2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：反比例函數(shù)的性質(zhì)培優(yōu)學(xué)案

反比例函數(shù)的性質(zhì)培優(yōu)學(xué)案

知識(shí)引入

悲傷的雙曲線

如果我是雙曲線，你就是那漸近線.如果我是反比例函數(shù)，你就是那坐標(biāo)軸.

雖然我們有緣，能夠生在同一個(gè)平面.然而我們又無(wú)緣，漫漫長(zhǎng)路無(wú)交點(diǎn).

為何看不見(jiàn)，等式成立要條件.難道正如書(shū)上說(shuō)的，無(wú)限接近不能達(dá)到.

如果我是雙曲線，你就是那漸近線.如果我是反比例函數(shù)，你就是那坐標(biāo)軸.

雖然我們有緣，能夠生在同一個(gè)平面.然而我們又無(wú)緣，漫漫長(zhǎng)路無(wú)交點(diǎn).

為何看不見(jiàn)，等式成立要條件.難道正如書(shū)上說(shuō)的，無(wú)限接近不能達(dá)到.

為何看不見(jiàn)，明月也有陰晴圓缺，此事古難全，但愿千里共嬋娟.

知識(shí)解讀：

1.反比例函數(shù)及其性質(zhì)

反比例函數(shù)y=k/x(k^O)

k的符號(hào)k>0k<0

圖象

①x的取值范圍是x#0,①x的取值范圍是X/),

v的取值范圍是y￥0.y的取值范圍是葉0.

②當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別②當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分

性質(zhì)在第一、第三象限.在每個(gè)象限內(nèi)，y隨別在第二、第四象限.在每個(gè)象限

x的增大而減小.內(nèi)，y隨x的增大而增大.

反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸，

對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn).

2.如圖5-24-1,過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)P(x,y)分別作x軸、y軸的垂線PM,PN,所得的矩形PMON的面積

S=PM-PN=|y|-|x|=|xy|,

即過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)分別作x軸、y軸的垂線，所得的矩形面積均為|k|.

若連接PO,同理可得$刖=$力=45所心，，

圖5-24-1

一典例示范：

一、實(shí)際問(wèn)題中的反比例函數(shù)關(guān)系，其圖象常取第一象限

例1某體育場(chǎng)計(jì)劃修建一個(gè)容積一定的長(zhǎng)方體狀游泳池，設(shè)容積為a(m3),泳池的底面積S(/n2)與其深度X(m)

【技巧點(diǎn)評(píng)】------------------------

在實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)兩個(gè)變量的乘積是一個(gè)常數(shù)時(shí)，這兩個(gè)變量成反比例函數(shù)關(guān)系，其自變量和因變量一般都是

正數(shù)，因此其圖象常取第一象限內(nèi)那支.

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1.為了更好地保護(hù)水資源，造福人類.某工廠計(jì)劃建一個(gè)容積入小3)一定的污水處理池，池的底面積S(m2)與其

二、反比例函數(shù)值的大小比較

例2已知點(diǎn)人值,丫1),：6(*2,丫2)。(*3,丫3)是函數(shù)曠=圖象上的三點(diǎn)，且.<0<%2V久3,則yi,y2,y3的大小關(guān)系

是________■

-【技巧點(diǎn)評(píng)】------

方法一：取特殊值是解選擇題和填空題常用的技巧性方法，以特例來(lái)反映一般情形，便于計(jì)算，易得結(jié)論，要

注意的是所列舉的特殊值必須在題目中字母許可的范圍之內(nèi)，否則失去代表性，會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論；方法二：將

Xi,X2,X3代入后比較yi,y2,y3的大小，涉及復(fù)雜的代數(shù)式的大小比較，此法有難度；方法三：用圖象法解題體

現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想方法，可使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得直觀明了，畫(huà)示意圖必須符合題意，應(yīng)在二、四象

限的圖象就不能畫(huà)在一、三象限，另外所描的三個(gè)特殊點(diǎn)也必須根據(jù)題目提供的橫坐標(biāo)的大小來(lái)確定大致位置.

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2.在反比例函數(shù)y=，^的圖象上有兩點(diǎn)A(Xi,yi),B(x2,y2),S<0<久2時(shí)，有％<為廁m的取值范圍是

()

A.m<0B.m>0

C.m<-2D.m>-2

三、比例系數(shù)“k”的幾何意義

例3兩個(gè)反比例函數(shù).y=孑口y=十在第一象限內(nèi)的圖象如圖5-24-2所示，點(diǎn)P在y=司勺圖象上，PC±x軸

于點(diǎn)C,交y=工的圖象于點(diǎn)A,PD±y軸于點(diǎn)D,交y="勺圖象于點(diǎn)B,當(dāng)點(diǎn)P在y=」的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊

XX%V”,

形PAOB的面積會(huì)不會(huì)發(fā)生變化?為什么？-1I\

圖5-24-2

【提小】由于'也""。"HSJSBOCPO-SA“O,>-SAAOC，利用反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義先求出矩形

OCPD,AAOC,ABOD的面積，再計(jì)算四邊形PAOB的面積.

【解答】

【技巧點(diǎn)評(píng)】

求不規(guī)則圖形的面積時(shí)，常常設(shè)法將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為幾個(gè)易于求面積的幾何圖形的和或差的形式.

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3.如圖5-24-3所示，過(guò)點(diǎn)O作直線與雙曲線y=W也手0)交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BC±x軸于點(diǎn)C,作BD±y

軸于點(diǎn)D.在x軸、y軸上分別取點(diǎn)E,F,使點(diǎn)A,E,F在同一直線上，且AE=AF.設(shè)圖中矩形ODBC的面積為S15AEOF

的面積為S2廁S1&的數(shù)量關(guān)系是

A.S1=S2B.2sl=S2

C.3sl=S2DAS1=S2

圖5-24-3

四、借助圖象的對(duì)稱性解決問(wèn)題

例4如圖5-24-4,已知雙曲線y=-(與兩直線y=~^x,y=-kx(k)0,且k片》分別相交于A,B,C,D四點(diǎn).

⑴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,1)時(shí),A,B,D三點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(一,—),B(,1,D(,);

⑵證明：以點(diǎn)A,D,B,C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；

⑶當(dāng)k為何值時(shí)，口ADBC是矩形.

圖.5-24-4

【提示】⑴把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y=-kx，求出k,再把反比例函數(shù)分別與兩個(gè)一次函數(shù)結(jié)合，解兩個(gè)方程組求

四個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵思路1:直接根據(jù)對(duì)稱性說(shuō)明對(duì)角線互相平分；思路2:分別用k的代數(shù)式表示C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求出

OA,OB,OC,OD的表示式，證明OA=OB,OC=OD,利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明；

⑶由矩形對(duì)角線相等，得出。卻=。。2,列出關(guān)于k的方程，求解即可.

【解答】

【技巧點(diǎn)評(píng)】?

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是解決函數(shù)問(wèn)題常用的手段，而兩個(gè)圖象交點(diǎn)是應(yīng)當(dāng)優(yōu)先考慮設(shè)出的坐標(biāo).

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4.如圖5-24-5,直線1與雙曲線交于A,C兩點(diǎn)，將直線1繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角(0。<a<45。),與雙曲線交

于B,D兩點(diǎn)，則四邊形ABCD兩條對(duì)角線的特征是.

五、通過(guò)代數(shù)恒等變形求解析式

例5已知。101少1)/2(乂2，丫2)是同一個(gè)反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，若*2=*1+2,且—=—+"則這個(gè)反比例

yi2

函數(shù)的表達(dá)式為.

【提示】設(shè)這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=：將2式知、1)出3，及)代入，通過(guò)代數(shù)的恒等變形，求出k的值

【技巧點(diǎn)評(píng)】---------------

點(diǎn)在函數(shù)圖象上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合函數(shù)解析式，所以只要把圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，就可以列出方

程，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程來(lái)解決..

跟蹤訓(xùn)練

5.已知A(Xi,yi),B(X2,y2)是反比例函數(shù)y-渭象上的兩點(diǎn)，且/-冷=-2,X1-x2=3,-y2=-:當(dāng)-

3<x<-l時(shí)，求y的取值范圍.

六、求y的取值范圍，需要結(jié)合圖象來(lái)觀察

例6已知反比例函數(shù)y=自勺圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,l).

⑴求該函數(shù)的表達(dá)式；

⑵當(dāng)-2<x<4時(shí)，求y的取值范圍(直接寫(xiě)出結(jié)果).

【提示】本題y的取值范圍是不連續(xù)的，要求出y的取值范圍，可先畫(huà)出y=爭(zhēng)勺圖象，結(jié)合圖象看出y的取

值范圍.

【解答】

【技巧點(diǎn)評(píng)】

由于反比例函數(shù)圖象是不連續(xù)的，當(dāng)自變量取值范圍包括0的時(shí)候，最好結(jié)合函數(shù)圖象求y的取值范圍.

跟蹤訓(xùn)練

6.已知反比例函數(shù)y=%k為常數(shù)，厚0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-3).

⑴求這個(gè)函數(shù)的解析式；

⑵當(dāng)x<l時(shí).求y的取值范圍.

七、設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是解決函數(shù)問(wèn)題的常用手段

例7如圖5-24-6,函數(shù)y=5和y=-5的圖象分別是lx和.殳PC1x軸，垂足為C,交上于點(diǎn)A,PD±y軸,垂足為

D,交12于點(diǎn)B,則APAB的面積為一.

【提示】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b),用a,b的代數(shù)式表示點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式求解.

跟蹤訓(xùn)練1

7.如圖5-24-7矩形AOBC的面積為4,反比例函數(shù).y=例圖象的一支經(jīng)過(guò)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)P,則該反比例函

數(shù)的解析式是()

2

A..y=-4.B.y=-

XJX

1

Cr.y=-D.y=—

X)2x

拓展延伸：

圖5-24-7

八、一個(gè)特別有用的梯形

例8函數(shù)y=x的圖象與函數(shù).y=(的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)B,點(diǎn)C是函數(shù).y=(在第一象限圖象上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AOBC的面積為3時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是—.

【提示】連接OC,BC,過(guò)點(diǎn)C作CD±x軸,垂足為D,過(guò)點(diǎn)B作BE±x軸,垂足為旦則ABOC的面積等于梯形

CDEB的面積；點(diǎn)C可能在直線0B的上方,也可能在直線0B的下方.

【技巧點(diǎn)評(píng)】--

對(duì)于形如本題中求ABOC面積的時(shí)候，?？紤]作x軸的垂線，轉(zhuǎn)化為梯形求面積.

跟蹤訓(xùn)練

8.如圖5-24-8,已知一次函數(shù)yi=x+爪的圖象與反比例函數(shù)y2=:的圖象交于A,B兩點(diǎn).已知當(dāng)x>l時(shí),yi>y2；

當(dāng)0<x<l時(shí),yt<y2.

(1)求一次函數(shù)的解析式；

⑵已知反比例函數(shù)在第一象限上有一點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為3,求AABC的面積.

圖5-24-8

競(jìng)賽鏈接：

例9如圖5-24-9,四邊形OABC是平行四邊形，對(duì)角線OB在y軸正半軸上，位于第一象限的點(diǎn)A和第二象

限的點(diǎn)C分別在雙曲線y=，和y=券的一支上，分別過(guò)點(diǎn)A,C作x軸的垂線，垂足分別為M和N,則有以下

的結(jié)論：

①吧".

JCN\k2\,

②陰影部分面積是|（自+七）；

③當(dāng)NAOC=90。時(shí)|任|=\k2\-

④若四邊形OABC是菱形，則兩雙曲線既關(guān)于x軸對(duì)稱，也關(guān)于y軸對(duì)稱.

其中正確的結(jié)論是（把所有正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）.

【提示】①由平行四邊形的對(duì)稱性得出OM=ON,因此有笑=含;②根據(jù)k的幾何意義可得陰影部分面積是

|/<21

+|后1）；③當(dāng)NAOC=90。時(shí),AAOM和ACN。面積并不相等，所以得不出|句=隹I；④若四邊形OABC是菱形，

貝必AOM和ACNO面積相等,所以得出隹|=隹即的=-七，由反比例函數(shù)的對(duì)稱性可得出兩曲線既關(guān)于x軸對(duì)

稱，也關(guān)于y軸對(duì)稱.

跟蹤訓(xùn)練

9如圖5-24-10,在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A,C分別在x軸，y軸上，

反比例函數(shù)y=^（k手0,?0）的圖象與正方形的兩邊AB,BC分別交于點(diǎn)M,N,ND±x軸,垂足為D,連接

OM,ON,MN.下列結(jié)論：

①△OCNgZiOAM;

②ON=MN;

③四邊形DAMN與AMON面積相等；

④若/MON=45o,MN=2廁點(diǎn)C的坐標(biāo)為（（0，&+1）.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)圖5-24-10

培優(yōu)訓(xùn)練

1.★★如圖5-24-11,點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3,4）頂點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，函數(shù)y=三。<

0）的圖象經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)B,則k的值為（）

A.-12B.-27C.-32D.-36

2.★★如圖5-24-12在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=￡（x>0）的圖象與邊長(zhǎng)是6的正方形OABC的兩邊AB,BC分

別相交于M,N兩點(diǎn)，連接MN,AOMN的面積為10.若動(dòng)點(diǎn)P在x軸上，則PM+PN的最小值是（）

A.6V2B.10C.2V26D.2^/29

3.★★如圖5-24-13,A,B兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=，的圖象上，C,D兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=Lx的圖象上,AC_Ly軸于點(diǎn)

E,BD±y軸于點(diǎn)F,AC=2,BD=1,EF=3廁-6的值是()

A.6B.4C.3D.2

4.如圖5-24-14,AABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(1,2),B(4,2),C(4,4).若反比例函數(shù)y=kx在第一象限內(nèi)的圖象與AABC有交

點(diǎn)，則k的取值范圍是()

A.l<k<4.B.2<k<8C.2<k<16D.8<k<16

5狀★★如圖5-24-15在菱形ABOC中,/A=60。,它的一個(gè)頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=*勺圖象上，若將菱形向下平移

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