八年級數(shù)學(xué)下冊 講義（北師大版）第五章第02講 分式的乘除法(6類熱點題型講練)（解析版）

第02講分式的乘除法(6類熱點題型講練)1.掌握分式的乘除運算法則；2.能夠進行分子、分母為多項式的分式乘除法運算.知識點01分式的乘法乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．用式子表示為：．知識點02分式的除法除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．用式子表示為：．知識點03分式的乘方乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示為：為正整數(shù)，．題型01分式的乘法運算【例題】（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）計算：．【答案】【分析】本題考查了分式的乘法運算，熟練進行因式分解是解題的關(guān)鍵；先分解因式，再分子，分母進行約分即可；【詳解】解：【變式訓(xùn)練】1．（2023上·山東威?！ぞ拍昙壭？茧A段練習(xí)）化簡：【答案】【分析】根據(jù)平方差公式及完全平方公式的運算法則化簡計算即可．【詳解】解：原式【點睛】本題主要考查了分式化簡，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式化簡運算法則，準(zhǔn)確計算．2．（2023上·全國·八年級課堂例題）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】利用分式的乘法法則計算即可．【詳解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．【點睛】本題考查分式的乘法，掌握分式的乘法法則是解題的關(guān)鍵．題型02分式的除法運算【例題】（2023上·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）計算：．【答案】【分析】此題考查了分式的除法，先將除法化為乘法，再計算乘法得到結(jié)果，熟練掌握分式的乘除法法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式=．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·湖南永州·八年級?？茧A段練習(xí)）計算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了分式的乘除混合運算，正確計算是解題的關(guān)鍵，（1）利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果；（2）利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：；（2）解：．2．（2023上·全國·八年級課堂例題）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)分式的除法進行計算即可求解；（2）根據(jù)分式的除法進行計算即可求解；（3）根據(jù)分式的除法進行計算即可求解；（4）根據(jù)分式的除法進行計算即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：（3）解：；（4）解：．【點睛】本題考查了分式的乘除法，熟練掌握分式的運算法則是解題的關(guān)鍵．題型03分式乘除混合運算【例題】（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）計算：．【答案】【分析】根據(jù)分式乘除法進行計算即可求解．【詳解】．【點睛】本題考查了分式乘除法運算，熟練掌握分式的乘法運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）計算：．【答案】2【分析】根據(jù)平方差公式和分式乘除法則求解即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查了利用平方差公式進行運算以及分式乘除混合運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級課時練習(xí)）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等進行分解因式，再計算；（2）根據(jù)平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等進行分解因式，再計算．【詳解】（1）原式．（2）原式．【點睛】本題考查了分式的乘除混合運算，正確分解因式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．題型04分式的乘方運算【例題】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）計算．【答案】【分析】根據(jù)冪的乘方法則和積的乘方法則先算乘方，然后再算乘法即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查分式的乘法運算，掌握冪的乘方，積的乘方運算法則是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇·八年級期中）計算：（1）；

（2）﹣a﹣1．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先計算分式的乘方，冪的乘方，再算分式的乘除，最后化為最簡分式；（2）先通分，利用公式展開，再合并同類項．【詳解】解：（1）===；（2）====．【點睛】本題考查分式的加減，分式的乘方，冪的乘方，分式乘除混合運算，掌握分式的加減，分式的乘方，冪的乘方，分式乘除混合運算是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級課時練習(xí)）計算：(1)(2)(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)分式的乘方運算法則計算即可；（2）先計算分式的乘方，再計算分式的除法；（3）根據(jù)分式的乘方運算法則計算即可；（4）先計算分式的乘方，再計算分式的乘法．【詳解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．（4）解：．【點睛】本題考查了分式的運算，熟練掌握分式的乘方運算法則和分式的乘除運算法則是解題的關(guān)鍵．題型05含乘方的分式乘除混合運算【例題】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）計算：【答案】【分析】先計算乘方運算，再把除法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算，然后約分即可．【詳解】解：【點睛】本題考查了含乘方的分式乘除法，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握其運算法則．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分即可得出答案；（2）先利用完全平方公式整理，將除法化為乘法，最后約分即可得出答案．【詳解】（1）（2）【點睛】本題考查了分式的乘除，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）計算：（1）；（2）；（3）?÷；（4）．【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）【分析】（1）先計算乘方，同時將除法化為乘法，再計算乘法；（2）先計算乘方，將除法化為乘法，再計算乘法；（3）先將除法化為乘法，將分子與分母分解因式，再計算乘法；（4）將分子與分母分解因式，除法化為乘法，計算乘法即可．【詳解】解：（1）原式=）=；（2）原式==1；（3）原式==；（4）原式==．【點睛】此題考查分式的計算，掌握分式的乘方計算法則，乘除法計算法則，因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．題型06分式乘除混合運算中化簡求值【例題】（2023秋·廣東肇慶·八年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】將除法變成乘法，再算乘法，最后代入求出即可．【詳解】解：當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查了分式的除法運算，能正確根據(jù)分式的運算法則進行化簡是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）化簡并求值：，其中．【答案】，9【分析】先對各分式進行因式分解，然后將除法變?yōu)槌朔?，進行化簡，再將的值代入化簡后的式子計算即可．【詳解】解：，∵，∴原式．【點睛】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式乘除法的運算法則．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】先利用分式的除法法則將原式變形，再利用分式的乘法法則進行化簡，最后把的值代入計算即可．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查了分式的乘法、除法法則和求值．能正確根據(jù)分式的乘除法法則進行化簡是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2024上·河南信陽·八年級統(tǒng)考期末）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了分式乘方運算，根據(jù)分式性質(zhì)結(jié)合乘方法則進行運算，即可作答．【詳解】解：依題意，，故選：D．2．（2023下·四川達州·八年級?？茧A段練習(xí)）下列運算結(jié)果為的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過約分化簡即可判定A、D，根據(jù)分式的乘法法則計算判定C，根據(jù)分式除法法則計算判定C．【詳解】解：A．原式，故此選項不符合題意；B．原式，故此選項符合題意；C．原式，故此選項不符合題意；D．原式，故此選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題詞考查分式化簡和分式乘除法，熟練掌握分式化簡與分式乘除法法則是解題的關(guān)鍵．3．（2024上·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）下列各式計算錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了分式的乘除運算．根據(jù)分式的乘除運算法則計算，即可求解．【詳解】解：A、，故本選項正確，不符合題意；B、，故本選項正確，不符合題意；C、，故本選項正確，不符合題意；D、，故本選項錯誤，符合題意；故選：D．4．（2022上·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）公園普通景觀燈天耗電千瓦．改用節(jié)能景觀燈后，同樣千瓦的電量可多用天．普通景觀燈每天的耗電量是節(jié)能景觀燈每天耗電量的（

）倍．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意求得普通景觀燈每天的耗電量與節(jié)能景觀燈每天耗電量，即可求解．【詳解】解：∵公園普通景觀燈天耗電千瓦∴普通景觀燈每天的耗電量為，∵改用節(jié)能景觀燈后，同樣千瓦的電量可多用天∴節(jié)能景觀燈每天耗電量為，∴，故選：D．【點睛】本題考查了分式的除法的應(yīng)用，根據(jù)題意列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·河北邢臺·八年級統(tǒng)考期中）已知，關(guān)于甲、乙、丙的說法，下列判斷正確的是（

）甲：的計算結(jié)果為；乙：當(dāng)時，；丙：當(dāng)時，的值為正數(shù)A．乙錯，丙對 B．甲和乙都對 C．甲對，丙錯 D．甲錯，丙對【答案】C【分析】此題考查了分式的乘除運算，分式的求值，首先將分式化簡即可判定甲，然后將代入求解即可判斷乙，然后根據(jù)x的范圍即可判定A的正負，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的乘除運算法則．【詳解】，故甲對；當(dāng)時，，故分式無意義，故乙錯；當(dāng)時，，∴，故丙錯．故選：C．二、填空題6．（2023上·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】/18x/【分析】本題考查分式的混合運算，掌握分式乘方和分式乘法的運算法則是解題關(guān)鍵．先算乘方，然后再算乘法．【詳解】解：，故答案為：．7．（2023上·八年級課時練習(xí)）當(dāng)，時，.【答案】【分析】先計算分式的乘方，再計算分式的乘除，然后代值計算即得答案.【詳解】解：；當(dāng)，時，原式；故答案為：.【點睛】本題考查了分式的乘方和乘除運算，熟練掌握分式的乘除運算法則是解題關(guān)鍵.8．（2021上·八年級課時練習(xí)）一箱蘋果售價p元，總重m千克，箱重n千克；每千克梨元，那么每千克蘋果的售價是梨的倍．【答案】【分析】根據(jù)題意用蘋果的單價除以梨的單價，而蘋果的單價等于蘋果的總價除以總重與箱重的差，由此列式計算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了分式的應(yīng)用，根據(jù)題意列出代數(shù)式是解本題的關(guān)鍵．9．（2022上·上海松江·七年級?？茧A段練習(xí)）我們定義一種新運算：記，如果設(shè)為代數(shù)式，則（用含的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】根據(jù)可得，據(jù)此把變形求解即可．【詳解】∵，∴可變形為：，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了新定義，以及分式的乘除混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確分式混合運算的計算方法．10．（2023下·山西太原·八年級山西實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）有一個計算程序，每次運算都是把一個數(shù)先乘以2，再除以它與1的和，多次重復(fù)進行，這種運算的過程如下：

則第4次運算的結(jié)果．【答案】【分析】根據(jù)題干中的程序圖分別計算出，，，找到規(guī)律，可以得到．【詳解】解：，，，觀察上式可得：，，故答案為：．【點睛】本題考查了找規(guī)律-數(shù)字的變化類，分式的運算，根據(jù)程序圖計算找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023上·全國·八年級課堂例題）計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了分式的乘除混合運算．（1）先把除法運算化為乘法運算，再進行計算，約分，即可求解；（2）先把除法運算化為乘法運算，再進行約分即可求解；（3）先把除法運算化為乘法運算，再進行約分即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．12．（2023上·八年級課時練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．（4）解：．【點睛】本題考查了分式的乘除混合運算：分式的乘除混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除．最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．13．（2023上·湖北黃石·八年級?？茧A段練習(xí)）計算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了因式分解，分式的化簡，其中準(zhǔn)確使用法則是解題的關(guān)鍵．（1）先算乘方，再把除法變乘法，最后用乘法進行運算即可；（2）先把除法變乘法，第一個式子和第二個式子先因式分解，再約分即可；（3）先把除法變乘法，第一個式子和第三個式子先因式分解，再約分即可．（4）先把除法變乘法，第一個式子和第二個式子先因式分解，再約分即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．14．（2023上·八年級課時練習(xí)）在解答題目“已知，求的值”時，小明誤將看成了，但算出的結(jié)果仍然正確，你能解釋原因嗎？【答案】見解析【分析】根據(jù)分式的除法法則，對式子進行化簡求值，即可．【詳解】解：．因為原式結(jié)果是常數(shù)2，與x的值無關(guān)，所以小明誤將看成了，其結(jié)