四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題文含解析

PAGE四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題文（含解析）一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分．）1．已知向量＝（1，4），＝（2，﹣m），⊥，則m＝（）A．8 B．﹣8 C． D．2．已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)意a＜b，則下列關(guān)系式肯定成立的是（）A．a(chǎn)2＜b2 B．ln（b﹣a）＞0 C． D．2a＜2b3．下列說(shuō)法正確的是（）A．直角三角形繞一邊旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體肯定是圓錐 B．用一個(gè)平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分肯定是圓臺(tái) C．正視圖和側(cè)視圖的高肯定是相等的，正視圖和俯視圖的長(zhǎng)肯定是相等的 D．利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的正方形的直觀圖和原來(lái)正方形的面積之比是4．在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且，則（）A． B． C． D．5．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝1，，，則b＝（）A．1 B．2 C． D．1或26．某圓柱的高為1，底面周長(zhǎng)為8，其三視圖如圖．圓柱表面上的點(diǎn)P在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)Q在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從P到Q的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．17．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，b+c＝10，，則S△ABC＝（）A． B． C． D．8．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a12＞0，a11+a12＜0，則滿(mǎn)意Sn＞0的最小正整數(shù)n的值為（）A．22 B．23 C．24 D．259．我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖暅提出了聞名的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異．”“勢(shì)”即是高，“冪”即是面積，意思是：假如兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面面積相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．如圖所示，扇形的半徑為2，圓心角為，若扇形AOB繞直線OB旋轉(zhuǎn)一周，圖中陰影部分旋轉(zhuǎn)后所得幾何體與某不規(guī)則幾何體滿(mǎn)意“冪勢(shì)同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為（）A． B．2π C． D．10．設(shè)a＞0，b＞0，若a+b＝1，則的最小值為（）A．5 B．7 C．9 D．1111．已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，，P為該球面上動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O﹣PAB體積的最大值為，則球O的表面積為（）A．12π B．16π C．24π D．36π12．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)意，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，則S20＝（）A．300 B．320 C．340 D．360二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．求值：＝．14．已知平面對(duì)量，滿(mǎn)意，，且與的夾角為，則＝．15．在數(shù)列{an}中，a1＝2，＝（n≥2，n∈N*），則a9＝．16．已知ax2﹣2ax+1＞0對(duì)x∈R恒成立，則a的取值范圍是．三、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)岀文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)f（x）＝x2﹣ax+b+2，a∈R，b∈R．（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集為（1，2），求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤b在x∈[1，3]上能成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18．已知向量，，若函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若θ為鈍角，且，求tanθ的值．19．已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC同時(shí)滿(mǎn)意下列4個(gè)條件中的三個(gè)：①，②a＝4，③，④．（1）指出這三個(gè)條件，并說(shuō)明理由；（2）求邊長(zhǎng)b和三角形的面積S△ABC．20．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝2，an+1＝Sn．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．21．成都市為迎接2024年世界高校生運(yùn)動(dòng)會(huì)，需規(guī)劃馬路自行車(chē)競(jìng)賽賽道，該賽道的平面示意圖為如圖的五邊形ABCDE，依據(jù)自行車(chē)競(jìng)賽的須要，需預(yù)留出AC，AD兩條服務(wù)車(chē)道（不考慮寬度），DC，CB，BA，AE，ED為賽道，∠ABC＝∠AED＝，∠BAC＝，BC＝2（km），CD＝4（km）．注：km為千米．（1）若cos∠CAD＝，求服務(wù)通道AD的長(zhǎng)；（2）在（1）的條件下，求折線賽道AED的最長(zhǎng)值（即AE+ED最大）．（結(jié)果保留根號(hào)）22．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)意an+12＝an?an+2（n∈N*），且a1＝2，a4＝16．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝（2n﹣1）an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；（3）設(shè)cn＝，記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，證明：Tn＜2．

參考答案一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分．）1．已知向量＝（1，4），＝（2，﹣m），⊥，則m＝（）A．8 B．﹣8 C． D．解：∵向量＝（1，4），＝（2，﹣m），⊥，∴＝1×2+4×（﹣m）＝0，求得m＝，故選：C．2．已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)意a＜b，則下列關(guān)系式肯定成立的是（）A．a(chǎn)2＜b2 B．ln（b﹣a）＞0 C． D．2a＜2b解：A：當(dāng)a＝﹣4，b＝﹣3時(shí)，滿(mǎn)意a＜b，但a2＞b2，∴A錯(cuò)誤，B：當(dāng)a＝﹣4，b＝﹣3時(shí)，滿(mǎn)意a＜b，但ln（b﹣a）＝0，∴B錯(cuò)誤，C：當(dāng)a＝﹣4，b＝3時(shí)，滿(mǎn)意a＜b，但＜，∴C錯(cuò)誤，D：∵y＝2x為增函數(shù)，a＜b，∴2a＜2b，∴D正確．故選：D．3．下列說(shuō)法正確的是（）A．直角三角形繞一邊旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體肯定是圓錐 B．用一個(gè)平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分肯定是圓臺(tái) C．正視圖和側(cè)視圖的高肯定是相等的，正視圖和俯視圖的長(zhǎng)肯定是相等的 D．利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的正方形的直觀圖和原來(lái)正方形的面積之比是解：對(duì)于A，直角三角形繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)圓錐的組合體，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，只有用一個(gè)平行于底面的平面截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分才是圓臺(tái)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，依據(jù)三視圖畫(huà)法規(guī)則知，正視圖和側(cè)視圖的高相等，正視圖和俯視圖的長(zhǎng)相等，所以C正確；對(duì)于D，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的正方形的直觀圖和原來(lái)正方形的面積之比是1：，所以D錯(cuò)誤．故選：C．4．在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且，則（）A． B． C． D．解：如圖，＝\overrightarrow{BD}＝3\overrightarrow{DC}\overrightarrow{BD}＝\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}\frac{3}{4}（\overrightarrow{AC}﹣\overrightarrow{AB}）\overrightarrow{AD}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}（\overrightarrow{AC}﹣\overrightarrow{AB}）\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$，故選：B．5．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝1，，，則b＝（）A．1 B．2 C． D．1或2解：因?yàn)閍＝1，，，所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得1＝b2+3﹣2×，整理可得：b2﹣3b+2＝0，解得b＝2，或1．故選：D．6．某圓柱的高為1，底面周長(zhǎng)為8，其三視圖如圖．圓柱表面上的點(diǎn)P在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)Q在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從P到Q的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．1解：依據(jù)幾何體的三視圖：如圖所示：由于底面周長(zhǎng)為8，得到：2πr＝8，解得：r＝，所以：點(diǎn)M到N在下地面上的射影的弧長(zhǎng)為l＝＝2，所以：MN的最小值為|MN|＝＝．故選：B．7．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，b+c＝10，，則S△ABC＝（）A． B． C． D．解：因?yàn)?，b+c＝10，，所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得40＝b2+c2﹣ab＝（b+c）2﹣3bc＝100﹣3bc，所以bc＝20，所以S△ABC＝bcsinA＝20×＝5．故選：A．8．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a12＞0，a11+a12＜0，則滿(mǎn)意Sn＞0的最小正整數(shù)n的值為（）A．22 B．23 C．24 D．25解：由等差數(shù)列{an}中a12＞0，a11+a12＜0可知a11＜0，∴依據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)S22＝＝11（a11+a12）＜0，S23＝＝＝23a12＞0，由上面分析可知滿(mǎn)意Sn＞0的最小正整數(shù)n的值為23．故選：B．9．我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖暅提出了聞名的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異．”“勢(shì)”即是高，“冪”即是面積，意思是：假如兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面面積相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．如圖所示，扇形的半徑為2，圓心角為，若扇形AOB繞直線OB旋轉(zhuǎn)一周，圖中陰影部分旋轉(zhuǎn)后所得幾何體與某不規(guī)則幾何體滿(mǎn)意“冪勢(shì)同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為（）A． B．2π C． D．解：因?yàn)樯刃蜛OB繞直線OB旋轉(zhuǎn)一周，圖中陰影部分旋轉(zhuǎn)后所得幾何體是半球去掉一個(gè)圓錐體剩余部分，則該幾何體的體積為V＝?23﹣π?22?2＝．故選：C．10．設(shè)a＞0，b＞0，若a+b＝1，則的最小值為（）A．5 B．7 C．9 D．11解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝1，∴＝（）（a+b）＝5+．當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a，即a＝，b＝時(shí)等號(hào)成立．故選：C．11．已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，，P為該球面上動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O﹣PAB體積的最大值為，則球O的表面積為（）A．12π B．16π C．24π D．36π解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O﹣PAB的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時(shí)VO﹣PAB＝VP﹣AOB＝＝，解得R＝2，則球O的表面積為4πR2＝16π，故選：B．12．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)意，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，則S20＝（）A．300 B．320 C．340 D．360解：因?yàn)?，所以?dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有an+1+an＝3n+1，∴an+2﹣an+1＝3n+4，∴an+an+2＝6n+5，∴a2+a4＝6×2+5＝17；a6+a8＝6×6+5＝41，…，a18+a20＝6×18+5＝113，∴．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有an+1﹣an＝3n+1，∴an+2+an+1＝3n+4，∴an+2+an＝3，∴a1+a3＝3，a5+a7＝3，…，a17+a19＝3，∴a1+a3+?+a19＝5×3＝15，∴S20＝a1+a2+a3+?+a20＝（a1+a3+?+a19）+（a2+a4+?+a20）＝325+15＝340．故選：C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．求值：＝．解：＝tan（33°+27°）＝tan60°＝．故答案為：．14．已知平面對(duì)量，滿(mǎn)意，，且與的夾角為，則＝．解：平面對(duì)量，滿(mǎn)意，，且與的夾角為，則＝＝＝．故答案為：．15．在數(shù)列{an}中，a1＝2，＝（n≥2，n∈N*），則a9＝18．解：在數(shù)列{an}中，a1＝2，＝（n≥2，n∈N*），＝???×＝9＝，則a9＝9×2＝18．故答案為：18．16．已知ax2﹣2ax+1＞0對(duì)x∈R恒成立，則a的取值范圍是a∈[0，1）．解：當(dāng)a＝0時(shí)，ax2﹣2ax+1＞0為1＞0，恒成立；當(dāng)a≠0時(shí)，由ax2﹣2ax+1＞0對(duì)x∈R恒成立，得，解得0＜a＜1，綜上得0≤a＜1，所以a的取值范圍是[0，1）．故答案為：[0，1）．三、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)岀文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)f（x）＝x2﹣ax+b+2，a∈R，b∈R．（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集為（1，2），求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤b在x∈[1，3]上能成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）因?yàn)閒（x）＜0的解集為（1，2），所以1，2是方程x2﹣ax+b+2＝0的兩個(gè)根；所以a＝1+2＝3；b+2＝1×2＝2；解得a＝3，b＝0．（2）因?yàn)閤2﹣ax+b+2≤b在x∈[1，3]上能成立；所以x2﹣ax+2≤0在x∈[1，3]上能成立；轉(zhuǎn)化為ax≥x2+2；即x∈[1，3]時(shí)，；因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”），由于，所以a的取值范圍是．18．已知向量，，若函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若θ為鈍角，且，求tanθ的值．解：（1）∵＝，∴f（x）的最小正周期；令，∴，k∈Z，∴單調(diào)遞增區(qū)間為：，k∈Z．（2）∵，∴，∵，∴；；．19．已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC同時(shí)滿(mǎn)意下列4個(gè)條件中的三個(gè)：①，②a＝4，③，④．（1）指出這三個(gè)條件，并說(shuō)明理由；（2）求邊長(zhǎng)b和三角形的面積S△ABC．解：（1）該三角形同時(shí)滿(mǎn)意①②③，理由如下：若銳角△ABC同時(shí)滿(mǎn)意①④，∵，∴或（舍），又，∴，∴，這與△ABC為銳角三角形相沖突，故①④不能同時(shí)選，∴②③必選，若選②③④，∵a＜c，∴A＜C，∵，∴0＜，∴A+C＜，∴B＝π﹣（A+C）＞，與△ABC為銳角三角形相沖突，∴該三角形同時(shí)滿(mǎn)意①②③．（2）由余弦定理知，，化簡(jiǎn)得b2﹣8b+16＝0，∴b＝4，∴．20．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝2，an+1＝Sn．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．解：（1）∵an+1＝Sn，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣1，兩式相減得an+1＝2an（n≥2）．∴{an}為從其次項(xiàng)起先的等比數(shù)列，∵a2＝S1＝2，∴．（2）∵①當(dāng)n≥2時(shí)，＝＝．②當(dāng)n＝1時(shí)，T1＝1，滿(mǎn)意，綜上所述：．21．成都市為迎接2024年世界高校生運(yùn)動(dòng)會(huì)，需規(guī)劃馬路自行車(chē)競(jìng)賽賽道，該賽道的平面示意圖為如圖的五邊形ABCDE，依據(jù)自行車(chē)競(jìng)賽的須要，需預(yù)留出AC，AD兩條服務(wù)車(chē)道（不考慮寬度），DC，CB，BA，AE，ED為賽道，∠ABC＝∠AED＝，∠BAC＝，BC＝2（km），CD＝4（km）．注：km為千米．（1）若cos∠CAD＝，求服務(wù)通道AD的長(zhǎng)；（2）在（1）的條件下，求折線賽道AED的最長(zhǎng)值（即AE+ED最大）．（結(jié)果保留根號(hào)）解：（1）在△ABC