人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪教學(xué)課時(shí)作業(yè)：第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（選擇性必修第二冊(cè)）

第1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

靈活名、發(fā)衣數(shù)提猊

任》選題明細(xì)表

知識(shí)點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練

導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算1,2,912

導(dǎo)數(shù)的幾何意義4,5,6,1014,1517

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合3,7,8,111316

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固練

1.(多選題)以下運(yùn)算正確的是(BC)

A.(-)'CB.(cosx)'=-sinx

C.(2X)'=2xln2D.(1gx)7=--^—

xlnlO

解析:對(duì)于A,由于(3'所以A不正確;對(duì)于B,由于(cosx)'=

Xxz

-sinx,所以B正確；對(duì)于C,由于⑵)‘=21n2,所以C正確;對(duì)于D,

由于QgX”二代，所以D不正確.故選BC.

xlnlO

2.(2021?廣東肇慶高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=e'T+xlnx,則2⑴等

于(D)

A.0B.1C.eD.2

解析：因?yàn)閒(x)=e1+xlnx,所以伊(x)=e1+l+lnx,所以f'(1)=

e,-1+l+ln1=2.

故選D.

3.若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則f(x)的解析式可能為

(C)

A.f(x)=3cosxB.f(x)=x+x

C.f(x)=l+sin2xD.f(x)=ex+x

解析:A項(xiàng)中,(x)=-3sinx,是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,不關(guān)于y

1

-對(duì)

軸對(duì)稱;B項(xiàng)中，f'(x)=3x2+2x=3(x+/W，其圖象關(guān)于直線3

稱;C項(xiàng)中，『(x)=2cos2x,是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;D項(xiàng)中,

伊(x)=e，+l,由指數(shù)函數(shù)的圖象可知該函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱.

故選C.

4.若直線尸-2x+b為曲線尸x-e'的一條切線,則實(shí)數(shù)b的值是(D)

A.In3-3B.31n3+3

C.In3+3D.31n3-3

xzx

解析：設(shè)切點(diǎn)為(xo,x0-e°),由y=x-e，得y=l-e,所以解眇。=-2,得

e&=3,得x0=ln3.所以切點(diǎn)為(In3,In3-3),所以In3-3=-21n3+b,

得b=31n3-3.故選D.

5.(2021?湖南永州二模)曲線f(x)=21nx在x=t處的切線1過(guò)原點(diǎn),

則1的方程是(A)

A.2x-ey=0B.2x+ey=0

C.ex-2y=0D.ex+2y=0

解析：曲線f(x)=21nx的導(dǎo)數(shù)為『(x)上,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t,21nt),

X

因此切線1的斜率k=f，(t)4又直線1過(guò)原點(diǎn),所以k二瞥與得

Int=l,t=e,所以k—,故切線1的方程為y-2=-(x-e),即2x-ey=0.故

ee

選A.

6.(多選題)(2021?江蘇淮安高三聯(lián)考)若直線ygx+b是函數(shù)f(x)圖

象的一條切線，則函數(shù)f(x)可以是(BCD)

A.f(x)—B.f(x)=x"

X

C.f(x)=sinxD.f(x)=ex

解析:直線y^x+b的斜率為

由f(X)』的導(dǎo)數(shù)為fz(x)=-4,即切線的斜率小于0,故A不正確；

由f(x)=x〃的導(dǎo)數(shù)為尹(x)=4x3,而4x35解得故B正確；

由f(x)=sinx的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=cosx,而cosx=!有解，故C正確；

由f(x)=e*的導(dǎo)數(shù)為ff(x)=e;而由解得x=-ln2,故D正確.故

選BCD.

7.(2021?江蘇連云港高三聯(lián)考)定義方程f(x)二*【X)的實(shí)數(shù)根x。

叫做函數(shù)f(x)的“保值點(diǎn)”,如果函數(shù)g(x)=x與函數(shù)h(x)=ln(x+l)

的“保值點(diǎn)”分別為。，B,那么a和B的大小關(guān)系是(B)

A.a<0B.a>0

C.a=BD.無(wú)法確定

解析：由題可得g'(x)=l,h，(x)^，由“保值點(diǎn)”的定義可知a=1,

X+1

2

記IxhlnG+l)=^則J(x)二>0,故八x)在定義域上單

x+lx+1\x+l/

調(diào)遞增.

由夕(0)=一1<0,e(l)=ln2-i=ln2一In五>0,因此0<B<1,所以a>B.

故選B.

8.(2021?江西吉安高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，

且當(dāng)x<0時(shí),f(x)=g則曲線尸f(x)在點(diǎn)(l,f(D)處的切線方程為

(A)

A.y=2ex-eB.y=-2ex-e

C.y=2ex+3D.y=-2ex+e

解析：函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=^.

ex

設(shè)x>0,則-x<0,因此f(-X)=^=-xex,

由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)可知f(x)=-f(-X)=xex,

即當(dāng)x>0時(shí)f(x)=x-ex,fz(x)=(x+l)?ex,

又f(l)=e,k=f'(l)=2e.

y二f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=2ex-e.故選A.

9.某堆雪在融化過(guò)程中,其體積V(單位:m3)與融化時(shí)間t(單位:h)近

似滿足函數(shù)關(guān)系:V(t)=H(10-去t)"H為常數(shù))，其圖象如圖所示.記此

堆雪從融化開(kāi)始到結(jié)束的平均融化速度為萬(wàn)M/h),那么tbt2,t3,3中,

瞬時(shí)融化速度等于萬(wàn)(mYh)的時(shí)刻是圖中的.

解析而,黑歌⑹反映的是V(t)圖象與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)連線的斜率,

如圖，觀察可知t3處瞬時(shí)速度(即切線的斜率)與平均速度一致.

答案:t3

10.我國(guó)魏晉時(shí)期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實(shí)施“以直代曲”

的近似計(jì)算，用正n邊形進(jìn)行“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周率兀的

精度較高的近似值,這是我國(guó)最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一.借用“以直

代曲”的近似計(jì)算方法，在切點(diǎn)附近，可以用函數(shù)圖象的切線近似代替

在切點(diǎn)附近的曲線來(lái)近似計(jì)算.設(shè)f(x)=e%2.則廣(x)二,其

在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為.

解析：因?yàn)閒(x)=e一,

故f'(x)=(x2)1ex2=2xex\

則f'(0)=0,故曲線y二f(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y二L

答案：2xe/y=i

11.設(shè)函數(shù)f(x)=g(2xT)+x；曲線y二g(x)在點(diǎn)(l,g(l))處的切線方程

為y=2x+l,則

#(1)=.

解析:把x=l代入y=2x+l,解得y=3,即g(l)=3,由y=2x+l的斜率為2,

得到(⑴二2.

因?yàn)?x)=2gz(2x-l)+2x,

所以(l)=2g,(1)+2=6.

答案：6

B級(jí)綜合運(yùn)用練

12.(2021?江蘇徐州高三期末)假設(shè)某放射性同位素的衰變過(guò)程中，

其含量P(單位：貝克)與時(shí)間t(單位:天)滿足函數(shù)關(guān)系P(t)=P°2嗑，

其中P。為t=0時(shí)該放射性同位素的含量.已知t=15時(shí),該放射性同位

素的瞬時(shí)變化率為-喑,則該放射性同位素含量為4.5貝克時(shí)衰變

所需時(shí)間為(D)

A.20天B.30天C.45天D.60天

解析：由P(t)=P°2*得P'⑴二-a?P。?2曦?In2,因?yàn)閠=15時(shí),該

放射性同位素的瞬時(shí)變化率為-啜,即P'(15)二-警P。=-喑,解

106010

得Po=18,則P(t)=18?2-so.

當(dāng)該放射性同位素含量為4.5貝克時(shí)，即P(t)=4.5,所以18?2噎二4.5,

即2總金所以-J-2,解得860.故選D.

430

13.(多選題)若以函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點(diǎn)P(xby)為切點(diǎn)作切

線li,尸f(x)圖象上總存在異于點(diǎn)P的點(diǎn)Q(X2,yz),使得以Q為切點(diǎn)的

直線b與L平行,則稱函數(shù)f(x)為“美函數(shù)”，下面四個(gè)函數(shù)中是“美

函數(shù)”的是(BC)

A.y=x3-2xB.y=3x+Z

X

C.y=cosxD.y=(x-2)2+lnx

解析：由題意可知函數(shù)是“美函數(shù)”的條件是方程y'=a(a是導(dǎo)數(shù)值)

至少有兩個(gè)根.

對(duì)于A,由/=3x2-2,當(dāng)y,=_2時(shí),x的取值只有0是唯一的，因此不

符合題意；

對(duì)于B,由y'二3a(x-O,且a<3),即與3-n此方程有兩個(gè)不同的

X2-X2

根,符合題意；

對(duì)于C,由y，=-sinx及其周期性可知-sinx=a(TWaWl)的解有無(wú)

窮多個(gè),符合題意；

對(duì)于D,由寸=2x—4+%(x>0),令2x—4+La,貝IJ有2x-(4+a)x+l=O,S

XX

△二0時(shí),解唯一,不符合題意.故選BC.

14.(2021?河北石家莊高三開(kāi)學(xué)考試)函數(shù)f(x)=sin2x在原點(diǎn)(0,0)

處的切線方程為，請(qǐng)你舉出與函數(shù)f(x)=sin2x在原點(diǎn)處具

有相同切線的一個(gè)函數(shù):.

解析：由f(x)=sin2x得fr(x)=2cos2x,所以函數(shù)f(x)在原點(diǎn)(0,0)

處的切線斜率為k=fz(0)=2,因此函數(shù)f(x)在原點(diǎn)(0,0)處的切線方

程為y=2x.

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin2x在原點(diǎn)(0,0)處的導(dǎo)數(shù)值為2,所以所求函數(shù)可

以是y=x2+2x,y'=2x+2,其在原點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x.

答案:y=2xy=x?+2x(答案不唯一)

15.(2021?安徽黃山一模)已知函數(shù)f(x)=x2+2,g(x)=lnx,若曲線

y二f(x)與y=g(x)的公切線與曲線y=f(x)相切于點(diǎn)(X1，yj,則在-

In(2xi)=.

解析：設(shè)公切線與g(x)=lnx相切于點(diǎn)(X2,InX2)：由(x)=2x,

g’(x)A

x

則曲線尸f(x)在(xbyi)處的切線方程為y-(*+2)=2x1(x-x1),即

y=2xiX-xf+2.

曲線y二g(x)在區(qū),InX2)處的切線方程為y=±+lnx-l,

%22

所以產(chǎn)=爭(zhēng)

+2=Inx2-l,

解得*Tn(2xi)=3.

答案：3

C級(jí)應(yīng)用創(chuàng)新練

16.在函數(shù)f(x)=alnX-(KT)2的圖象上,橫坐標(biāo)在(1,2)內(nèi)變化的點(diǎn)

處的切線斜率均大于1,見(jiàn)實(shí)數(shù)a的取值范圍是(C)

A.[1,+8)B.(1,+8)

C.[6,+8)D.(6,+8)

解析：函數(shù)f(x)=alnx-(x-l)2,求導(dǎo)得伊(x)=^2(x-l),

X

由橫坐標(biāo)在區(qū)間(1,2)內(nèi)變化的點(diǎn)處的切線斜率均大于1,

可得生2(x-1)>1對(duì)x￡(1,2)恒成立，

X

即有a>x(2x-l)=2x2-x對(duì)x￡(1,2)恒成立.

令g(x)=2x2-x,對(duì)稱軸方程為x=；,所以區(qū)間(1,2)為增區(qū)間，即有

4

g(x)<g(2)=6,則有a26.故選C.

17.設(shè)點(diǎn)P,Q分別是曲線尸xeXe是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))和直線y=x+3上

的動(dòng)點(diǎn)，則P,Q兩點(diǎn)間距離的最小值為(B)

A*B.這

22

C(4eT)及D(4e+l)及

22

解析：由題意，曲線尸xe'上的任意一點(diǎn)P和直線y=x+3上的動(dòng)點(diǎn)Q兩

點(diǎn)間的距離的最小值,就是曲線y二xG上與直線y=x+3平行的切線與

直線y=x+3之間的距離.

由y三可得y'二號(hào)，令y'=1，解得x=0.

當(dāng)x=0時(shí),y=0,點(diǎn)P(0,0),因此P,Q兩點(diǎn)間的距離的最小值,即為點(diǎn)

P(0,0)到直線y=x+3的距離，出十4￥.故選B.

V22

第2節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

第一課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

靈法小濾名教提呢

課時(shí)作業(yè)

?選題明細(xì)表

知識(shí)點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)

3,4,6,7,91216

性關(guān)系的理解

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

1,214,1517

的單調(diào)區(qū)間

利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜

5,8,10,1113

合應(yīng)用

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固練

1.(2021?江蘇常熟高三抽測(cè))函數(shù)f(x)=2x2-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為

(D)

A.(-2,2)B.(0,2)

c?q)D.(o,|)

解析：函數(shù)f(x)的定義域是(0,+8),f'(x)=4x」=把匕，由

XX

4X2-1八

丁<0,可得0<x<i所以此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,；).故選D.

{x>0,22

2.函數(shù)￡&)#?在(B)

l+xz

A.(-8,4-00)內(nèi)是增函數(shù)

B.(-1,1)內(nèi)是增函數(shù),在其余區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)

C.(-8,4-00)內(nèi)是減函數(shù)

D.(-1,1)內(nèi)是減函數(shù),在其余區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)

解析:f(x)的定義域?yàn)镽,f,6)=戶會(huì)，

當(dāng)f'(X)>0時(shí),解得-1<X<1,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1);

當(dāng)fz(x)<0時(shí),解得X<-1或X>1,故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,

-1),(1,+8).故選B.

3.(2021?浙江高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則y=f(x)

的圖象可能是(B)

解析：由函數(shù)尸伊(x)的圖象知f(x)在(1,2)上是增函數(shù),其余部分

遞減.故選B.

4.已知f(x)在R上是可導(dǎo)函數(shù)，f(x)的圖象如圖所示，則不等式

(x2-2x-3)伊(x)>0的解集為(D)

B.(-oo,-2)U(1,2)

C.U(-1,0)U(2,+8)

D.U(-1,1)U(3,+8)

解析:原不等式等價(jià)于｛；潦［3；0,

或°，結(jié)合f(x)的圖象可得，

『>3或％V-1,或「:<%<3,解得x.i或x>3或—i<x〈L故選D.

1%V-1或%>1V%v1,

5.已知定義在R上的函數(shù)f(x)qax'+x2+ax+l有三個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(D)

A.(-8,-1)U(1,+8)

B.[-l,0)U(0,1]

C.(-1,1)

D.(-1,0)U(0,1)

解析：f'(x)=ax2+2x+a,

若函數(shù)f(x)Wax，x2+ax+l有三個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，則f(x)=ax2+2x+

a=0有2個(gè)不相等的零點(diǎn),則有A=4-4a2>0,且aWO,

解得-且a^O,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-1,0)U(0,1).故選D.

6.已知函數(shù)f(x)]x3+(2-a)x?+x-4在(0,2]上為增函數(shù),則a的取值范

圍是(B)

A.(-8,4]B.(-8,3]C.(4,+8)D.(-8,3)

解析：f'(x)=x?+2(2-a)x+l,由題意可知x2+2(2-a)x+1^0在區(qū)間

(0,2]內(nèi)恒成立，即2(a-2)Wx+3x￡(0,2],

X

由基本不等式知x+Z的最小值為2,因此2(a-2)W2,即a<3.故選B.

X

7,已知函數(shù)f(x)二竺/(aW。)的部分圖象如圖所示，則(B)

A.a<0

B.a-c>0

C.b-c<0

D.3a_2b+c<0

解析:因?yàn)閒(x)二貯等，

ex

所以『所二-二十()“+要

ex

令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,

由圖象可知，函數(shù)y=f(x)先減后增再減，

則-a<0,可得a>O,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

伊則晨-l)=-3a+2b-c<0,

則3a-2b+c>0,D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

伊(1)>0,則g(l)=a-c>O,B選項(xiàng)正確；

f'(0)>0,則g(0)=b-c>0,C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選B.

8.已知非負(fù)函數(shù)數(shù)x)的導(dǎo)函數(shù)為伊(x)，且f(x)的定義域?yàn)?0,+8),

若對(duì)于定義域內(nèi)的任意x,均滿足『(x)>四,則下列式子中不一定

X

正確的是(B)

A.f(2)>2f(l)B.f(3)>e?f(2)

C.f(4)>^f(3)D.f(e)>2e-f(1)

解析：因?yàn)閤>0,且(x)>幺包，可得xfz(x)>f(x),即xf/(x)-

X

f(x)>0,令g(x)二?，則g'(x)jr;；戶出，所以父(x)>0,所以

8々)=?在(0,+8)上單調(diào)遞增，

對(duì)于選項(xiàng)A,由g(2)>g(l),可得半〉與，

即f(2)>2f(l),故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,由g(3)>g(2),可得手>早，

即f(3)>|f(2),得不出f(3)>e-f(2),故選項(xiàng)B不一定正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,由g(4)>g(3),可得牛>?，

43

即f(4)>gf(3),因?yàn)閒(3)>0,

所以殳(3)>￡⑶,可得f(4)>￡(3),故選項(xiàng)C正確；

366

對(duì)于選項(xiàng)D,由g(e)>g(i),可得等〉學(xué)，

2

即f(e)>2e?f(1),故選項(xiàng)D正確.

所以不一定正確的是選項(xiàng)B.故選B.

9.已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2-x在區(qū)間弓支上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則a

的取值范圍是(B)

A.[1,+8)B.(1,+8)

C.(-8,1)D.(-8,1]

解析：由題,(x)=i-2ax-l二衛(wèi)咨衛(wèi)，

XX

因?yàn)閤>0,則若函數(shù)f(x)=lnx-ax2-x在區(qū)間與鄉(xiāng)上存在單調(diào)遞減

區(qū)間，

即-2ax2-x+l<0在1]上有解，

即存在x￡巳勺，使得2am+5成立，

32xX2

22

設(shè)tW(tC[2,3]),則u(t)=-t+t=(t-i)-i當(dāng)t=2時(shí),u(t)min=u(2)=2,

所以2a>2,即a>l.故選B.

10.設(shè)f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，寫(xiě)出一個(gè)滿足伊(x)>f(x)在定義域R

上恒成立的函數(shù)f(x)的解析式:.

解析：由題意,設(shè)函數(shù)f(x)=ex-l,可得『(x)=e\

令F(x)=f,(x)-f(x)=eJ(e'-l)=1>0恒成立，即函數(shù)f(x)=ex-l,符合

題意.

答案:f(x)=e'T(答案不唯一)

11.若任意a,b滿足0<a<b<t,都有blna<alnb,則t的最大值

為.

解析:因?yàn)?<a<b〈t,blna<alnb,

所以雪噴a<b),

ab

令yJ竺,則函數(shù)在(0,t)上單調(diào)遞增，故由y'二手>0可知0<x<e,故

t的最大值是e.

答案:e

上級(jí)口綜合運(yùn)用練r

12.已知尸f(x)為(0,+8)上的可導(dǎo)函數(shù),且有f，(x)+->0,則對(duì)于

任意的a,be(0,+8),當(dāng)a>b時(shí),有(B)

A.af(a)<bf(b)B.af(a)>bf(b)

C.af(b)>bf(a)D.af(b)<bf(a)

解析:不妨設(shè)h(x)=xf(x),則h'(x)=f(x)+xf7(x).

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，有f'(x)+&包>0,所以當(dāng)x>0時(shí),xf'(x)+f(x)>0,即

X

X(x)>0,此時(shí)函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，則對(duì)于任意的a,be(0,+oo),

當(dāng)a>b時(shí)，則h(a)>h(b),即af(a)>bf(b).故選B.

13.若l〈x〈X2,則下列不等式正確的是(D)

A.Xilnx2>x2lnXi

B.Xilnx2<x2lnX)

X2X1_

C.e-e<lnx2lnX)

xx_

D.e2-ei>inx2lnXi

解析:構(gòu)造函數(shù)g(x)l^(x>l),則g,(x)￥，

XX

又當(dāng)x￡(1,e)時(shí),g'(x)>0,當(dāng)x￡(e,+8)時(shí),gf(x)<0.

所以g(x)在(1,e)上單調(diào)遞增,在(e,+8)上單調(diào)遞減,所以

g(x.),g(x2)的大小不確定.所以A,B均不正確；

構(gòu)造函數(shù)h(x)=e'Tnx(x>l),則h'(x)=e"\>0,所以h(x)在(1,+°°)

X

上為增函數(shù)，

X1-

所以h(x2)>h(x),即e*2-lnx2>elnx］，所以e%2-e%i〉lnx2-lnxb

故選D.

r

14.已知函數(shù)f(x)-2；,若me(T,1),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

xl-2mx+l

解：因?yàn)閚)e(T,l),所以△=4療-4<0,所以y=x2-2mx+l>0恒成立，

則函數(shù)的定義域?yàn)镽.

q,/\ex(x-l)(x-2m-l)

f(X)一(十一2叩+】)2,

①當(dāng)m=0時(shí),2m+l=l,此時(shí)f'(x)20,f(x)在R上單調(diào)遞增;

②當(dāng)0<m<l時(shí)，l<2m+l<3,

xe(一8,i),伊(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

xe(l,2m+l),f,(x)<O,f(x)單調(diào)遞減,

x￡(2m+l,+°°),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

③當(dāng)T<m<0時(shí),T〈2m+l〈L

xe(-00,2m+l),f7(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

xE(2m+l,l),f,(x)<O,f(x)單調(diào)遞減,

x￡(l,+8),f，(x)>O,f(x)單調(diào)遞增.

綜上所述,當(dāng)m=O時(shí),￡6)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,+8)；

當(dāng)0<水1時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,1),(2m+l,+8),單調(diào)遞減

區(qū)間為(l,2m+l);

當(dāng)-1<水0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,2m+l),(1,+8),單調(diào)遞減

區(qū)間為(2m+l,1).

15.已知函數(shù)f(x),-x+a：nx.討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

X

解：函數(shù)f(X)的定義域?yàn)?0,+8),

fz(x)=二T+吼-Yii.

設(shè)g(x)=x2-ax+l.

(1)當(dāng)aWO時(shí),g(x)>0恒成立,即f(x)<0恒成立,此時(shí)函數(shù)f(x)在

(0,+8)上是減函數(shù)；

(2)當(dāng)a>0時(shí),判別式△=a2-4,

①當(dāng)0<aW2時(shí)，△W0,即g(x)20,即當(dāng)(x)《0恒成立,此時(shí)函數(shù)

f(x)在(0,+8)上是減函數(shù);

②當(dāng)a>2時(shí),x,f'(x),f(x)的變化如表所示.

22

Xa-Va-4(aWa-4Q+A/Q2-4)

2222

f'(x)—0+

f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

2

a+Va-4/a+Va2-4,、

X(2，)

2

f'(x)0—

f(x)極大值單調(diào)遞減

綜上，當(dāng)aW2時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8)；

當(dāng)a>2時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,二)，(竺尹,+8),單調(diào)遞

增區(qū)間為(女民”H).

C級(jí)應(yīng)用創(chuàng)新練

16.已知函數(shù)f(x)=x?+axTnx,若叫［1,+8),且“向‘⑺>3恒成

m-n

立，則a的取值范圍是(D)

A.［1,+8)B.［3-2V2,+oo)

C.(2,+oo)D.⑵+8)

解析:假設(shè)m>n,由“加八”),〉3,得f(m)-3m>f(n)-3n,令g(x)=f(x)-3x=

m-n

x2+(a-3)x-lnx,因此函數(shù)g(x)在區(qū)間［1,+8)上是增函數(shù).

g，(x)=2x+a-3」=2-+(Q-3)xia>0),

XX

因?yàn)間(x)在［l,+8)上單調(diào)遞增，所以12-乎，且g，⑴20,解得

4

a22.故選D.

17.(多選題)(2021?江蘇南京聯(lián)考)下列命題為真命題的是

(ABD)

A.—>ln2B.-ln2<ln-

342

C.2遍>5D.In2<-

e

解析:構(gòu)造函數(shù)f(x)=—,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),則伊(X)二

X

1-Inx

*'

當(dāng)0〈x〈e時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x>e時(shí),fr(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

所以f(x)*=f(e)=i.

e

因?yàn)?>3>e,所以f(4)<f(3),即哈等野鴛,所以等>ln2,故A

正確；

因?yàn)閑〉》2,所以f(》〉f⑵，即小冷,In|>^ln2,故B正確；

2

因?yàn)?<2<V5<e,所以f(2)<f(V5),即］〈生善二整.所以In5>V51n2=

2V52V5

In2/即5>2有，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?<2<e,所以f(2)<f(e),即四々即In2<-,故D正確.故選ABD.

2ee

第二課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值

靈活石、發(fā)有致提猊

任》選題明細(xì)表

知識(shí)點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練

導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值1,2,3,7,8,912,13,16,1718

導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值4,514,15

函數(shù)的極值與最值綜

6,1011

合問(wèn)題

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固練

1.(2021?安徽阜陽(yáng)高三聯(lián)考)若函數(shù)f(x)=x3-ax2(a>0)的極大值點(diǎn)為

a-2,則a等于(B)

A.1B.2C.4D.6

解析:函數(shù)f(x)=x3-ax2(a>0)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x2-2ax.當(dāng)x<0或x>

半時(shí)，伊(x)>0,當(dāng)時(shí),f'(x)<0.所以f(x)的極大值點(diǎn)為0,則

a-2=0,解得a=2.故選B.

2.(2021?河南南陽(yáng)高三期末)已知函數(shù)f(x)=ax+e，沒(méi)有極值點(diǎn)，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是(D)

A.a<0B.a>0C.aWOD.a20

解析:函數(shù)f(x)=ax+3在R上沒(méi)有極值點(diǎn)，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0無(wú)解或

有唯一解(但導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的兩側(cè)符號(hào)相同).函數(shù)f(x)=ax+e'的導(dǎo)數(shù)為

f'(x)=a+ex,所以a+ex=O無(wú)解,所以a二*無(wú)解,所以a^O.故選D.

3.一個(gè)矩形鐵皮的長(zhǎng)為16cm,寬為10cm,在四個(gè)角上截去四個(gè)相同

的小正方形,制成一個(gè)無(wú)蓋的小盒子,若記小正方形的邊長(zhǎng)為x(cm),

小盒子的容積為丫(。句，則(B)

A.當(dāng)x=2時(shí),V有極小值

B.當(dāng)x=2時(shí),V有極大值

C.當(dāng)x=一時(shí),V有極小值

D.當(dāng)x二個(gè)時(shí),V有極大值

解析：小盒子的容積為V(X)=x(16-2x)(10-2x)=4x3-52x2+160x(0<x<5),

所以V'(x)=12x2-104x+160,令V'(x)=0,得x=2或x=g(舍去).當(dāng)

0<x<2時(shí),V’(x)>0,V(x)單調(diào)遞增，當(dāng)2<x<5時(shí),V'(x)<0,V(x)單調(diào)

遞減,所以當(dāng)x=2時(shí),V(x)有極大值為144.故選B.

4.已知函數(shù)f(x)=31nxr'2+(a-在區(qū)間(1,3)上有最大值,則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是(B)

A.(~1,5)B.(-1,y)

C.§D.(1,5)

解析：因?yàn)椤?x)--2x+a-g所以由題設(shè)f(x)-—2x+a《在(1,3)上

X2X2

只有一個(gè)零點(diǎn)，且單調(diào)遞減，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為>0，

I1(3)<0,

CLH—>0,11I

/解得-9a故選B.

{a-y<0,22

5.設(shè)圓柱的體積為V,那么其表面積最小時(shí)，底面半徑為(D)

A.V7B,坐C.WD.惡

解析:設(shè)圓柱的底面圓半徑為r,高為h,則V二冗r2h,即h二二,所以S二

nr2

224TTr32V

2nrh+2兀r=2兀r?二一2nr=—+2兀S'=4兀r_gK=-?由

rr2rz

S'>0得,r>備；由S'<0得,03<忘，所以當(dāng)廠在時(shí)，圓柱的表面

積最小.故選D.

6.(2021?河南鄭州高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x3-(3a+》x2+6ax,若f(x)

在(-1,+8)上既有極大值,又有最小值,且最小值為3a-i則a的取值

范圍為(C)

A.?,》B

C.(方中D.(-|,|)

解析：由于函數(shù)f(x)=x3-(3a+|)x2+6ax的導(dǎo)數(shù)口

(x)=3x2-(6a+3)x+6a=(3x-6a)?(x-l)的零點(diǎn)為2a和1,且f⑴=3a[,

所以1是函數(shù)的極小值點(diǎn)即最小值點(diǎn),則2a是函數(shù)的極大值點(diǎn)，

所以T<2a〈l,且f(-l)^3a-i解得-故選C.

7.已知a,beR,若x=a不是函數(shù)f(x)=(x-a)2(x-b)(b11)的極小值點(diǎn),

則下列選項(xiàng)符合的是(B)

A.l^b<aB.b〈aWl

C.a<l^bD.a〈bWl

解析:令f(x)=(x-a)2(x-b)(ex-1-l)=0,

得Xi—a,X2=b,Xa=l.

下面利用數(shù)軸標(biāo)根法畫(huà)出f(x)的草圖，借助圖象對(duì)選項(xiàng)A,B,C,D逐一

分析.

對(duì)選項(xiàng)A,若l^b<a,由圖V*可知x書(shū)是f(x)的極小值點(diǎn),不符

合題意；

對(duì)選項(xiàng)B,若b〈aWl,由圖弋;可知x=a不是f(x)的極小值點(diǎn)，

符合題意；

對(duì)選項(xiàng)C,若a<l^b,由圖可知x=a是f(x)的極小值點(diǎn),不

符合題意；

對(duì)選項(xiàng)D,若a<bWl,由圖；可知x=a是f(x)的極小值點(diǎn),不

符合題意.故選B.

8.(2021?河南鄭州一模)已知f(x)=知2+2x+a)e1若f(x)存在極小值,

則a的取值范圍是.

解析：函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為fr(x)=(2x+2)ex+(x2+2x+a)ex=ex(x2+4x+

a+2).

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽,所以若f(x)存在極小值,即函數(shù)f(x)有

最小值點(diǎn)，

所以x2+4x+a+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，AnG-Ma+Z))。,解得水2.

答案：(-8,2)

9.(2021?湖北武漢高三模擬)寫(xiě)出一個(gè)定義在R上且使得命題“若

f(1)=0,則1為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)”為假命題的函數(shù)f(x)=.

解析：由題意,f'(1)=0,且(x)在x=l處不存在變號(hào)零點(diǎn)，例如

f(x)二(xT);則『(x)=3(x-l)2,所以產(chǎn)⑴二0,且D(x)=3(x-l)2>0,

符合題意.

答案：(x-1”(答案不唯一)

10.已知函數(shù)f(X)考若函數(shù)f(x)ffix=-l處取得極值,則函數(shù)的

f(x)的最大值是,最小值是

解析:因?yàn)椤?親，則1(X)二2(x2+a)-2x(3-2x)2(x2-3x-d)

(x2+a)2(r2+a)

由題意可得f'(-1)=尹40,解得a=4.

(a+l)

故f(X),,求導(dǎo)得f,(x)=里言與"

X2+4(X2+4)

由f'(x)=0得x=-l或x=4.

當(dāng)X變化時(shí)，函數(shù)f(x),f‘(X)的變化情況如表,

X(-°0,-1)-1(-1,4)4(4,+8)

e(X)+0—0+

f(X)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-1),(4,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為

(-1,4).

當(dāng)x<|時(shí),f(x)>0;當(dāng)x〉|時(shí),f(x)<0.

所以f(x)max=f(-1)=1,

f(X)min=f(4)二一"

答案：i4

4

B級(jí)綜合運(yùn)用練

n.(多選題)(2021?廣東湛江高三一模)已知函數(shù)f(x)=x3-31nx-1,

則(BC)

A.f(x)的極大值為0

B.曲線y=f(x)在(1,f⑴)處的切線為x軸

C.f(x)的最小值為0

D.f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)

解析：函數(shù)f(x)=xL31nx-l的定義域?yàn)?0,+8),導(dǎo)數(shù)『(x)=3x2-工

X

-(x3-l).

X

令f'(X)—(x-l)=O,得x=L

X

當(dāng)X變化時(shí),f(x),尹(X)的變化情況如表：

X(0,1)1(1,+8)

「(X)—0+

f(X)心調(diào)遞減0單調(diào)遞增

所以f(x)的極小值,也是最小值為f(l)=O,無(wú)極大值,在定義域內(nèi)不

單調(diào)，故C正確,A,D錯(cuò)誤;對(duì)于B,由f⑴=0及f'⑴=0,所以y=f(x)

在(1,f(l))處的切線方程為y=0,即x軸，故B正確.故選BC.

12.(2021?全國(guó)乙卷)設(shè)aWO,若x二a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極

大值點(diǎn)，則(D)

A.a<bB.a>b

C.ab<a2D.ab>a2

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=a(x-a)2?(x-b),

所以f'(x)=2a(x-a)(x-b)+a(x-a)2=a(x-a)?(3x-a-2b).

令f'(x)=0,結(jié)合aWO可得x=a或x~a+2b.

3

⑴當(dāng)a>0時(shí)，

①若等>a,即b>a,此時(shí)易知函數(shù)f(x)在(-8,@)上單調(diào)遞增，在

(a,等)上單調(diào)遞減,所以x二a為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),滿足題意；

②若*a,即b=a,此時(shí)函數(shù)f(x)=a(x-a”在R上單調(diào)遞增,無(wú)極值

點(diǎn),不滿足題意；

③若等<a,即b<a,此時(shí)易知函數(shù)f(x)在(等,a)上單調(diào)遞減,在

(a,+8)上單調(diào)遞增,所以x=a為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),不滿足題意.

⑵當(dāng)a<0時(shí)，

①若產(chǎn)㈤即b>a,此時(shí)易知函數(shù)f(x)在(-8逸)上單調(diào)遞減，在

(a,等)上單調(diào)遞增,所以x=a為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),不滿足題意；

②若產(chǎn)包,即b=a,此時(shí)函數(shù)f(x)=a(x-a)3在R上單調(diào)遞減,無(wú)極值

點(diǎn),不滿足題意；

③若等即b此時(shí)易知函數(shù)f(x)在(等,a)上單調(diào)遞增，在

(a,+8)上單調(diào)遞減,所以x二a為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),滿足題意.

綜上，當(dāng)a>0,且b>a時(shí),滿足題意,當(dāng)a<0,且b<a時(shí)，，也滿足題意.據(jù)此,

可知必有ab>a?成立.故選D.

13.若X。是函數(shù)f(x)二e"」的極值點(diǎn)，則(C)

XX

A.—+lnXo=OB.x-lnx=O

%。0o

C.Xo+lnx=OD.--Inx=O

o出o

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)二小二，

XX

所以f'(x)=e"殍，

X2

因?yàn)閄。是函數(shù)f(x)=e，-小二的極值點(diǎn)，

XX

所以f'(Xo以下。+也：。-0,即歐e%0二-InXo.

兩邊取以e為底的對(duì)數(shù)，

得Xo+21nx0=ln(-lnx0),

-

BPxo+lnx0=lnx0+ln(-lnx0).

令g(x)=x+lnx(x>0),

即g(xo)=g(-lnxo),

因?yàn)間'(x)=l+i>0,

所以g(x)在(O,+8)上單調(diào)遞增，

所以x0=-lnx0,即Xo+lnxo=O.故選C.

14.已知f(x)=2x3-6x2+m(m為常數(shù))，在［-2,2］上有最大值3,那么此函

數(shù)在［-2,2］上的最小值為.

解析：由已知可得,f'(x)=6x2-12x,由6x2-12x=0得x=2或x=0,因此

當(dāng)X￡［2,+8)U(-8,o］時(shí),f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x￡［0,2］時(shí),f(x)單調(diào)

遞減,又因?yàn)閤￡［-2,2］,所以當(dāng)xe［-2,0］時(shí),f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xe

［0,2］時(shí),f(x)單調(diào)遞減,f(x)?x=f(0)=m=3,故有f(x)=2x3-6x2+3,所以

f(-2)=-37,f(2)=-5.因?yàn)閒(-2)=-37<f(2)=-5,所以函數(shù)f(x)的最小

值為f(-2)=-37.

答案:-37

15.已知函數(shù)f(x)=e'+lnx,g(x)=4x+?,且x滿足l〈xW2,貝ijg(x)-f(x)

的最大值為.

解析:令h(x)=g(x)-f(x)=4x+L-e'Tnx,1WXW2,

X

則h'(x)=4-^-ex--,

X

令m(x)=4—7-e'--,

則(x)=-e'+g1Wx<2,

X3X2

易知一(x)在［1,2］上單調(diào)遞減，則m'(D=3-e>0,m,(1.1)=-^+

1.1°

二re±O,

1.12

則必存在一點(diǎn)xe(1,L1),使m'(x)=4-ex°+-^=O,即卷+J=e%。

ooV。V*/VJV*乙

xo兀0xox0

即m(x)在(1,xo)上單調(diào)遞增,在(xo,2)上單調(diào)遞減，

則函數(shù)m(x)在x。處取最大值，

且m(xo)=4--7-ex°--=4—^-―—^―^-=4-^--x^(1,1.1),

x0x0xo兀oxox0兀0xo0

易知m(x。)在(1J1)上單調(diào)遞增，則

mCxoXmd.DM-^-^-^O,

則m(x)<0在1WXW2上恒成立,

即h'(x)<0.

故h(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,從而h(x)^h(l)=5-e.

答案：5飛

16.若x=0為f(x)=x4+(a-l)x3+ax2的極大值點(diǎn)，則a的取值范圍

為.

解析：因?yàn)閒(x)=x4+(a-1)x3+ax2,

則f'(x)=4X3+3(a-l)x2+2ax=x[4x2+3(a-l)x+2a].

設(shè)g(x)=4x2+3(a-l)x+2a,

則A=9(a-l)2-32a=9a-50a+9.

⑴若△<(),則g(x)>0,當(dāng)x<0時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0,

此時(shí),x=0為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),不符合題意；

(2)若△=9a-50a+9=0,解得產(chǎn)士產(chǎn)

設(shè)函數(shù)g(x)的零點(diǎn)為X。，

2

則f'(x)=4x(x-x0).

25+4734|?I|i3(l-fl)

①右a二一--，則x()=——<0,

Vo

當(dāng)Xo〈x<O時(shí)，f'(x)<0,當(dāng)x〉0時(shí),f'(x)>0,

此時(shí),x=0為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),不符合題意;

25-4V34rn.i3(l-tt)

②若聯(lián)---，貝UX。一>0,

yo

當(dāng)x<0時(shí),(x)<0,當(dāng)O(x<xo時(shí),f'(x)>0.

此時(shí),x=0為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),不符合題意;

⑶若△>0,解得a(交等或a>至等，

設(shè)函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為X1,x2.

①若a=0,貝ijf'(x)=4x3-3x2=x2(4x-3).

當(dāng)x<0時(shí),f‘(x)<0,當(dāng)0(xT時(shí),f'(x)<0,

4

此時(shí),x=0不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),不符合題意;

②若Xi<x2<0,f'(x)=4x(x-xi)(x-x2),

f

當(dāng)x2<x<0時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0,

此時(shí),x=0為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),不符合題意;

③若0<Xi<x2,當(dāng)x<0時(shí),f'(x)<0,

當(dāng)0<x<Xi時(shí),f'(x)>0,

此時(shí),x=0為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),不符合題意;

④若Xi<0<x2,當(dāng)Xi<x<0時(shí)，f'(x)>0,

當(dāng)0<x<x2時(shí)，f'(x)<0,

此時(shí),x=0為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),符合題意.

即函數(shù)g(x)的零點(diǎn)一正一負(fù),故X1X2卷0,

解得a<0.

綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,0).

答案：(-8,0)

17.(2021?江西吉安高三期末)已知函數(shù)f(x)=aex?(x-2)(a^O).

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)a=-l時(shí)，求函數(shù)g(x)=f(x)+x2-2x的極值.

解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)=aex(x-l).

若a>0,由f'(x)<0,可得xG;由伊(x)>0,可得x>l,

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(i,+8)；

若a<0,由伊(x)<0,可得x>l;由(x)>0,可得x<l,

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,I).

綜上所述,當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,1),單調(diào)遞增

區(qū)間為(1,+8)；

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞增區(qū)間為

(-8,1).

(2)當(dāng)a=-l時(shí)，可得g(x)=f(x)+x2-2x=-ex(x-2)+x2-2x,

貝I」g'(x)=-ex(x-l)+2x-2=-(x-l)(ex-2),

由g'(x)=0,BP(x-l)(ex-2)=0,解得x=l或x=ln2.

當(dāng)x變化時(shí),g'(x)與晨x)的變化情況如表:

X(-8,in2)In2(In2,1)1(1,+°°)

](X)

—0+0—

g(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

所以當(dāng)x=ln2時(shí)，函數(shù)g(x)取得極小值

g(ln2)=ln22-41n2+4;

當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)g(x)取得極大值g(l)=e-l.

C級(jí)應(yīng)用創(chuàng)新練

18.已知函數(shù)f(x)=(x-2)(ex-ax).當(dāng)a>0時(shí)，討論f(x)的極值情況.

解:伊(x)=(eX-ax)+(x-2)(eX-a)=(x-l)?eX-2a(x-l)=(x-l)(ex-2a).

因?yàn)閍>0,由f'(x)=0得,x=l或x=ln(2a).

①當(dāng)時(shí),#(x)=(x-l)(ex-e)20,f(x)單調(diào)遞增,故f(x)無(wú)極值.

②當(dāng)0<a<|時(shí)，ln(2a)〈l.

x,f'(x),f(x)的關(guān)系如表：

(-8,

XIn(2a)(ln(2a),l)1(1,+8)

In(2a))

f'(x)+0—0+

f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

故f(x)有極大值f(ln(2a))=-a(ln(2a)-2)2,極小值f(l)=a-e.

③當(dāng)a>|時(shí),ln(2a)>L

x,*(x),f(x)的關(guān)系如表：

(In(2a),

X(-8,1)1(1,In(2a))In(2a)

+8)

*（X）+0—0+

f（X）單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

故f(x)有極大值f(l)=a-e,極小值f(ln(2a))=-a(ln(2a)-2)2.

綜上，當(dāng)0<a《時(shí),f(x)有極大值-a(In(2a)-2)2,極小值a-e;當(dāng)a=|

時(shí),f(x)無(wú)極值;當(dāng)a>：時(shí),f(x)有極大值a-e,極小值-a(In(2a)-2)2.

第三課時(shí)導(dǎo)數(shù)與不等式

靈活石、發(fā)有致提猊

課時(shí)作業(yè)

選題明細(xì)表

知識(shí)點(diǎn)、方法綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式2,3,59

利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題16

導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合問(wèn)題47,8

B級(jí)綜合運(yùn)用練

1.(2021?陜西榆林高二二模)已知函數(shù)f(x)=(x2-3)e'+n

⑴討論f(x)的單調(diào)性；

⑵若Vxe(0,+oo),VX2GR,f(X)>4%2-8'2,求in的取值范圍.

解：(1)由f(x)=(x2-3)ex+m,得f'(x)=(x2+2x-3)ex=(x+3)(xT)ex,

當(dāng)x<-3或x>l時(shí),f'(x)>0,當(dāng)-3<x<l時(shí),『(x)<0,

所以f(x)在(-OO,-3)和(1,+8)上單調(diào)遞增,在(-3,1)上單調(diào)遞減.

(2)因?yàn)椤?)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以

f(x)2f(l)=m-2e,

因?yàn)閂xP(0,+?>),VX2GR,f(X)>4%2-8孫，所以m-2e>4&-8%恒成

立.

令t=2%2,則t>0,即m>t2-t3+2e在(0,+8)上恒成立,

令g(t)=t2-t3+2e,則g'(t)=2t-3t2=t(2-3t),

所以g(t)在(0,|)上單調(diào)遞增，在(|,+8)上單調(diào)遞減，所以m>g(|)=

—+2e,

故m的取值范圍為(5+2e,+8).

2.已知函數(shù)f(x)2ax2-(2a+l)x+21nx.

2

當(dāng)a=0時(shí),證明：f(x)<2eX-x-4(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

證明：當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x)=21nx-x,

由f(x)<2eX-x-4可知ex>lnx+2.

令g(x)=e'Tnx_2(x>0),gz(x)=e"-：.

設(shè)g'(x0)=0,貝iJe*°W(O〈Xo〈l).

當(dāng)x￡(0,X。)時(shí),gz(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x￡(xo,+8)時(shí),g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=x。時(shí),g(x)取得唯一的極小值,也是最小值.

g(x)的最小值是g(x