2024年中考數學二輪復習重難點04 全等三角形與相似三角形（原卷版）

重難點突破04全等三角形與相似三角形目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01旋轉中的全等模型類型一對角互補模型類型二對角互補且有一組鄰邊相等的半角模型類型三手拉手旋轉模型類型四中點旋轉模型類型五通過旋轉構造三角形全等題型02構造相似三角形解題類型一做平行線構造“A”型相似類型二做平行線構造“X”型相似類型三作垂線構造直角三角形相似類型四作垂線構造“三垂直”型相似題型03與相似三角形有關的壓軸題類型一運用相似三角形的性質與判定求點的坐標類型二運用相似三角形的性質與判定求線段的最值類型三利用相似三角形的判定和性質求“kAD+BD”型的最值（阿氏圓）類型四相似中的“一線三等角”模型類型五相似三角形與多邊形綜合題型01旋轉中的全等模型類型一對角互補模型1．（20-21八年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點M，N在邊BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，求MN的長．2．（2021·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實踐數學實踐活動，是一種非常有效的學習方式．通過活動可以激發(fā)我們的學習興趣，提高動手動腦能力，拓展思推空間，豐富數學體驗．讓我們一起動手來折一折、轉一轉、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣．折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、AD都落在對角線AC上，展開得折痕AE、AF，連接EF，如圖1．（1）∠EAF=_________°，寫出圖中兩個等腰三角形：_________（不需要添加字母）；轉一轉：將圖1中的∠EAF繞點A旋轉，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點P、Q，連接PQ，如圖2．（2）線段BP、PQ、DQ之間的數量關系為_________；（3）連接正方形對角線BD，若圖2中的∠PAQ的邊AP、AQ分別交對角線BD于點M、點N．如圖3，則CQBM剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線BD剪開，如圖4．（4）求證：BM3．（2020·湖南湘西·中考真題）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．探究圖中線段AE，CF，EF之間的數量關系．小李同學探究此問題的方法是：延長FC到G，使CG=AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，再證明△BFC≌△BFE，可得出結論，他的結論就是_______________；探究延伸1：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結論是否仍然成立？請直接寫出結論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說明理由．探究延伸2：如圖3，在四邊形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結論是否仍然成立？并說明理由．實際應用：如圖4，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海里/小時的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、F處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．類型二對角互補且有一組鄰邊相等的半角模型4．（2022·遼寧朝陽·中考真題）【思維探究】如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，連接AC．求證：BC+CD＝AC．

(1)小明的思路是：延長CD到點E，使DE＝BC，連接AE．根據∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，從而得到∠B＝∠ADE，然后證明△ADE≌△ABC，從而可證BC+CD＝AC，請你幫助小明寫出完整的證明過程．(2)【思維延伸】如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，連接AC，猜想BC，CD，AC之間的數量關系，并說明理由．(3)【思維拓展】在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝6，AC與BD相交于點O．若四邊形ABCD中有一個內角是75°，請直接寫出線段OD的長．5．（20-21九年級上·湖北武漢·階段練習）（1）問題背景．如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是線段BC、線段CD上的點．若∠BAD=2∠EAF，試探究線段BE、EF、FD之間的數量關系．童威同學探究此問題的方法是，延長FD到點G．使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG．再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是．

（2）猜想論證．如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E在線段BC上、F在線段CD延長線上．若∠BAD=2∠EAF，上述結論是否依然成立？若成立說明理由；若不成立，試寫出相應的結論并給出你的證明．

（3）拓展應用．如圖3，在四邊形ABDC中，∠BDC=45°，連接BC、AD，AB:AC:BC=3:4:5，AD=4，且∠ABD+∠CBD=180°．則△ACD的面積為．

6．（2020·河南南陽·模擬預測）已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，將∠MBN繞點B旋轉，它的兩邊分別交邊AD、DC（或它們的延長線）于點E、F．（1）當∠MBN繞點B旋轉到AE=CF時（如圖1），①求證：△ABE≌△CBF；②求證：AE+CF=EF；（2）當∠MBN繞點B旋轉到如圖2所示的位置時，AE≠CF，此時，（1）中的兩個結論是否還成立？請直接回答．類型三手拉手旋轉模型7．（2022·山東濟南·中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D在△ABC的內部，連接AD，將線段AD繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．(1)判斷線段BD與CE的數量關系并給出證明；(2)延長ED交直線BC于點F．①如圖2，當點F與點B重合時，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數量關系為_______；②如圖3，當點F為線段BC中點，且ED＝EC時，猜想∠BAD的度數，并說明理由．8．（2020·遼寧丹東·中考真題）已知：菱形ABCD和菱形A'B'C'D'，∠BAD=∠B'A'D'，起始位置點A在邊A'B'上，點B在A'B'所在直線上，點B（1）如圖1，若點A與A'重合，且∠BAD=∠B'（2）若點A與A'不重合，M是A'C'上一點，當MA'=MA時，連接BM和A①如圖2，當∠BAD=∠B'A'D'=90°②如圖3，當∠BAD=∠B'A'D'=60°③在②的條件下，若點A與A'B'的中點重合，A'B'=4，AB=29．（2022·河南駐馬店·三模）如圖1，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA=9cm．點D從O點出發(fā)，沿OM方向運動．當點D不與點A重合時，將線段CD繞點C逆時針方向旋轉60°得到CE．連接BE，DE．(1)如圖1，當點D在線段OA上運動時，線段BD、BE、BC之間的數量關系是______，直線AD和直線BE所夾銳角的度數是______；(2)如圖2，當點D運動到線段AB（不與A點重合）上時，（1）中的結論是否仍然成立，若成立，請說明理由；若不成立，請寫出正確的結論并說明理由；(3)如圖3，將△ABC改為等腰直角三角形，其中斜邊AB=6，其它條件不變，以CD為斜邊在其右側作等腰直角三角形CDE，連接BE，請問BE是否存在最小值，若存在，直接寫出答案；若不存在，說明理由．類型四中點旋轉模型10．（2023·河北唐山·二模）已知：在正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過點E作EF⊥BD，交BC于點F，連接DF，G為DF的中點，連接EG，CG．

【猜想論證】(1)猜想線段EG與CG的數量關系，并加以證明．【拓展探究】(2)將圖1中△BEF繞B點逆時針旋轉45°得到圖2，取DF中點G，連接EG，CG.你在(1)中得到的結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明．11．（2023·山東淄博·中考真題）在數學綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉”為主題開展探究活動．(1)操作判斷小紅將兩個完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：△ACF的形狀為________．

(2)深入探究小紅在保持矩形ABCD不動的條件下，將矩形CEFG繞點C旋轉，若AB=2，AD=4．探究一：當點F恰好落在AD的延長線上時，設CG與DF相交于點M，如圖②．求△CMF的面積．探究二：連接AE，取AE的中點H，連接DH，如圖③．求線段DH長度的最大值和最小值．

12．（2021·江蘇宿遷·中考真題）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點A旋轉一周．(1)如圖①，連接BG、CF，求CFBG(2)當正方形AEFG旋轉至圖②位置時，連接CF、BE，分別取CF、BE的中點M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關系，并說明理由；(3)連接BE、BF，分別取BE、BF的中點N、Q，連接QN，AE=6，請直接寫出線段QN掃過的面積．類型五通過旋轉構造三角形全等13．（2022·內蒙古呼和浩特·二模）如圖，點P是正方形ABCD內一點，且點P到點A、B、C的距離分別為23、2、4，則正方形ABCD的面積為（

A．28+83 B．14+43 C．1214．（2023·湖北隨州·中考真題）1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三角形的某個頂點）當△ABC的三個內角均小于120°時，如圖1，將△APC繞，點C順時針旋轉60°得到△A'P

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為由②可知，當B，P，P'，A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=已知當△ABC有一個內角大于或等于120°時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費馬點”為④點．(2)如圖4，在△ABC中，三個內角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知點P為

(3)如圖5，設村莊A，B，C的連線構成一個三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現欲建一中轉站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A，B，C的鋪設成本分別為a元/km，a元/km，2a元/15．（23-24九年級上·湖北武漢·階段練習）【問題背景】：如圖1，點D是等邊△ABC內一點，連接AD,BD，將△ABD繞點A逆時針旋轉60°得到△ACE，連接DE，觀察發(fā)現：BD與CE的數量關系為________，直線BD與CE所夾的銳角為________度；【嘗試應用】：如圖2，在等腰直角△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，點D是等腰直角△ABC內一點，連接AD，BD，CD，若AD=22,BD=5,CD=3，求

【拓展創(chuàng)新】：如圖3，在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，點D為平面內一點，且∠ADB=60°,ADBD=3

題型02構造相似三角形解題類型一做平行線構造“A”型相似16．（2023·內蒙古·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，E為⊙O上的一點，點C是AE的中點，連接BC，過點C的直線垂直于BE的延長線于點D，交BA的延長線于點P．(1)求證：PC為⊙O的切線；(2)若PC=22BO，PB=10，求17．（2018·湖北黃石·中考真題）在△ABC中，E、F分別為線段AB、AC上的點（不與A、B、C重合）．（1）如圖1，若EF∥BC，求證：S（2）如圖2，若EF不與BC平行，（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由；（3）如圖3，若EF上一點G恰為△ABC的重心，AEAB=3類型二做平行線構造“X”型相似18．（2023九年級·全國·專題練習）在△ABC中，已知D是BC邊的中點，G是△ABC的重心，過G點的直線分別交AB、AC于點E、F．(1)如圖1，當EF∥BC時，求證：BEAE(2)如圖2，當EF和BC不平行，且點E、F分別在線段AB、AC上時，（1）中的結論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．(3)如圖3，當點E在AB的延長線上或點F在AC的延長線上時，（1）中的結論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．19．（2023·湖北孝感·三模）【問題情境】小睿遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，點D在線段BC上，∠BAD=75°,∠CAD=30°,AD=4,BD=2DC，求AC的長．

【問題探究】小睿發(fā)現，過點C作CE∥AB，交AD的延長線于點(1)①∠ACE的度數為________；②求AC的長；【問題拓展】(2)如圖3，在四邊形ABCD中，∠BAC=90°,∠CAD=30°,∠ADC=75°,AC與BD交于點E,AE=2m,BE=2ED，求BC的長．20．（2023·廣東深圳·中考真題）（1）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，連接BE，①若BE=BC，過C作CF⊥BE交BE于點F，求證：△ABE≌②若S矩形ABCD=20

（2）如圖，在菱形ABCD中，cosA=13，過C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，過E作EF⊥AD交AD于點F，若S

（3）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，點E在CD上，且CE=2，點F為BC上一點，連接EF，過E作EG⊥EF交平行四邊形ABCD的邊于點G，若EF?EG=73時，請直接寫出AG

類型三作垂線構造直角三角形相似21．（2022·山西·中考真題）綜合與實踐問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點D放在Rt△ABC斜邊BC的中點處，并將三角板繞點D旋轉，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點M，N，猜想證明：（1）如圖①，在三角板旋轉過程中，當點M為邊AB的中點時，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由；問題解決：（2）如圖②，在三角板旋轉過程中，當∠B=∠MDB時，求線段CN的長；（3）如圖③，在三角板旋轉過程中，當AM=AN時，直接寫出線段AN的長．22．（2020·江蘇南通·中考真題）【了解概念】有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，連接這兩個角的頂點的線段稱為對余線．【理解運用】（1）如圖①，對余四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，連接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；（2）如圖②，凸四邊形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，當2CD2+CB2＝CA2時，判斷四邊形ABCD是否為對余四邊形．證明你的結論；【拓展提升】（3）在平面直角坐標系中，點A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四邊形ABCD是對余四邊形，點E在對余線BD上，且位于△ABC內部，∠AEC＝90°+∠ABC．設AEBE＝u，點D的縱坐標為t，請直接寫出u關于t類型四作垂線構造“三垂直”型相似23．（23-24九年級上·江蘇揚州·階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=55，則BD的長為

24．（2022上·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期中）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一條直線剪掉一個直角三角形（剪掉的兩個直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，25．（2023九年級·全國·專題練習）如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直線l1∥l2∥l3，l1與l2之間距離是1，l2與l3之間距離是2，且l1，A．23 B．11 C．3214題型03與相似三角形有關的壓軸題類型一運用相似三角形的性質與判定求點的坐標26．（2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，OA=OB=35，點C為平面內一動點，BC=32，連接AC，點M是線段AC上的一點，且滿足CM:MA=1:2．當線段OM

A．35,65 B．35527．（2021·湖南婁底·中考真題）如圖，直角坐標系中，以5為半徑的動圓的圓心A沿x軸移動，當⊙A與直線l:y=512x只有一個公共點時，點AA．(?12,0) B．(?13,0) C．(±12,0) D．(±13,0)28．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，正比例函數y=?3x與反比例函數y=kxk≠0的圖象交于A，B1,m兩點，點C在

(1)m=______，k=______，點C的坐標為______．(2)點P在x軸上，若以B，O，P為頂點的三角形與△AOC相似，求點P的坐標．類型二運用相似三角形的性質與判定求線段的最值29．（2021·四川綿陽·中考真題）如圖，在△ACD中，AD=6，BC=5，AC2=ABAB+BC，且△DAB～△DCA，若AD=3AP，點Q是線段AB上的動點，則A．72 B．62 C．5230．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E為AD的中點，將△CDE沿CE翻折得△CME，點M落在四邊形ABCE內．點N為線段CE上的動點，過點N作NP//EM交MC于點P，則MN+NP的最小值為．31．（2023·四川瀘州·中考真題）如圖，E，F是正方形ABCD的邊AB的三等分點，P是對角線AC上的動點，當PE+PF取得最小值時，APPC的值是

32．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6．點E是線段AD上的動點（點E不與點A，D重合），連接CE，過點E作EF⊥CE，交AB于點F．(1)求證：△AEF∽△DCE；(2)如圖2，連接CF，過點B作BG⊥CF，垂足為G，連接AG．點M是線段BC的中點，連接GM．①求AG+GM的最小值；②當AG+GM取最小值時，求線段DE的長．類型三利用相似三角形的判定和性質求“kAD+BD”型的最值（阿氏圓）33．（2020·廣西·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，點E，F分別是AB，AC的中點，點P是扇形AEF的EF上任意一點，連接BP，CP，則12BP+CP的最小值是34．（2023·山東煙臺·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,AB=4．拋物線的對稱軸x=3與經過點A的直線y=kx?1交于點D，與x

(1)求直線AD及拋物線的表達式；(2)在拋物線上是否存在點M，使得△ADM是以AD為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點M的坐標；若不存在，請說明理由；(3)以點B為圓心，畫半徑為2的圓，點P為⊙B上一個動點，請求出PC+135．（2021·四川達州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=?x2+bx+c交x軸于點A和C1,0，交y軸于點B0,3，拋物線的對稱軸交x（1）求拋物線的解析式；（2）將線段OE繞著點О沿順時針方向旋轉得到線段OE'，旋轉角為α0°<α<90°，連接AE'，BE'，求BE'+（3）M為平面直角坐標系中一點，在拋物線上是否存在一點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出點N的橫坐標；若不存在，請說明理由；類型四相似中的“一線三等角”模型36．（23-24九年級上·陜西西安·階段練習）（1）如圖1，∠ABC=90°，分別過A，C兩點作經過點B的直線的垂線，垂足分別為E、F，AE=4，BE=2，BF=3，求CF的長度為．（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，點E、F、M分別在AB、BC、AD上，∠EMF=90°，AM=2，當BE+BF=9時，求四邊形MEBF的面積．（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，點E、F分別在邊AB、BC上，∠CEF=α且tanα=34，若BF=837．（23-24九年級上·黑龍江哈爾濱·開學考試）在綜合實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動．有一張矩形紙片ABCD，點E在射線AB上，現將矩形折疊，折痕為DE，點A的對應點記為點F．

(1)操作發(fā)現：如圖1，若點F恰好落在矩形ABCD的邊BC上，直接寫出一個與△BEF相似的三角形；(2)深入探究：如圖2，若點F落在矩形ABCD的邊BC的下方時，EF、DF分別交BC于點M、N，過點F作