九年級數(shù)學人教版（上冊）21.2.4 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系目錄頁講授新課當堂練習課堂小結(jié)新課導入新課導入教學目標教學重點學習目標1.探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.（重點）2.不解方程利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.（難點）情景導入

韋達,1540年出生于法國的波亞圖,他把符號系統(tǒng)引入代數(shù)學對數(shù)學的發(fā)展發(fā)揮了巨大的作用,人們?yōu)榱思o念他在代數(shù)學上的功績，稱他為“代數(shù)學之父”.????歷史上流傳著一個有關(guān)韋達的趣事:有一次，荷蘭派到法國的一位使者告訴法國國王,比利時的數(shù)學家羅門提出了一個45次的方程向各國數(shù)學家挑戰(zhàn).國王于是把這個問題交給韋達,韋達當即得出一正數(shù)解,回去后很快又得出了另外的22個正數(shù)解(他舍棄了另外的22個負數(shù)解).消息傳開,數(shù)學界為之震驚.同時,韋達也回敬了羅門一個問題,羅門一時不得其解,冥思苦想了好多天才把它解出來.

韋達研究了方程根與系數(shù)的關(guān)系,在一元二次方程中就有一個根與系數(shù)之間關(guān)系的韋達定理.復(fù)習導入

算一算

解下列方程并完成填空：(1)x2+3x-4=0;(2)x2-5x+6=0;(3)2x2+3x+1=0.一元二次方程兩根關(guān)系x1x2x2+3x-4=0x2-5x+6=02x2+3x+1=0-4123-1x1+x2=-3x1·

x2=-4x1+x2=5x1·

x2=6想一想方程的兩根x1和x2與系數(shù)a,b,c有什么關(guān)系？講授新課典例精講歸納總結(jié)講授新課猜一猜（1）若一元二次方程的兩根為x1，x2，則有x-x1=0，且x-x2=0，那么方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2為已知數(shù))的兩根是什么？將方程化為x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2與p，q之間的關(guān)系嗎？重要發(fā)現(xiàn)如果方程x2+px+q=0的兩根是x1，x2,那么x1+x2=-p，

x1·x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1·x2=q.探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系講授新課證一證：講授新課講授新課總結(jié)歸納：

方程的兩個根x1，x2和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：注意滿足上述關(guān)系的前提條件b2-4ac≥0.講授新課

根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求

下列方程兩個根x1，x2的和與積：

(1)x2－6x－15＝0(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.

解：

(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.

(3)方程化為4x2－5x＋1＝0，

例1講授新課不解方程，求下列方程兩根的和與積.x2-3x=15；5x2-1=4x2+x解：x1+x2=3x1x2=-15解：化簡得x2-x-1=0x1+x2=1x1x2=-1.例2講授新課例3

方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的兩個實數(shù)根x1，x2

滿足x12＋x22＝4，則k的值為________．由x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝4，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得到一個關(guān)于k的方程，從而求得k的值．導引：k＝1講授新課∵x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝4，x1＋x2＝－2k，x1·x2＝k2－2k＋1，∴4k2－4(k2－2k＋1)＝4，解得k＝1.

解：講授新課總結(jié)常見的求值:當堂練習當堂反饋即學即用當堂練習關(guān)于x的方程x2+px+q=0的根為x1=1+，x2=1-，則p=

，q=

.已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，則另一根是

，

k＝

.-2-1-7當堂練習3.不解方程，求下列方程兩個根的和與積：(1)x2－3x＝15；(2)3x2＋2＝1－4x；(3)5x2－1＝4x2＋x；(4)2x2－x＋2＝3x＋1.解：(1)方程化為x2－3x－15＝0，x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.當堂練習當堂練習4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的兩個根，且(x1+1)(x2+1)=4；

(1)求k的值；(2)求(x1-x2)2的值.解：(1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得

所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=