2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題04幾何綜合（3題型+7類型+解題模板+技巧精講）（原卷版）

壓軸題解題模板04幾何綜合目錄TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u題型一線段最值問題①動(dòng)點(diǎn)路徑問題②“胡不歸”問題③“將軍飲馬”問題④“造橋選址”問題題型二：面積平分問題題型三面積最值問題題型解讀：幾何綜合問題在中考中以填空題和解答題的形式出現(xiàn)，考查難度較大.此類問題在中考中多考查面積平分、面積最值和幾何變換的綜合問題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、圓、銳角三角函數(shù)、勾股定理、圖形變換的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值等相關(guān)知識(shí)，以及分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及以下問題：①幾何圖形中的線段最值問題②探究圖形面積的分割問題；③探究圖形面積的最值問題.右圖為幾何綜合問題中各題型的考查熱度.下圖為二次函數(shù)圖象性質(zhì)與幾何問題中各題型的考查熱度.題型一線段最值問題分類：①動(dòng)點(diǎn)路徑問題②“胡不歸”問題③“將軍飲馬”問題④“造橋選址”問題解題模板：①動(dòng)點(diǎn)路徑問題【例1】（山東濟(jì)寧-中考真題）研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題．（1）閱讀材料立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角．例如，正方體（圖1）．因?yàn)樵谄矫嬷校?，與相交于點(diǎn)A，所以直線與所成的就是既不相交也不平行的兩條直線與所成的角．解決問題如圖1，已知正方體，求既不相交也不平行的兩條直線與所成角的大小．（2）如圖2，M，N是正方體相鄰兩個(gè)面上的點(diǎn)．①下列甲、乙、丙三個(gè)圖形中，只有一個(gè)圖形可以作為圖2的展開圖，這個(gè)圖形是；②在所選正確展開圖中，若點(diǎn)M到，的距離分別是2和5，點(diǎn)N到，的距離分別是4和3，P是上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【變式1-1】（山東日照-中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB為邊在AB上方作正方形ABDE，過點(diǎn)D作DF⊥CB，交CB的延長線于點(diǎn)F，連接BE．（1）求證：△ABC≌△BDF；（2）P，N分別為AC，BE上的動(dòng)點(diǎn)，連接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．【變式1-2】（江蘇連云港-中考真題）如圖，四邊形為平行四邊形，延長到點(diǎn)，使，且．(1)求證：四邊形為菱形；(2)若是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)、、分別在線段、、上運(yùn)動(dòng)，求的最小值．【變式1-3】（2023-四川自貢-中考真題）如圖1，一大一小兩個(gè)等腰直角三角形疊放在一起，，分別是斜邊，的中點(diǎn)，．

(1)將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出點(diǎn)，距離的最大值和最小值；(2)將繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖），求的長．②“胡不歸”問題【例2】（2023-江蘇泰州-三模）如圖，已知中，，E是上的一點(diǎn)，，點(diǎn)D是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿折疊，點(diǎn)C與重合，連接．

(1)求證：；(2)若點(diǎn)F是上一點(diǎn)，且，求的最小值．【變式2-1】（2023-廣東廣州-二模）如圖①，在四邊形中，，，．

(1)求的度數(shù)；(2)如圖②，為線段的中點(diǎn)，連接，求證：；(3)如圖③，若，線段上有一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿所在直線翻折至的位置，為的對應(yīng)點(diǎn)，連接，，請直接寫出的最小值．【變式2-2】（2023-廣東廣州-二模）如圖，菱形中，，，點(diǎn)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，．

(1)求的長；(2)連接，若，求證：；(3)若，試求的最小值．【變式2-3】（廣東廣州-中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長；(2)點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE=DF，①當(dāng)CE丄AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+CF的值是否也最??？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，請說明理由．③“將軍飲馬”問題【例3】【變式3-1】（23-24九年級上-黑龍江大慶-期中）如圖，以矩形的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．

(1)直接寫出點(diǎn)、的坐標(biāo)；(2)連接交于點(diǎn)，求的面積．(3)在軸、軸上是否分別存在點(diǎn)、，使得四邊形的周長最小？如果存在，求出周長的最小值和直線的函數(shù)解析式；如果不存在，請說明理由．【變式3-2】（天津西青-一模）如圖①，將一個(gè)矩形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．（1）求點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）如圖②，若點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)的長為，的面積為，請求出關(guān)于的關(guān)系式；（3）如圖③，在軸、軸上是否分別存在點(diǎn)、，使得四邊形的周長最小？若存在，請求出四邊形周長的最小值及此時(shí)點(diǎn)、的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【變式3-3】（陜西寶雞）問題提出（1）在圖1中作出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)問題探究（2）如圖2，在中，，，為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，求的最小值.問題解決（3）如圖3，四邊形為小區(qū)綠化區(qū)，，，，，，是以為圓心，為半徑的圓弧.現(xiàn)在規(guī)劃在，邊和邊上分別取一點(diǎn)，，，使得為這一區(qū)域小路，求小路長度的最小值.④“造橋選址”問題【例4】（23-全國）有一條以互相平行的直線為岸的河流，其兩側(cè)有村莊和村莊，現(xiàn)在要在河上建一座橋梁（橋與河岸垂直），使兩村莊之間的路程最短，從作圖痕跡上來看，正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式4-1】（湖北黃石）已知，在河的兩岸有A，B兩個(gè)村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計(jì)劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點(diǎn)為靠近A村莊的河岸上一點(diǎn)，則AM+BN的最小值為(

)A．2 B．1+3 C．3+ D．【變式4-2】（23-24全國）如圖所示，某條護(hù)城河在處角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從處到達(dá)處，須經(jīng)過兩座橋（橋?qū)挷挥?jì)，橋與河垂直），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北走向的，恰當(dāng)?shù)卦鞓蚩墒沟降穆烦套疃?，請確定兩座橋的位置．

【變式4-3】已知，在河的兩岸有A，B兩個(gè)村莊，河寬為1千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計(jì)劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點(diǎn)為靠近A村莊的河岸上一點(diǎn)，求AM＋BN的最小值．題型二：面積平分問題解題模板：技巧精講1：利用中線平分圖形面積的方法2.利用對稱性平分圖形面積的方法【例5】（三角形或規(guī)則圖形）（2023-湖南益陽-中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D在邊上，將線段繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，線段交于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，與線段交于點(diǎn)G，連接．

(1)求證：；(2)求證：；(3)若，，當(dāng)平分四邊形的面積時(shí)，求的長．【變式5-1】（2023-江蘇鹽城-二模）（1）【問題探究】如圖①，點(diǎn)B，C分別在上，米，米，米，米，米．①探究與是否相似并說明理由；②求的長．（2）【問題解決】如圖②，四邊形規(guī)劃為園林綠化區(qū)，對角線將整個(gè)四邊形分成面積相等的兩部分，已知米，四邊形的面積為平方米，為了更好地美化環(huán)境，政府計(jì)劃在邊上分別確定點(diǎn)E，F(xiàn)，在邊上確定點(diǎn)P，Q，使四邊形為矩形，在矩形內(nèi)種植花卉，在四邊形剩余區(qū)域種植草坪，為了方便市民觀賞，計(jì)劃在之間修一條小路，并使得最短，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，求出的最小值，并求出當(dāng)最小時(shí)，花卉種植區(qū)域的面積．

【變式5-2】（2023-陜西西安-二模）【問題探究】（1）如圖1，已知，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，則（填“”“”或“”）（2）如圖2，在梯形中，，請過點(diǎn)A作一條直線平分梯形的面積，點(diǎn)P是與的交點(diǎn)，并說明理由；【問題解決】（3）如圖3是某公園的一塊空地，由和四邊形組成，，，米，，，公園管理人員現(xiàn)準(zhǔn)備過點(diǎn)A修一條筆直的小路（小路面積忽略不計(jì)），將這塊空地分成面積相等的兩部分（點(diǎn)M在邊上），分別種植兩種不同的花卉，請?jiān)趫D中確定點(diǎn)M的位置，并計(jì)算小路的長．（結(jié)果保留根號）

【變式5-3】（2023-陜西西安-三模）問題提出：(1)如圖1，是的中線，則有___________填“”、“”或“”)．問題探究：(2)如圖2，點(diǎn)是矩形內(nèi)一點(diǎn)，，，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，、分別位于、軸正半軸，，，是否存在直線經(jīng)過點(diǎn)且將矩形分成面積相等的兩部分，若存在，請求出直線l的解析式：如不存在，請說明理由．問題解決：(3)如圖3，長方形是西安某學(xué)校在疫情期間為學(xué)生核酸檢測圍成的一個(gè)工作區(qū)域，頂點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上，記為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)，，原有的一個(gè)出入口在邊上，且米．為使工作高效有序，現(xiàn)計(jì)劃在邊，，上依次再設(shè)出入口，，，沿，拉兩道警戒線將工作區(qū)域分成面積相等的四部分．請問，是否存在滿足上述條件的點(diǎn)，，，如存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的函數(shù)表達(dá)式，如不存在，請說明理由．【典例6】（如圖，長方形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、、，長方形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、、．平移長方形得到長方形，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．

(1)畫出長方形．(2)如果長方形沿的方向平移，至與重合停止，設(shè)平移過程中平移的距離為，長方形與長方形重疊的面積為S，請直接寫出平移過程中S的最大值______；此時(shí)d的取值范圍為______．(3)畫出一條直線把原圖長方形與長方形組成的復(fù)合圖形分成面積相等的兩部分．【變式6-1】【問題提出】（1）如圖①，點(diǎn)D為的邊的中點(diǎn)，連接，若的面積為3，則的面積為_______；【問題探究】（2）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限，連接，作軸于點(diǎn)B，若，，過點(diǎn)B的直線l將分成面積相等的兩部分，求直線l的函數(shù)表達(dá)式；【問題解決】（3）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是某市將要籌建的高新技術(shù)開發(fā)區(qū)用地示意圖，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為了方便駐區(qū)單位，計(jì)劃過點(diǎn)O修一條筆直的道路（路寬不計(jì)），并且使直線將四邊形分成面積相等的兩部分，記直線與所在直線的交點(diǎn)為D，再過點(diǎn)A修一條筆直的道路（路寬不計(jì)），并且使直線將分成面積相等的兩部分，你認(rèn)為直線和是否存在？若存在，請求出直線和的函數(shù)表達(dá)式；若不存在，請說明理由．【變式6-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、分別在軸上、軸上，，，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，，且．

(1)求點(diǎn)、、的坐標(biāo)；(2)若動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)沿軸正半軸以每秒個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，求為何值時(shí)，直線把四邊形分成面積為：的兩部分；(3)在(2)的條件下，當(dāng)直線把四邊形分成面積相等的兩部分時(shí)，在軸上找一點(diǎn)，連接，使三角形的面積與四邊形的面積相等，求點(diǎn)的坐標(biāo)．題型三面積最值問題解題模板：【例7】（2023-山東濰坊-中考真題）工匠師傅準(zhǔn)備從六邊形的鐵皮中，裁出一塊矩形鐵皮制作工件，如圖所示．經(jīng)測量，，與之間的距離為2米，米，米，，．，，是工匠師傅畫出的裁剪虛線．當(dāng)?shù)拈L度為多少時(shí)，矩形鐵皮的面積最大，最大面積是多少？

【變式7-1】（2023-山東濱州-中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的一邊在軸正半軸上，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，作交邊于點(diǎn)，連接．設(shè)的面積為．

(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)取何值時(shí)，的值最大？請求出最大值．【變式7-2】（2023-遼寧阜新-中考真題）如圖，在正方形中，線段繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到處，旋轉(zhuǎn)角為，點(diǎn)F在直線上，且，連接．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，①求的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆谇笞C：．(2)如圖2，取線段的中點(diǎn)G，連接，已知，請直接寫出在線段旋轉(zhuǎn)過程中（）面積的最大值．【變式7-3】（2023-湖北武漢-模擬預(yù)測）問題提出如圖（1），在中，，,連接，探究．

問題探究（1）先將問題特殊化．如圖（2），當(dāng)時(shí)，求的值．（2）再探究一般情形．如圖（1），當(dāng)時(shí)，求的值；問題拓展如圖（3），在中，，，P是內(nèi)一點(diǎn)，，交于F，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的值．一、解答題1．在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交延長線于點(diǎn)，以線段，為鄰邊作矩形．

(1)如圖1，連接，求的度數(shù)和的值；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，求線段的長；(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，滿足，連接，，求的最小值．2．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．

(1)求證：；(2)若時(shí)，求的長；(3)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究的值是否存在最小值，如果存在，求出這個(gè)最小值；如果不存在，請說明理由．3．某數(shù)學(xué)小組在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)過程中，經(jīng)歷了如下過程：問題提出：如圖，正方形中，，為對角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直角頂點(diǎn)，向右作等腰直角．(1)操作發(fā)現(xiàn)：的最小值為_______，最大值為_______；(2)數(shù)學(xué)思考：求證：點(diǎn)在射線上；(3)拓展應(yīng)用：當(dāng)時(shí)，求的長．4．如圖，正方形是邊長為4米的一塊板材．操作一：現(xiàn)需從中裁出一個(gè)等腰直角模具，點(diǎn)P在邊上，Q在正方形的內(nèi)部或邊上．(1)如圖，若，米，是否能裁出符合條件的？若能，確定Q的位置；若不能，請說明理由．

(2)如圖，連接，在對角線上取點(diǎn)Q，連接，過點(diǎn)Q作交邊于P，連接，得到．請證明符合裁剪要求．

操作二：經(jīng)探究，操作一的模具大小至多為正方形面積的一半，現(xiàn)修改模具形狀為四邊形，并按面積要求進(jìn)行裁剪．即在正方形中重新裁出的一個(gè)四邊形模具，點(diǎn)P、Q分別在邊上．(3)如圖，若需裁出的四邊形面積為10平方米，請?zhí)骄磕＞咚倪呅沃荛L的最小值．

5．問題提出

（1）如圖1，已知點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)作，，連接.若，，，則的最小值為；問題解決（2）如圖2，某公園規(guī)劃修建一塊形如四邊形的牡丹園，其中，，，，，的內(nèi)心處修建一個(gè)圓形噴水池，公園的入口是的中點(diǎn)，是一條觀賞小道，其余部分種植牡丹，現(xiàn)需要在邊上取點(diǎn)，上找點(diǎn)，修建道路為了節(jié)省成本，需要使修建的道路最短，即的值最小，是否存在這樣的點(diǎn)，使得的值最??？若存在，請求出其最小值；若不存在，請說明理由.6．如圖，在中，是邊上的中線，點(diǎn)E是的中點(diǎn)．過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)F，連接．

(1)求證：；(2)若，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論；(3)在（2）的情況下，如果，點(diǎn)M在線段上移動(dòng)，當(dāng)有最小值時(shí)，求的長度．7．如圖1，已知和均為等腰直角三角形，，，，點(diǎn)D在線段上，點(diǎn)F為中點(diǎn)，點(diǎn)M為中點(diǎn)，點(diǎn)N為中點(diǎn)．

(1)如圖1，______，和之間的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)G為中點(diǎn)，求證：四邊形為正方形；(3)如圖3，若，，在將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，直線，交于點(diǎn)H，直接寫出面積的最小值．8．綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)操作判斷操作：如圖1，點(diǎn)E是邊長為12的正方形紙片的邊所在的射線上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，把紙片展平，射線DF交射線于點(diǎn)P．判斷：根據(jù)以上操作，圖1中與的數(shù)量關(guān)系：______．(2)遷移探究在（1）條件下，若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，如圖2，延長交于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q的位置是否確定？如果確定，求出線段的長度，如果不確定，說明理由；(3)拓展應(yīng)用在（1）條件下，如圖3，，交于點(diǎn)G，取的中點(diǎn)H，連接，求的最小值．9．問題背景

(1)如圖1，四邊形中，，交于點(diǎn)E，其中，求證：．(2)嘗試應(yīng)用：如圖2，中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)，是上兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求的值．(3)遷移拓展：如圖3，中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，直接寫出線段長度的最小值．10．已知拋物線：，且過點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)