八年級(jí)數(shù)學(xué)人教版（上冊(cè)）13.4-課題學(xué)習(xí)-最短路徑 課件 （28張）

八年級(jí)上冊(cè)13.4

課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題．這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱為“牧童飲馬問(wèn)題”．你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？探索新知BAl追問(wèn)1

這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．探索新知B··Al（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從A地到飲馬地點(diǎn)，再回到B地的路程之和；探索新知追問(wèn)2

你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？探索新知追問(wèn)2

你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？（3）現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線l上的點(diǎn)．設(shè)C為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，

AC與CB的和最小（如圖）．BAlC追問(wèn)1

對(duì)于問(wèn)題2，如何將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長(zhǎng)度相等？探索新知問(wèn)題2

如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小？B·lA·追問(wèn)2

你能利用軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)，找到上問(wèn)中符合條件的點(diǎn)B′嗎？探索新知問(wèn)題2

如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小？B·lA·作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．探索新知問(wèn)題2

如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最?。緽·lA·B′C探索新知問(wèn)題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC

=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．探索新知問(wèn)題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′探索新知問(wèn)題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′證明：在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．若直線l上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合）與A，B兩點(diǎn)的距離和都大于AC+BC，就說(shuō)明AC+BC最?。剿餍轮狟·lA·B′CC′追問(wèn)1

證明AC+BC最短時(shí)，為什么要在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），證明AC+BC＜AC′+BC′？這里的“C′”的作用是什么？探索新知追問(wèn)2

回顧前面的探究過(guò)程，我們是通過(guò)怎樣的過(guò)程、借助什么解決問(wèn)題的？B·lA·B′CC′運(yùn)用新知練習(xí)如圖，已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.造橋選址問(wèn)題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.喬早在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）BA思維分析BA

1、如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接ＡＭ和ＢＮ，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？ＭＮ

2、利用線段公理解決問(wèn)題我們遇到了什么障礙呢？

我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思維火花問(wèn)題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時(shí)路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作橋Ｍ１Ｎ１，連接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由線段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN問(wèn)題延伸一如圖，A和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN和PQ.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）思維分析如圖，問(wèn)題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．橋MN和PQ在中間，且方向不能改變，仍無(wú)法直接利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決問(wèn)題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長(zhǎng).平移的方法有三種：兩個(gè)橋長(zhǎng)都平移到A點(diǎn)處、都平移到B點(diǎn)處、MN平移到A點(diǎn)處，PQ平移到B點(diǎn)處三、鞏固訓(xùn)練（一）基礎(chǔ)訓(xùn)練：最短路徑問(wèn)題(1)求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題，只要連接這兩點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求．如圖所示，點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在l上找一個(gè)點(diǎn)C，使CA＋CB最短，這時(shí)點(diǎn)C是直線l與AB的交點(diǎn)．(2)求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，則與該直線的交點(diǎn)即為所求．如圖所示，點(diǎn)A，B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在l上找一個(gè)點(diǎn)C，使CA＋CB最短，這時(shí)先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，則點(diǎn)C是直線l與AB′的交點(diǎn)．（二）變式訓(xùn)練：如圖，小河邊有兩個(gè)村莊A，B，要在河邊建一自來(lái)水廠向A村與B村供水．(1)若要使廠部到A，B村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠？(2)若要使廠部到A，B兩村的水管最短，應(yīng)建在什么地方？（三）綜合訓(xùn)練：茅坪民族中學(xué)八(2)班舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO，BO)，AO