c到E使利用中點的性質(zhì)得到DE^-AB,再利用勾股定理進行計算即可解答.

22

【詳解】

解：延長到E使3E=A。，VBC//AD,二四邊形ACE。是平行四邊形，.\DE=AB,

VBC=3,AD=1,

.??C是BE的中點，

是80的中點，

11

CM=—DE=—AB

229

VAC±BC,

'-AB=7AC2+BC2="2+32=5，

5

2

此題考查平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，解題關(guān)鍵在于作輔助線.

4、C

【解析】

【分析】由DE〃BC可得出AADES/\ABC,利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合SAADE=S四邊形BCED,可得出32=立，結(jié)

AB2

BD

合BD=AB-AD即可求出——的值.

AD

【詳解】

.?.ZADE=ZB,ZAED=ZC,

.'.△ADE^AABC,

lABJ5ABC

,**SAADE=S四邊形BCED,SAABC=SAADE+S四邊形BCED,

.AD72

??瓦―y

.BDAB-AD2-42_弁

ADADV2

故選C.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

5、C

【解析】

分析：由表中所給數(shù)據(jù)，可求得二次函數(shù)解析式，則可求得其頂點坐標.

詳解：當x=0或％=2時，y=。，當％=1時，y=-l,

c=0[a-\

4a+2b+c=0,解得<〃二一2,

a+b+c=—l[c=0

22

???二次函數(shù)解析式為y=x-2x=(x-l)-l9

二拋物線的頂點坐標為(L-l),

故選c.

點睛：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，利用條件求得二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

6、C

【解析】

①利用拋物線兩點式方程進行判斷；

②根據(jù)根的判別式來確定a的取值范圍，然后根據(jù)對稱軸方程進行計算；

③利用頂點坐標公式進行解答；

④利用兩點間的距離公式進行解答.

【詳解】

(1-a)x-l=(x-1)(ax+1).則該拋物線恒過點A(1,0).故①正確;

②?.?y=ax4(1-a)x-1(a>0)的圖象與x軸有1個交點，

/.△=(1-a)48a=(a+1)*>0,

，aR-L

...該拋物線的對稱軸為：x=^=1--,無法判定的正負.

2a2a

故②不一定正確；

③根據(jù)拋物線與y軸交于(0,-1)可知，y的最小值不大于-1,故③正確；

2

④TA(1,0),B0),C(0,-1),

a

：.當AB=AC時，.(1+-)2=Jl2+(-2)2,

Va,

解得：a=^5,故④正確.

2

綜上所述，正確的結(jié)論有3個.

故選C.

【點睛】

b

考查了二次函數(shù)與X軸的交點及其性質(zhì).（1）.拋物線是軸對稱圖形.對稱軸為直線x=-2，對稱軸與拋物線唯一的

2a

交點為拋物線的頂點P;特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）；（1）.拋物線有一個頂點P,坐標

b

為P（-b/la,（4ac-bl）/4a）,當--=0,（即b=0）時，P在y軸上；當A=bL4ac=0時，P在x軸上；（3）.二次項系

2a

數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小；當a>0時，拋物線開口向上；當a<0時，拋物線開口向下；|a|越大，則拋物線的

開口越小.（4）.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置；當a與b同號時（即ab>0）,對稱軸在y軸左;

當a與b異號時（即ab<0）,對稱軸在y軸右；（5）.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點；拋物線與y軸交于（0,c）；（6）.

拋物線與x軸交點個數(shù)

A=bl-4ac>0時，拋物線與x軸有1個交點；A=bL4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；

A=bl-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.X的取值是虛數(shù)（x=-b±Ybl—4ac乘上虛數(shù)i,整個式子除以la）；當a>0

時，函數(shù)在x=-b/la處取得最小值f（-b/la）=（4ac-bl）/4a；在｛x[x<-b/la｝上是減函數(shù)，在｛x[x>-b/la｝上是增函數(shù)；拋物

線的開口向上；函數(shù)的值域是｛y|y%ac-bl/4a｝相反不變；當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數(shù)是偶函數(shù)，

解析式變形為y=axl+c（a/0）.

7、C

【解析】

如果一組數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，那么把這組數(shù)據(jù)從小到大排列后，排在中間位置的數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果一組數(shù)據(jù)有

偶數(shù)個，那么把這組數(shù)據(jù)從小到大排列后，排在中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次

數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù).

【詳解】

解：7出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

二眾數(shù)是7；

?.?從小到大排列后是：1,2,3,6,7,7,9,排在中間的數(shù)是6,

...中位數(shù)是6

故選C.

【點睛】

本題考查了中位數(shù)和眾數(shù)的求法，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握中位數(shù)和眾數(shù)的定義.

8、C

【解析】

根據(jù)三角形的面積公式以及切線長定理即可求出答案.

【詳解】

連接PE、PF、PG,AP,

由題意可知：ZPEC=ZPFA=PGA=90°,

11

:.SPBC=-BCPE=-x4x2=4,

A22

由切線長定理可知：SAPFC+SAPBG=SAPBC=4,

；?S四邊形AFPG=SAABC+SAPFC+SAPBG+SAPBC=5+4+4=13,

113

J由切線長定理可知：SAAPG=一S四邊形AFPG=>

22

131

=一XAG?PG,

22

13

.,.AG=—,

2

由切線長定理可知：CE=CF,BE=BG,

/.△ABC的周長為AC+AB+CE+BE

=AC+AB+CF+BG

=AF+AG

=2AG

=13,

故選C.

【點睛】

本題考查切線長定理，解題的關(guān)鍵是畫出輔助線，熟練運用切線長定理，本題屬于中等題型.

9、A

【解析】

直接利用在A,B兩地間行駛的長途客車平均車速提高了50%,而從A地到B地的時間縮短了lh,利用時間差值得

出等式即可.

【詳解】

解：設原來的平均車速為xkm/h,則根據(jù)題意可列方程為：

180180

—"(1+50%)%-'

故選A.

【點睛】

本題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，根據(jù)題意得出正確等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

10、C

【解析】

根據(jù)題意知小李所對應的坐標是（7,4）.

故選C.

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11、NA=NC或NADC=NABC

【解析】

本題證明兩三角形全等的三個條件中已經(jīng)具備一邊和一角，所以只要再添加一組對應角或邊相等即可.

【詳解】

添加條件可以是：NA=NC或NADC=NABC.

?添加NA=NC根據(jù)AAS判定△AOD^ACOB,

添加NADC=NABC根據(jù)AAS判定AAOD^ACOB,

故填空答案：ZA=ZC或NADC=ZABC.

【點睛】

本題考查了三角形全等的判定方法；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加時注意:

AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解題的關(guān)鍵.

1

12、一

2

【解析】

絕對值是指一個數(shù)在數(shù)軸上所對應點到原點的距離，用“||”來表示.|b-a|或|a-b|表示數(shù)軸上表示a的點和表示b的點的

距離.

【詳解】

-工的絕對值是I--k-

222

【點睛】

本題考查的是絕對值，熟練掌握絕對值的定義是解題的關(guān)鍵.

13、（7,4）

【解析】

分析：根據(jù)勾股定理，可得8',根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得答案.

詳解：由勾股定理得：OD'=ylD'^-AO2=4，即〃(0,4).

矩形ABCD的邊AB在x軸上，二四邊形ABC'。'是平行四邊形，

AD0=BC,CZ)0=AB=4-(-3)=7,C'與。，的縱坐標相等，；.C'(7,4),故答案為(7,4).

點睛：本題考查了多邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得出AD仁BC,CW=AB=4-(-3)=7是解題的關(guān)鍵.

14、4、-或1

【解析】

先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理求出斜邊上的中線，最后即可求出斜邊的長.

【詳解】

①如圖：因為AC=_=2,

'7.-V-?

點A是斜邊EF的中點,

所以EF=2AC=4

②如圖：

因為BD==5,

點D是斜邊EF的中點,

所以EF=2BD=1,

CE

綜上所述，原直角三角形紙片的斜邊長是47或1,

V**

故答案是：4、y或1.

V**

【點睛】

此題考查了圖形的剪拼，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意畫出圖形，在解題時要注意分兩種情況畫圖，不要漏解.

15、5.2

【解析】

分析：首先根據(jù)平均數(shù)求出x的值，然后根據(jù)方差的計算法則進行計算即可得出答案.

詳解：I?平均數(shù)為6,，（3+4+6+x+9）+5=6,解得：x=8,

???方差為：-P（3-6）2+（4-6）2+（6-6）2+（8-6）2+（9-6）21=5.2.

點睛：本題主要考查的是平均數(shù)和方差的計算法則，屬于基礎(chǔ)題型.明確計算公式是解決這個問題的關(guān)鍵.

16、12

【解析】

根據(jù)圖象可知點P在BC上運動時，此時BP不斷增大，而從C向A運動時，BP先變小后變大，從而可求出線段長

度解答.

【詳解】

根據(jù)題意觀察圖象可得BC=5,點P在AC上運動時，BPLAC時，BP有最小值，觀察圖象可得，BP的最小值為4,

即BP，AC時BP=4,又勾股定理求得CP=3,因點P從點C運動到點A,根據(jù)函數(shù)的對稱性可得CP=AP=3,所以AABC

的面積是一x（3+3）x4=12.

2

【點睛】

本題考查動點問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是注意結(jié)合圖象求出線段的長度，本題屬于中等題型.

17、22.5°

【解析】

四邊形ABCD是矩形，

.AC=BD,OA=OC,OB=OD,

OA=OB=OC,

ZOAD=ZODA,ZOAB=ZOBA,

ZAOE=ZOAD+ZODA=2ZOAD,

ZEAC=2ZCAD,

ZEAO=ZAOE,

AE±BD,

/AEO=90°,

ZAOE=45°,

ZOAB=ZOBA=67.5°,

即NBAE=NOAB-ZOAE=22.5°.

考點：矩形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18、V2-1.

【解析】

試題分析：

Y2%+2x-1

試題解析：原式二:―-7x——

(x+2)2xx+2

_xx-l

x+2x+2

1

x+2

原式二血

當—l時,—L

考點：分式的化簡求值.

19、（1）CE=4C；（2）BG=8應；（3）證明見解析.

【解析】

（1）只要證明△ABCS4CBE,可得生=竺，由此即可解決問題；

CEAC

BGBE__________

（2）連接AG,只要證明△A3GSAF3E,可得不;二釬，由BE=&4后一嶼面=4,再求出3尸，即可解決

JABBF'

問題；

（3）通過計算首先證明CF=FG,推出NFCG=NFGC,由C尸〃50,推出NGCF=NBDG,推出NBDG=N5GZ>

即可證明.

【詳解】

解：（1）：BH與。。相切于點B,

VBH/7CE,

.?.CE±AB,

TAB是直徑，

.\ZCEB=ZACB=90°,

VZCBE=ZABC,

.".△ABC^ACBE,

.BCAB

??一,

CEAC

''AC=y/AB2-BC2=476>

.?.CE=40.

(2)連接AG.

VZFEB=ZAGB=90°,ZEBF=ZABG,

/.△ABG^AFBE,

.BGBE

??一,

ABBF

VBE=(4后=4,

-BF=VBE2+EF2=3V2，

.-G_4

12—3亞，

，BG=8&.

(3)易知CF=40+0=50,

.,.GF=BG-BF=5V2.

,,.CF=GF,

.".ZFCG=ZFGC,

VCF/7BD,

.,.ZGCF=ZBDG,

/.ZBDG=ZBGD,

.".BG=BD.

H

【點睛】

本題考查的是切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應用，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題

的關(guān)鍵.

20、(1)當OVxWl時,PD=l-x,當1VXW14時,PD=x-l.

3

--^+12(5<x<8)

(2)y=j2x-16(8<x<9)；(3)5<x<9

--x2+—x-88(9<^<14)

、55

【解析】

(1)分點P在線段CD或在線段AD上兩種情形分別求解即可.

(2)分三種情形：①當5<x<l時，如圖1中，根據(jù)y=；SADPB,求解即可.②當l<x<9時，如圖2中，根據(jù)y=^-SADPB,

求解即可.③9VxW14時，如圖3中，根據(jù)y=S&APQ+SAABQ-SAPAB計算即可.

(3)根據(jù)(2)中結(jié)論即可判斷.

【詳解】

解：(1)當OVxWl時，PD=l-x,

當IV爛14時，PD=x-l.

(2)①當5<x<l時，如圖1中,

B

圖1

???四邊形ABCD是矩形，

/.OD=OB,

111,、3,、3

..y=-SADPB=-x—?(1-x)?6=—(1-x)=12--x.

22222

②當1<XS9時，如圖2中，y=-SADPB=-x-(x-1)xl=2x-2.

一222

葭_____________

AB

圖2

14、13/、1,、2,48

③9VxW14時，如圖3中，y=S^APQ+SAABQ-SAPAB=]?(14-x)(x-4)+—xlx—(tx-4)--Xlx(14-X)=--x2+—x-11.

25255

D?______________

.4B

圖3

f3

--x+12(5<x<8)

綜上所述，y={2x-16(8<x<9)

--x2+—x-88(9<x<14)

、55

(3)由(2)可知：當5WxW9時，y=；SABDP.

【點睛】

本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，三角形的面積等知識,解題的關(guān)鍵是理解題意，學會用分類討論的思想

思考問題，屬于中考?？碱}型.

21、(1)見解析(2)6

【解析】

(1)利用對應兩角相等，證明兩個三角形相似△ADFsZ\DEC.

(2)利用AADFS/\DEC,可以求出線段DE的長度；然后在在RtAADE中，利用勾股定理求出線段AE的長度.

【詳解】

解：(1)證明：二?四邊形ABCD是平行四邊形，

，AB〃CD,AD/7BC

.,.ZC+ZB=110°,ZADF=ZDEC

VZAFD+ZAFE=110°,ZAFE=ZB,

/.ZAFD=ZC

在小ADF與△DEC中，VZAFD=Z