八年級數(shù)學(xué)下冊 講義（北師大版）第五章第05講 分式方程(7類熱點(diǎn)題型講練)（原卷版）

第05講分式方程(7類熱點(diǎn)題型講練)1.理解分式方程的概念，并會熟練解分式方程；2.理解增根的概念，會檢驗(yàn)分式方程的根；3.會用分式方程解決相關(guān)問題，并進(jìn)行簡單的應(yīng)用.知識點(diǎn)01分式方程的概念分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判定一個方程為分式方程的依據(jù)．知識點(diǎn)02分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母．（2）解分式方程的步驟：①找最簡公分母，當(dāng)分母是多項(xiàng)式時，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗(yàn)根．注意：解分式方程過程中，易錯點(diǎn)有：①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項(xiàng)；②忘記驗(yàn)根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．知識點(diǎn)03分式方程的增根增根：在方程變形時，有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．由于可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程要驗(yàn)根，其方法是將根代入最簡公分母中，使最簡公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．知識點(diǎn)04分式方程的應(yīng)用（1）分式方程的應(yīng)用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題等．每個問題中涉及到三個量的關(guān)系，如：工作時間＝，時間＝等．（2）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①設(shè)未知數(shù)；②找等量關(guān)系；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗(yàn)（一驗(yàn)分式方程，二驗(yàn)實(shí)際問題）；⑥答．題型01分式方程的定義【例題】（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）下列方程不是分式方程的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．已知方程：，，，這四個方程中，分式方程的個數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2023下·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知方程：①，②，③，④．這四個方程中，分式方程的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1題型02解分式方程【例題】（2023上·山東泰安·八年級統(tǒng)考期中）解方程：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·黑龍江佳木斯·八年級統(tǒng)考期末）解方程：(1)；(2)．2．（2023上·山東聊城·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）解方程：(1)(2)題型03已知分式方程的增根求參數(shù)【例題】（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的分式方程（m為常數(shù)）有增根，則增根是_______．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）關(guān)于x的方程有增根，則m的值是_____．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）已知關(guān)于的分式方程有增根，則的值為___________．題型04已知分式方程的無解求參數(shù)【例題】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如果關(guān)于x的方程無解，則a的值為___．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·安徽蚌埠·七年級蚌埠第三十一中學(xué)校考階段練習(xí)）①若關(guān)于的方程有增根，則增根是______．②若關(guān)于的方程無解，則的值為______．2．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考二模）若關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為______．題型05根據(jù)分式方程解的情況求值【例題】（2023春·福建泉州·八年級校聯(lián)考期中）若關(guān)于x的分式方程的解是正數(shù)．則m的取值范圍是________．【變式訓(xùn)練】1．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的方程的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是____________．2．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）若關(guān)于x的分式方程的解為正整數(shù)，則正數(shù)m的值是_____．題型06列分式方程【例題】（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考三模）已知甲廠燒100噸煤與乙廠燒120噸煤所用的天數(shù)相同，已知甲、乙兩廠每天一共燒煤33噸，求甲、乙兩廠每天分別燒煤多少噸？若設(shè)甲廠每天燒噸煤，則根據(jù)題意列方程為___________．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）某地開展建設(shè)綠色家園活動，活動期間，計(jì)劃每天種植相同數(shù)量的樹木，該活動開始后，實(shí)際每天比原計(jì)劃每天多植樹40棵，實(shí)際植樹400棵所需時間與原計(jì)劃植樹320棵所需時間相同．設(shè)實(shí)際每天植樹x棵，則可列方程為______．2．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件送到900里（1里千米）外的城市，如果用慢馬送，需要的時間比規(guī)定的時間多1天；如果用快馬送，需要的時間比規(guī)定的時間少3天．已知快馬的速度是慢馬速度的2倍，求規(guī)定的時間．設(shè)規(guī)定的時間為天，則可列方程為______．題型07分式方程的實(shí)際應(yīng)用【例題】（2023·吉林白山·校聯(lián)考三模）第5代移動通信技術(shù)簡稱5G，某地已開通5G業(yè)務(wù)，經(jīng)測試5G下載速度是4G下載速度的16倍，小明和小強(qiáng)分別用5G與4G下載一部960兆的公益片，小明比小強(qiáng)所用的時間快150秒，求該地4G與5G的下載速度分別是每秒多少兆？【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）水碧萬物生，岳陽龍蝦好．小龍蝦產(chǎn)業(yè)已經(jīng)成為岳陽鄉(xiāng)村振興的“閃亮名片”．已知翠翠家去年龍蝦的總產(chǎn)量是，今年龍蝦的總產(chǎn)量是，且去年與今年的養(yǎng)殖面積相同，平均畝產(chǎn)量去年比今年少，求今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量．2．（2023春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習(xí)）2023年5月，江西省突發(fā)港澇災(zāi)?，為響應(yīng)政府救援號召，甲、乙兩公司組織全體員工參與“眾志成城，人間大愛”捐款活動，甲公司共?款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙兩公司員工的一段對話：

(1)甲、乙兩公司各有多少人？(2)現(xiàn)甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購買、兩種防疫物資，種防疫物資每箱15000元，種防疫物資每箱12000元．若購買種防疫物資不少于10箱，并恰好將捐款用完，有幾種購買方案？（注：、兩種防疫物資均需購買，并按整箱配送）．一、單選題1．（23-24八年級上·天津紅橋·期末）分式方程的解是（）A． B． C． D．2．（23-24八年級上·山東聊城·階段練習(xí)）下列關(guān)于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（22-23八年級上·山東威?！て谀┙夥质椒匠虝r，去分母后得到的整式方程是（

）A． B．C． D．4．（23-24九年級上·山東淄博·期末）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為（

）A． B． C． D．無法確定5．（23-24九年級下·福建福州·開學(xué)考試）學(xué)校舉辦以“強(qiáng)體質(zhì)，煉意志”為主題的體育節(jié)，小亮報名參加3千米比賽項(xiàng)目，經(jīng)過一段時間訓(xùn)練后，比賽時小亮的平均速度提高到原來的1.2倍，少用3分鐘跑完全程，設(shè)小亮訓(xùn)練前的平均速度為x千米／時，那么滿足的分式方程為（

）A． B．C． D．二、填空題6．（23-24九年級下·北京·階段練習(xí)）方程的解是．7．（2023·山東菏澤·二模）若關(guān)于的分式方程無解，則的值是．8．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是．9．（2023·四川內(nèi)江·二模）對于實(shí)數(shù)，，定義運(yùn)算“”如下：，例如．若，則的值為．10．（23-24九年級下·重慶渝北·階段練習(xí)）若關(guān)于的一元一次不等式組有且僅有個奇數(shù)解，且關(guān)于的分式方程的解是整數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)的值之和為．三、解答題11．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）解下列方程：(1)(2)12．（22-23八年級上·甘肅平?jīng)觥て谀┙庀铝蟹质椒匠?1)(2)13．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）已知關(guān)于x的分式方程無解，求a的值．14．（23-24八年級·全國·隨堂練習(xí)）閱讀下列材料：方程的解為，方程的解為x=2，方程的解為，……(1)根據(jù)上述規(guī)律，可知解為的方程為_________；(2)通過解分式方程說明你寫的方程是正確的．15．（2023·云南紅河·一模）“母親節(jié)”來臨之際，某花店打算使用不超過元的進(jìn)貨資金購進(jìn)百合與康乃馨兩種鮮花共束進(jìn)行銷售．百合與康乃馨的進(jìn)貨價格分別為每束元、元，百合每束的售價是康乃馨每束售價的倍，若消費(fèi)者用元購買百合的數(shù)量比用元購買康乃馨的數(shù)量少束．(1)求百合與康乃馨兩種鮮花的售價分別為每束多少元；(2)花店為了讓利給消費(fèi)者，決定把百合的售價每束降低元，康乃馨的售價每束降低元．求花店應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤．（假設(shè)購進(jìn)的兩種鮮花全部銷售完）16．（23-24八年級下·湖南長沙·階段練習(xí)）如果分式M與分式N的差為常數(shù)k，且k為正整數(shù)，則稱M為N的“差整分式”，常數(shù)k稱為“差整值”．如分式，，，故M為N的“差整分式”