人教版數(shù)學七年級下教案：第6章 實數(shù)

6.1平方根

第1課時算術(shù)平方根

i.了解算術(shù)平方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的算術(shù)平方根;

2.根據(jù)算術(shù)平方根的概念求出非負數(shù)的算術(shù)平方根；（重點）

3.了解算術(shù)平方根的性質(zhì).（難點）

欲談i

一、情境導入

在我校舉行的繪畫比賽中，歡歡同學準備了一些正方形的畫布，若知道畫布的邊長，你

能計算出它們的面積嗎？若知道畫布的面積，你能求出它們的邊長嗎？

表

2

正方形的邊長120.5

3

4

正方形的面積140.25

9

表一：已知一個正數(shù)，求這個正數(shù)的平方.

表

正方形的面積140.3649

正方形的邊長120.67

表二：已知一個正數(shù)的平方，求這個正數(shù).

表一和表二中的兩種運算有什么關(guān)系？

二、合作探究

探究點一：算術(shù)平方根的概念

［類型—］求一個數(shù)的算術(shù)平方根

硒1求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：

(1)64；(2)2；；(3)0.36；(4)^412-402.

解析：根據(jù)算術(shù)平方根的定義求非負數(shù)的算術(shù)平方根，只要找到一個非負數(shù)的平方等于

這個非負數(shù)即可.

解：（1）：82=64,...64的算術(shù)平方根是8；

(2),??(1)2=|=21,/.2犧算術(shù)平方根是I；

(3)V0.62=0.36,.*.0.36的算術(shù)平方根是0.6；

(4)“4儼一402=兩,又?；92=81,.?.兩=9.而32=9,二退尸石的算術(shù)平方根是

3.

方法總結(jié)：(1)求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，首先要弄清是求哪個數(shù)的算術(shù)平方根，分清

求兩與81的算術(shù)平方根的不同意義，不要被表面現(xiàn)象迷惑；(2)求一個非負數(shù)的算術(shù)平方

根常借助平方運算，因此熟記常用平方數(shù)對求一個數(shù)的算術(shù)平方根十分有用.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第7題

［類型二］利用算術(shù)平方根的定義求值

崛3+〃的算術(shù)平方根是5,求。的值.

解析：先根據(jù)算術(shù)平方根的定義，求出3+〃的值，再求a.

解：因為52=25,所以25的算術(shù)平方根是5,即3+a=25,所以a=22.

方法總結(jié)：已知一個數(shù)的算術(shù)平方根，可以根據(jù)平方運算來解題.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第10題

探究點二：算術(shù)平方根的性質(zhì)

［類型一］含算術(shù)平方根式子的運算

例0計算：^49+^9+16-^225.

解析：首先根據(jù)算術(shù)平方根的定義進行開方運算，再進行加減運算.

解：^49+^9+16—7225=7+5-15--3.

方法總結(jié)：解題時容易出現(xiàn)如正前=m+/話的錯誤.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習”課堂鞏固提升”第8題

［類型二］算術(shù)平方根的非負性

(例。已知x,y為有理數(shù)，且5―1+3(y—2>=0,求x—y的值.

解析：算術(shù)平方根和完全平方都具有非負性，即a?》。，由幾個非負數(shù)相加和為

0,可得每一個非負數(shù)都為0,由此可求出x和y的值，進而求得答案.

解：由題意可得X—1=0,廠2=0,所以x=l,y=2.所以X—y=l—2=-1.

方法總結(jié)：算術(shù)平方根、絕對值和完全平方都具有非負性，即同》0,片20,

當幾個非負數(shù)的和為0時，各數(shù)均為0.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第9題

三、板書設(shè)計

概念：非負數(shù)a的算術(shù)平方根記作出

算術(shù)平方根

性質(zhì)：雙重非負性彳廠

讓學生正確、深刻地理解算術(shù)平方根的概念，需要由淺入深、不斷深化.概念的形成過

程也是思維過程，加強概念形成過程的教學，對提高學生的思維水平是很有幫助的.概念教

學過程中要做到：講清概念，加強訓練，逐步深化

第1課時算術(shù)平方根

【教學目標】

1.了解算術(shù)平方根的概念，會用根號表示正數(shù)的算術(shù)平方根，并了解算術(shù)平方根的非負性；

2.了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數(shù)的算術(shù)平方根；

3.通過對實際生活中問題的解決，讓學生體驗數(shù)學與生活實際是緊密聯(lián)系著的，通過探究

活動培養(yǎng)動手能力和激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。

【教學難點與重點】

1.重點：算術(shù)平方根的概念。

2.難點：根據(jù)算術(shù)平方根的概念正確求出非負數(shù)的算術(shù)平方根。

【教學過程】

一、情境導入

同學們，2003年10月15日，這是我們每個中國人值得驕傲的日子.因為這一天，“神

舟”五號飛船載人航天飛行取得圓滿成功，實現(xiàn)了中華民族千年的飛天夢想（多媒體同時出

示“神舟”五號飛船升空時的畫面）.那么，你們知道宇宙飛船離開地球進人軌道正常運行

的速度是在什么范圍嗎？這時它的速度要大于第一宇宙速度匕（米/秒）而小于第二宇宙

速度：匕（米/秒）.匕、%的大小滿足V：=gR，％2=2gR.怎樣求％、匕呢？這就要

用到平方根的概念，也就是本章的主要學習內(nèi)容.

設(shè)計理念：“神舟”五號成功發(fā)射和安全著陸，標志著我國在攀登世界科技高峰的征程

上又邁出具有重大歷史意義的一步，是我們偉大祖國的榮耀.此內(nèi)容有感染力，使學生對

本章知識的應(yīng)用價值有一個感性認識，同時激發(fā)學生的好奇心和學習的興趣.這里的計算實

際上是已知事和乘方的指數(shù)求底數(shù)的問題，是乘方的逆運算，學生以前沒有見過，由此引

出了本章所要研究的主要內(nèi)容，以及研究這些內(nèi)容的大體思路.

這節(jié)課我們先學習有關(guān)算術(shù)平方根的概念.

請看下面的問題.

你是怎樣算出畫框的邊長等于5dm的呢？（學生思考并交流解法）

這個問題相當于在等式擴=25中求出正數(shù)x的值.

練習：教科書第160頁的填表.這個問題抽象成數(shù)學問題就是已知正方形的面積求正方

形的邊長，這與學生以前學過的已知正方形的邊長求它的面積的過程互逆，教學時可以讓學

生初步體會這種互逆的過程，為后面的學習做準備。

二、歸納新知

上面的問題，可以歸納為“己知一個正數(shù)的平方，求這個正數(shù)”的問題.實際上是乘方

運算中，已知一個數(shù)的指數(shù)和它的幕求這個數(shù).

一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a,即》2=a,那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方

根.a的算術(shù)平方根記為右,讀作“根號a”，a叫做被開方數(shù).規(guī)定：0的算術(shù)平方根是

0.

也就是，在等式》2=a（x）0）中，規(guī)定x=y[a.

思考：這里的數(shù)a應(yīng)該是怎樣的數(shù)呢？

試一試:你能根據(jù)等式：122=144說出144的算術(shù)平方根是多少嗎？并用等式表示出來.

想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它們的值嗎？

建議：求值時，要按照算術(shù)平方根的意義，寫出應(yīng)該滿足的關(guān)系式，然后按照算術(shù)平

方根的記法寫出對應(yīng)的值.例如后表示25的算術(shù)平方根，因為……

&也可以寫成ML讀作“二次根號a”。

算術(shù)平方根的概念比較抽象，原因之一是學生對石這個新

的符號的理解要有一個過程.通過此問題，使學生對符號“而”表示的具體含義有更

具體、更深刻的認識.

三、應(yīng)用新知

例.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：

49

(1)100；(2)1；(3)一；(4)0.0001

64

建議：首先應(yīng)讓學生體驗一個數(shù)的算術(shù)平方根應(yīng)滿足怎樣的等式，應(yīng)該用怎樣的記號來表

示它，在此基礎(chǔ)上再求出結(jié)果，例如求100的算術(shù)平方根，就是求一個數(shù)x,使光2=100,

因為1()2=100

四、探究拓展

提出問題：怎樣用兩個面積為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形？

方法1：課本中的方法，略;

可還有其他方法，鼓勵學生探究。

問題：這個大正方形的邊長應(yīng)該是多少呢？

大正方形的邊長是痣，表示2的算術(shù)平方根，它到底是個多大的數(shù)？你能求出它的值嗎？

建議學生觀察圖形感受微的大小.小正方形的對角線的長是多少呢？(用刻度尺測量

它與大正方形的邊長的大小)它的近似值我們將在下節(jié)課探究.

五、課堂小結(jié)

提問：1、這節(jié)課學習了什么呢？

2、算術(shù)平方根的具體意義是怎么樣的？

3、怎樣求一個正數(shù)的算術(shù)平方根？

六、布置作業(yè)

(1)判斷下列說法是否正確：

①是25的算術(shù)平方根；

②一6是(-6)2的算術(shù)平方根；

③0的算術(shù)平方根是0；

④0.01是0.1的算術(shù)平方根；

⑤一個正方形的邊長就是這個正方形的面積的算術(shù)平方根.

(2)下列各式哪些有意義，哪些沒有意義？

①-V3②-3③J(-3,④JlCT~

(3)一個正方形的面積為10平方厘米，求以這個正方形的邊為直徑的圓的面積。

第2課時用計算器求算術(shù)平方根及其大小比較

卷酒）圜櫥

1.會比較兩個數(shù)的算術(shù)平方根的大?。唬ㄖ攸c）

2.會估算一個數(shù)的算術(shù)平方根的大致范圍，掌握估算的方法，形成估算的意識；（難點）

3.會用計算器求一個數(shù)的算術(shù)平方根.

翁遨昌

一、情境導入

請大家四個人為一組，拿出自己準備好的兩個邊長為1的正方形紙片和剪刀，按虛線剪

開拼成一個大的正方形.

因為兩個小正方形面積之和等于大正方形的面積，所以根據(jù)正方形面積公式可知“2=2,

那么a是多少？這個數(shù)是多大呢？

二、合作探究

探究點一：算術(shù)平方根的估算

［類型—］估算算術(shù)平方根的大致范圍

頹I估算/歷一2的值（）

A.在1和2之間B.在2和3之間

C.在3和4之間D.在4和5之間

解析：因為4?<19<52,所以4<標<5,所以2c標一2<3.故選B.

方法總結(jié)：本題利用被開方數(shù)兩邊比較接近的完全平方數(shù)的算術(shù)平方根估計這個數(shù)的算

術(shù)平方根的大小.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第1題

［類型二］確定算術(shù)平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分

嗨I已知a是乖的整數(shù)部分，h是乖的小數(shù)部分，求（一〃）3+3+2）2的值.

解析：本題綜合考查有理數(shù)與無理數(shù)的關(guān)系.因為2Vm<3,所以m的整數(shù)部分是2,

即a=2.就是無限不循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)部分應(yīng)是乖一2,即人=乖一2,再將a,。代入代

數(shù)式求值.

解：因為2<m<3,〃是乖的整數(shù)部分，所以a=2.因為人是乖的小數(shù)部分，所以匕=乖

-2.所以（一“）3+3+2）2=（—2）3+（m一2+2）2=—8+8=0.

方法總結(jié)：解此題的關(guān)鍵是確定道的整數(shù)部分和小數(shù)部分（用這個無理數(shù)減去它的整數(shù)

部分即為小數(shù)部分）.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第5題

［類型三］用估算法比較數(shù)的大小

砸1通過估算比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

（1/與1.9;（2片2與1.5.

解析：⑴估算小的大小，或求1.9的平方，比較5與I4的大小；（2）先估算存的大小，

再比較優(yōu)與2的大小，從而進一步比較］"與1.5的大小.

解：(1)因為5>4,所以小八兩，即小>2,所以小>1.9；

(2)因為6>4,所以#所以#>2,所以m即#}>1.5.

方法總結(jié)：比較兩數(shù)的大小常用方法有：①作差比較法；②求值比較法；③移因式于根

號內(nèi)，再比較大小；④利用平方法比較無理數(shù)的大小等.比較無理數(shù)與有理數(shù)的大小時要先

估算無理數(shù)的近似值，再比較它與有理數(shù)的大小.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第6題

探究點二：用計算器求算術(shù)平方根

硒1用計算器計算：

(1)^1225；(2)吊36.42(精確到0.001)；(3仆(精確到0.001).

解析：⑴按鍵：“廠”“1225”“="即可；(2)按鍵:“36.42”“="，再取

近似值即可：(3)按鍵：“廠=再取近似值即可.

解：(1)^/1225=35；(2R36.4226.035；(3)VHg3.606.

方法總結(jié)：取近似值時要看精確到的位數(shù)的下一位，再四舍五入.

探究點三：算術(shù)平方根的實際應(yīng)用

睡I全球氣候變暖導致一些冰川融化并消失，在冰川消失12年后，一種低等植物苔群

開始在巖石上生長.每個苔碎都會長成近似圓形，苔薛的直徑和冰川消失的時間近似地滿足

如下關(guān)系式：d=7X，F(xiàn)Z(r212).其中4代表苔群的直徑，單位是厘米；f代表冰川消失

的時間，單位是年.

(1)計算冰川消失16年后苔薛的直徑；

(2)如果測得一些苔葬的直徑是35厘米，則冰川約是在多少年前消失的？

解析：(1)根據(jù)題意可知是求當f=16時4的值，直接把對應(yīng)數(shù)值代入關(guān)系式即可求解；

(2)根據(jù)題意可知是求當4=35時t的值，直接把對應(yīng)數(shù)值代入關(guān)系式即可求解.

解：(1)當1=16時，d=7X#16-12=7X2=14(厘米).

答：冰川消失16年后苔薛的直徑是14厘米；

(2)當d=35時，/-12=5,即￡-12=25,解得f=37(年).

答：冰川約是在37年前消失的.

方法總結(jié)：本題考查算術(shù)平方根的實際應(yīng)用，注意實際問題中涉及開平方通常取算術(shù)平

方根.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第7題

三、板書設(shè)計

1.估算錯誤!)

2.用計算器求一個正數(shù)的算術(shù)平方根

煞暮信恩

在解決問題的同時引導學生對解決方法進行總結(jié)，和學生一起歸納出估算的方法.讓學

生從被動學習到主動探究，激發(fā)學生的學習熱情，培養(yǎng)學生自主學習數(shù)學的能力.通過獨立

思考與小組討論相結(jié)合的方式解決新的實際問題，讓學生初步體會數(shù)學知識的實際應(yīng)用價值

第2課時用計算器求算術(shù)平方根及其大小比較

1、會用計算器求一個數(shù)的算術(shù)平方根；理解被開方數(shù)擴大(或縮小)

教學目標

與它的算術(shù)平方根擴大(或縮小)的規(guī)律；

2、能用夾值法求一個數(shù)的算術(shù)平方根的近似值；

3、體驗“無限不循環(huán)小數(shù)”的含義，感受存在著不同于有理數(shù)的一類

新數(shù)。

教學難點夾.值法及估計一個（無理.）數(shù)的大小的思想。

知識重點夾值法及估計一個（無理）數(shù)的大小。

教學過程SN生活動）設(shè)計理念

2

我們已經(jīng)知道：正數(shù)X滿足X=a，則稱X是a的算

術(shù)平方根.當a恰是一個數(shù)的平方數(shù)時，我們已經(jīng)

能求出它的算術(shù)平方根了，例如，'話=4；但當a

不是一個數(shù)的平方數(shù)時，它的算術(shù)平方根又該怎樣

求呢？例如課本的大正方形的邊長后等于多少在也出現(xiàn)之前，學

呢？生已經(jīng)知道利用乘方運

問題：、歷究竟有多大？算，通過觀察的方法求

一些完全平方數(shù)的算術(shù)

建議：1、先讓學生思考討論并估計大概有多大，平方一根，但是對于像2

在此基礎(chǔ)上按書本講解并板書.可以這樣提出問題這樣的非完全平方數(shù)，

并講解：由直觀可知招大于1而小于2,那么了J5如何求它的算術(shù)平方

根，對學生來講是一個

是1點兒呢？（接下來由試驗.可得到平方數(shù)最接近新問題.

2的1位小數(shù)是1.4,而平方數(shù)大于2且最接近的1教科書給出兩種求

位小數(shù)是1.5,痣大于1.4而小于1.5……、歷的方法：一種是估

情境導入

這里默認了非負數(shù)a和b當a<b時，無〈現(xiàn)這算，一種是使用計算

器.對于第一方.法，教

里可以從石（聲得到。科書利用夾值的辦法，

夾值法是重要的有效的

2、用夾值法去逼近一個（無理）數(shù)，是一個重要求近似值的方法，所以

的求近似數(shù)的方法，也是一種無限逼近的數(shù)學思應(yīng)詳細講解.

想，教師應(yīng)加以重視，讓學生體驗它的妙處.對于無限不循環(huán)小

3、關(guān)于后是一個“無限不循環(huán)小數(shù)”要向?qū)W生詳數(shù)這個概念，教學時可

以適當回憶以前學生學

細說明.為無理數(shù)的概念的提.出打下基礎(chǔ).過的數(shù)，通過比較，了

歸納（提出問題）：你對正數(shù)a的.算術(shù)平方根丘的解無限不循環(huán)小數(shù)的特

征，為后面學習實數(shù)做

結(jié)果有怎樣的認識呢？鋪墊。

品的結(jié)果有兩種情：當a是完全平方數(shù)時，、份是

一個有限數(shù)；當a不是一個完全平方數(shù)時，、石是

一個無限不循環(huán)小數(shù)。

例1（課本的例2）用計算器求下列各式的值：

（1）,3136（2）V2（精確到o.ooi）通過.例題，使學生掌握

.用計算器

使用計算器求算術(shù)平方

求一個正可按照書本講.注意計算器的用法，指出計算器上

根的方法，可以和上面

有理數(shù)的顯示的也只是近似值，但我們可.以利用計算器方便

算術(shù)平方地求出一個正數(shù)的算術(shù)平方根的近似值.所估計的.、歷的大小比

根安排學生獨立解決引言中的問題，利用計算器求出

較。

匕和匕的值.

例2（用多媒體顯示課本第163頁的例3）題略.

建議：1、首先要注意學生是否弄清了題意；然后

分析解題思路：能否裁出符合要求的紙片，就是要

例題給出了一個實際問

比較兩個圖形的邊長，而由題意，易知正方形的.邊

題背景，學生一般會認

長是20cm,所以只需求出長方形的邊長，設(shè)長方

形的長和寬分別是3xcm和2xcm,為一定能用一塊面積大

的紙片裁出一塊面積小

求得長方形的長為3同cm后，接下來的問題是

綜合應(yīng)用的紙片，通過學習可以

糾正學生的認識.重點

比較3病和20的大小，這是個難點，要讓學生

使學生掌握通過平方數(shù)

比較有理數(shù)與無理數(shù)大

思考，充分發(fā)表自己的意見，然后再比較.

小的一種方法.

2、視學生掌握知識的情況在例3前可先解決卜面

的問題：比較4和色，2曲和27大小.

課本中的用計算器探究被開方數(shù)擴大（或縮?。┡c

它的算術(shù)平方根擴大（或縮小）的規(guī)律.

探究規(guī)律對于（.1）應(yīng)有如下,的規(guī)律：當被開方數(shù)擴大（或

縮?。?00倍，10000倍…時，其算術(shù)平方根相應(yīng)

地擴大（或縮?。?0倍，1.00倍…

1、被開方數(shù)增大或縮小時，其相應(yīng)的算術(shù)平方根

也相應(yīng)地增大或縮小，因此我們可以利用夾值的方

法來求出算術(shù)平方根的近似值；

2、利用計算器可以求出任意正數(shù)的算術(shù)平方根的

課堂小結(jié)近似值

3、被開方數(shù)擴大（或縮?。┡c它的算術(shù),平方根擴

大（或縮小）的規(guī)律是怎樣的呢？

4、怎樣的數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)？

布置作業(yè)課本習題6.1第5、6、9、10題；

教后記:

第3課時平方根

卷酒)圜櫥

i.了解平方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的平方根；(重點)

2.了解開平方與平方是互逆運算，會用開平方運算求非負數(shù)的平方根.(難點)

一、情境導入

填空：(1)3的平方等于9,那么9的算術(shù)平方根就是；

聯(lián)的2平方等于玄4，那么4去的算術(shù)平方根就是;

(3)展廳的地面為正方形，其面積49平方米，則邊長為米.

還有平方等于9,表，49的其他數(shù)嗎？

二、合作探究

探究點一：平方根的概念及性質(zhì)

［類型—］求一個數(shù)的平方根

硒I求下列各數(shù)的平方根：

(1)125；(2)0.0001；(3)(-4)2；(4)106；(5)781.

解析：把帶分數(shù)化為假分數(shù)，含有乘方運算先求出它的幕.注意正數(shù)有兩個互為相反數(shù)

的平方根.

解：⑴?.■諾蜷,(()2嚼,...諾的平方根為忌即±^G||=q；

(2)V(±0.01)2=0.0001,，0.0001的平方根是±0.01,即可0.0001=±0.01；

(3)；(±4)2=(—4)2,—4)2的平方根是±4,即H(-4)』±4；

(4)-(±10-3)2=］0-6,...10-6的平方根是土是-3,即=3；

(5)：(±3)2=9=兩，二痼的平方根是±3.

方法總結(jié)：正確理解平方根的概念，明確是求哪一個數(shù)的平方根.如(5)中是求9的平

方根.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第7題

［類型二］利用平方根的性質(zhì)求值

MB一個正數(shù)的兩個平方根分別是2a+l和4—4,求這個數(shù).

解析：因為一個正數(shù)的平方根有兩個，且它們互為相反數(shù)，所以24+1和。-4互為相

反數(shù)，根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0列方程求解.

解：由于一個正數(shù)的兩個平方根是2a+1和a—4,則有2a+l+(?—4=0,即3a—3=0,

解得。=1.所以這個數(shù)為(2a+l)2=(2+l)2=9.

方法總結(jié)：一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，即它們的和為零.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習”課堂達標訓練”第11題

探究點二：開平方及相關(guān)運算

砸1求下列各式中X的值：

(l)f=361;(2)81/—49=0；

(3)49(f+1)=50;(4)(3JC-1)2=(-5)2.

解析：若/二或。2。)，則x=±yJH,先把各題化為的形式，再求x.其中(4)中可將

(3x-l)看作一個整體，先通過開平方求出這個整體的值，然后解方程求出工

解：⑴：X2=361,...開平方得X=H^T=±19；

(2)整理8if—49=0,得/=普，.?.開平方得

(3)整理49,+1)=50,得，，開平方得x=±^^=±|；

(4)；(3x-l)2=(-5)2,.,.開平方得3x-l=±5.當31一1=5時,x=2；當3%—1=-5時，

44

X=-W.綜上所述，x=2或一］.

方法總結(jié)：利用平方根的定義進行開平方解方程，從而求出未知數(shù)的值.一個正數(shù)的平

方根有兩個，它們互為相反數(shù)；開平方時，不要漏掉負平方根.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習”課后鞏固提升”第7題

三、板書設(shè)計

1.平方根的概念：若d=a,則x叫a的平方根，x=±\0

2.平方根的性質(zhì)：正數(shù)有兩個平方根，且它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有

平方根.

3.開平方及相關(guān)運算:求一個數(shù)a的平方根的運算叫做開平方，其中a叫做被開方數(shù).開

平方與平方互為逆運算.

段健思

為學生提供有趣且富有數(shù)學含義的問題，讓學生進行充分的探索和交流.如把正方形的

面積不斷地擴大為原來的2倍、3倍、〃倍，引導學生進行交流、討論與探索，從中感受學

習平方根的必要性

第3課時平方根

1、掌握平方根的概念，明確平方根和算術(shù)平方根之間的聯(lián)系和區(qū)

另1」；

教學目標2、能用符號正確地表示一個數(shù)的平方根，理解開平.方運算和乘方

運.算之間的互逆關(guān)系；

3、培養(yǎng)學生的探究能力和歸納問題的能力.

教學難點平方根和算術(shù)平方根的聯(lián)系與區(qū)別

知識重點平方根的概念和求數(shù)的平方根。

教學過程4口生活動)設(shè)計理念

如果一一個數(shù)的平方等于9,這個數(shù)是多少？這.個思考題是，引入

學生思考并討論，使學生明白這樣的數(shù)有兩個，它平方根概念的切入

們是3和一3.受前面知識的影響學生可能不易想到點，要讓學生有充分

思考歸納

-3這個數(shù)，這時可提醒學生，這里的這個數(shù)可以的時間進行思考和體

導入概念

驗.

是負數(shù).注意(-ST=9中括號的作用.

在等式中求出X

的值，為填表做準備.

通過填表中的X

2_4

X——的值，進一步加深時

又如：25,則X等于多少呢？

“兩個互為相反數(shù).

使學生完成課本165頁的填表練習.的平方等于同一個

給出平方根的概念：如果一個數(shù)的平方等于a,那.么數(shù)”的印象，為平方

2根的引入做準.備.

這個數(shù)就叫做a的平方根.即：如果r=a,那么x

教學中可以引導

叫做a的平方根.學生通過查閱資料等

求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方.方式，了解平方根產(chǎn)

例如：±3的平方等于9,9的平方根是±3,所以生發(fā)展的過程.(通常

平方與開.平方互為逆運算.稱為平方根.在研究

觀察：課本中的圖13.1-2.有關(guān)n次方根的問題

圖10.1-2中的兩個圖描述了平方與開平方互為逆運時，為使各次方根的

算的運算過程，揭示了開平方運算的本質(zhì).說法協(xié)調(diào)起見，常采

讓學生體驗平方和開平方的互逆關(guān)系，并根據(jù)這個用二次方根的說法

關(guān)系說出1,4,9的平方根.3表示+3和一3兩個

注意：這階段主要是讓學生建立平方根的概念，先數(shù).這種寫法學生不

不引入平方根的符號，給出的數(shù)是完全平方數(shù).太習慣，在以后的教

學中宜不斷提到。

例1：(課本的例4)。求下列各數(shù)的平方根。通過此例使學生明白

平方根可以從平方運

9

算中求得，并能規(guī)范

(1)100(2)16(3)0.25

地表述一個數(shù)的平方

根.這個例題也為后

建議教師要規(guī)范書寫格式。面探討平方根的特征

做好準備.

按照平方根的概念，請同學們思考并討論下列問通過討論，使學生對

題：有理數(shù)的平方根有一

正數(shù)的平方根有什么特點？0的平方根是多少？負個全面的認識.也是

數(shù)有平方根嗎？平方根概念的進一步

2深化.

建議.：可引導學生通過觀察X=a中的a和X的取

值范圍和取值個數(shù)得出.體驗分類思想，鞏固

根據(jù)上面討論得出的結(jié)果填課本166頁的表.平方根概念.

討論歸納注：學生剛開始接觸平方根時，有兩點可能不太習

深化概念慣，一個是正數(shù)有兩個平方根，即正數(shù)進行開平方

運算有兩個結(jié)果，這與學生過去遇到的運算結(jié)果性

一的情況有所不同，另

一個是負數(shù)沒有平方根，即負數(shù)不能進行開平方運加深對符號.意義的

算，這種某數(shù).不能進行某種運算的情況在有理數(shù)的理解和對.平方根概

力口、減、乘、除、乘方五種運算中一般不會遇到(0念的靈活應(yīng)用.

作除數(shù)的情況除外).教學時，可以通過較多實例

說明這兩點，并在本節(jié)以后的教學中繼續(xù)強化這兩

點.

引入符號：正數(shù)a的算術(shù)平方根可用右表示：正

測試學生對平方根概

念的掌握情況.

數(shù)a的負的平方根可用-J2表示.例如……

思考：及表示什么意思，這里的X可取什么樣的

數(shù)呢？

而對于-Jx-l又該怎樣理解呢？這里的尤又可取

什么樣的數(shù)呢？

例2下列各數(shù)有平方根？如果有，求出它的平方熟練應(yīng)用平方根的概

根，如果沒有，說明理由。念，計算有關(guān)算式的

-64、0,(-4)；10-2值，是本課的主要內(nèi)

容。

如果有要用平方根.的符號來表示。

例3：課本的例5,求下列各式的值。被開方數(shù)不是,完全

平方數(shù)時，可用計算

+V121

器求出它的近似值

(1)；⑵一J0.81,⑶V196

(4)歷,網(wǎng)

應(yīng)用

建議：要讓學生明白各式所表示的意義；根據(jù)平方

關(guān)系和平方根概念的格式書寫解題格式。平方根和

算術(shù)平方根的概念是本章重點內(nèi)容，兩者既有區(qū)別

又有聯(lián)系.區(qū)別在于正數(shù)的平方根有兩個，而它的

算術(shù)平方根只有一個；聯(lián)系在于正數(shù)的負平方根是

它的算術(shù)平方根的相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可

以立即寫出它的負平方根，因此我們可以利用算術(shù)

平方根來研究平方根.

思考：一而的值是多少？

課本的練習

小結(jié)：

練習鞏固.什么叫做一個數(shù)的平方根？

正數(shù)、0、負數(shù)的平方根有什么規(guī)律？

怎樣求出.一個數(shù)的平方根？數(shù)a的平方怎樣表示？

小結(jié)與作業(yè)

布置作業(yè)教科書習題13.1第3、4、7、8、11、12題。

本課教育評注(課堂設(shè)計理念，實際教學效果及改進設(shè)想.)

2

2、本課主要是在算術(shù)平方根的基礎(chǔ)上建立平方根的概念，要以等式％=a和已有算

術(shù)

平方根概念為基礎(chǔ)，并使學生明確平方根與算術(shù)平方根之間的聯(lián)系與區(qū)別，明確開平方

與平方之間的互逆關(guān)系，把握了這.些平方根的有關(guān)概念，正數(shù)、零、負數(shù)的平方根的規(guī)

律也就不難掌握了.

2、有關(guān)求算式的值的問題，一定要使學生體會到這個算式所表示的具體意義，這樣

才能使學生在本質(zhì)上掌握其求法.

6.2立方根

i.了解立方根的概念及性質(zhì)，會用根號表示一個數(shù)的立方根；(重點)

2.了解開立方與立方是互逆運算，會用開立方運算求一個數(shù)的立方根.(難點)

鸚婕

一、情境導入

填空并回答問題：

(1)()3=0.001；

(2)()3=-磊

(3)()3=0；

(4)若正方體的棱長為“，體積為8,根據(jù)正方體的體積公式得蘇=8,那么。叫做8的

什么呢？

二、合作探究

探究點一：立方根的概念及性質(zhì)

［類型一］立方根的概念及性質(zhì)

硒I立方根等于本身的數(shù)有個.

解析：在正數(shù)中，折=1,在負數(shù)中，y［—i=-l,又寺5=0,，立方根等于本身的數(shù)

有1,-1,0.故填3.

方法總結(jié)：不論正數(shù)、負數(shù)還是零，都有立方根.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第4題

［類型二］立方根與平方根的綜合問題

MB已知》一2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求的算術(shù)平方根.

解析：根據(jù)平方根、立方根的定義和已知條件可知X—2=4,2x+y+7=27,從而解出

x,y,最后代入f+y2,求其算術(shù)平方根即可.

解：2的平方根是±2,.?/—2=4,；.x=6.：2x+y+7的立方根是3,.,.2x+y+7

=27.把x=6代入解得y=8,...f+V=62+82=100.二_?+)?的算術(shù)平方根為10.

方法總結(jié)：本題先根據(jù)平方根和立方根的定義，運用方程思想列方程求出x,y的值，

再根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出f+y2的算術(shù)平方根.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習”課后鞏固提升”第9題

【類型三】立方根的實際應(yīng)用

___4

砸1已知球的體積公式是丫=梟/（「為球的半徑，”取3.14）,現(xiàn)已知一個小皮球的體

積是113.04cm3,求這個小皮球的半徑匚

3V

解析：將公式變形為尸=:，從而求r.

43V^■二，丫=113.04cm3,n取3.14,；?，七'3X113.04

解：由V=Qn，，得尸=了不,

4X3.14

=^^=3（5）.

答：這個小皮球的半徑r約為3cm.

方法總結(jié)：解此題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用球的體積公式，并將公式適當變形.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第10題

探究點二：開立方運算

刷H求下列各式的值：

罵-5;

(3)-(-1)I(X).

解：⑴―洞§=_7；

27

l=2X§+l=g.

方法總結(jié)：做開平方或開立方運算時，一般都是利用它們的定義去掉根號；當被開方數(shù)

不是單獨一個數(shù)時，則需先將它們進行化簡，再進行開方運算.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第10題

三、板書設(shè)計

1.每個數(shù)“都只有一個立方根，記為“%”，讀作“三次根號a”.

2.正數(shù)的立方根是正數(shù)；0的立方根是0；負數(shù)的立方根是負數(shù).

3.求一個數(shù)〃的立方根的運算叫做開立方，其中a叫做被開方數(shù).開立方與立方互為

逆運算.

本節(jié)課讓學生應(yīng)用類比法學習立方根的概念、性質(zhì)和運算.學生在以后的數(shù)學學習中，

要注意滲透類比的思維方式，讓學生在學習新知識的同時鞏固己學的知識，并通過新舊對比

更好地掌握知識

6.2立方根

【教學目標】

1、使學生進一步理解立方根的概念，并能熟練地進行求一個數(shù)的立方根的運算；

2、能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍，使學生形成估算的意識，培養(yǎng)學生的估算能力;

3、經(jīng)歷運用計算器探求數(shù)學規(guī)律的過程，發(fā)展合情推理能力。

【學難點與重點】

用有理數(shù)估計一個無理的大致范圍。

【教學過程】

七、復習引新

1.判斷題：

4的平方根是2()

1的立方根是1()

-0.125的立方根是一0.5()

Q9

一士的立方根是土士()

273

—6是216的立方根()

2.求下列各式的值

:-^/-(0.1)3；7(_5)2

問題：屈有多大呢？

(這里可以讓學生回憶前面學習過程中討論五有多大時的方法)。

學生小組討論，并交流學方法。

因為3,=27,4,=64

所以3〈胸<4

因為36=46.656,3.73=50.653

所以3.6〈癡'<3.7

因為3.683=49.836032,3.693=50.24349

所以3.68〈病<3.69

如此循環(huán)下去，可以得到更精確的癡的近似值，它是一個無限不循環(huán)小數(shù)，V50=-

3.68403149……事實上，很多有理數(shù)的立方根都是無限不循環(huán)小數(shù).我們用有理數(shù)近

似地表示它們.

八、自主學習

1、利用計算器來求一個數(shù)的立方根，并完成課本上的練習。

(學生利用計算器的說明書獨立學習.對于一些暫時還沒有學會的學生，可以采用同學

之間互幫互學的方式解決.)

2、學生解決上節(jié)課未解決的一個問題，簡單回憶：如果要生產(chǎn)這種容積為50L的圓

柱形熱水器，使它的高等于底面直徑的2倍，這種容器的底面直徑應(yīng)取多少？（結(jié)果保留兩

個有效數(shù)字）

九、應(yīng)用新知

利用計算器計算，并將計算結(jié)果填在表中，你發(fā)現(xiàn)了什么嗎？你能說說其中的道理嗎？

???340.000216V0.216V216…

2、用計算器計算正5（結(jié)果個有效數(shù)字）。并利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律說出Wo.oooi,VOJ,

，00000的近似值。

十、課堂小結(jié)

十一、布置作業(yè)

6.3實數(shù)

第1課時實數(shù)

暮顯）善

1.經(jīng)歷無理數(shù)的探究過程，理解無理數(shù)的概念，會判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)；（重點）

2.進一步理解有理數(shù)和無理數(shù)的概念，會把實數(shù)進行分類；（重點）

3.理解實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，并進行相關(guān)運用.（難點）

蓊誕

一、情境導入

為了美化校園，學校打算建一個面積為225平方米的正方形植物園，這個正方形的邊長

應(yīng)取多少？你能計算出來嗎？如果把“225”改為其他數(shù)字，如“200”