江蘇省南京市鹽城市2025屆高三數(shù)學下學期第二次模擬考試試題含解析

PAGE25-江蘇省南京市、鹽城市2025屆高三數(shù)學下學期其次次模擬考試試題（含解析）一、填空題題：本大題共14個小題,每小題5分,共70分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則_____________.【答案】【解析】【分析】由集合和集合求出交集即可.【詳解】解：集合，，.故答案為：.【點睛】本題考查了交集及其運算，屬于基礎題.2.已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的模為_______________.【答案】【解析】【分析】利用復數(shù)模的計算公式求解即可.【詳解】解：由，得，所以.故答案為：.【點睛】本題考查復數(shù)模的求法，屬于基礎題.3.如圖是一個算法流程圖，若輸出的實數(shù)的值為，則輸入的實數(shù)的值為______________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)程序框圖得到程序功能，結合分段函數(shù)進行計算即可.【詳解】解：程序的功能是計算，若輸出的實數(shù)的值為，則當時，由得，當時，由，此時無解.故答案為：.【點睛】本題主要考查程序框圖的識別和推斷，理解程序功能是解決本題的關鍵，屬于基礎題.4.某校初三年級共出名女生，為了了解初三女生分鐘“仰臥起坐”項目訓練狀況，統(tǒng)計了全部女生分鐘“仰臥起坐”測試數(shù)據(jù)（單位：個），并繪制了如下頻率分布直方圖，則分鐘至少能做到個仰臥起坐的初三女生有_____________個．【答案】【解析】【分析】依據(jù)數(shù)據(jù)先求出，再求出分鐘至少能做到個仰臥起坐的初三女生人數(shù)即可.【詳解】解：，.則分鐘至少能做到個仰臥起坐的初三女生人數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖，屬于基礎題.5.從編號為，，，的張卡片中隨機抽取一張，放回后再隨機抽取一張，則其次次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為_____________.【答案】【解析】【分析】基本領件總數(shù)，其次次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本領件有8個，由此能求出概率.【詳解】解：從編號為，，，的張卡片中隨機抽取一張，放回后再隨機抽取一張，基本領件總數(shù)，其次次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本領件有8個，分別為：，，，，，，，.所以其次次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.故答案為.【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎學問，屬于基礎題.6.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且周期為，當時，，則的值為___________________．【答案】【解析】【分析】由題意可得：，周期為，可得，可求出，最終再求的值即可.【詳解】解：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，.由周期為，可知，，..故答案為：.【點睛】本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎題.7.若將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位后所得的圖象與的圖象關于軸對稱，則的最小值為________________.【答案】【解析】【分析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖像的對稱性，求得的最小值.【詳解】解：將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位長度，可得的圖象.依據(jù)圖象與的圖象關于軸對稱，可得，，，即時，的最小值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)圖像的對稱性，屬于基礎題.8.在中，，，，則繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積為______________.【答案】【解析】【分析】由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，依據(jù)圓錐側面積計算公式可得.【詳解】解：由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，在中，，，，如下圖所示，底面圓的半徑為，則所形成的幾何體的表面積為.故答案為：.【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積計算問題，屬于基礎題.9.已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，滿意，其中，，則值為_______________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，推斷出，依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再令數(shù)列中的，，，依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，列出等式，求出和的值即可.【詳解】解：由，其中，，可得，則，令，，可得.①又令數(shù)列中的，，，依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以.②依據(jù)①②得出，.所以.故答案為.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎題.10.已知點是拋物線上動點，是拋物線的焦點，點的坐標為，則的最小值為______________．【答案】【解析】【分析】過點作垂直于準線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角.故當和拋物線相切時，的值最小.再利用直線的斜率公式、導數(shù)的幾何意義求得切點的坐標，從而求得的最小值.【詳解】解：由題意可得，拋物線的焦點，準線方程為，過點作垂直于準線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角.故當最小時，的值最小.設切點，由的導數(shù)為，則的斜率為，求得，可得，，，.故答案為：.【點睛】本題考查拋物線的定義，性質(zhì)的簡潔應用，直線的斜率公式，導數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.11.已知，為正實數(shù)，且，則的最小值為________________.【答案】【解析】【分析】由，為正實數(shù)，且，可知，于是，可得，再利用基本不等式即可得出結果.【詳解】解：，為正實數(shù)，且，可知，，.當且僅當時取等號.的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)應用，恰當變形是解題的關鍵，屬于中檔題.12.在平面直角坐標系中，圓.已知過原點且相互垂直的兩條直線和，其中與圓相交于，兩點，與圓相切于點.若，則直線的斜率為_____________.【答案】【解析】【分析】設：，：，利用點到直線的距離，列出式子，求出的值即可.【詳解】解：由圓，可知圓心，半徑為.設直線：，則：，圓心到直線的距離為，，.圓心到直線的距離為半徑，即，并依據(jù)垂徑定理的應用，可列式得到，解得.故答案為：.【點睛】本題主要考查點到直線的距離公式的運用，并結合圓的方程，垂徑定理的基本學問，屬于中檔題.13.在中，為定長，，若的面積的最大值為，則邊的長為____________．【答案】【解析】【分析】設，以為原點，為軸建系，則，，設，，，利用求向量模的公式，可得，依據(jù)三角形面積公式進一步求出的值即為所求.【詳解】解：設，以為原點，為軸建系，則，，設，，則，即，由，可得.則.故答案為：.【點睛】本題考查向量模的計算，建系是關鍵，屬于難題.14.函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)，），若函數(shù)恰有個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________________.【答案】【解析】【分析】令，則，恰有四個解.由推斷函數(shù)增減性，求出最小值，列出相應不等式求解得出的取值范圍.【詳解】解：令，則，恰有四個解.有兩個解，由，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，可得.設的負根為，由題意知，，，，則，.故答案為：.【點睛】本題考查導數(shù)在函數(shù)當中的應用，屬于難題.二、解答題：本大題共6小題，計90分.15.如圖，三棱錐中，點，分別為，的中點，且平面平面．求證：平面；若，，求證：平面平面.【答案】證明見解析；證明見解析.【解析】【分析】利用線面平行的判定定理求證即可；為中點，為中點，可得，，，可知，故為直角三角形，，利用面面垂直的判定定理求證即可.【詳解】解：證明：為中點，為中點，，又平面，平面，平面；證明：為中點，為中點，，又，，則，故為直角三角形，，平面平面，平面平面，，平面，平面，又∵平面，平面平面.【點睛】本題考查線面平行和面面垂直的判定定理的應用，屬于基礎題.16.在中，角，，所對的邊分別為，，，且．求的值；設的平分線與邊交于點，已知，，求的值.【答案】；.【解析】【分析】利用正弦定理化簡求值即可；利用兩角和差的正弦函數(shù)的化簡公式，結合正弦定理求出的值.【詳解】解：，由正弦定理得：，，，，，又，為三角形內(nèi)角，故，，則，故，；（2）平分，設，則,,，，則，，又，則在中，由正弦定理：，.【點睛】本題考查正弦定理和兩角和差的正弦函數(shù)的化簡公式，二倍角公式，考查運算實力，屬于基礎題.17.如圖，湖中有一個半徑為千米的圓形小島，岸邊點與小島圓心相距千米，為便利游人到小島觀光，從點向小島建三段棧道，，，湖面上的點在線段上，且，均與圓相切，切點分別為，，其中棧道，，和小島在同一個平面上.沿圓的優(yōu)?。▓A上實線部分）上再修建棧道.記為.用表示棧道的總長度，并確定的取值范圍；求當為何值時，棧道總長度最短.【答案】，；當時，棧道總長度最短.【解析】【分析】連，，由切線長定理知：，，，，即，，則，，進而確定的取值范圍；依據(jù)求導得，利用增減性算出，進而求得取值.【詳解】解：連，，由切線長定理知：，，，又，，故，則劣弧的長為，因此，優(yōu)弧的長為，又，故，，即，，所以，，，則；，，其中，，-0+單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增故時，所以當時，棧道總長度最短.【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)當中的應用，屬于中檔題.18.如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，且過點.求橢圓的方程；已知是橢圓的內(nèi)接三角形，①若點為橢圓的上頂點，原點為的垂心，求線段的長；②若原點為的重心，求原點到直線距離的最小值.【答案】；①；②.【解析】【分析】依據(jù)題意列出方程組求解即可；①由原點為的垂心可得，軸，設，則，，依據(jù)求出線段的長；②設中點為，直線與橢圓交于，兩點，為的重心，則，設：，，，則，當斜率不存在時，則到直線的距離為1，，由，則，，，得出，依據(jù)求解即可.【詳解】解：設焦距為，由題意知：，因此，橢圓的方程為：；①由題意知：，故軸，設，則，，，解得：或，，不重合，故，，故；②設中點為，直線與橢圓交于，兩點，為的重心，則，當斜率不存在時，則到直線的距離為1；設：，，，則，，則，則：，，代入式子得：，設到直線的距離為，則時，；綜上，原點到直線距離的最小值為.【點睛】本題考查橢圓的方程的學問點，結合運用向量，韋達定理和點到直線的距離的學問，屬于難題.19.已知函數(shù)，，.函數(shù)的導函數(shù)在上存在零點.求實數(shù)的取值范圍；若存在實數(shù)，當時，函數(shù)在時取得最大值，求正實數(shù)的最大值；若直線與曲線和都相切，且在軸上的截距為，求實數(shù)的值.【答案】；4；12.【解析】【分析】由題意可知，，求導函數(shù)，方程在區(qū)間上有實數(shù)解，求出實數(shù)的取值范圍；由，則，分步探討，并利用導函數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性的探討，得出正實數(shù)的最大值；設直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，切線方程為，設直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，即切線方程為，整理得.所以，求得，設，則，所以在上單調(diào)遞增，最終求出實數(shù)的值.【詳解】由題意可知，，則，即方程在區(qū)間上有實數(shù)解，解得；因，則，①當，即時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，不符題意；②當時，令，解得：，當時，，單調(diào)遞增，所以不存在，使得在上的最大值為，不符題意；③當時，，解得：，且當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，則在上單調(diào)遞減，所以，若，則上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由題意可知，，即，整理得，因為存在，符合上式，所以，解得，綜上，最大值為4；設直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，即切線方程整理得：由題意可知，，即，即，解得所以切線方程為，設直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，即切線方程為，整理得.所以，消去，整理得，且因為，解得，設，則，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，所以，即.【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的探討，導數(shù)的幾何意義，屬于難題.20.已知矩陣，.求矩陣；求矩陣的特征值.【答案】；，.【解析】【分析】由題意，可得，利用矩陣的學問求解即可.矩陣的特征多項式為，令，求出矩陣的特征值.【詳解】設矩陣，則，所以，解得，，，，所以矩陣；矩陣的特征多項式為，令，解得，，即矩陣的兩個特征值為，.【點睛】本題考查矩陣的學問點，屬于常考題.21.在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線極坐標方程為.若直線交曲線于，兩點，求線段的長.【答案】【解析】【分析】由，化簡得，由，所以直線的直角坐標方程為，因為曲線的參數(shù)方程為，整理得，直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，，整理得，設，則，依據(jù)弦長公式求解即可.詳解】由，化簡得，又因為，所以直線的直角坐標方程為，因為曲線的參數(shù)方程為，消去，整理得，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，，消去，整理得，設，則，所以，將，代入上式，整理得.【點睛】本題考查參數(shù)方程，極坐標方程的應用，結合弦長公式的運用，屬于中檔題.22.已知a＞0，證明：2．【答案】證明見解析【解析】【分析】利用分析法，證明a即可．【詳解】證明：∵a＞0，∴a2，∴a2≥0，∴要證明2，只要證明a2（a）2﹣4（a）+4，只要證明：a，∵a2，∴原不等式成立．【點睛】本題考查不等式的證明，著重考查分析法的運用，考查推理論證實力，屬于中檔題．23.某商場實行有獎促銷活動，顧客購買每滿元的商品即可抽獎一次.抽獎規(guī)則如下：抽獎者擲各面標有點數(shù)的正方體骰子次，若擲得點數(shù)大于，則可接著在抽獎箱中抽獎；否則獲得三等獎，結束抽獎，已知抽獎箱中裝有個紅球與個白球，抽獎者從箱中隨意摸出個球，若個球均為紅球，則獲得一等獎，若個球為個紅球和個白球，則獲得二等獎，否則，獲得三等獎（抽獎箱中的全部小球，除顏色外均相同）.若，求顧客參與一次抽獎活動獲得三等獎的概率；若一等獎可獲獎金元，二等獎可獲獎金元，三等獎可獲獎金元，記顧客一