七級(jí)數(shù)學(xué)思維探究（15）從估算到數(shù)感含試卷分析詳解

蘇步青，浙江平陽人，年畢業(yè)于日本東北帝國大學(xué)，復(fù)旦大學(xué)教授、名譽(yù)校長(zhǎng)，年選聘為中國科學(xué)院院士，主要從事微分幾何學(xué)和計(jì)算幾何學(xué)等方面的研究，被譽(yù)為“東方第一幾何學(xué)家”．在空間微分幾何學(xué)、幾何外形設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)等方面取得突出成就．15．從估算到數(shù)感解讀課標(biāo)大到國家的財(cái)政預(yù)算，工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的總值、產(chǎn)量，小到某人的身高、體重、年齡等，在生活生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中，我們常要對(duì)一些問題的數(shù)量進(jìn)行估算，估算是我們研究和處理有關(guān)數(shù)量問題時(shí)經(jīng)常運(yùn)用的一種方法．?dāng)?shù)感是人對(duì)數(shù)與運(yùn)算的一般理解，這種理解可以幫助人們用靈活的方法作出數(shù)學(xué)判斷和為解決復(fù)雜的問題提出有用的策略，數(shù)感主要表現(xiàn)在：理解數(shù)的意義，能用多種方法表示數(shù)，能在具體的情境中把握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系，能用數(shù)來表達(dá)和交流信息，能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴?，能估?jì)運(yùn)算的結(jié)果，并對(duì)結(jié)果的合理性作出解釋．加強(qiáng)估算，培養(yǎng)數(shù)感是新課程的基本要求．例1圖中的算式表示四位數(shù)與的積是四位數(shù)，那么、、、這個(gè)數(shù)字分別是_____．試一試被乘數(shù)是四位數(shù)，與的積也是四位數(shù)，由此可估算確定、的值，這是解本例的突破口．例2已知，則與的大小關(guān)系是（）．A．B．C．D．無法確定的試一試通過放縮法，化異分母為同分母，為比較與的大小創(chuàng)造條件．例3如果三個(gè)邊長(zhǎng)為整數(shù)的正方形紙片的面積之和為，其中最大的正方形紙片面積為，最小的正方形紙片面積為，確定的最大值．試一試設(shè)三個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為，，（其中，，為正整數(shù)，），由題意得，怎樣解這個(gè)不定方程，從估算入手．例4證明：．試一試先用放大的方法：．類似用縮小的方法證明另一不等式．例5求方程的正整數(shù)解．分析易知，，都大于，不妨設(shè)，則（排序估算），將復(fù)雜的三元不定方程轉(zhuǎn)化為一元不等式，通過解不等式對(duì)某個(gè)未知數(shù)的取值作出估計(jì)，逐步縮小其取值范圍，求出其結(jié)果．解，即，由此得或，當(dāng)時(shí)，，即，由此得或或，同理當(dāng)時(shí)，或，由此可得當(dāng)時(shí)，共有，，，組，由于、、在方程中地位平等，可得原方程的解共有組：，，，，，，，，，，，，，，．逼近求解通過放縮或特殊化，把相關(guān)量限制在某取值范圍內(nèi)，從而找到解決問題的突破口，逼近求解體現(xiàn)了變“相等”為“不等”，以“不等”求“相等”的解題策略和思想．例6甲組同學(xué)每人有個(gè)核桃，乙組同學(xué)每人有個(gè)核桃，丙組同學(xué)每人有個(gè)核桃，三組的核桃總數(shù)是個(gè)，問三個(gè)小組共有多少名同學(xué)？分析與解設(shè)甲組學(xué)生人，乙組學(xué)生人，丙組學(xué)生人，由題意得，運(yùn)用放縮法，從求出的取值范圍入手．因，得，故．因，得，故．從而，或．當(dāng)時(shí)，得，此方程無正整數(shù)解，故，．?dāng)?shù)學(xué)沖浪知識(shí)技能廣場(chǎng)1．設(shè)、、表示三種不同物體的質(zhì)量，用天平稱兩次，情況如圖所示，則這三種物體的質(zhì)量從小到大排序正確的是（）．A．B．C．D．2．細(xì)胞分裂時(shí)一分為二，設(shè)原有個(gè)細(xì)胞，第一次分裂為個(gè)，第次分裂為個(gè)…第十次分裂為個(gè)，則第二十次分裂后的細(xì)胞數(shù)最接近于（）．A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)3．將，，，，…，，這個(gè)整數(shù)分為兩組，使得一組中所有數(shù)的和比另一組中所有數(shù)的和大，這樣的分組方法（）．A．只有一種B．恰有兩種C．多于三種D．不存在4．某學(xué)校在開展“節(jié)約每一滴水”的活動(dòng)中，從初三年級(jí)的名同學(xué)中任選出名同學(xué)匯報(bào)了各自家庭一個(gè)月的節(jié)水情況，將有關(guān)數(shù)據(jù)整理如下表：節(jié)水量（單位：噸）同學(xué)數(shù)用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)估計(jì)這名同學(xué)的家庭一個(gè)月節(jié)約用水的總量大約是（）．A．噸B．噸C．噸D．噸5．某商場(chǎng)為了吸引顧客，舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，并規(guī)定：顧客每購買元的商品，就可隨機(jī)抽取一張獎(jiǎng)券，抽得獎(jiǎng)券“紫氣東來”、“花開富貴”、“吉星高照”，就可以分別獲得元、元、元的購物券，抽得“謝謝惠顧”不贈(zèng)購物券；如果顧客不愿意抽獎(jiǎng)，可以直接獲得購物券元．小明購買了元的商品，他看到商場(chǎng)公布的前張獎(jiǎng)券的抽獎(jiǎng)結(jié)果如下：獎(jiǎng)券種類紫氣東來花開富貴吉星高照謝謝惠顧出現(xiàn)張數(shù)（張）（1）求“紫氣東來”獎(jiǎng)券出現(xiàn)的頻率；（2）請(qǐng)你幫助小明判斷，抽獎(jiǎng)和直接獲得購物券，哪種方式更合算？并說明理由．6．在杭州市中學(xué)生籃球賽中，小方共打了場(chǎng)球．他在第，，，場(chǎng)比賽中分別得了，，和分，他的前場(chǎng)比賽的平均得分比前場(chǎng)比賽的平均得分要高，如果他所參加的場(chǎng)比賽的平均得分超過分．（1）用含的代數(shù)式表示；（2）小方在前場(chǎng)比賽中，總分可達(dá)到的最大值是多少？（3）小方在第場(chǎng)比賽中，得分可達(dá)到的最小值是多少？7．證明：（為正整數(shù)且）．8．求滿足關(guān)系式的數(shù)字和．9．已知一個(gè)四位數(shù)的各位數(shù)字的和與這個(gè)四位數(shù)相加等于，試求這個(gè)四位數(shù)．思維方法天地10．已知分?jǐn)?shù)，那么的整數(shù)部分是_________．11．回文對(duì)聯(lián)北京有一家“天然居”的名餐館，顧客進(jìn)店，便可看見一副對(duì)聯(lián)：客上天然居，居然天上客．這副對(duì)聯(lián)不但意境好，而且是一副回文聯(lián)，即將上聯(lián)倒過來念，便成了下聯(lián)．這與數(shù)學(xué)中的對(duì)稱頗為類似．據(jù)說清代乾隆皇帝把這副回文聯(lián)兩句并成一句，作為新的上聯(lián)，大臣紀(jì)曉嵐對(duì)出了下聯(lián)：人過大佛寺，寺佛大過人．下面左邊的乘法算式中，每個(gè)漢字代表一個(gè)數(shù)字，不同漢字代表不同數(shù)字，請(qǐng)把這道乘法算式在右邊還原出來．__________________．12．有克、克、克、克的砝碼各若干個(gè)，從中共取個(gè)，每類砝碼至少取個(gè)，克的砝碼不能超過個(gè)，若總重量為千克，則的最小值為_______．13．中國古代數(shù)學(xué)問題唐太宗傳令點(diǎn)兵：若一千零一卒為一營(yíng)，則剩一人；若一千零二卒為一營(yíng)，則剩四人，此次點(diǎn)兵至少有________人．14．、、是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，，，那么是（）．A．B．C．D．15．，則的整數(shù)部分等于（）．A．B．C．D．16．求中的數(shù)字、、．17．已知由小到大的個(gè)正整數(shù)，，，…，的和是，求的最大值．應(yīng)用探究樂園18．設(shè)、、為互不相等的正整數(shù)，且，為整數(shù)，求、、的正整數(shù)解．19．已知正整數(shù)，其中、、均為質(zhì)數(shù)，且，，求的值．15．從估算到數(shù)感問題解決例1，，推得，．例2C從到共有個(gè)數(shù)，故例3，而，最大值取，得，得，，的最大值為．例4原式．故．?dāng)?shù)學(xué)沖浪1．A2．D3．D設(shè)一組數(shù)的和為，另一組數(shù)的和為，由，得．4．C5．（1）；（2）平均每張獎(jiǎng)券獲得的購物券金額為（元），，選擇抽獎(jiǎng)更合算．6．（1）；（2）分；（3）分．7．提示：利用結(jié)果．8．，，，得．在與之間的完全平方數(shù)只有，經(jīng)檢驗(yàn)知，為所求．9．設(shè)所求四位數(shù)是，由題意得，即，得，，得．，進(jìn)一步得，．故所求四位數(shù)是．10．，，故的整數(shù)部分是．11．12．設(shè)克、克、克、克的砝碼分別有、、、個(gè)，則，，隨著的減小，越來越大，經(jīng)討論知，，，，為所求．13．設(shè)第一次點(diǎn)兵共營(yíng)，第二次點(diǎn)兵共營(yíng)，則，即，的最小值等于，此時(shí)，至少有（人）．14．D，為偶數(shù)，必為奇數(shù)．15．A當(dāng)，，…，時(shí)，，，